Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

à¨ í⮬ 2 = ρ(x̃, ỹ) ≤ diam Fn . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, diam Fn = 2 ¤«ï «î¡®£® n ∈ N. ®ª ¦¥¬, ­ ª®­¥æ, ç⮯¥à¥á¥ç¥­¨¥ ¢á¥å ¬­®¦¥á⢠Fn ¯® n ∈ N ¯ãáâ®. …᫨ ¯à¥¤¯®«®¦¨âì,∞Tçâ® áãé¥áâ¢ã¥â x ∈Fn , â® ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î Fn ¯®«ãç ¥¬ x(n) = 0n=1¤«ï «î¡®£® n ∈ N ¨ ¯à¨ í⮬ sup |x(n)| = 1, çâ® ­¥¢®§¬®¦­®. ’ ª¨¬®¡à §®¬,∞Tn=1n∈NFn = ∅.Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 1.4.5. ãáâì (X, ρ) | ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮.

Œ­®¦¥á⢮ S ⊂ X ­ §ë¢ ¥âáï ­¨£¤¥ ­¥ ¯«®â­ë¬, ¥á«¨ ¥£® § ¬ëª ­¨¥ [S]τ ­¥ ᮤ¥à¦¨â ­¨ ®¤­®£® ®âªàë⮣® è à .ρ’ ¥ ® à ¥ ¬ 1.4.2 (íà). ®«­®¥ ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ ­¥¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥­® ¢ ¢¨¤¥ áçñâ­®£® ®¡ê¥¤¨­¥­¨ï ᢮¨å ­¨£¤¥­¥ ¯«®â­ëå ¯®¤¬­®¦¥áâ¢.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ãáâì (X, ρ) | ¯®«­®¥ ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮. à¥¤¯®«®¦¨¬, à áá㦤 ï ®â ¯à®â¨¢­®£®, çâ® áãé¥áâ¢ã¥âáçñâ­®¥ ᥬ¥©á⢮ ­¨£¤¥ ­¥ ¯«®â­ëå ¬­®¦¥á⢠Sn ⊂ X , â ª¨å, çâ®∞SX =Sn .  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ë© í«¥¬¥­â x0 ∈ X . ’ ª ª ªn=1¬­®¦¥á⢮ S1 ï¥âáï ­¨£¤¥ ­¥ ¯«®â­ë¬, â® ¤«ï «î¡®£® R > 0¢ë¯®«­¥­® OR (x0 ) 6⊂ [S1 ]τ . ’®£¤ ¬­®¦¥á⢮ G1 = O1 (x0 )\[S1 ]τ == O1 (x0 ) ∩ [S1 ]cτ ï¥âáï ®âªàëâë¬ ª ª ¯¥à¥á¥ç¥­¨¥ ¤¢ãå ®âªàëâëå ¬­®¦¥á⢠¨ ï¥âáï ­¥¯ãáâë¬.

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, áãé¥áâ¢ã¥â x1 ∈∈ G1 , ¯à¨çñ¬ ¢ ᨫ㠮âªàëâ®á⨠¬­®¦¥á⢠G1 áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® δ1 > 0, â ª®¥, çâ® O2δ (x1 ) ⊂ G1 . Ž¯à¥¤¥«¨¬ R1 = min{δ1 , 1}.’ ª ª ª á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥ BR (x1 ) ⊂ O2R (x1 ) ⊂ O2δ (x1 ), ⮯®«ãç ¥¬, çâ® B1 (x0 ) ⊃ BR (x1 ) ¨ BR (x1 ) ∩ S1 = ∅. à¥¤¯®«®¦¨¬, à áá㦤 ï ¯® ¨­¤ãªæ¨¨, çâ® ¤«ï ­¥ª®â®à®£® n ∈ N ¯®áâ஥­ë x1 , .

