Лекции Дымарский 4 семестр (1187980), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Но отсюда вовсене следует, что ряд сходится хотя бы поточечно. Так, существуют непрерывныеи 2π-периодические функции, ряды Фурье которых расходятся в некоторыхточках. 10Я. М. ДЫМАРСКИЙ§ 2. Сходимость ряда Фурье в точкеХотя мы пришли к идее РФ в пространстве L2R (−π, π) с интегральной нормой (1.3), оказывается РФ является тонким инструментом локального исследования функции.2.1. Ядро Дирихле и принцип локализации. Сходимость (любого вида) РФ означает сходимость его частичных суммF Sn (f, x) := a0 +n∑ak cos kx + bk sin kx,(2.1)k=1где коэффициенты ak , bk вычисляются по формулам (1.6). Всюду ниже, учитывая замечание 1.3, мы будем понимать функции и ряды, заданные на (−π, π),продолженными 2π-периодически на всю числовую ось. В исследовании частичных сумм РФ ключевую роль играет следующее понятиеОпределение 2.1. Ядром Дирихле порядка n (n = 0, 1, 2...) называютфункцию1Dn (t) := + cos t + cos 2t + ...
+ cos nt. (2.2)2Лемма 2.1. Ядро Дирихле1. является четной, непрерывной, 2π-периодической функцией;2. для всех n оно удовлетворяет неизменному условию нормировкиˆ ππDn (t)dt = ;203.Dn (t) =sin(n + 12 )t1при t ̸= 2πm; Dn (t) = n+ при t = 2πm (m ∈ Z).t22 sin 2Обсуждение 2.1. Из формулы п. 3следует, что при больших значениях nядро Дирихле сильно осциллирующаяфункция, амплитуда которой не меньше,чем 1/2, и которая в точках 2πm принимает наибольшее значение n+1/2 → ∞ cростом порядка ядра (на рис. 2.1 изображен график ядра Дирихле при n = 10).Ниже мы увидим, как все перечисленные свойства ядра связаны со сходимостью РФ.
Рис. 2.1Доказательство. Первое утверждение следует непосредственно из определения. Второе получается почленным интегрированием суммы (2.2). Третьеутверждение следует из цепочки элементарных преобразований:ttt ∑2 sin cos kt =· Dn (t) = sin +222nпри t ̸= 2πm произведение 2 sink=1ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР11t ∑111+(sin(k + )t − sin(k − )t) = sin(n + )t.2222nsink=1Если t = 2πm, то ответ получаем подстановкой. Лемма 2.2.
(об интегральных представлениях частичной суммы РФ)Пусть функция f 2π-периодическая и f ∈ LR (−π, π). Тогда для частичныхсумм ее ряда Фурье справедливы представленияˆ1 πF Sn (f, x) =f (x + t)Dn (t)dt =(2.3)π −πˆ1 π(f (x + t) + f (x − t))Dn (t)dt.(2.4)π 0Второе представление (2.4) называется интегралом ДирихлеОбсуждение 2.2. Достоинство полученных формул в том, что частичнаясумма ряда представлена в виде одного слагаемого, т.е. функциональныйряд заменен на функциональную последовательность. Отметим, что подынтегральное выражение представляет собой произведение двух сомножителей:первый – исследуемая функция, второй – ядро Дирихле (которое вообще отфункции f не зависит).
Интеграл (2.3) от произведения двух функций, где водном из сомножителей (любом) имеется сдвиг аргумента, называют сверткой этих функций. Доказательство. Зафикcируем произвольное x ∈ R. Воспользовавшись2π-периодичностью функции f , сдвинем на x отрезок интегрирования в определении (1.6) коэффициентов ряда Фурье:ˆ x+πˆ11 x+πa0 =f (s)ds, ak =f (s) cos ksds,2π x−ππ x−πˆ1 x+πbk =f (s) sin ksds, k ∈ N.π x−πСледовательно,1F Sn (f, x) =π1πˆ(x+πf (s)x−πˆ(x+πf (s)x−π)n1 ∑+cos kx cos ks + sin kx sin ks ds =2k=1)ˆn1 x+π1 ∑+cos k(s − x) ds =f (s)Dn (s − x)ds.2π x−πk=1Применив замену t = s − x, мы сразу получим формулу (2.3). Воспользуемсячетностью ядра Дирихле – после несложных пеобразований получаем формулу(2.4):ˆ1 πf (x + t)Dn (t)dt =F Sn (f, x) =π −π(ˆ 0)ˆ π1f (x + t)Dn (t)dt +f (x + t)Dn (t)dt =π−π012Я. М.
ДЫМАРСКИЙ1π(ˆˆππf (x − t)Dn (−t)dt +0)f (x + t)Dn (t)dt =0ˆ1 π(f (x + t) + f (x − t)Dn (t)dt. π 0В дальнейшем мы будем применять формулу (2.4) с учетом п. 3 леммы 2.1.С ее помощью мы выделим сейчас существенную часть частичной суммы РФ:Лемма 2.3. (о локализации интеграла Дирихле) Пусть функция f 2π-периодическая и f ∈ LR (−π, π). Тогда для любых фиксированных δ ∈ (0, π] иx ∈ R справедливо представлениеˆ1 δF Sn (f, x) =(f (x + t) + f (x − t))Dn (t)dt + ε(n; x, δ),(2.5)π 0где lim ε(n; x, δ) = 0.n→∞Обсуждение 2.3. Из формулы (2.5) следует, что с ростом количества слагаемых в частичной сумме РФ вся информация о частичной сумме в точке xлокализуется в сколь угодно малой δ-окрестности этой точки.
