Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â M ∈ N27¨ ¤«ï «î¡®£®â ª¨¥, çâ®áãé¥áâ¢ãîâm ∈ 1, MM\y∈zm ∈ X , tm ∈ [0, 1]¨εm > 0,V (zm , tm , εm ) ⊂ U (y).m=1®áâந¬ \¯¨«®®®¡à §­ãî" äã­ªæ¨î x ∈ S , ¯®à®¦¤ î饥 à §¡¨¥­¨¥ ª®â®à®© ᮤ¥à¦¨â ¢á¥ â®çª¨ tm , m ∈ 1, M . ’®£¤ x(tm ) = 0 == y(tm ) ¤«ï ¢á¥å m ∈ 1, M . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥M\x∈V (zm , tm , εm ) ⊂ U (y).m=1’ ª¨¬ ®¡à §®¬ ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 1.1.4 y ∈ [S]τ . ’¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥ y­¥ ï¥âáï ¯®â®ç¥ç­ë¬ ¯à¥¤¥«®¬ ­¨ª ª®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¨§S , â. ¥.

­¨ ®¤­ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¨§ S ­¥ á室¨âáï ª y ¯® ⮯®«®£¨¨ τ . „¥©á⢨⥫쭮, ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, à áá㦤 ï ®â ¯à®â¨¢­®£®, çâ®τáãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 ⊂ S , â ª ï, çâ® xn → y ¯à¨n → ∞, â. ¥. xn (t) → y(t) ¯à¨ n → ∞ ¯à¨ ¢á¥å t ∈ [0, 1]. ’®£¤ , â ªª ª ä㭪樨 xn ­¥¯à¥àë¢­ë ­ ®â१ª¥ [0, 1] ¨ à ¢­®¬¥à­® ®£à ­¨ç¥­ë (0 ≤ xn (t) ≤ 1 ¯à¨ ¢á¥å t ∈ [0, 1] ¨ n ∈ N), â® ¯® ⥮६¥ ‹¥¡¥£ ®¡ ®£à ­¨ç¥­­®© á室¨¬®á⨠(á¬. ⥮६ã 6 ¨§ [1, £«. V, § 5, á. 302])¯®«ãç ¥¬, çâ®12=R1n→∞xn (t) dt →0R1y(t) dt = 0,0â.

¥. ¯®«ã稫¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, y 6∈ [S]ᥪ¢. , çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.1.2. Œ¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà ­á⢠Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 1.2.1. ãáâì X | ­¥ª®â®à®¥ ¬­®¦¥á⢮. ”ã­ªæ¨ï ρ: X × X → R ­ §ë¢ ¥âáï ¬¥âਪ®© ¢ ¬­®¦¥á⢥ X , ¥á«¨ ¢ë¯®«­¥­ë á«¥¤ãî騥 ᢮©á⢠:1) ρ(x, y) ≥ 0 ¤«ï ¢á¥å x ∈ X ¨ y ∈ X , ¯à¨çñ¬ ρ(x, y) = 0 ⮣¤ ¨â®«ìª® ⮣¤ , ª®£¤ x = y;2) ρ(x, y) = ρ(y, x) ¤«ï ¢á¥å x ∈ X ¨ y ∈ X ;3) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(y, z) ¤«ï ¢á¥å x ∈ X , y ∈ X , z ∈ X .Œ­®¦¥á⢮ X á ¢¢¥¤ñ­­®© ¢ ­ñ¬ ¬¥âਪ®© ρ ­ §ë¢ ¥âáï ¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ¯à®áâà ­á⢮¬ (X, ρ).28Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 1.2.2.

