Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

’ ª ª ª(FSα ) ∈ cτ ¤«ï «î¡®£® α ∈ A, Tâ® ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 1.1.1 ¯®«ãç ¥¬Fα § ¬ª­ãâ® ¢ (X, τ ).(Fα ) ∈ τ . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮,α∈Aα∈A¶cµNNSTccFk=(Fk ) . ’ ª ª ª (Fk ) ∈ τ ¤«ï «î¡®£® k ∈„ «¥¥,ck=1k=1∈ 1, N , â® ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 1.1.1 ¯®«ãç ¥¬­®,NSk=1FkNTk=1(Fk ) ∈ τ . ‘«¥¤®¢ ⥫ìc§ ¬ª­ãâ® ¢ (X, τ ).Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 1.1.8. ãáâì (X, τ ) | ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮. ’®çª x ∈ X ­ §ë¢ ¥âáï ᥪ¢¥­æ¨ «ì­®© â®çª®© ¯à¨ª®á­®¢¥­¨ï ¬­®¦¥á⢠S ⊂ X , ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâìτ∞{xn }n=1⊂ S , â ª ï, çâ® xn → x ¯à¨ n → ∞.14Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 1.1.9.

ãáâì (X, τ ) | ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮. Œ­®¦¥á⢮ S ⊂ X ­ §ë¢ ¥âáï ᥪ¢¥­æ¨ «ì­® § ¬ª­ãâë¬,¥á«¨ ®­® ᮤ¥à¦¨â ¢á¥ ᢮¨ ᥪ¢¥­æ¨ «ì­ë¥ â®çª¨ ¯à¨ª®á­®¢¥­¨ï.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 1.1.3. ãáâì (X, τ ) | ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮, ¬­®¦¥á⢮ F ⊂ X ï¥âáï § ¬ª­ãâë¬. ’®£¤ F ï¥âáï ᥪ¢¥­æ¨ «ì­® § ¬ª­ãâë¬.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ãî ᥪ¢¥­æ¨ «ì­ãî â®çªã ¯à¨ª®á­®¢¥­¨ï x ¬­®¦¥á⢠F . ’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥τ¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 ⊂ F , â ª ï, çâ® xn → x ¯à¨ n → ∞.

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®© ®ªà¥áâ­®á⨠U (x) â®çª¨ x áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à N ,â ª®©, çâ® ¤«ï «î¡®£® n > N ¢ë¯®«­¥­® xn ∈ U (x). ’ ª ª ª xn ∈ F¤«ï «î¡®£® n ∈ N, â® ¤«ï «î¡®£® n > N ¢ë¯®«­¥­® xn ∈ U (x)∩F , â. ¥.U (x)∩F 6= ∅. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, x ï¥âáï â®çª®© ¯à¨ª®á­®¢¥­¨ï ¬­®¦¥á⢠F , ¨ ¯® ã⢥ত¥­¨î 1.1.1 ¢ ᨫ㠧 ¬ª­ãâ®á⨠F ¯®«ãç ¥¬x ∈ F . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, «î¡ ï ᥪ¢¥­æ¨ «ì­ ï â®çª ¯à¨ª®á­®¢¥­¨ïF ¯à¨­ ¤«¥¦¨â F , â.

¥. F ï¥âáï ᥪ¢¥­æ¨ «ì­® § ¬ª­ãâë¬. à ¨ ¬ ¥ à 1.1.4. à¨¢¥¤ñ¬ ¯à¨¬¥à ⮯®«®£¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠¨ ¥£® ᥪ¢¥­æ¨ «ì­® § ¬ª­ã⮣® ¯®¤¬­®¦¥á⢠, ª®â®à®¥ ­¥ ï¥âáï § ¬ª­ãâë¬.  áᬮâਬ ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (R, τ 00 )(á¬. ¯à¨¬¥à 1.1.2) ¨ ¬­®¦¥á⢮ S = [0, 1] ⊂ R | ®â१®ª ¢¥é¥á⢥­­®© ®á¨ á ª®­æ ¬¨ ¢ ­ã«¥ ¨ ¥¤¨­¨æ¥. Œ­®¦¥á⢮ S ­¥ ï¥âáï§ ¬ª­ãâë¬ ¢ (R, τ 00 ), â ª ª ª ®­® ¡®«¥¥ 祬 áçñâ­®, â.