. . , xn ∈ X ¨ ¯®«®¦¨â¥«ì­ë¥ ç¨á« R1 , . . . , Rn , â ª¨¥, çâ®B1 (x0 ) ⊃ BR (x1 ) ⊃ . . . ⊃ BR (xn ), ¯à¨çñ¬ BR (xk ) ∩ Sk = ∅ ¨ρρρ1111111nk48¤«ï «î¡®£® k ∈ 1, n. ’ ª ª ª ¬­®¦¥á⢮ Sn+1 ï¥âáï ­¨£¤¥ ­¥ ¯«®â­ë¬, â® OR (xn ) 6⊂ [Sn+1 ]τ . ’®£¤ ¬­®¦¥á⢮ Gn+1 == OR (xn )\[Sn+1 ]τ = OR (xn ) ∩ [Sn+1 ]cτ ï¥âáï ®âªàëâë¬ ª ª¯¥à¥á¥ç¥­¨¥ ¤¢ãå ®âªàëâëå ¬­®¦¥á⢠¨ ï¥âáï ­¥¯ãáâë¬. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, áãé¥áâ¢ã¥â xn+1 ∈ Gn+1 , ¯à¨çñ¬ ¢ ᨫ㠮âªàëâ®á⨠¬­®¦¥á⢠Gn+1 áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® δn+1çâ® O2δ (xn+1 ) ⊂on > 0, â ª®¥,1⊂ Gn+1 . Ž¯à¥¤¥«¨¬ Rn+1 = min δn+1 , n+1 . ’ ª ª ª á¯à ¢¥¤«¨¢®¢ª«î祭¨¥ BR (xn+1 ) ⊂ O2R (xn+1 ) ⊂ O2δ (xn+1 ), â® ¯®«ãç ¥¬, çâ® BR (xn ) ⊃ BR (xn+1 ) ¨ BR (xn+1 ) ∩ Sn+1 = ∅. ’ ª¨¬®¡à §®¬, ¯® ¨­¤ãªæ¨¨ ¯®áâ஥­ n ã¡ë¢ îé ïo∞ ¯® ¢«®¦¥­¨î ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì § ¬ª­ãâëå è ஢ BR (xn ), ¯à¨çñ¬ Rn → 0 ¯à¨Rk ≤1knnρρnρn+1n+1n+1nn+1n+1n+1nn=1n → ∞.

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯® ⥮६¥ 1.4.1 áãé¥áâ¢ã¥â x ∈∞Tn=1BRn (xn ).’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ­®¬¥à n ¢ ᨫã ᮮ⭮襭¨ï µBR (xn¶) ∩ Sn = ∅∞S¯®«ãç ¥¬ x 6∈ Sn . ‘ãé¥á⢮¢ ­¨¥ â ª®£® x ∈ X\Sn ¯à®â¨¢®nn=1∞Sà¥ç¨â à ¢¥­áâ¢ã X =Sn . ®«ã祭­®¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¤®ª §ë¢ ¥ân=1ã⢥ত¥­¨¥ ⥮६ë. à ¨ ¬ ¥ à 1.4.4. à®á⥩訬 ¯à¨¬¥à®¬ ­¥¯®«­®£® ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠, ¯à¥¤áâ ¢¨¬®£® ¢ ¢¨¤¥ áçñâ­®£® ®¡ê¥¤¨­¥­¨ï ᢮¨å­¨£¤¥ ­¥ ¯«®â­ëå ¯®¤¬­®¦¥áâ¢, ï¥âáï ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å à 樮­ «ì­ëå ç¨á¥« Q á ®¡ëç­®© ¬¥âਪ®© ρ(x, y) = |x − y|.

„¥©á⢨⥫쭮,«î¡®¥ ®¤­®â®ç¥ç­®¥ ¬­®¦¥á⢮ ¨§ Q ï¥âáï ­¨£¤¥ ­¥ ¯«®â­ë¬ ¢(Q, ρ), â ª ª ª «î¡®© ®âªàëâë© è à ¨§ (Q, ρ) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®©áçñâ­®¥ ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å à 樮­ «ì­ëå ç¨á¥«, ᮤ¥à¦ é¨åáï ¢ § ¤ ­­®¬ ç¨á«®¢®¬ ¨­â¥à¢ «¥, â. ¥. á®á⮨⠡®«¥¥ 祬 ¨§ ®¤­®© â®çª¨.à¨ í⮬ ¬­®¦¥á⢮ Q ï¥âáï áçñâ­ë¬, â. ¥. ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®©áçñâ­®¥ ®¡ê¥¤¨­¥­¨¥ ¢á¥å ¢å®¤ïé¨å ¢ ­¥£® â®ç¥ª.à¨¢¥¤ñ¬ ¯à¨¬¥à ­¥¯®«­®£® «¨­¥©­®£® ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠, ¯à¥¤áâ ¢¨¬®£® ¢ ¢¨¤¥ áçñâ­®£® ®¡ê¥¤¨­¥­¨ï ᢮¨å ­¨£¤¥ ­¥ ¯«®â­ëå ¯®¤¬­®¦¥áâ¢.