Доказательство. Разобьем промежуток интегрирования на два: [0, δ] и[δ, π]. Оценим второе слагаемое, применив формулу (2.4) и п. 3 леммы 2.1:ˆ1 πε(x, n, δ) :=(f (x + t) + f (x − t))Dn (t)dt =π δˆ π11f (x + t) + f (x − t)sin(n + )t dt.t2π δ2sin 2На [δ, π] функция sin 2t непрерывна и отделена от нуля значением | sin(δ/2)| > 0,функция f (x + t) + f (x − t) абсолютно интегрируема.
Поэтому (лемма 1.1)функция (f (x+t)+f (x−t))/ sin(t/2) также АИ. Из теоремы Римана 1.3 следуетутверждение леммы. Теперь мы можем сформулироватьТеорема 2.1. (принцип локализации; fF S(f )) Справедливы равносильные утверждения:1. Пусть функция f 2π-периодическая и f ∈ LR (−π, π). Тогда для любогофикисрованного δ ∈ (0, π] в любой фиксированной точке x ∈ R совпадают пределы частичных сумм ряда Фурье и δ-локализованных интегралов Дирихле, т.е.ˆ1 δlim F Sn (f, x) = lim(f (x + t) + f (x − t))Dn (t)dt;n→∞n→∞ π 0если один из пределов отсутствует, то автоматически отсутствуети другой.2. Пусть функции f, g 2π-периодические и обе АИ на (−π, π). Пустьфункции совпадают f (x) ≡ g(x) в некоторой δ-окрестности фиксированной точки x ∈ R.
Тогда в точке x ряды Фурье функций f и g сходятся или расходятся одновременно, а если сходятся, то к одинаковымзначениям.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР13Обсуждение 2.4. Хотя коэффициенты РФ определяются с помощью интегралов на всем интервале (−π, π), оказалось, что наличие сходимости РФв фиксированной точке (а в случае сходимости ряда – и его сумма) зависяттолько от поведения функции в сколь угодно малой окрестности исследуемойточки. Значит, РФ можно использовать для локального исследования функцииподобно тому, как мы использовали ряд Тейлора. Доказательство. П. 1 сразу следует из леммы 2.3, а п.
2 следует из п. 1.2.2. Достаточные условия сходимости РФ в точке. Предложены разные подходы к исследованию сходимости РФ в точке. Мы обсудим подход, воснове которого лежитТеорема 2.2. (Улисс Ди́ни, 1845 — 1918; fF S(f )) Пусть 2π-периодическая функция f ∈ LR (−π, π). Пусть A ∈ R такое, что при некотором δ > 0сходится несобственный интегралˆ δ|f (x + t) + f (x − t) − 2A|dt < ∞.(2.6)t0←Тогда РФ функции f сходится в точке x к числу A.Обсуждение 2.5. Непосредственно проверить выполнение условий Дининепросто – для этого надо, по крайней мере, правильно выбрать число A.
Однако описан (см. ниже) широкий класс функций, для которых условия теоремывыполнены, а число A не только найдено, но и связано со свойствами функцииf в точке x. Доказательство. В силу АИ функции f на (−π, π) и непрерывностифункции 1/t на [δ, π], подынтегральная функция АИ на (δ, π).
Следовательно,подынтегральная функция АИ на (0, π). В силу п. 2, 3 леммы 2.1 и формулы(2.4),ˆ1 π f (x + t) + f (x − t) − 2A1F Sn (f, x) − A =sin(n + )t dt =tπ 022 sin 2ˆ πt11f (x + t) + f (x − t) − 2A·(2.7)t · sin(n + )t dt.π 0t22 sin 2Первый слева сомножитель является АИ согласно условию теоремы. Второйсомножитель всюду непрерывен поскольку в нуле он имеет устранимую особенность: lim t(2 sin t/2)−1 = 1. Следовательно, произведение дробей есть АИt→+0функция (лемма 1.1). Третий сомножитель – “сильно осциллирующий“ приn → ∞ синус. В силу теоремы 1.3 Римана об осцилляции, интеграл стремитсяк нулю при n → ∞.
Т.е. lim F Sn (f, x) = A. n→+∞Обсуждение 2.6. В доказательстве существенно использованы свойстваядра Дирихле, перечисленные в лемме 2.1: свойство 2 позволяет представитьпостоянную A в интегральном виде, а свойство 3 обосновывает абсолютнуюинтегрируемость подынтегральной функции и обнуляет интеграл в результатепредельного перехода n → ∞. 14Я. М. ДЫМАРСКИЙТеорема Дини порождает вопрос: как связано число A со значением f (x)?Ответ на него зависит от поведения функции в точке x. Ниже описан достаточно широкий класс функций, применяющихся в теории РФ и в теориидифференциальных уравнений, для которых число A существует и известно.Определение 2.2.
функций, регулярных по Липшицу-Гельдеру (Рудольф Липшиц 1832-1903, Отто Гельдер 1859-1937).1. Функция f называется ЛГ-регулярной в точке x слева (справа) споказателем α ∈ (0, 1], если существует конечный предел слева (справа)f (x ∓ 0) ∈ R и такие положительные постоянные C = C(x) > 0, δ =δ(x) > 0, что для любой точки y ∈ (x − δ, x) (y ∈ (x, x + δ)) справедливонеравенство|f (y) − f (x ∓ 0)| 6 C|y − x|α .(2.8)2. Функция f называется ЛГ-регулярной в точке x с показателем α ∈(0, 1], если существуют такие положительные постоянные C = C(x) >0, δ = δ(x) > 0, что для любой точки точки y ∈ Uδ (x) справедливонеравенство|f (y) − f (x)| 6 C|y − x|α . (2.9)Регулярность означает, что функция изменяется не быстрее степенной снекоторым положительным показателем. Вот некоторыеПримеры 2.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