¥. ¥£® ¤®¯®«­¥­¨¥ S c = R\S ®â«¨ç ¥âáï ®â R ­ ¡®«¥¥ 祬 áçñâ­®¥ ¬­®¦¥á⢮ S , ¨¯®í⮬ã S c 6∈ τ 00 . ’¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥ ¬­®¦¥á⢮ S ï¥âáï ᥪ¢¥­æ¨ «ì­®§ ¬ª­ãâë¬ ¢ (R, τ 00 ). „¥©á⢨⥫쭮, ¢®§ì¬ñ¬ ¯à®¨§¢®«ì­ãî ᥪ¢¥­æ¨ «ì­ãî â®çªã ¯à¨ª®á­®¢¥­¨ï x ¬­®¦¥á⢠S .

’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥âτ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 ⊂ S , â ª ï, çâ® xn → x. Š ª ¯®ª § ­®¢ ¯à¨¬¥à¥ 1.1.3, áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à N , â ª®©, çâ® ¤«ï «î¡®£® n > N¢ë¯®«­¥­® xn = x. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, x ∈ S , çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.00Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 1.1.10. ãáâì (X, τ ) | ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮. ‡ ¬ëª ­¨¥¬ ¬­®¦¥á⢠S ⊂ X (ª®â®à®¥ ¡ã¤¥¬ ®¡®§­ ç âì[S]τ ) ­ §ë¢ ¥âáï ¯¥à¥á¥ç¥­¨¥T ¢á¥å § ¬ª­ãâëå ¬­®¦¥á⢠¨§ X , ᮤ¥àF.¦ é¨å S , â.

¥. [S]τ ={ F : FS⊂Fc ∈τ }15“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 1.1.4. ãáâì (X, τ ) | ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮, ¬­®¦¥á⢮ S ⊂ X . ’®£¤ § ¬ëª ­¨¥ ¬­®¦¥á⢠S ᮢ¯ ¤ ¥âá ¬­®¦¥á⢮¬S , â. ¥. [S]τ =¯ ¢á¥å â®ç¥ª ¯à¨ª®á­®¢¥­¨ï ¬­®¦¥á⢠no¯= x ∈ X ¯ ∀ U (x) ∈ τ ¢ë¯®«­¥­® U (x) ∩ S 6= ∅ .„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ãáâì x ∈ [S]τ . à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® x­¥ ï¥âáï â®çª®© ¯à¨ª®á­®¢¥­¨ï ¬­®¦¥á⢠S , â.

¥. áãé¥áâ¢ã¥â®ªà¥áâ­®áâì³´cU (x) â®çª¨ x, â ª ï, çâ® U (x) ∩ S = ∅. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮,S ⊂ U (x) . ’ ª ª ª ¬­®¦¥á⢮ U (x) ®âªàëâ®, â® ¥£® ¤®¯®«­¥­¨¥³´cU (x)¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ï¥âáï § ¬ª­ãâë¬. ’ ª ª ª x ¯à¨­ ¤«¥¦¨â³§ ¬ëª ­¨îS , â® ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 1.1.10 ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥´cx ∈ U (x) . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, x «¥¦¨â ª ª ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠U (x), â ª ¨¢ ¥ñ ¤®¯®«­¥­¨¨, 祣® ¡ëâì ­¥ ¬®¦¥â. ®«ã祭­®¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¤®ª §ë¢ ¥â, çâ® § ¬ëª ­¨¥ ¬­®¦¥á⢠S ᮤ¥à¦¨âáï ¢ ¬­®¦¥á⢥ ¢á¥åâ®ç¥ª ¯à¨ª®á­®¢¥­¨ï ¬­®¦¥á⢠S . áᬮâਬ ⥯¥àì ¯à®¨§¢®«ì­ãî â®çªã ¯à¨ª®á­®¢¥­¨ï x ¬­®¦¥á⢠S . à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® x 6∈ [S]τ .

