Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® n > max N (1, ε), . . . , N (M (ε), ε)¯®«ãç ¥¬M (ε)M (ε)X 2−k |xn (k) − y(k)|Xρ(xn , y) ≤+ε<2−k ε + ε < 2ε.1 + |xn (k) − y(k)|k=1k=132ãáâì ⥯¥àì ρ(xn , y) → 0 ¯à¨ n → ∞. ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ε ∈áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à N = N (ε), â ª®©, çâ® ¤«ï ¢á¥å n > N (ε)¢ë¯®«­¥­® ρ(xn , y) < ε. ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® k ∈ N ¢ë¯®«­¥­®∈ (0, 1)|xn (k) − y(k)|< 2k ε.1 + |xn (k) − y(k)|’®£¤ ¯à¨ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ k ∈ N ¤«ï «î¡®£® n > N­¥à ¢¥­á⢮|xn (k) − y(k)|< ε,1 + |xn (k) − y(k)|â. ¥.¡2−k ε|xn (k) − y(k)| <¢¯®«ãç ¥¬ε,1−εçâ® ®§­ ç ¥â xn (k) → y(k) ¯à¨ n → ∞. à ¨ ¬ ¥ à 1.2.2. à¨¢¥¤ñ¬ ¥éñ ®¤¨­ ¯à¨¬¥à ᥪ¢¥­æ¨ «ì­® ­¥¯à¥à뢭®£® ®â®¡à ¦¥­¨ï, ­¥ ïî饣®áï ­¥¯à¥àë¢­ë¬ â®¯®«®£¨ç¥áª¨.

 áᬮâਬ ¬­®¦¥á⢮ X , á®áâ®ï饥 ¨§ ¢á¥å ­¥¯à¥à뢭ëå­ ®â१ª¥ [0, 1] ä㭪権 á ¢¥é¥á⢥­­ë¬¨ §­ 祭¨ï¬¨, «¥¦ 騬¨­ ®â१ª¥ [0, 1]. ‚¢¥¤¥¬ ¢ X ⮯®«®£¨î τ ¯®â®ç¥ç­®© á室¨¬®áâ¨,®¯¨á ­­ãî ¢ ¯à¨¬¥à¥ 1.1.8. Ž¯à¥¤¥«¨¬ â ª¦¥ ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâ¯R1 ¯à ­á⢮ (X, ρ), £¤¥ ¬¥âਪ ρ(x, y) = ¯x(t) − y(t)¯ dt. ®ª ¦¥¬, çâ®0äã­ªæ¨ï ρ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ªá¨®¬ ¬ ¬¥âਪ¨ ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï 1.2.1.Žç¥¢¨¤­®, çâ® ρ(x, y) ≥ 0 ¨ ρ(x, y) = ρ(y, x) ¤«ï «î¡ëå x, y ∈ X .…᫨ ρ(x, y) = 0 ¨ ¯à¨ í⮬ áãé¥áâ¢ã¥â t0 ∈ [0, 1], â ª®¥, çâ® |x(t0 ) −− y(t0 )| > 0, â® ¢ ᨫ㠭¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪権 x ¨ y ¢ â®çª¥ t0áãé¥áâ¢ã¥â δ ∈ (0, 1), â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® t ∈ [0, 1] ¢¨¤ |t − t0 | ≤ δ)|¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ |x(t) − y(t)| > |x(x )−y(t.

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢2ᨫ㠨§¢¥áâ­ëå ᢮©á⢠¨­â¥£à « ¨¬ ­ ¯®«ãç ¥¬0ρ(x, y) ≥R[t0 −δ,t0 +δ]∩[0,1]0|x(t) − y(t)| ≥ 2δ |x(t0 ) − y(t0 )| > 0,â. ¥. ¯®«ã稫¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥. „ «¥¥ ¤«ï «î¡ëå x, y, z ∈ X ¨ «î¡®£®t ∈ [0, 1] ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ |x(t) − y(t)| ≤ |x(t) − z(t)| + |y(t) −−z(t)|.