ãáâì (X, ρ) | ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮. Žâªàëâë¬ è ஬ á 業â஬ ¢ â®çª¥ x ∈ X à ¤¨ãá R > 0­ §ë¢ ¥âáï ¬­®¦¥á⢮nOR (x) =¯o¯y ∈ X ¯ ρ(x, y) < R .“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 1.2.1. ãáâì (X, ρ) | ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮. ãáâì βρ | ᥬ¥©á⢮ ¢á¥å ®âªàëâëå è ஢ ¬­®¦¥á⢠X ,â. ¥.¯noβρ =’®£¤ ᥬ¥©á⢮¢¥ X .βρ¯OR (x) ¯ x ∈ X,R>0.ï¥âáï ¡ §®© ­¥ª®â®à®© ⮯®«®£¨¨ ¢ ¬­®¦¥áâ-„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. à®¢¥à¨¬ ¤«ï ᥬ¥©á⢠βρ ãá«®¢¨ï ¨¡ ã⢥ত¥­¨ï 1.1.9.

„«ï «î¡®£® x ∈ X ¨ ç¨á« R > 0 ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ x ∈ OR (x). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ãá«®¢¨¥ ¢ë¯®«­¥­®. „«ï¯à®¨§¢®«ì­ëå â®ç¥ª x1 ∈ X , x2 ∈ X ¨ ç¨á¥« R1 > 0 ¨ R2 > 0 à áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ë© í«¥¬¥­â x ∈ OR (x1 ) ∩ OR (x2 ). ®ª ¦¥¬,çâ® áãé¥áâ¢ã¥ânR > 0, â ª®¥, çâ® OR (x) ⊂ OoR (x1 ) ∩ OR (x2 ). Ž¯à¥¤¥«¨¬ R = min R1 − ρ(x1 , x) , R2 − ρ(x2 , x) > 0. ’®£¤ ¤«ï «î¡®£®y ∈ OR (x) ¯®«ãç ¥¬ ρ(xk , y) ≤ ρ(xk , x) + ρ(x, y) < ρ(xk , x) + R ≤ Rk ,â. ¥. y ∈ OR (xk ) ¤«ï k = 1, 2, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.

‘«¥¤®¢ ⥫쭮,ãá«®¢¨¥ ¡ ¢ë¯®«­¥­®. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ᥬ¥©á⢮ βρ ¤¥©á⢨⥫쭮ï¥âáï ¡ §®© ­¥ª®â®à®© ⮯®«®£¨¨ ¢ ¬­®¦¥á⢥ X .1212kŽ ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 1.2.3. ãáâì (X, ρ) | ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮. ’®¯®«®£¨ï ¢ ¬­®¦¥á⢥ X , ¡ §®© ¤«ï ª®â®à®© á«ã¦¨â ᥬ¥©á⢮βρ , ­ §ë¢ ¥âáï ¬¥âà¨ç¥áª®© ⮯®«®£¨¥© τρ ¢ ¬­®¦¥á⢥ X .“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 1.2.2. ãáâì (X, ρ) | ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮. ’®£¤ ¬­®¦¥á⢮ G ⊂ X ï¥âáï τρ -®âªàëâë¬ (â. ¥. G ∈ τρ )⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¤«ï «î¡®£® x ∈ G áãé¥áâ¢ã¥â R > 0, â ª®¥, çâ® OR (x) ⊂ G.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

ãáâì ¬­®¦¥á⢮ G ∈ τρ . ’®£¤ ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ¬¥âà¨ç¥áª®© ⮯®«®£¨¨ τρ ¬­®¦¥á⢮ G ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®©­¥ª®â®à®¥ ®¡ê¥¤¨­¥­¨¥ í«¥¬¥­â®¢ ¡ §ë βρ | ®âªàëâëå è ஢. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® x ∈ G áãé¥áâ¢ãîâ z ∈ X ¨ ç¨á«® r > 0, â ª¨¥, çâ® x ∈ Or (z) ⊂ G. Ž¯à¥¤¥«¨¬ ç¨á«® R = r − ρ(z, x) > 0. ’®£¤ 29¤«ï «î¡®£® y ∈ OR (x) ¨¬¥¥¬ ρ(y, z) ≤ ρ(x, z) + ρ(x, y) < ρ(x, z) ++ R = r, â. ¥. y ∈ Or (z).

