Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ρc (x, y) ≥ |x(k0 ) − y(k0 )| = 1 = ε0 .’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯® ã⢥ত¥­¨î1.3.1 ´¯®«ãç ¥¬ ­¥á¥¯ à ¡¥«ì­®áâ쳬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠BC(R), ρc .x(k) = 0“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 1.3.2. ãáâì ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (X, ρ)ï¥âáï ᥯ à ¡¥«ì­ë¬. ãáâì ¡¥áª®­¥ç­®¥ ¬­®¦¥á⢮ A ⊂ X . ’®£¤ ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (A, ρ) ⮦¥ ï¥âáï ᥯ à ¡¥«ì­ë¬.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ãáâì áçñâ­®¥ ¬­®¦¥á⢮ S = {zn }∞n=1 ¨§X ï¥âáï ¢áî¤ã ¯«®â­ë¬ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ X . Ž¯à¥¤¥«¨¬ äã­ªæ¨îà ááâ®ï­¨ï ®â ¯à®¨§¢®«ì­®£® í«¥¬¥­â x ∈ X ¤® ¬­®¦¥á⢠A ¢¨¤ ρ(x, A) = inf ρ(x, a). ’®£¤ ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î â®ç­®© ­¨¦­¥© £à ­¨a∈Aç¨á«®¢®© ä㭪樨 ¤«ï «î¡ëå ­®¬¥à®¢ n ¨ m áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥­âan,m ∈ A, â ª®©, çâ® ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ρ(zn , an,m ) ≤ ρ(zn , A) +1.m áᬮâਬ ­¥ ¡®«¥¥ 祬 áçñâ­®¥ ¬­®¦¥á⢮ B = {an,m }∞n,m=1 ⊂⊂ A.

®ª ¦¥¬, çâ® ¬­®¦¥á⢮ B ï¥âáï ¢áî¤ã ¯«®â­ë¬ ¢ A. ’ ªª ª ¬­®¦¥á⢮ S ¢áî¤ã ¯«®â­® ¢ X , ¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥­â a ∈ A¨ ç¨á« ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à n, â ª®©, çâ® á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ ρ(a, zn ) ≤ ε. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ρ(zn , A) ≤ ρ(zn , a) ≤ ε.  áᬮâਬ ­®¬¥à m ¢¨¤ m1 ≤ ε. ’®£¤ ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢠ρ(zn , an,m ) ≤1≤ 2ε. Žâáî¤ ¢ ᨫ㠭¥à ¢¥­á⢠âà¥ã£®«ì­¨ª ­ å®≤ ρ(zn , A) + m¤¨¬ρ(a, an,m ) ≤ ρ(a, zn ) + ρ(zn , an,m ) ≤ 3ε.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¬­®¦¥á⢮ B ⊂ A ï¥âáï ¢áî¤ã ¯«®â­ë¬ ¢ A. ®ª ¦¥¬, çâ® ¬­®¦¥á⢮ B ï¥âáï áçñâ­ë¬.

’ ª ª ª B ­¥ ¡®«¥¥ 祬áçñâ­®, â® ¤®áâ â®ç­® ¯®ª § âì ¡¥áª®­¥ç­®áâì ¬­®¦¥á⢠B . à¥¤¯®«®¦¨¬, à áá㦤 ï ® ¯à®â¨¢­®£®, çâ® ¬­®¦¥á⢮ B ª®­¥ç­®. ®áª®«ìªã B ¢áî¤ã ¯«®â­® ¢ A, â® ¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥­â a ∈ A ¨¬¥¥¬39à ¢¥­á⢮ ρ(a, B) = inf ρ(a, b) = 0. ’ ª ª ª ¯® ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨î ¬­®b∈B¦¥á⢮ B ª®­¥ç­®, â® ­¨¦­ïï £à ­ì ¢ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ ¢¥«¨ç¨­ë ρ(a, B)¤®á⨣ ¥âáï, â. ¥. áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥­â ba ∈ B , â ª®©, çâ® ρ(a, B) == ρ(a, ba ) = 0. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮ a = ba ∈ B . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥ A ⊂ B . Ž¡à â­®¥ ¢ª«î祭¨¥B ⊂ A ¢ë¯®«­¥­® ¯® ¯®áâ஥­¨î ¬­®¦¥á⢠B . ®í⮬㠨¬¥¥â ¬¥áâ® à ¢¥­á⢮ A = B .