ˆ­â¥£à¨àãï íâ® ­¥à ¢¥­á⢮ ¯® t ∈ [0, 1], ¯®«ã稬 ­¥à ¢¥­á⢮âà¥ã£®«ì­¨ª ¤«ï ρ. áᬮâਬ ⮦¤¥á⢥­­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ I: (X, τ ) → (X, ρ), â. ¥.I(x) = x ¤«ï «î¡®£® x ∈ X . ®ª ¦¥¬, çâ® I ᥪ¢¥­æ¨ «ì­® ­¥¯à¥à뢭®. „¥©á⢨⥫쭮, ¯ãáâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 ⊂ X33á室¨âáï ¯®â®ç¥ç­® ª y ∈ X ­ [0, 1]. ’ ª ª ª 0 ≤ xn (t) ≤ 1, â®|xn (t) − y(t)| ≤ 2 ¤«ï «î¡®£® t ∈ [0, 1]. ’ ª¦¥ |xn (t) − y(t)| → 0¯à¨ n → ∞ ¤«ï ¢á¥å t ∈ [0, 1].

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯® ⥮६¥ ‹¥¡¥£ ®¡ ®£à ­¨ç¥­­®© á室¨¬®á⨠(á¬. ⥮६ã 6 ¨§ [1, £«. V, § 5, á. 302])³´¯R1 ¯¯®«ãç ¥¬ ρ I(xn ), I(y) = ¯xn (t) − y(t)¯ dt → 0 ¯à¨ n → ∞. ®ª 0¦¥¬, çâ® I ­¥ ï¥âáï ⮯®«®£¨ç¥áª¨ ­¥¯à¥àë¢­ë¬ ®â®¡à ¦¥­¨¥¬. áᬮâਬ ¬­®¦¥á⢮ S ⊂ X \¯¨«®®¡à §­ëå" ä㭪権, ®¯¨á ­­®¥ ¢ ¯à¨¬¥à¥ 1.1.8. Š ª ¯®ª § ­® ¢ ¯à¨¬¥à¥ 1.1.8, ⮦¤¥á⢥­­®­ã«¥¢ ï ­ [0, 1] äã­ªæ¨ï y0 ï¥âáï â®çª®© ¯à¨ª®á­®¢¥­¨ï ¬­®¦¥á⢠S . ’®£¤ ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¤«ï ε0 = 12 ¨ ¤«ï «î¡®© ®ªà¥áâ­®áâ¨U (y0 ) ∈ τ ä㭪樨 y0 áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥­â x0 ∈ U (y0 ) ∩ S , â ª®©,³´R1çâ® ρ I(x0 ), I(y0 ) = x0 (t) dt = ε0 . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ®â®¡à ¦¥­¨¥ I0à §à뢭® ¢ â®çª¥ y0 , â ª ª ª ®¡à § «î¡®© ®ªà¥áâ­®á⨠U (y0 ) â®çª¨y0 ¢ ⮯®«®£¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà ­á⢥ (X, τ ) ­¥ ᮤ¥à¦¨âáï ¢ ®âªàë⮬è à¥ à ¤¨ãá ε0 á 業â஬ ¢ I(y0 ) = y0 ¢ ¬¥âà¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà ­á⢥(X, ρ).1.3.

‘¥¯ à ¡¥«ì­ë¥ ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà ­á⢠Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 1.3.1. Œ­®¦¥á⢮ S ¨§ ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠(X, ρ) ­ §ë¢ ¥âáï ¢áî¤ã ¯«®â­ë¬ ¢ X , ¥á«¨ ¥£® § ¬ëª ­¨¥á®¢¯ ¤ ¥â á X , â. ¥. ¤«ï «î¡®£® x ∈ X ¨ «î¡®£® ç¨á« ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â y ∈ S , â ª®¥, çâ® ρ(x, y) < ε.Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 1.3.2. Œ¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (X, ρ) ­ §ë¢ ¥âáï ᥯ à ¡¥«ì­ë¬, ¥á«¨ ¢ ­ñ¬ áãé¥áâ¢ã¥â áçñâ­®¥ ¢áî¤ã ¯«®â­®¥ ¬­®¦¥á⢮. à ¨ ¬ ¥ à 1.3.1.