 áᬮâਬ «¨­¥©­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ `1 , á®áâ®ï饥¨§ ¢á¥å ç¨á«®¢ëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩, ª®¬¯®­¥­âë ª®â®àëå ®¡à §ãî⠡᮫îâ­® á室ï騩áï àï¤, â. ¥.(`1 =¯ ∞)¯ X¯x: N → R ¯|x(k)| < +∞ .¯k=149‚¢¥¤ñ¬ ¢ `1 ¬¥âਪã ρ(x, y) = sup |x(k) − y(k)|, à áᬮâ७­ãî à k∈N­¥¥ ¢ ¯à¨¬¥à¥ 1.4.3 ¤«ï «¨­¥©­®£® ¯à®áâà ­á⢠`∞ . ®ª ¦¥¬, ç⮬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (`1 , ρ) ï¥âáï ­¥¯®«­ë¬.

„«ï í⮣® à áᬮâਬ ¢ `1 ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 ¢¨¤ ½xn (k) =1k,1 ≤ k ≤ n,0, k > n.’ ª ª ª ¤«ï «î¡ëå n, m ∈ N, m > n, ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ρ(xn , xm ) = supn<k≤m1k<1n,â® ¤«ï «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à N (ε) > 1ε , â ª®©, çâ® ¤«ï «î¡ëå n, m > N (ε) ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ ρ(xn , xm ) < N1(ε) < ε. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 ï¥âáï äã­¤ ¬¥­â «ì­®©¢ (`1 , ρ). Ž¤­ ª® íâ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ­¥ á室¨âáï ¢ (`1 , ρ). à¥¤¯®«®¦¨¬, à áá㦤 ï ®â ¯à®â¨¢­®£®, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â z ∈ `1 , â ª®©,çâ® ρ(z, xn ) → ∞ ¯à¨ n → ∞. ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ­®¬¥à k ∈ N ¨«î¡®£® n > k ¯®«ãç ¥¬¯¯¯z(k) − 1 ¯ = |z(k) − xn (k)| ≤ ρ(z, xn ) → 0k¯à¨n → ∞.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, z(k) = k1 ¤«ï «î¡®£® k ∈ N.

® ⮣¤ z 6∈ `1 , â ª∞P1ª ªk = +∞. ®«ã祭­®¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¤®ª §ë¢ ¥â ­¥¯®«­®âãk=1¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠(`1 , ρ).  áᬮâਬ ¤«ï «î¡®£® ­®¬¥à n¬­®¦¥á⢮¯()∞Fn =¯ X¯x ∈ `1 ¯|x(k)| ≤ n¯.k=1’ ª ª ª ¤«ï «î¡®£® x ∈ `1 áãé¥áâ¢ã¥â n(x) ∈ N, â ª®¥, çâ® ¢ë¯®«∞P­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮|x(k)| ≤ n(x), â.

¥. x ∈ Fn(x) , â® á¯à ¢¥¤«¨¢®k=1∞Sà ¢¥­á⢮ `1 =Fn . ®ª ¦¥¬, çâ® ¤«ï «î¡®£® n ∈ N ¬­®¦¥á⢮n=1Fn ï¥âáï § ¬ª­ãâë¬ ¢ ¬¥âà¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà ­á⢥ (`1 , ρ). ãáâìz ∈ `1 | â®çª ¯à¨ª®á­®¢¥­¨ï ¬­®¦¥á⢠Fn . ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ε >> 0 áãé¥áâ¢ã¥â xε ∈ Fn , â ª®¥, çâ® ρ(z, xε ) < ε. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï50«î¡®£® NNX∈N|z(k)| ≤k=1¨¬¥¥¬NX|z(k) − xε (k)| +k=1NX|xε (k)| ≤k=1≤ N ρ(z, xε ) + n ≤ N ε + n → n¯à¨ε → +0.NP’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï «î¡®£® N ∈ N ¢ë¯®«­¥­®|z(k)| ≤ n. ‘«¥¤®k=1¢ ⥫쭮, ¯¥à¥å®¤ï ¢ ¯®á«¥¤­¥¬ ­¥à ¢¥­á⢥ ª ¯à¥¤¥«ã ¯à¨ N → ∞,∞P¯®«ãç ¥¬, çâ®|z(k)| ≤ n.