® íâ® ­¥¢®§¬®¦­®, â ª ª ª ¬­®¦¥á⢮ A ¯®ãá«®¢¨î ¡¥áª®­¥ç­®, B ¯® ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨î ª®­¥ç­®. ®«ã祭­®¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¤®ª §ë¢ ¥â ¡¥áª®­¥ç­®áâì ­¥ ¡®«¥¥ 祬 áçñâ­®£® ¬­®¦¥á⢠B . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, B ï¥âáï áçñâ­ë¬, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.1.4. ®«­ë¥ ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà ­á⢠Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 1.4.1. ®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 í«¥¬¥­-⮢ ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠(X, ρ) ­ §ë¢ ¥âáï äã­¤ ¬¥­â «ì­®©(¨«¨ ρ-äã­¤ ¬¥­â «ì­®©), ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥àN = N (ε), â ª®©, çâ® ¤«ï «î¡ëå n > N ¨ m > N ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ ρ(xn , xm ) < ε.‡ ¬¥â¨¬, çâ® á室ïé ïáï ¢ ¬¥âà¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà ­á⢥ (X, ρ) ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 ª í«¥¬¥­âã x ∈ X ï¥âáï äã­¤ ¬¥­â «ìτ­®©.

„¥©á⢨⥫쭮, ãá«®¢¨¥ xn → x ¯à¨ n → ∞ ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 1.2.3 ®§­ ç ¥â, çâ® ¤«ï «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à M (ε),â ª®©, çâ® ¤«ï «î¡®£® n > M (ε) ¢ë¯®«­¥­®­¥à ¢¥­á⢮ ρ(xn , x) <¡ ¢< ε. Ž¯à¥¤¥«¨¬ ­®¬¥à N (ε) = M 2ε . ’®£¤ ¤«ï «î¡ëå n > N (ε) ¨m > N (ε), ¯®«ì§ãïáì ­¥à ¢¥­á⢮¬ âà¥ã£®«ì­¨ª , ­ 室¨¬ρρ(xn , xm ) ≤ ρ(xn , x) + ρ(xm , x) <ε2+ε2= ε.‡ ¬¥â¨¬ â ª¦¥, çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 ¨§ ¬¥âà¨ç¥áª®£®¯à®áâà ­á⢠(X, ρ) ¬®¦¥â á室¨âìáï ⮫쪮 ª ®¤­®¬ã ¯à¥¤¥«ã.

„¥©á⢨⥫쭮, ¥á«¨ ¤«ï í«¥¬¥­â®¢ y ∈ X ¨ z ∈ X ¢ë¯®«­¥­ë ãá«®¢¨ïττxn → y ¨ xn → z ¯à¨ n → ∞, â®, ¯®«ì§ãïáì ­¥à ¢¥­á⢮¬ âà¥ã£®«ì­¨ª , ¯®«ãç ¥¬ 0 ≤ ρ(y, z) ≤ ρ(xn , y) + ρ(xn , z) → 0 ¯à¨ n → ∞.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ρ(y, z) = 0, ¨ ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 1.2.1 ¯®«ãç ¥¬ y = z .ρρŽ ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 1.4.2. Œ¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (X, ρ) ­ §ë¢ ¥âáï ¯®«­ë¬, ¥á«¨ «î¡ ï äã­¤ ¬¥­â «ì­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ쨧 (X, ρ) ï¥âáï á室ï饩áï.40‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 1.4.1. ®«­®â ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠ï¥âáï ᢮©á⢮¬ ¬¥âਪ¨, ­® ­¥ ¬¥âà¨ç¥áª®© ⮯®«®£¨¨.

à¨¢¥¤ñ¬¯à¨¬¥à ¬­®¦¥á⢠X ¨ ¤¢ãå ¬¥âਪ ρ ¨ d ¢ ­ñ¬, â ª¨å, çâ® ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (X, ρ) ï¥âáï ¯®«­ë¬, ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮(X, d) ­¥ ï¥âáï ¯®«­ë¬, ®¤­ ª® ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ⮯®«®£¨¨ τρ ¨ τd ᮢ¯ ¤ îâ, â. ¥. τρ = τd . ãáâì ¬­®¦¥á⢮ X = R | ¢¥é¥á⢥­­ ï ®áì,ρ(x, y) = |x − y|, d(x, y) = |ex − ey |. Œ¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (R, ρ)ï¥âáï ¯®«­ë¬ ¢ ᨫ㠪à¨â¥à¨ï Š®è¨ á室¨¬®á⨠ç¨á«®¢®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨. ®ª ¦¥¬, çâ® ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (R, d) ­¥ï¢«ï¥âáï ¯®«­ë¬.  ác¬®âਬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì xn = −n.