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, OR (x) ⊂ Or (z) ⊂ G, çâ® ¨âॡ®¢ «®áì.ãáâì ⥯¥àì ¤«ï «î¡®£® x ∈ G áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® Rx > 0, â ª®¥,çâ® OR (x) ⊂ G. ’®£¤ xG=[x∈G{x} ⊂[â. ¥.ORx (x) ⊂ G,G=x∈G[ORx (x).x∈G‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 1.2.3 ¬­®¦¥á⢮¥âáï τρ -®âªàëâë¬.G ∈ τρ ,â. ¥.

ï-“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 1.2.3. ãáâì (X, ρ) | ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮. ’®£¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 ⊂ X á室¨âáï ª í«¥¬¥­τâã x ∈ X ¯à¨ n → ∞ ¯® ¬¥âà¨ç¥áª®© ⮯®«®£¨¨ τρ (â. ¥. xn → x ¯à¨n → ∞) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ρ(xn , x) → 0 ¯à¨ n → ∞.ρτ„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ãáâì xn →x ¯à¨ n → ∞. ’®£¤ ³¤«ï «î´ρ¡®© ®ªà¥áâ­®á⨠U (x) ∈ τρ â®çª¨ x áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à N = N U (x) ,â ª®©, çâ® ¤«ï «î¡®£® n > N ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ xn ∈ U (x).

 áᬮâਬ ¤«ï «î¡®£®ε´ > 0 ®ªà¥áâ­®áâì U (x) = Oε (x) ¨ ®¯à¥¤¥«¨¬³­®¬¥à Nε = N Oε (x) . ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® n > Nε ¢ë¯®«­¥­® xn ∈∈ Oε (x), â. ¥. ρ(x, xn ) < ε. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ρ(xn , x) → 0 ¯à¨ n → ∞.ãáâì ⥯¥àì ρ(xn , x) → 0 ¯à¨ n → ∞, â. ¥.

¤«ï «î¡®£® ε > 0áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à N (ε), â ª®©, çâ® ¤«ï «î¡®£® n > N (ε) ¢ë¯®«­¥­®xn ∈ Oε (x).  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ãî ®ªà¥áâ­®áâì U (x) ∈ τρ â®çª¨x. ‚ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 1.2.2 áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® R > 0, â ª®¥, çâ®OR (x) ⊂ U (x). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® n > N (R) ¯®«ãç ¥¬ xn ∈∈ OR (x) ⊂ U (x), çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 1.2.4. ãáâì (X, ρ) | ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮. ’®£¤ ¬¥âà¨ç¥áª ï ⮯®«®£¨ï τρ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ªá¨®¬¥ áçñâ­®áâ¨.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. Ž¯à¥¤¥«¨¬¤«ïno∞ «î¡®£® í«¥¬¥­â x ∈ Xáçñâ­®¥ ᥬ¥©á⢮ ®ªà¥áâ­®á⥩ O (x). ®ª ¦¥¬, çâ® íâ® á¥n=1¬¥©á⢮ ï¥âáï ®¯à¥¤¥«ïî騬 ¤«ï â®çª¨ x.  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ãî ®ªà¥áâ­®áâì U (x) ∈ τρ â®çª¨ x. ‚ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 1.2.2áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® R > 0, â ª®¥, çâ® OR (x) ⊂ U (x).