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, z ∈ Fn , â. ¥. ¬­®¦¥á⢮k=1Fn ï¥âáï § ¬ª­ãâë¬ ¢ (`1 , ρ).  ª®­¥æ, ¯®ª ¦¥¬, çâ® ¤«ï «î¡®£® n ∈ N ¬­®¦¥á⢮ Fn ï¥âáï ­¨£¤¥ ­¥ ¯«®â­ë¬ ¢ ¬¥âà¨ç¥áª®¬¯à®áâà ­á⢥ (`1 , ρ). ‚ ᨫ㠧 ¬ª­ãâ®á⨠Fn ¤®áâ â®ç­® ¯®ª § âì,çâ® ­¨ ®¤¨­ ®âªàëâë© è à ¨§ (`1 , ρ) ­¥ ᮤ¥à¦¨âáï ¢ Fn . à¥¤¯®«®¦¨¬, à áá㦤 ï ®â ¯à®â¨¢­®£®, çâ® áãé¥áâ¢ãîâ x0 ∈ Fn ¨ R0 > 0,â ª¨¥, çâ® OR (x0 ) ⊂ Fn . ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® x ∈ `1 ¢¨¤ ρ(x, x0 ) < R0∞P¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮|x(k)| ≤ n. ‘ãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à N , â ª®©,0çâ®NPk=1k=1R02k> 2n. áᬮâਬ í«¥¬¥­â yN½yN (k) =|zN (k)| ≥k=1∞Pk=1|yN (k)|−∞Pá«¥¤ãî饣® ¢¨¤ :R02k ,1 ≤ k ≤ N,0, k > N.’®£¤ í«¥¬¥­â zN = x0 + yN ∈ ORŽ¤­ ª® á¯à ¢¥¤«¨¢ ®æ¥­ª ∞P∈ `10(x0 ),|x0 (k)| =k=1â ª ª ª ρ(zN , x0 ) ≤NP∞PR0|x0 (k)|2k −k=1k=1R02< R0 .> 2n−n = n,â.

¥. zN6∈ Fn . ®«ã稫¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï «î¡®£®¤®ª § ­®, çâ® ¬­®¦¥á⢮ Fn ï¥âáï ­¨£¤¥ ­¥ ¯«®â­ë¬ ¢¬¥âà¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà ­á⢥ (`1 , ρ).n ∈ N áᬮâਬ ­¥áª®«ìª® ¯à¨¬¥­¥­¨© ⥮६ë 1.4.2 íà ¢ § ¤ ç å⥮ਨ ä㭪権 ¤¥©á⢨⥫쭮£® ¨ ª®¬¯«¥ªá­®£® ¯¥à¥¬¥­­ëå.‡ ¤ ç 1.4.1. „®ª § âì, çâ® ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â ä㭪樨 f : R →→ R,­¥¯à¥à뢭®© ¢ à 樮­ «ì­ëå ¨ à §à뢭®© ¢ ¨àà 樮­ «ì­ëåâ®çª å.51 ¥ è ¥ ­ ¨ ¥. à¥¤¯®«®¦¨¬, à áá㦤 ï ®â ¯à®â¨¢­®£®, çâ® â ª ïäã­ªæ¨ï áãé¥áâ¢ã¥â.  áᬮâਬ äã­ªæ¨î ω: R → [0, +∞] ª®«¥¡ ­¨ï ä㭪樨 f ¢ â®çª¥, â.