®ª ¦¥¬, çâ® ®­ ï¥âáï d-äã­¤ ¬¥­â «ì­®©. „¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® ε > 0 ¨ «î¡ëå n > ln 1ε ¨ m > n ¨¬¥¥¬ d(xn , xm ) = |e−n −e−m | << e−n < ε, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì. ’¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì xn == −n ­¥ ï¥âáï á室ï饩áï ¢ ¬¥âà¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà ­á⢥ (R, d), â ªª ª ¤«ï «î¡®£® x ∈ R ¨¬¥¥¬ n→∞lim ρ(xn , x) = lim |e−n − ex | = ex > 0.n→∞®ª ¦¥¬ ⥯¥àì, çâ® á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ ¬¥âà¨ç¥áª¨å ⮯®«®£¨© τρ = τd . ãáâì ¬­®¦¥á⢮ G ⊂ R ï¥âáï ρ-®âªàëâë¬, â.

¥.G ∈ τρ .  ¤® ¯®ª § âì, çâ® G ∈ τd , â. ¥. ¯® ã⢥ত¥­¨î 1.2.2 ¤«ï«î¡®£® x ∈ G ­ ¤«¥¦¨â 㪠§ âì ç¨á«® R = R(x) > 0, â ª®¥, çâ® ¤«ï«î¡®£® y ∈ R ¢¨¤ d(x, y) < R ¡ã¤¥â ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ y ∈ G.’ ª ª ª G ∈ τρ , â® ¤«ï x ∈ G áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® r = r(x) > 0, â ª®¥,çâ® ¤«ï «î¡®£® y ∈ R ¢¨¤ ρ(x, y) < r ¨¬¥¥¬ y ∈ G. ’ ª ª ª äã­ªæ¨ï­ âãà «ì­®£® «®£ à¨ä¬ ­¥¯à¥à뢭 ¢ â®çª¥ ex > 0, â® áãé¥áâ¢ã¥âδ = δ(x) > 0, â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® z ∈ R ¢¨¤ |z − ex | < δ ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ | ln z − ln ex | < r. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® ç¨á« y¢¨¤ |ey − ex | < δ á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ | ln ey − ln ex | = |y − x| << r, â.

¥. y ∈ G. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ç¨á«® R(x) = δ(x) ï¥âáï ¨áª®¬ë¬.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¬­®¦¥á⢮ G ï¥âáï d-®âªàëâë¬. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,¤®ª § ­® ¢ª«î祭¨¥ τρ ⊂ τd .Ž¡à â­®, ¯ãáâì ¬­®¦¥á⢮ G ∈ τd . ’ॡã¥âáï ¤«ï «î¡®£® x ∈ G­ ©â¨ ç¨á«® r = r(x) > 0, â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® y ∈ R ¢¨¤ ρ(x, y) << r ¡ã¤¥â ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ y ∈ G. ’ ª ª ª ¬­®¦¥á⢮ G ∈ τd , ⮤«ï x ∈ G áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® R = R(x) > 0, â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® y ∈R ¢¨¤ d(x, y) < R ¨¬¥¥¬ y ∈ G. ’ ª ª ª íªá¯®­¥­æ¨ «ì­ ï äã­ªæ¨ï­¥¯à¥à뢭 ¢ â®çª¥ x, â® áãé¥áâ¢ã¥â δ = δ(x) > 0, â ª®¥, çâ® ¤«ï«î¡®£® y ∈ R ¢¨¤ |y − x| < δ ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ |ey − ex | < R, §­ ç¨â, y ∈ G.

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ç¨á«® r(x) = δ(x) ï¥âáï ¨áª®¬ë¬.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¬­®¦¥á⢮ G ï¥âáï ρ-®âªàëâë¬. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,¤®ª § ­® ¢ª«î祭¨¥ τd ⊂ τρ .41“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 1.4.1. ãáâì (X, ρ) | ¯®«­®¥ ¬¥âà¨ç¥áª®¥¯à®áâà ­á⢮, ¬­®¦¥á⢮ S ⊂ X . ’®£¤ ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮(S, ρ) ï¥âáï ¯®«­ë¬ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¬­®¦¥á⢮ Sï¥âáï § ¬ª­ãâë¬ ¢ ¬¥âà¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà ­á⢥ (X, ρ).„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ãáâì ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (S, ρ)ï¥âáï ¯®«­ë¬.  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ãî ᥪ¢¥­æ¨ «ì­ãî â®çªã ¯à¨ª®á­®¢¥­¨ï z ∈ X ¬­®¦¥á⢠S .