‘«¥¤®¢ ⥫쭮,1n30¤«ï «î¡®£® ­®¬¥à n > R1 ¯®«ãç ¥¬ O (x) ⊂ OR (x) ⊂ U (x), çâ® ¨âॡ®¢ «®áì ¤«ï ¯à®¢¥àª¨ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï 1.1.15.1n‘ « ¥ ¤ á â ¢ ¨ ¥ 1.2.1. ‚ ¬¥âà¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà ­á⢥ (X, ρ) ¢á类¥ ᥪ¢¥­æ¨ «ì­® § ¬ª­ã⮥ ¬­®¦¥á⢮ ï¥âáï τρ -§ ¬ª­ãâë¬, ᥪ¢¥­æ¨ «ì­®¥ § ¬ëª ­¨¥ «î¡®£® ¬­®¦¥á⢠ᮢ¯ ¤ ¥â á ¥£® τρ -§ ¬ëª ­¨¥¬, ¨ «î¡®¥ ᥪ¢¥­æ¨ «ì­® ­¥¯à¥à뢭®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ ¨§ (X, ρ)¢ ¯à®¨§¢®«ì­®¥ ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭ë¬â®¯®«®£¨ç¥áª¨.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

‘«¥¤ã¥â ¨§ á«¥¤á⢨© 1.1.1, 1.1.2.‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 1.2.1.  áᬮâਬ ­ ¬­®¦¥á⢥ X ¢á¥å ¢¥é¥á⢥­­®§­ ç­ëå ä㭪権, ®¯à¥¤¥«ñ­­ëå ­ ®â१ª¥ [0, 1], ⮯®«®£¨îτ ¯®â®ç¥ç­®© á室¨¬®áâ¨, ®¯à¥¤¥«ñ­­ãî ¢ ¯à¨¬¥à¥ 1.1.8. ‚ í⮬ ¦¥¯à¨¬¥à¥ ¯®áâ஥­® ¬­®¦¥á⢮ S ⊂ X , â ª®¥, çâ® [S]τ 6= [S]ᥪ¢. . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ⮯®«®£¨ï τ ­¥ ¯®à®¦¤ ¥âáï ¬¥âਪ®©, â.

¥. ­¥ ¬¥âਧ㥬 . ® í⮩ ¦¥ ¯à¨ç¨­¥ ­¥ ¬¥âਧ㥬 ⮯®«®£¨ï τ 00 ­ R, ®¯à¥¤¥«ñ­­ ï ¢ ¯à¨¬¥à¥ 1.1.2, â ª ª ª ¢ ¯à¨¬¥à¥ 1.1.4 ¯à¥¤ê¥­® ᥪ¢¥­æ¨ «ì­® § ¬ª­ã⮥ ¯®¤¬­®¦¥á⢮ ⮯®«®£¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠(R, τ 00 ), ­¥ ïî饥áï τ 00 -§ ¬ª­ãâë¬.‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 1.2.2.  áᬮâਬ ¢ ¯à®¨§¢®«ì­®¬ ¬­®¦¥á⢥ Xᨫ쭥©èãî ⮯®«®£¨î τᨫì­.

, á®áâ®ïéãî ¨§ ¢á¥å ¯®¤¬­®¦¥á⢠¬­®¦¥á⢠X . â ⮯®«®£¨ï ¯®à®¦¤ ¥âáï ¬¥âਪ®© ρ ¢¨¤ ½ρ(x, y) =1, x 6= y,0, x = y.„¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® ¬­®¦¥á⢠G ⊂ X ¨ «î¡®© â®çª¨ x ∈ G¯®«ãç ¥¬ O1 (x) = {x} ⊂ G. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 1.2.2á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥ G ∈ τρ . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, «î¡®¥ ¯®¤¬­®¦¥á⢮¨§ X ï¥âáï τρ -®âªàëâë¬. ®í⮬ã τᨫì­. = τρ . à ¨ ¬ ¥ à 1.2.1.

