Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

’®£¤ ¯®´ ­¥à ¢¥­áâ¢ã³´¯®«ãç ¥¬ ρ2 ϕ(z̃n ), y2 ≤ ρ2 ϕ(zn ), y2 + ρ2 ϕ(zn ), ϕ(z̃n ) → 0 ¯à¨n → ∞, â. ¥. ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ϕ(z̃n ) ∈ Z2 á室¨âáï ª ⮬㠦¥ í«¥¬¥­âã y2 ∈ Y2 , çâ® ¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ϕ(zn ). ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ª®à४⭮áâì ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ®â®¡à ¦¥­¨ï ψ ¤®ª § ­ . ®ª ¦¥¬, çâ® íâ®®â®¡à ¦¥­¨¥ ï¥âáï ¨§®¬¥âਥ© ¬¥¦¤ã ¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨ ¯à®áâà ­á⢠¬¨ (Y1 , ρ1 ) ¨ (Y2 , ρ2 ). à®¢¥à¨¬ ¢§ ¨¬­ãî ®¤­®§­ ç­®áâì ®â®¡à ¦¥­¨ï ψ, â.

¥. ¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥­â y2 ∈ Y2 áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ë©í«¥¬¥­â y1 ∈ Y1 , â ª®©, çâ® ψ(y1 ) = y2 . „¥©á⢨⥫쭮, â ª ª ª ¬­®¦¥á⢮ Z2 ï¥âáï ρ2 -¢áî¤ã ¯«®â­ë¬ ¢ Y2 , â® ¤«ï «î¡®£® y2 ∈ Y2 áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {wn }∞n=1 ⊂ Z2 , â ª ï, çâ® ρ2 (wn , y2 ) →→ 0 ¯à¨ n → ∞. Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì zn = ϕ−1 (wn ) ∈ Z1 .’ ª ª ª ¯® ã⢥ত¥­¨î 1.5.1 ®â®¡à ¦¥­¨¥ ϕ−1 ï¥âáï ¨§®¬¥âਥ©, â® ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì zn ï¥âáï ρ1 -äã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¢ ¯®«58­®¬ ¬¥âà¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà ­á⢥ (Y1 , ρ1 ). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, áãé¥áâ¢ã¥âí«¥¬¥­â y1 ∈ Y1 , â ª®©, çâ® ρ1 (zn , y1 ) → 0 ¯à¨ n → ∞. ’®£¤ ¯®®¯à¥¤¥«¥­¨î ®â®¡à ¦¥­¨ï ψ ¯®«ãç ¥¬ ψ(y1 ) = y2 .

à¨ í⮬ ¤«ï«î¡®£®í«¥¬¥­â ³´ ỹ1 ∈ Y1 , ®â«¨ç­®£® ®â y1 , á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ρ2 ψ(ỹ1 ), ψ(y1 ) = ρ1 (ỹ1 , y1 ) > 0. „¥©á⢨⥫쭮, â ª ª ª ¬­®¦¥á⢮Z1 ï¥âáï ρ1 -¢áî¤ã ¯«®â­ë¬ ¢ Y1 , â® áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {z̃n }∞n=1 ⊂ Z1 , â ª ï, çâ® ρ1 (z̃n , ỹ1 ) → 0 ¯à¨ n → ∞. ’®£¤ ¯®«ãç ¥¬:³´³´ρ2 ψ(ỹ1 ), ψ(y1 ) = lim ρ2 ϕ(z̃n ), ϕ(zn ) =n→∞= lim ρ1 (z̃n , zn ) = ρ1 (ỹ1 , y1 ) > 0.n→∞‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ®â®¡à ¦¥­¨¥ ψ à §­ë¥ í«¥¬¥­âë ¬­®¦¥á⢠Y1 ¯¥à¥¢®¤¨â ¢ à §­ë¥ í«¥¬¥­âë ¬­®¦¥á⢠Y2 . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ãáâ ­®¢«¥­ ¢§ ¨¬­ ï ®¤­®§­ ç­®áâì ®â®¡à ¦¥­¨ï ψ. à¨ í⮬ â ª¦¥ ¯®ª § ­®,çâ® ¤«ï´ «î¡ëå í«¥¬¥­â®¢ y1 , ỹ1 ∈ Y1 ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮³ρ2 ψ(ỹ1 ), ψ(y1 ) = ρ1 (ỹ1 , y1 ). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ®â®¡à ¦¥­¨¥ ψ ï¥âáï ¨§®¬¥âਥ©.