’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â § ¬ª­ã⮥¬­®¦¥á⢮ F ⊃ S , â ª®¥, çâ® x 6∈ F . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, x ∈ F c , F c ∈ τ¢ ᨫ㠧 ¬ª­ãâ®á⨠F . ®í⮬ã F c ï¥âáï ®ªà¥áâ­®áâìî â®çª¨ x.® «î¡ ï ®ªà¥áâ­®áâì â®çª¨ x ª ª â®çª¨ ¯à¨ª®á­®¢¥­¨ï ¬­®¦¥á⢠S ¤®«¦­ ¯¥à¥á¥ª âìáï á S ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 1.1.7. Ž¤­ ª® S ∩ F c ⊂⊂ F ∩ F c = ∅, â. ¥. S ­¥ ¯¥à¥á¥ª ¥âáï á F c .

®«ã祭­®¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥¤®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å â®ç¥ª ¯à¨ª®á­®¢¥­¨ï ¬­®¦¥á⢠Sᮤ¥à¦¨âáï ¢ § ¬ëª ­¨¨ ¬­®¦¥á⢠S .Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 1.1.11. ãáâì (X, τ ) | ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮, ¬­®¦¥á⢮ S ⊂ X . ‘¥ª¢¥­æ¨ «ì­ë¬ § ¬ëª ­¨¥¬ ¬­®¦¥á⢠S ⊂ X (ª®â®à®¥ ¡ã¤¥¬ ®¡®§­ ç âì [S]ᥪ¢. ) ­ §ë¢ ¥âáï ¬­®¦¥á⢮¢á¥å ᥪ¢¥­æ¨ «ì­ëå â®ç¥ª ¯à¨ª®á­®¢¥­¨ï ¬­®¦¥á⢠S , â. ¥.n[S]ᥪ¢. =¯oτ¯x ∈ X ¯ ∃ {xn }∞⊂S:x→x¯à¨n→∞.nn=1“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 1.1.5. ãáâì (X, τ ) | ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮, ¬­®¦¥á⢮ S ⊂ X . ’®£¤ [S]ᥪ¢. ⊂ [S]τ .„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

ãáâì â®çª x ∈ [S]ᥪ¢. . ’®£¤ áãé¥áâ¢ã-τ¥â {xn }∞n=1 ⊂ S , â ª ï, çâ® xn → x ¯à¨ n → ∞. ®ª ¦¥¬, çâ® x ï¥âáï â®çª®© ¯à¨ª®á­®¢¥­¨ï ¬­®¦¥á⢠S .  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ãî16®ªà¥áâ­®áâì U (x) â®çª¨ x. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à N , â ª®©, çâ® ¤«ï «î¡®£® n > N ¢ë¯®«­¥­® xn ∈ U (x). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮,¤«ï «î¡®£® n > N ¯®«ãç ¥¬ xn ∈ U (x) ∩ S , â. ¥. U (x) ∩ S 6= ∅. ’ ª¨¬®¡à §®¬, â®çª x ï¥âáï â®çª®© ¯à¨ª®á­®¢¥­¨ï ¬­®¦¥á⢠S , ¨ ¯®ã⢥ত¥­¨î 1.1.4 ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ x ∈ [S]τ . à ¨ ¬ ¥ à 1.1.5. ®ª ¦¥¬ ­ ¯à¨¬¥à¥, çâ® § ¬ëª ­¨¥ ¬­®¦¥á⢠¢ ⮯®«®£¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà ­á⢥ ¬®¦¥â ­¥ ᮢ¯ ¤ âì á ¥£® ᥪ¢¥­æ¨ «ì­ë¬ § ¬ëª ­¨¥¬.  áᬮâਬ ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (R, τ 00 ) (á¬.