 áᬮâਬ ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (X, ρ)¨§ ¯à¨¬¥à 1.2.1, á®áâ®ï饥 ¨§ ¢á¥å ç¨á«®¢ëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩,á ¬¥âਪ®© ¯®â®ç¥ç­®© á室¨¬®áâ¨:ρ(x, y) =∞X2−k |x(k) − y(k)|k=11 + |x(k) − y(k)|∀ x, y ∈ X.®ª ¦¥¬, çâ® í⮠᥯ à ¡¥«ì­®¥ ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮. „«ï «î¡®£® N ∈ N à áᬮâਬ ¬­®¦¥á⢮nSN =¯o¯x: N → Q ¯ x(k) = 0 ∀ k > N .34Œ­®¦¥á⢮ SN á®á⮨⠨§ ¢á¥å ç¨á«®¢ëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩ á à 樮­ «ì­ë¬¨ §­ 祭¨ï¬¨, âਢ¨ «ì­ë¬¨ ­ ­®¬¥à å, ¡®«ìè¨å N .Žç¥¢¨¤­®, çâ® SN à ¢­®¬®é­® QN , ª®â®à®¥ ï¥âáï áçñâ­ë¬ ª ªª®­¥ç­®¥ ¤¥ª à⮢® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ áçñâ­®£® ¬­®¦¥á⢠à 樮­ «ì∞S­ëå ç¨á¥« Q.

Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¬­®¦¥á⢮ S =SN . Œ­®¦¥á⢮ S áçñâN =1­® ª ª áçñâ­®¥ ®¡ê¥¤¨­¥­¨¥ áçñâ­ëå ¬­®¦¥áâ¢. ®ª ¦¥¬, çâ® S ¢áî¤ã ¯«®â­® ¢ X , â. ¥. [S]τ = X . „¥©á⢨⥫쭮, à áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ë© í«¥¬¥­â x ∈ X ¨ ç¨á«® ε > 0. ‘ãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥àµ N Nε , â ª®©,¶∞PP −kε−kçâ®2 < 2 . ‚롥६ ç¨á«® δε > 0, â ª®¥, çâ®δε <2ρεk=Nε +1k=1. „«ï «î¡®£® k ∈ 1, Nε áãé¥áâ¢ã¥â à 樮­ «ì­®¥ ç¨á«® y(k), â ª®¥, çâ® |x(k) − y(k)| < δε . ®« £ ï y(k) = 0 ¯à¨ k > Nε , ¯®«ãç ¥¬í«¥¬¥­â y ∈ SN ⊂ S . à¨ í⮬ ¨¬¥¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮<ε2ερ(x, y) <NεX2−k δε +k=1∞X2−k <k=Nε +1ε ε+ = ε,2 2çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¬­®¦¥á⢮ A ⊂ X , á®áâ®ï饥 ¨§ ¢á¥å ç¨á«®¢ë寮᫥¤®¢ ⥫쭮á⥩ á à 樮­ «ì­ë¬¨ §­ 祭¨ï¬¨, ⮦¥, ®ç¥¢¨¤­®,ï¥âáï ¢áî¤ã ¯«®â­ë¬ ¢ X .

„¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥­â x ∈ X ¨ «î¡®£® ç¨á« ε > 0 ¬®¦­® ¤«ï ª ¦¤®£® ­®¬¥à k ®¯à¥¤¥«¨âì à 樮­ «ì­®¥ ç¨á«® z(k) ¢¨¤ |x(k) − z(k)| < ε. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,∞P®¯à¥¤¥«ñ­ í«¥¬¥­â z ∈ A, â ª®©, çâ® ρ(x, z) <2−k ε = ε. Ž¤­ k=1ª® ¬­®¦¥á⢮ A ­¥ ï¥âáï áçñâ­ë¬. ®ª ¦¥¬ íâ®. à¥¤¯®«®¦¨¬,à áá㦤 ï ®â ¯à®â¨¢­®£®, çâ® ¬­®¦¥á⢮ A ï¥âáï áçñâ­ë¬. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¬®¦­® ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ç­ë¬ ®¡à §®¬ § ­ã¬¥à®¢ âì ¢á¥í«¥¬¥­âë ¬­®¦¥á⢠A, ¯à¥¤áâ ¢¨¢ ¥£® ¢ ¢¨¤¥ A = {an }∞n=1 . Ž¯à¥¤¥«¨¬ í«¥¬¥­â z ∈ X á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:½z(k) =0, ak (k) 6= 0,1, ak (k) = 0∀ k ∈ N.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯® ¯®áâ஥­¨î z ¨ ®¯à¥¤¥«¥­¨î ¬­®¦¥á⢠A á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥ z ∈ A. Ž¤­ ª® z 6= an ¤«ï «î¡®£® n ∈ N, â ª ª ªz(n) 6= an (n). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, z 6∈ A. ®«ã稫¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥.35“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 1.3.1. ãáâì ¢ ¬¥âà¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà ­á⢥(X, ρ) áãé¥áâ¢ã¥â ­¥áçñâ­®¥ ¯®¤¬­®¦¥á⢮ A0(â.