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®¯®«­¥­¨ï (Y1 , ρ1 ) ¨ (Y2 , ρ2 ) ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠(X, ρ) ¨§®¬¥âà¨ç­ë.’ ¥ ® à ¥ ¬ 1.5.1 (• ã᤮àä). „«ï «î¡®£® ­¥¯®«­®£® ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠áãé¥áâ¢ã¥â ¯®¯®«­¥­¨¥.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ãáâì (X, ρ) | ­¥¯®«­®¥ ¬¥âà¨ç¥áª®¥¯à®áâà ­á⢮. ãáâì F | ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å äã­¤ ¬¥­â «ì­ëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩ ¨§ X . ‚¢¥¤ñ¬ ­ ¬­®¦¥á⢥ F ®â­®è¥­¨¥ íª¢¨¢ «¥­â­®á⨠᫥¤ãî騬 ®¡à §®¬. ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn } ∈ F íª¢¨¢ «¥­â­ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìâ­®á⨠{yn } ∈ F , ¥á«¨ρ(xn , yn ) → 0 ¯à¨ n → ∞.

‚ í⮬ á«ãç ¥ ¡ã¤¥¬ ¯¨á âì {xn } ∼∼ {yn }. ®ª ¦¥¬, çâ® ¢¢¥¤ñ­®¥ ­ ¬­®¦¥á⢥ F ®â­®è¥­¨¥ íª¢¨¢ «¥­â­®á⨠®¡« ¤ ¥â ᢮©á⢠¬¨: ᨬ¬¥âਥ©, âà ­§¨â¨¢­®áâìî ¨íª¢¨¢ «¥­â­®áâìî «î¡®£® í«¥¬¥­â F á ¬®¬ã ᥡ¥. „¥©á⢨⥫쭮,¥á«¨ {xn } ∼ {yn }, â® ρ(yn , xn ) = ρ(xn , yn ) → 0 ¯à¨ n → ∞, â.

¥.{yn } ∼ {xn }, â. ¥. ᨬ¬¥âà¨ï ¤®ª § ­ . „ «¥¥, ¥á«¨ {xn } ∼ {yn } ¨{yn } ∼ {zn }, â® ¯® ­¥à ¢¥­áâ¢ã âà¥ã£®«ì­¨ª ­ 室¨¬ ρ(xn , zn ) ≤≤ ρ(xn , yn ) + ρ(yn , zn ) → 0 ¯à¨ n → ∞. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬{xn } ∼ {zn }, â. ¥. âà ­§¨â¨¢­®áâì ¤®ª § ­ . ‘¢®©á⢮ {xn } ∼ {xn }®ç¥¢¨¤­®, â ª ª ª ρ(xn , xn ) = 0 ¤«ï «î¡®£® n ∈ N.59 §®¡ìñ¬ ¬­®¦¥á⢮ F ­ ª« ááë íª¢¨¢ «¥­â­ëå äã­¤ ¬¥­â «ì­ëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩ ¨ ®¯à¥¤¥«¨¬ ¬­®¦¥á⢮ Y ª ª ᮢ®ªã¯­®áâì ª« áᮢ íª¢¨¢ «¥­â­ëå äã­¤ ¬¥­â «ì­ëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩ ¨§ (X, ρ). ‚¢¥¤ñ¬ ­ ¬­®¦¥á⢥ Y ¬¥âਪã d á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬.„«ï «î¡ëå y, ỹ ∈ Y à áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ë¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠{xn } ∈ y ¨ {x̃n } ∈ ỹ.