¯à¨¬¥à 1.1.2). ‚ ¯à¨¬¥à¥ 1.1.4 ¯®ª § ­®, çâ® ¬­®¦¥á⢮ S = [0, 1] ⊂ R ï¥âáï ᥪ¢¥­æ¨ «ì­® § ¬ª­ãâë¬ ¨ ­¥ ï¥âáï§ ¬ª­ãâë¬. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, S = [S]ᥪ¢. 6= [S]τ .  ©¤¥¬ § ¬ëª ­¨¥¬­®¦¥á⢠S . ® ®¯à¥¤¥«¥­¨î τ 00 «î¡®¥ ­¥¯ãá⮥ § ¬ª­ã⮥ ¬­®¦¥á⢮ ¨§ (R, τ 00 ), ­¥ ᮢ¯ ¤ î饥 á R, ï¥âáï ­¥ ¡®«¥¥ 祬 áçñâ­ë¬.

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ®­® ­¥ ¬®¦¥â ᮤ¥à¦ âì ­¥áçñâ­®¥ ¬­®¦¥á⢮S . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥¤¨­á⢥­­ë¬ § ¬ª­ãâë¬ ¬­®¦¥á⢮¬ ¨§ (R, τ 00 ),ᮤ¥à¦ 騬 S , ï¥âáï R. ®í⮬ã [S]τ = R.0000Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 1.1.12. ãáâì (X1 , τ1 ) ¨ (X2 , τ2 ) | ⮯®«®£¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà ­á⢠. Žâ®¡à ¦¥­¨¥ f : X1 → X2 ­ §ë¢ ¥âáï³ ­¥¯à¥´à뢭ë¬, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® x0 ∈ X1 ¨ «î¡®© ®ªà¥áâ­®á⨠U f (x0 ) ∈∈ τ2 â®çª¨ f (x0 ) áãé¥áâ¢ã¥â ®ªà¥áâ­®áâì V (x0 ) ∈ τ1 ³â®çª¨ ´x0 , â ª ï, çâ® ¤«ï «î¡®£® x ∈ V (x0 ) ¢ë¯®«­¥­® f (x) ∈ U f (x0 ) , â. ¥.®¡à § ®ªà¥áâ­®áâ¨V (x0 )³´³´f V (x0 ) ⊂ U f (x0 ) .¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬fᮤ¥à¦¨âáï ¢³´U f (x0 ) :Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 1.1.13.

ãáâì X1 ¨ X2 | ¬­®¦¥á⢠, ®â®¡à ¦¥­¨¥ f : X1 → X2 . à®®¡à §®¬ ¯à®¨§¢®«ì­®£® ¬­®¦¥á⢠S ⊂⊂nX2 ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬®â®¡à ¦¥­¨ïf ­ §ë¢ ¥âáï ¬­®¦¥á⢮ f −1 (S) =¯o¯= x ∈ X1 ¯ f (x) ∈ S .“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 1.1.6. ãáâì (X1 , τ1 ) ¨ (X2 , τ2 ) | ⮯®«®£¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà ­á⢠, ®â®¡à ¦¥­¨¥ f : X1 → X2 . ’®£¤ á«¥¤ãî騥᢮©áâ¢ íª¢¨¢ «¥­â­ë:1) f ï¥âáï ­¥¯à¥àë¢­ë¬ ®â®¡à ¦¥­¨¥¬;2) ¤«ï «î¡®£® τ2 -®âªàë⮣® ¬­®¦¥á⢠G ⊂ X2 ¥£® ¯à®®¡à §f −1 (G) ï¥âáï τ1 -®âªàëâë¬;173) ¤«ï «î¡®£® τ2 -§ ¬ª­ã⮣® ¬­®¦¥á⢠ï¥âáï τ1 -§ ¬ª­ãâë¬.f −1 (F )F ⊂ X2¥£® ¯à®®¡à §„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