¥. ¡¥áª®­¥ç­®¥ ¬­®¦¥á⢮, ­¥à ¢­®¬®é­®¥ ¬­®¦¥áâ¢ã ­ âãà «ì­ëå ç¨á¥«), ¤«ï ª®â®à®£® ­ ©¤ñâáï ç¨á«® ε0 > 0, â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡ëå à §«¨ç­ëå í«¥¬¥­â®¢ a, b ∈ A0 ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ ρ(a, b) ≥ ε0 . ’®£¤ ¬¥âà¨ç¥áª®¥¯à®áâà ­á⢮ (X, ρ) ï¥âáï ­¥á¥¯ à ¡¥«ì­ë¬.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­®¥ ¬­®¦¥á⢮S ⊂ X,¢áî¤ã ¯«®â­®¥ ¢ X . ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥­â a ∈ A0áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥­â ya ∈ S , â ª®©, çâ® ρ(a, ya ) ≤ ε3 . ’®£¤ ¤«ï «î¡ëåà §«¨ç­ëå í«¥¬¥­â®¢ a, b ∈ A0 ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮0ε0 ≤ ρ(a, b) ≤ ρ(a, ya ) + ρ(b, yb ) + ρ(ya , yb ) ≤ 23 ε0 + ρ(ya , yb ).‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ρ(ya , yb ) ≥ ε3 > 0, â. ¥.

ya 6= yb . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,®¯à¥¤¥«¥­® ¨­ê¥ªâ¨¢­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ A0 3 a 7→ ya ∈ S . ®í⮬㠬­®¦¥á⢮ S0 = { ya | a ∈ A0 } ⊂ S à ¢­®¬®é­® ¬­®¦¥áâ¢ã A0 ,â. ¥. á ¬® ï¥âáï ­¥áçñâ­ë¬. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ­¥áçñâ­ë¬ ï¥âáï¨ ¬­®¦¥á⢮ S , â ª ª ª ᮤ¥à¦¨â ­¥áçñâ­®¥ ¯®¤¬­®¦¥á⢮. ’ ª¨¬®¡à §®¬, «î¡®¥ ¢áî¤ã ¯«®â­®¥ ¢ X ¬­®¦¥á⢮ ï¥âáï ­¥áçñâ­ë¬,çâ® ®§­ ç ¥â ­¥á¥¯ à ¡¥«ì­®áâì ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠(X, ρ).0 à ¨ ¬ ¥ à 1.3.2.  áᬮâਬ ­ ¬­®¦¥á⢥ X ¢á¥å ç¨á«®¢ë寮᫥¤®¢ ⥫쭮á⥩ ¬¥âਪã d à ¢­®¬¥à­®© á室¨¬®á⨠¢¨¤ µd(x, y) = supk∈N|x(k) − y(k)|1 + |x(k) − y(k)|¶∀ x, y ∈ X.®ª ¦¥¬, çâ® ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (X, d) ï¥âáï ­¥á¥¯ à ¡¥«ì­ë¬.

„«ï «î¡®£® ç¨á« α à áᬮâਬ ç¨á«®¢ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâìn xα¯(k) = αko ¤«ï ¢á¥å k ∈ N. Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¬­®¦¥á⢮ A0 =¯= xα ¯ α ∈ R⊂ X . Ÿá­®, çâ® ¬­®¦¥á⢮ A0 à ¢­®¬®é­® ¢¥é¥á⢥­­®© ®á¨ ¨ ¯®í⮬㠭¥áçñâ­®. à¨ í⮬ ¤«ï «î¡ëå à §«¨ç­ëåç¨á¥« α ¨ β ¨¬¥¥¬µd(xα , xβ ) ≥ limk→∞1k|α − β|+ |α − β|¶= 1 = ε0 .‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 1.3.1 ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮(X, d) ­¥á¥¯ à ¡¥«ì­®.36 à ¨ ¬ ¥ à 1.3.3.