’®£¤ ®¯à¥¤¥«¨¬ d(y, ỹ) = n→∞lim ρ(xn , x̃n ).’ॡã¥âáï ¤®ª § âì ª®à४⭮áâì í⮣® ®¯à¥¤¥«¥­¨ï, â. ¥. ¯à®¢¥à¨âìáãé¥á⢮¢ ­¨¥ 㪠§ ­­®£® ¯à¥¤¥« ¨ ¥£® ­¥§ ¢¨á¨¬®áâì ®â ¢ë¡®à ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩ ¨§ ª« áᮢ íª¢¨¢ «¥­â­®á⨠y ¨ ỹ. ®á«¥ í⮣®âॡã¥âáï ¯à®¢¥à¨âì ¤«ï d ªá¨®¬ë ¬¥âਪ¨ ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï 1.2.1.®ª ¦¥¬, çâ® ¤«ï «î¡ëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩ {xn } ∈ y ∈ Y ¨{x̃n } ∈ ỹ ∈ Y ¯à¥¤¥« lim ρ(xn , x̃n ) áãé¥áâ¢ã¥â.

„«ï í⮣® ¯à®¢¥n→∞ਬ äã­¤ ¬¥­â «ì­®áâì ç¨á«®¢®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠{ρ(xn , x̃n )}.® ­¥à ¢¥­áâ¢ã âà¥ã£®«ì­¨ª ¤«ï «î¡ëå n, m ∈ N ­ 室¨¬ρ(xn , x̃n ) ≤ ρ(xn , xm ) + ρ(x̃n , x̃m ) + ρ(xm , x̃m ).‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮¯¯¯¯¯ρ(xn , x̃n ) − ρ(xm , x̃m )¯ ≤ ρ(xn , xm ) + ρ(x̃n , x̃m ).’ ª ª ª ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠{xn } ¨ {x̃n } ïîâáï äã­¤ ¬¥­â «ì­ë¬¨ ¢ ¬¥âà¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà ­á⢥ (X, ρ), â® ¤«ï «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à N (ε), â ª®©, çâ® ¤«ï «î¡ëå n, m > N (ε) ¢ë¯®«­¥­ë ­¥à ¢¥­á⢠ρ(xn , xm ) < 2ε ¨ ρ(x̃n¯, x̃m ) < 2ε .

’®£¤ ¤«ï¯ «î¡ëå n, m > N (ε) ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮ ¯¯ρ(xn , x̃n ) − ρ(xm , x̃m )¯¯ < ε,¨ ⥬ á ¬ë¬ ¤®ª §ë¢ ¥¬ äã­¤ ¬¥­â «ì­®áâì ç¨á«®¢®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠{ρ(xn , x̃n )}. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫ㠪à¨â¥à¨ï Š®è¨ á室¨¬®á⨠ç¨á«®¢®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«®¢®© ¯à¥¤¥«lim ρ(xn , x̃n ).n→∞®ª ¦¥¬ ­¥§ ¢¨á¨¬®áâì í⮣® ¯à¥¤¥« ®â ¢ë¡®à ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩ ¨§ ª« áᮢ íª¢¨¢ «¥­â­®á⨠y ¨ ỹ. ãáâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨{xn } ¨ {x∗n } ¯à¨­ ¤«¥¦ â ª« ááã y , ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠{x̃n } ¨{x̃∗n } ¯à¨­ ¤«¥¦ â ª« ááã ỹ .