ãáâì X | ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å ç¨á«®¢ëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩, â. ¥. «î¡®© í«¥¬¥­â x ∈ X ï¥âáï ç¨á«®¢®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâìî ¢¨¤ x = {x(k)}∞k=1 , £¤¥ x(k) ∈ R ¤«ï «î¡®£® k ∈ N.‚¢¥¤ñ¬ ¢ ¬­®¦¥á⢥ X ¬¥âਪã ρ, á室¨¬®áâì ¯® ª®â®à®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠{xn }∞n=1 ⊂ X ª í«¥¬¥­âã y ∈ X à ¢­®á¨«ì­ ¯®â®ç¥ç­®©31á室¨¬®áâ¨, â. ¥. ᢮©á⢮ ρ(xn , y) → 0 ¯à¨ n → ∞ à ¢­®á¨«ì­® ¢ë¯®«­¥­¨î ¤«ï «î¡®£® k ∈ N ᮮ⭮襭¨ï xn (k) → y(k) ¯à¨ n → ∞.Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¬¥âਪ㠭 X á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:ρ(x, y) =∞X2−k |x(k) − y(k)|k=11 + |x(k) − y(k)|∀ x, y ∈ X.®ª ¦¥¬ ¯à¥¦¤¥ ¢á¥£®, çâ® ¤«ï ®¯à¥¤¥«ñ­­®© ä㭪樨 ρ ¢ë¯®«­¥­ë ªá¨®¬ë ¬¥âਪ¨ ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï 1.2.1. “á«®¢¨ï 1 ¨ 2 í⮣® ®¯à¥¤¥«¥­¨ï, ®ç¥¢¨¤­®, ¢ë¯®«­¥­ë.

à®¢¥à¨¬ ãá«®¢¨¥ 3 (­¥à ¢¥­á⢮ âà¥t1㣮«ì­¨ª ). ‡ ¬¥â¨¬, çâ® äã­ªæ¨ï f (t) = 1+t= 1 − 1+t¢®§à áâ ¥â1¯à¨ t ≥ 0, â ª ª ª äã­ªæ¨ï 1+t ã¡ë¢ ¥â ¯à¨ t ≥ 0. ’ ª ª ª ¤«ï«î¡ëå x, y, z ∈ X ¨ «î¡®£® k ∈ N ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ |x(k) −− y(k)| ≤ |x(k) − y(k)| + |y(k) − z(k)|, â® ¯®«ãç ¥¬|x(k) − y(k)||x(k) − y(k)| + |y(k) − z(k)|≤≤1 + |x(k) − y(k)|1 + |x(k) − y(k)| + |y(k) − z(k)||x(k) − y(k)||y(k) − z(k)|≤+.1 + |x(k) − y(k)| 1 + |y(k) − z(k)|„®¬­®¦¨¢ ¯®á«¥¤­¥¥ ­¥à ¢¥­á⢮ ­ 2−k ¨ ¯à®á㬬¨à®¢ ¢ ¯® k ∈ N,¯®«ã稬 âॡ㥬®¥ ­¥à ¢¥­á⢮ âà¥ã£®«ì­¨ª ¤«ï à áᬠâਢ ¥¬®©ä㭪樨 ρ.®ª ¦¥¬, çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 ⊂ X ¯®â®ç¥ç­® á室¨âáï ª y ∈ X ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ n→∞lim ρ(xn , y) = 0. ãáâì¤«ï «î¡®£® k ∈ N ¢ë¯®«­¥­® xn (k) → y(k) ¯à¨ n → ∞.

Ž¯à¥¤¥«¨¬¤«ï «î¡®£® ε > 0 ­®¬¥à M = M (ε), â ª®©, çâ® 2−M < ε. ’®£¤ ¤«ï«î¡ëå x, y ∈ X ¢ë¯®«­¥­®∞Xk=M +12−k |x(k) − y(k)|≤1 + |x(k) − y(k)|∞X2−k = 2−M < ε.k=M +1® ãá«®¢¨î ¯®â®ç¥ç­®© á室¨¬®á⨠¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠xn ª í«¥¬¥­âã y ¤«ï «î¡®£® k ∈ N ¨ «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à N (k, ε), â ª®©, çâ® ¤«ï ¢á¥å n > N (k, ε) ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮|xn (k) − y(k)| <no< ε .

Характеристики

Список файлов лекций