’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 ⊂ S , â ª ï, çâ® ρ(xn , z) → 0 ¯à¨ n → ∞. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }n=1 ï¥âáï äã­¤ ¬¥­â «ì­®©¢ ¬¥âà¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà ­á⢥ (S, ρ). ’®£¤ ¢ ᨫ㠯®«­®âë (S, ρ) áãé¥áâ¢ã¥â x ∈ S , â ª®©, çâ® ρ(xn , z) → 0 ¯à¨ n → ∞. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮,ρ(x, z) ≤ ρ(xn , x) + ρ(xn , z) → 0 ¯à¨ n → ∞, â. ¥. ρ(x, z) = 0. â®®§­ ç ¥â à ¢¥­á⢮ x = z ∈ S . ˆâ ª, ¬­®¦¥á⢮ S ï¥âáï ᥪ¢¥­æ¨ «ì­® § ¬ª­ãâë¬ ¢ (X, ρ), ¯® á«¥¤á⢨î 1.2.1 ï¥âáï § ¬ª­ãâë¬. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨ ¤®ª § ⥫ìá⢥ § ¬ª­ãâ®á⨠¬­®¦¥á⢠S ¨á¯®«ì§®¢ « áì ¯®«­®â (S, ρ), ­¥ (X, ρ).ãáâì ⥯¥àì ¬­®¦¥á⢮ S ï¥âáï § ¬ª­ãâë¬ ¢ ¯®«­®¬ ¬¥âà¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà ­á⢥ (X, ρ).

 áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ãî äã­¤ ¬¥­â «ì­ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 ⊂ S . ’®£¤ íâ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¡ã¤¥â äã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¨ ¢ (X, ρ). ‚ ᨫ㠯®«­®âë ¯à®áâà ­á⢠(X, ρ) áãé¥áâ¢ã¥â x ∈ X , â ª®©, çâ® ρ(xn , x) → 0 ¯à¨ n → ∞.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, x ï¥âáï ᥪ¢¥­æ¨ «ì­®© â®çª®© ¯à¨ª®á­®¢¥­¨ï¬­®¦¥á⢠S . ‚ ᨫ㠧 ¬ª­ãâ®á⨠S ¯®«ãç ¥¬, çâ® x ∈ S . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, «î¡ ï äã­¤ ¬¥­â «ì­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¨§ S á室¨âáïª í«¥¬¥­âã S , â. ¥. (S, ρ) ï¥âáï ¯®«­ë¬ ¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ¯à®áâà ­á⢮¬. à ¨ ¬ ¥ à 1.4.1. à¨¢¥¤ñ¬ ¯à¨¬¥à ­¥¯®«­®£® ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠¨ ¥£® § ¬ª­ã⮣® ¯®¤¬­®¦¥á⢠, ­¥ ïî饣®áï ¯®«­ë¬¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ¯à®áâà ­á⢮¬.

„«ï í⮣® à áᬮâਬ ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (R, d), £¤¥ ¬¥âਪ d(x, y) = |ex − ey | (á¬. § ¬¥ç ­¨¥ 1.4.1).Š ª ¯®ª § ­® ¢ § ¬¥ç ­¨¨ 1.4.1, ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (R, d) ­¥ï¢«ï¥âáï ¯®«­ë¬. …£® ¯®¤¬­®¦¥á⢮ S = (−∞, 0] á ¬¥âਪ®© d â ª¦¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ­¥¯®«­®¥ ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮, â ª ª ªd-äã­¤ ¬¥­â «ì­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì xn = −n ᮤ¥à¦¨âáï ¢ S¨ ­¥ ï¥âáï á室ï饩áï (á¬. § ¬¥ç ­¨¥ 1.4.1). ’¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥ ¬­®¦¥á⢮ S ï¥âáï τd -§ ¬ª­ãâë¬. „¥©á⢨⥫쭮, å®à®è® ¨§¢¥áâ­®,çâ® ¤«ï ®¡ëç­®© ¬¥âਪ¨ ρ(x, y) = |x − y| ¢ R ¬­®¦¥á⢮ S ï¥âáï τρ -§ ¬ª­ãâë¬, â ª ª ª ¥£® ¤®¯®«­¥­¨¥ S c = (0, +∞) ï¥âáï42τρ -®âªàëâë¬.

®, ª ª ¯®ª § ­® ¢ § ¬¥ç ­¨¨ 1.4.1, τd = τρ . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, S c ï¥âáï ¨ τd -®âªàëâë¬, §­ ç¨â, á ¬® ¬­®¦¥á⢮ S ï¥âáï τd -§ ¬ª­ãâë¬.Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 1.4.3. ãáâì (X, ρ) | ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮. ‡ ¬ª­ãâë¬ è ஬ á 業â஬ ¢ â®çª¥ x ∈ X à ¤¨ãá R > 0­ §ë¢ ¥âáï ¬­®¦¥á⢮nBR (x) =¯o¯y ∈ X ¯ ρ(x, y) ≤ R .‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 1.4.2. ‚ ¬¥âà¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà ­á⢥ (X, ρ) ¤«ï«î¡®£® x ∈ X ¨ ç¨á« R > 0 ¬­®¦¥á⢮ BR (x) ï¥âáï τρ -§ ¬ª­ãâë¬.

Характеристики

Список файлов лекций