’®£¤ ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î {xn } ∼ {x∗n } ¨{x̃n } ∼ {x̃∗n }, â. ¥. ρ(xn , x∗n ) → 0 ¨ ρ(x̃n , x̃∗n ) → 0 ¯à¨ n → ∞. ’ ª ª ª¯® ­¥à ¢¥­áâ¢ã âà¥ã£®«ì­¨ª á¯à ¢¥¤«¨¢ë ­¥à ¢¥­á⢠ρ(xn , x̃n ) ≤ρ(xn , x∗n ) + ρ(x∗n , x̃∗n ) + ρ(x̃n , x̃∗n ),ρ(x∗n , x̃∗n ) ≤ρ(xn , x∗n ) + ρ(xn , x̃n ) + ρ(x̃n , x̃∗n ),60â® ¯®«ãç ¥¬¯¯¯¯¯ρ(xn , x̃n ) − ρ(x∗n , x̃∗n )¯ ≤ ρ(xn , x∗n ) + ρ(x̃n , x̃∗n ) → 0¯à¨n → ∞.’ ª¨¬ ®¡à §®¬, n→∞lim ρ(x∗n , x̃∗n ) = lim ρ(xn , x̃n ), â.

¥. ¤®ª § ­ ª®àn→∞४⭮áâì ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ä㭪樨 d.à®¢¥à¨¬ ªá¨®¬ë ¬¥âਪ¨ ¤«ï ä㭪樨 d. ® ®¯à¥¤¥«¥­¨î d¤«ï «î¡ëå y, ỹ ∈ Y ¨¬¥¥¬ d(y, ỹ) ≥ 0. ãáâì d(y, ỹ) = 0. â® ¢®§¬®¦­® ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¤«ï «î¡ëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩{xn } ∈ y ¨ {x̃n } ∈ ỹ ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ 0 = lim ρ(xn , x̃n ). ‘«¥n→∞¤®¢ ⥫쭮, {xn } ∼ {x̃n }, çâ® à ¢­®á¨«ì­® à ¢¥­áâ¢ã y = ỹ.

„ «¥¥¨¬¥¥¬ d(y, ỹ) = n→∞lim ρ(xn , x̃n ) = lim ρ(x̃n , xn ) = d(ỹ, y). à®¢¥à¨¬n→∞¤«ï d ­¥à ¢¥­á⢮ âà¥ã£®«ì­¨ª .  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ë¥ y, ỹ, ŷ ∈∈ Y . ’®£¤ ¤«ï «î¡ëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩ {xn } ∈ y , {x̃n } ∈ ỹ ¨{x̂n } ∈ ŷ ¯®«ãç ¥¬³d(y, ỹ) = lim ρ(xn , x̃n ) ≤ limn→∞n→∞´ρ(xn , x̂n ) + ρ(x̃n , x̂n ) == d(y, ŷ) + d(ỹ, ŷ).’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à®¢¥à¥­ë ¢á¥ ªá¨®¬ë ¬¥âਪ¨ ¤«ï ä㭪樨 d.®«ã稫¨ ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (Y, d), á®áâ®ï饥 ¨§ ª« áᮢ íª¢¨¢ «¥­â­ëå äã­¤ ¬¥­â «ì­ëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩ ¨§ (X, ρ). ®ª ¦¥¬, çâ® ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (Y, d) ï¥âáï ¯®¯®«­¥­¨¥¬¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠(X, ρ).„«ï «î¡®£® í«¥¬¥­â x ∈ X ®¡®§­ 稬 ç¥à¥§ s(x) ª« áá íª¢¨¢ «¥­â­ëå äã­¤ ¬¥­â «ì­ëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩ ¨§ X , ᮤ¥à¦ 騩áâ 樮­ à­ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì xn = x ¤«ï «î¡®£® n ∈ N.

Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¬­®¦¥á⢮ Z = { s(x) | x ∈ X } ⊂ Y .®ª ¦¥¬, çâ® ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà ­á⢠(X, ρ) ¨ (Z, d) ¨§®¬¥âà¨ç­ë.  áᬮâਬ ®â®¡à ¦¥­¨¥ ϕ: X → Z ¢¨¤ ϕ(x) = s(x) ¤«ï«î¡®£® x ∈ X . ’®£¤ ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨îϕ(X)³´ = Z , ¯à¨çñ¬ ¤«ï «î¡ëåí«¥¬¥­â®¢ x, x̃ ∈ X ­ 室¨¬ d s(x), s(x̃) = n→∞lim ρ(x, x̃) = ρ(x, x̃).‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ®â®¡à ¦¥­¨¥ ϕ ï¥âáï ¨§®¬¥âਥ©.®ª ¦¥¬, çâ® ¬­®¦¥á⢮ Z ï¥âáï d-¢áî¤ã ¯«®â­ë¬ ¢ Y .

 áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ë© í«¥¬¥­â y ∈ Y ¨ «î¡®¥ ε > 0. ‚®§ì¬ñ¬ ¯à®¨§¢®«ì­ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn } ∈ y. ‚ ᨫã äã­¤ ¬¥­â «ì­®áâ¨í⮩ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¢ ¬¥âà¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà ­á⢥ (X, ρ) áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à N = N (ε), â ª®©, çâ® ¤«ï «î¡ëå n, m ≥ N ¢ë¯®«­¥­®61­¥à ¢¥­á⢮³´d s(xN ), yρ(xn , xm ) ≤ ε. Ž¯à¥¤¥«¨¬ í«¥¬¥­â s(xN ) ∈ Z . ’®£¤ = lim ρ(xN , xn ) ≤ ε. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, [Z]τd = Y , çâ® ¨n→∞âॡ®¢ «®áì.®ª ¦¥¬, ­ ª®­¥æ, çâ® ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (Y, d) ï¥âáﯮ«­ë¬.  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ãî d-äã­¤ ¬¥­â «ì­ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {yn }∞n=1 ⊂ Y . ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥àN (ε), â ª®©, çâ® ¤«ï «î¡ëå n, m > N (ε) ¢ë¯®«­¥­® d(yn , ym ) < ε.’ ª ª ª ¬­®¦¥á⢮ Z ï¥âáï d-¢áî¤ã ¯«®â­ë¬ ¢ ¬­®¦¥á⢥ Y ,⮳ ¤«ï «î¡®£®­®¬¥à n áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥­â xn ∈ X , â ª®©, çâ®´d s(xn ), yn < n1 .  áᬮâਬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn } ⊂ X . ®ª ¦¥¬, çâ® ®­ ï¥âáï ρ-äã­¤ ¬¥­â «ì­®©.¤«ï© ¡ ¢ £ ¤ „¥©á⢨⥫쭮,ª«î¡ëå ­®¬¥à®¢ n, m > M (ε) = max N 3ε , 3ε + 1 ¯®«ãç ¥¬ρ(xn , xm ) =³´³´³´= d s(xn ), s(xm ) ≤ d s(xn ), yn + d s(xm ), ym + d (yn , ym ) <<11ε++ < ε.n m 3‘«¥¤®¢ ⥫쭮, áãé¥áâ¢ã¥â ª« áá íª¢¨¢ «¥­â­ëå äã­¤ ¬¥­â «ì­ë寮᫥¤®¢ ⥫쭮á⥩ y ∈ Y , â ª®©, çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn } ∈ y.®ª ¦¥¬,¡ ¢ çâ® d(yn , y) → 0 ¯à¨ n → ∞.

„¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï «î¡®£®n > M 2ε ¨¬¥¥¬³´ ³´1ε εd(yn , y) ≤ d s(xn ), yn +d s(xn ), y < + lim ρ(xn , xm ) < + < ε.n m→∞6 2’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®ª § ­®, çâ® d-äã­¤ ¬¥­â «ì­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {yn }∞n=1 ⊂ Y á室¨âáï ª í«¥¬¥­âã y ∈ Y . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (Y, d) ï¥âáï ¯®«­ë¬.ˆâ ª, ¤«ï ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠(Y, d) ¯à®¢¥à¥­® ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.5.3 ¯®¯®«­¥­¨ï ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠(X, ρ).