¥. ¤«ï «î¡®£® x ∈ R ®¯à¥¤¥«¨¬ω(x) = limδ→+0sup |f (y) − f (z)|.y,z∈R :|y−x|<δ|z−x|<䈧¢¥áâ­®, çâ® äã­ªæ¨ï f ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭®© ¢ â®çª¥ x ⮣¤ ¨â®«ìª® ⮣¤ , ª®£¤ ω(x) = 0. ãáâì Q = {rn }∞n=1 | ¢á¥ à 樮­ «ì­ë¥ ç¨á« , I = R\Q | ¢á¥ ¨àà 樮­ «ì­ë¥. ® ãá«®¢¨î ¤«ï«î¡®£® x ∈ I ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ ω(x) > 0, ¤«ï «î¡®£® y ∈ Q¢ë¯®«­¥­® ω(y) = 0. Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¤«ï «î¡®£® n ∈ N ¬­®¦¥á⢮½Fn =¯¾¯1x ∈ R ¯¯ ω(x) ≥.n∞S’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ I =Fn . „¥©á⢨⥫쭮, ¥á«¨ x ∈ I,n=1â® ¨¬¥¥¬ ω(x) > 0.

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, áãé¥áâ¢ã¥â n(x) ∈ N, â ª®¥, çâ®1¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ n(x)≤ ω(x), â. ¥. ¯®«ãç ¥¬ x ∈ Fn(x) . …᫨ ¦¥x ∈ Q, â® ω(x) = 0, â. ¥. x 6∈ Fn ¤«ï «î¡®£® n ∈ N. ®ª ¦¥¬, çâ® ¤«ï«î¡®£® n ∈ N ¬­®¦¥á⢮ Fn ï¥âáï § ¬ª­ãâë¬ ¢ R (¯® 㬮«ç ­¨î¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® ¢ R à áᬠâਢ ¥âáï ®¡ëç­ ï ¬¥âਪ ρ(x, y) == |x − y|). ãáâì x | â®çª ¯à¨ª®á­®¢¥­¨ï ¬­®¦¥á⢠Fn , â. ¥.

¤«ï«î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â xε ∈ Fn , â ª®©, çâ® |x − xε | < ε. ’ ª ª ª¤«ï «î¡®£® δ > 0 ¨§ ­¥à ¢¥­á⢠|y − xδ | < δ á«¥¤ã¥â ­¥à ¢¥­á⢮|y − x| < 2δ , â® ¯®«ãç ¥¬sup|f (y) − f (z)| ≥y,z∈R :|y−x|<2δ|z−x|<2δsupy,z∈R :|y−xδ |<δ|f (y) − f (z)| ≥ ω(xδ ) ≥1.n|z−xδ |<δ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ë¯®«­¥­® ᮮ⭮襭¨¥ω(x) = limδ→+0supy,z∈R :|y−x|<2δ|z−x|<2δ|f (y) − f (z)| ≥1,nâ. ¥. x ∈ Fn . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®ª § ­ § ¬ª­ãâ®áâì Fn .

„ «¥¥ ¯®ª ¦¥¬, çâ® Fn ï¥âáï ­¨£¤¥ ­¥ ¯«®â­ë¬ ¬­®¦¥á⢮¬ ¢ R. ‚ ᨫã52§ ¬ª­ãâ®á⨠Fn ¤®áâ â®ç­® ¯®ª § âì, çâ® Fn ­¥ ᮤ¥à¦¨â ­¨ ®¤­®£® ­¥¯ãá⮣® ç¨á«®¢®£® ¨­â¥à¢ « . ˆ§¢¥áâ­®, çâ® «î¡®© ­¥¯ãá⮩ç¨á«®¢®© ¨­â¥à¢ « ®¡ï§ ⥫쭮 ᮤ¥à¦¨â à 樮­ «ì­ë¥ ç¨á« . ®¢ ¬­®¦¥á⢥ Fn ­¥â ­¨ ®¤­®£® à 樮­ «ì­®£® ç¨á« . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, Fn ¤¥©á⢨⥫쭮 ­¥ ᮤ¥à¦¨â ­¨ ®¤­®£® ­¥¯ãá⮣® ç¨á«®¢®£®¨­â¥à¢ « . ®«ãç ¥¬, çâ® á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ÃR=Q∪I=∞[!{rn }Ã∪n=1∞[!Fn=n=1∞ no[Fn ∪ {rn } ,n=1£¤¥ ¬­®¦¥á⢮ Fn ¨ ®¤­®â®ç¥ç­®¥ ¬­®¦¥á⢮ {rn } ïîâáï ­¨£¤¥­¥ ¯«®â­ë¬¨ ¢ R.

Характеристики

Список файлов лекций