®ª ¦¥¬, çâ® ãá«®¢¨¥ 1 íª¢¨¢ «¥­â­®ãá«®¢¨î 2. ãáâì ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ 1, â. ¥. f ï¥âáï ­¥¯à¥àë¢­ë¬ ®â®¡à ¦¥­¨¥¬. „«ï «î¡®£® ¬­®¦¥á⢠G ∈ τ2 à áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ãî â®çªã ¥£® ¯à®®¡à § x ∈ f −1 (G). ’ ª ª ª f (x) ∈ G, â®G ï¥âáï ®ªà¥áâ­®áâìî â®çª¨ f (x). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫ㠭¥¯à¥à뢭®á⨠®â®¡à ¦¥­¨ï³´ f áãé¥áâ¢ã¥â ®ªà¥áâ­®áâì U (x) ∈ τ1 â®çª¨x, â ª ï, çâ® f U (x) ⊂ G, â. ¥. ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 1.1.13 ¢ë¯®«­¥­®¢ª«î祭¨¥ U (x) ⊂ f −1 (G). ®«ãç ¥¬[f −1 (G) =x∈f −1 (G)’ ª¨¬ ®¡à §®¬, f −1 (G) =[{x} ⊂U (x) ⊂ f −1 (G).x∈f −1 (G)Sx∈f −1 (G)U (x).‡­ ç¨â, ¯à®®¡à § ¬­®¦¥áâ-¢ G ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ f ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ®¡ê¥¤¨­¥­¨¥ τ1 -®âªàëâë嬭®¦¥áâ¢.

‡­ ç¨â, ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 1.1.1 ¯à®®¡à § f −1 (G) ï¥âáïτ1 -®âªàëâë¬.ãáâì ⥯¥àì ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥2.³´  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ãîâ®çªã x0 ∈ X1 ¨ ®ªà¥áâ­®áâì U f (x0 ) ∈ τ2 ¥ñ ®¡à § ¯®¤ ¤¥©á⢨³ ³´´¥¬ f . ‚ ᨫã ãá«®¢¨ï 2 ¬­®¦¥á⢮ V = f −1 U f (x0 ) ï¥âáïτ1 -®âªàëâë¬ ¨ ᮤ¥à¦¨â â®çªã x0 . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¬­®¦¥á⢮ V ∈∈ τ1 ³ï¢«ï¥âáï´ ®ªà¥áâ­®áâìî â®çª¨ x0 , ¯à¨çñ¬ ¯® ¯®áâ஥­¨î f (V ) ⊂⊂ U f (x0 ) . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ®â®¡à ¦¥­¨¥ f ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭ë¬.®ª ¦¥¬, çâ® ãá«®¢¨ï 2 ¨ 3 íª¢¨¢ «¥­â­ë. à¥¦¤¥ ¢á¥£® § ¬¥â¨¬, çâ® ³¤«ï «î¡®£®´c ¬­®¦¥á⢠S ⊂ X2 á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮−1c−1f (S ) = f (S) .

„¥©á⢨⥫쭮, ¢ª«î祭¨¥ x ∈ f −1 (S c ) à ¢­®á¨«ì­® f (x) 6∈³S , â. ¥.´x 6∈ f −1 (S), çâ® ®§­ ç ¥â á¯à ¢¥¤«¨¢®áâìc¢ª«î祭¨ï x ∈ f −1 (S) . ãáâì ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ 2. ’®£¤ ¤«ï«î¡®£®³τ2 -§ ¬ª­ã⮣®´c¬­®¦¥á⢠F ⊂ X2 ¯®«ãç ¥¬ f −1 (F2 ) == f −1 (F2c ) ∈ τ1 , â ª ª ª ¬­®¦¥á⢮ F2c ∈ τ2 . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¬­®¦¥á⢮ f −1 (F2 ) ï¥âáï τ1 -§ ¬ª­ãâë¬, â. ¥. á¯à ¢¥¤«¨¢® ãá«®¢¨¥ 3.ãáâì ⥯¥àì ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ 3.

Характеристики

Список файлов лекций