 áᬮâਬ ¬­®¦¥á⢮ C(R) ¢á¥å ­¥¯à¥à뢭ëå ­ ¢¥é¥á⢥­­®© ®á¨ ¢¥é¥á⢥­­®§­ ç­ëå ä㭪権, ¨¬¥îé¨åª®­¥ç­ë¥ ¯à¥¤¥«ë ­ +∞ ¨ −∞, á ¬¥âਪ®© à ¢­®¬¥à­®© á室¨¬®á⨠¢¨¤ ρc (x, y) = sup |x(t) − y(t)|∀ x, y ∈ C(R).t∈R’ ª ª ª ­¥¯à¥à뢭 ï ­ R ¢¥é¥á⢥­­ ï äã­ªæ¨ï, ¨¬¥îé ï ª®­¥ç­ë¥ ¯à¥¤¥«ë ­ ±∞, ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­®© ­ R, â® ρc (x, y) < +∞¤«ï«î¡ëå³´ x, y ∈ C(R). ®ª ¦¥¬, çâ® ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮C(R), ρc ï¥âáï ᥯ à ¡¥«ì­ë¬. „«ï «î¡ëå ­ âãà «ì­ëå ç¨á¥« N ¨ M ®¯à¥¤¥«¨¬ ¬­®¦¥á⢮ SN,M ⊂ C(R), â ª®¥, çâ® «î¡ ïäã­ªæ¨ï x ∈ SN,M ¨¬¥¥â ¢¨¤ Q(t) = a0 + a1 t + .

. . + aM tM ,Q(N ),x(t) =Q(−N ),−N ≤ t ≤ N,t > N,t < −N,£¤¥ a0 , . . . , aM | ¯à®¨§¢®«ì­ë¥ à 樮­ «ì­ë¥ ç¨á« . Ÿá­®, çâ® ¬­®¦¥á⢮ SN,M à ¢­®¬®é­® ¬­®¦¥áâ¢ã QM +1 , ª®â®à®¥ ï¥âáï áçñâ­ë¬ ª ª ª®­¥ç­®¥ ¤¥ª à⮢® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ áçñâ­®£® ¬­®¦¥á⢠à ∞∞SS樮­ «ì­ëå ç¨á¥« Q. ’®£¤ ¬­®¦¥á⢮ S =SN,M ⊂ C(R)N =1 M =1ï¥âáï áçñâ­ë¬ ª ª áçñâ­®¥ ®¡ê¥¤¨­¥­¨¥ áçñâ­ëå ¬­®¦¥á⢠SN,M .®ª ¦¥¬, çâ® ¬­®¦¥á⢮ S ï¥âáï ¢áî¤ã ¯«®â­ë¬ ¢ C(R).

 áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ãî äã­ªæ¨î x ∈ C(R) ¨ ç¨á«® ε > 0. ® ãá«®¢¨î áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® δ = δ(x, ε) > 0, â ª®¥, çâ® ¤«ï ¢á¥å t ≥ δ ¨τ ≤ −δ ¢ë¯®«­¥­ë ­¥à ¢¥­á⢠|x(t) − x(+∞)| ≤ ε¨|x(τ ) − x(−∞)| ≤ ε.‡ 䨪á¨à㥬 ¯à®¨§¢®«ì­®¥ ­ âãà «ì­®¥ ç¨á«® N > δ .  ®â१ª¥¯® ⥮६¥ ‚¥©¥àèâà áá ­¥¯à¥à뢭ãî äã­ªæ¨î x ¬®¦­®à ¢­®¬¥à­® á â®ç­®áâìî ε ¯à¨¡«¨§¨âì ¬­®£®ç«¥­®¬ P (t) = b0 + b1 t ++ . . . + bM tM , â. ¥. á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮[−N, N ]sup|x(t) − P (t)| ≤ ε.t∈[−N,N ]‚롥६ ç¨á«® γ > 0 â ª, çâ®¡ë ¡ë«® ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮¢¡γ 1 + N + .