’¥®à¥¬ ¤®ª § ­ . à ¨ ¬ ¥ à 1.5.2.  áᬮâਬ «¨­¥©­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ `1 , á®áâ®ï饥 ¨§ ¢á¥å ç¨á«®¢ëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩, ª®¬¯®­¥­âë ª®â®àëå®¡à §ãî⠡᮫îâ­® á室ï騩áï àï¤ (á¬. ¯à¨¬¥à 1.4.4), ¬¥âਪ ¢ª®â®à®¬ ¨¬¥¥â ¢¨¤ ρ(x, y) = sup |x(k) − y(k)|. Š ª ¯®ª § ­® ¢ ¯à¨k∈N¬¥à¥ 1.4.4, íâ® ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ ï¥âáï ­¥¯®«­ë¬. Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ c0 , á®áâ®ï襥 ¨§ ¢á¥å ¡¥áª®­¥ç­®62¬ «ëå ç¨á«®¢ëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩, á ⮩ ¦¥ ¬¥âਪ®© ρ. ®ª ¦¥¬, çâ® ¯®¯®«­¥­¨¥¬ ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠(`1 , ρ) ï¥âáﬥâà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (c0 , ρ).„®ª ¦¥¬ ¯®«­®âã ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠(c0 , ρ). Š ª ¯®ª § ­® ¢ ¯à¨¬¥à¥ 1.4.3, ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (`∞ , ρ), á®áâ®ï饥 ¨§¢á¥å ®£à ­¨ç¥­­ëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩, ï¥âáï ¯®«­ë¬. ’ ª ª ªc0 ⊂ `∞ , â® ¯à®¨§¢®«ì­ ï ρ-äã­¤ ¬¥­â «ì­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì∞{xn }n=1⊂ c0 á室¨âáï ¢ (`∞ , ρ) ª ­¥ª®â®à®¬ã í«¥¬¥­âã z ∈ `∞ .

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à N (ε), â ª®©, ç⮤«ï «î¡®£® n > N (ε) ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ ρ(xn , z) < ε. Žáâ «®á쯮ª § âì, çâ® z ∈ c0 , â. ¥. ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì z ï¥âáï ¡¥áª®­¥ç­®¬ «®©. ’ ª ª ª ¤«ï «î¡®£® n ∈ N ¨¬¥¥¬ ¢ª«î祭¨¥ xn ∈ c0 , â® ¤«ï«î¡®£® n ∈ N ¨ ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à Kn (ε), â ª®©, çâ® ¤«ï «î¡®£® k > Kn (ε) ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ |xn (k)| < ε. ’®£¤ ¤«ï ­®¬¥à n = N (ε) + 1 ¨ «î¡®£® k > Kn (ε) ­ 室¨¬ |z(k)| ≤ |z(k) − xn (k)| ++ |xn (k)| < ρ(z, xn ) + ε < 2ε.

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì zï¥âáï ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®©. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®ª § ­ ¯®«­®â ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠(c0 , ρ).®ª ¦¥¬, çâ® ¬­®¦¥á⢮ `1 ï¥âáï ρ-¢áî¤ã ¯«®â­ë¬ ¢ c0 . „¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® x ∈ c0 ¨ «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥àK(x, ε), â ª®©, çâ® |x(k)| < ε ¤«ï «î¡®£® k > K(x, ε). Ž¯à¥¤¥«¨¬í«¥¬¥­â z ∈ `1 á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:½z(k) =’®£¤ ¯®«ãç ¥¬ ρ(x, z) =x(k),0,¡¢1 ≤ k ≤¡ K ¢x, 2ε ,k > K x, 2ε .|x(k)| ≤supk>K (x, 2ε )ε2< ε,â.

Характеристики

Список файлов лекций