. . + N M ≤ ε.37„«ï «î¡®£® k ∈ 0, M ¢ë¡¥à¥¬ à 樮­ «ì­®¥ ç¨á«® ak â ª, ç⮡ë|ak −bk | ≤ γ . Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¬­®£®ç«¥­ Q(t) = a0 +a1 t+. . .+aM tM . ’ ª¨¬®¡à §®¬, ®¯à¥¤¥«¥­ äã­ªæ¨ï y ∈ SN,M ⊂ S á«¥¤ãî饣® ¢¨¤ :y(t) =Q(t),Q(N ),Q(−N ),−N ≤ t ≤ N,t > N,t < −N.’ ª ª ª ¤«ï «î¡®£® t ∈ [−N, N ] á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮|Q(t) − P (t)| ≤MX|ak − bk | |t|k ≤ γk=0â® ¯®«ãç ¥¬supt∈[−N,N ]N M ≤ ε,k=0³|x(t) − y(t)| ≤MXsup´|x(t) − P (t)| + |P (t) − Q(t)| ≤ 2ε.t∈[−N,N ]„ «¥¥ ¤«ï «î¡®£® t > N ¨¬¥¥¬|x(t) − y(t)| ≤ |x(t) − x(+∞)| + |x(+∞) − x(N )|++|x(N ) − P (N )| + |P (N ) − Q(N )| ≤ 4ε.€­ «®£¨ç­® ¤«ï «î¡®£® τ< −N¨¬¥¥¬|x(τ ) − y(τ )| ≤ |x(τ ) − x(−∞)| + |x(−∞) − x(−N )|++|x(−N ) − P (−N )| + |P (−N ) − Q(−N )| ≤ 4ε.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ ρc (x, y) ≤ 4ε, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì. à ¨ ¬ ¥ à 1.3.4.

 áᬮâਬ ¬­®¦¥á⢮ BC(R) ¢á¥å ­¥¯à¥à뢭ëå ¨ ®£à ­¨ç¥­­ëå ­ ¢¥é¥á⢥­­®© ®á¨ ¢¥é¥á⢥­­®§­ ç­ëå ä㭪権 á ¬¥âਪ®© à ¢­®¬¥à­®© á室¨¬®áâ¨1.3.3. ®³ ρc ¨§ ¯à¨¬¥à ´ª ¦¥¬, çâ® ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ BC(R), ρc ­¥á¥¯ à ¡¥«ì­®. áᬮâਬ ­¥®âà¨æ ⥫ì­ãî \¯¨«®®¡à §­ãî" äã­ªæ¨îx ∈¤BC(R)£¢¨¤ : ¤«ï «î¡®£® 楫®£® ç¨á« k ­ ®â१ª¥ Ik = k − 12 , k + 21 äã­ªæ¨ï x «¨¡® ⮦¤¥á⢥­­® ­ã«¥¢ ï, «¨¡® ¥ñ £à 䨪 ®¡à §ãîâ ¡®ª®¢ë¥àñ¡à à ¢­®¡¥¤à¥­­®£® âà¥ã£®«ì­¨ª á ®á­®¢ ­¨¥¬ Ik ¨ ¥¤¨­¨ç­®©¢ëá®â®©.

Œ­®¦¥á⢮ ¢á¥å â ª¨å \¯¨«®®¡à §­ëå" ä㭪権 ®¡®§­ 稬 A0 . ‹î¡ ï äã­ªæ¨ï x ∈ A0 ®¤­®§­ ç­® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ᢮¨¬¨38§­ 祭¨ï¬¨ x(k) ¢ 楫ëå â®çª å k. à¨ í⮬ ¤«ï «î¡®£® k ∈ Z ¨¬¥¥¬«¨¡® x(k) = 1. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¬­®¦¥á⢮ A0 à ¢­®¬®é­®¬­®¦¥áâ¢ã ¢á¥å ç¨á«®¢ëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩, ¯à¨­¨¬ îé¨å §­ 祭¨ï 0 ¨ 1, ª®â®à®¥ ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì à ¢­®¬®é­® ¯à®¬¥¦ãâªã [0, 1).‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¬­®¦¥á⢮ A0 ­¥áçñâ­®. à¨ í⮬ ¤«ï «î¡ëå ¤¢ãåà §«¨ç­ëå ä㭪権 x, y ∈ A0 áãé¥áâ¢ã¥â k0 ∈ Z, â ª®¥, çâ® |x(k0 ) −− y(k0 )| = 1.

Характеристики

Список файлов лекций