Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«­®¥ ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮R ¯à¥¤áâ ¢«¥­® ¢ ¢¨¤¥ áçñâ­®£® ®¡ê¥¤¨­¥­¨ï ᢮¨å ­¨£¤¥ ­¥ ¯«®â­ëå ¯®¤¬­®¦¥áâ¢. â® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ⥮६¥ 1.4.2 íà . ®«ã祭­®¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¤®ª §ë¢ ¥â âॡ㥬®¥ ã⢥ত¥­¨¥.‡ ¤ ç 1.4.2. ãáâì ª®¬¯«¥ªá­ ï äã­ªæ¨ï f : G → C ॣã«ïà­ ¢ ®¡« á⨠G ⊂ C. ãáâì ¤«ï ª ¦¤®£® ª®¬¯«¥ªá­®£® ç¨á« z ∈ Gáãé¥áâ¢ã¥â ­ âãà «ì­®¥ ç¨á«® n(z), â ª®¥, çâ® f (n(z)) (z) = 0. „®ª § âì, çâ® f | ¬­®£®ç«¥­. ¥ è ¥ ­ ¨ ¥.

ˆ§¢¥áâ­®, çâ® ª®¬¯«¥ªá­ ï ¯«®áª®áâì C á ¬¥âਪ®©ρ = |z − w| ï¥âáï ¯®«­ë¬ ¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ¯à®áâà ­á⢮¬.  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­®¥ z0 ∈ G. ‚ ᨫ㠮âªàëâ®á⨠¬­®¦¥á⢠G ¢ ¬¥âà¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà ­á⢥ (C, ρ) cãé¥áâ¢ã¥â ε0 > 0, â ª®¥, çâ® § ¬ª­ãâ멪à㣯noK0 = Bε0 (z0 ) =¯z ∈ C ¯ |z − z0 | ≤ ε0⊂ G.„«ï «î¡®£® m ∈ N à áᬮâਬ ¬­®¦¥á⢮nAm =¯o¯z ∈ K0 ¯ f (m) (z) = 0 .’ ª ª ª ª®¬¯«¥ªá­ ï äã­ªæ¨ï f ॣã«ïà­ ¢ ®¡« á⨠G, â® ¬­®¦¥á⢮ Am § ¬ª­ãâ® ¢ (C, ρ), ¯à¨çñ¬ ¤«ï «î¡®£® ª®¬¯«¥ªá­®£® ç¨á« z ∈∞S∈ K0 ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ z ∈ An(z) .

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, K0 =Am .m=1’ ª ª ª ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (K0 , ρ) ï¥âáï ¯®«­ë¬ ¢ ᨫãã⢥ত¥­¨ï 1.4.1, ¢á¥ ¬­®¦¥á⢠Am ⊂ K0 § ¬ª­ãâë ¢ ¬¥âà¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà ­á⢥ (K0 , ρ), â® ¯® ⥮६¥ 1.4.2 íà áãé¥áâ¢ã¥â m0 ∈∈ N, â ª®¥, çâ® ¬­®¦¥á⢮ Am ¢ ¬¥âà¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà ­á⢥ (K0 , ρ)053ᮤ¥à¦¨â ®âªàëâë© è à.

â® ®§­ ç ¥â, çâ® áãé¥áâ¢ãîâε1 > 0, â ª¨¥, çâ®nOε1 (z1 ) ∩ K0 =z1 ∈ K0¨¯o¯z ∈ K0 ¯ |z − z1 | < ε1 ⊂ Am0 .®ª ¦¥¬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â z2 ∈ Oε1(z1 ) ∩ K0 ,â ª®¥, çâ®|z2 − z0 | < ε0 .„¥©á⢨⥫쭮, ®¯à¥¤¥«¨¬ z2 = z1 + α(z0 − z1 ) ¤«ï 0 < α < 1. ’®£¤ ¯à¨ 0 < α < εε ¢ë¯®«­¥­ë ­¥à ¢¥­á⢠10|z2 − z1 | = α|z0 − z1 | ≤ αε0 < ε1 ,|z2 − z0 | = (1 − α)|z1 − z0 | ≤ (1 − α)ε0 < ε0 .³no´‘«¥¤®¢ ⥫쭮, «î¡®¥ ç¨á«® α ∈ 0, min 1, εε10 ¯®¤®©¤ñâ. Ž¯à¥¤¥«¨¬ ç¨á«® ε2 = min{ ε0 − |z2 − z0 | , ε1 − |z2 − z1 | } > 0. ®«ãç ¥¬,çâ® á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥nOε2 (z2 ) =¯o¯z ∈ C ¯ |z − z2 | < ε2 ⊂ Oε1 (z1 ) ∩ K0 ⊂ Am0 .‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï ¢á¥å z ∈ Oε (z2 ) ¨¬¥¥¬ f (m ) (z) = 0.

’®£¤ ¤«ï«î¡®£® k ≥ m0 ¨ «î¡®£® z ∈ Oε (z2 ) ¯®«ãç ¥¬ f (k) (z) = 0. ’ ªª ª ॣã«ïà­ ï ¢ ®âªàë⮬ ªà㣥 ª®¬¯«¥ªá­®© ¯«®áª®á⨠äã­ªæ¨ï¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ­ñ¬ ᢮¨¬ à冷¬ ’¥©«®à , â® à áᬠâਢ ¥¬ ï äã­ªæ¨ï f ï¥âáï ¢ Oε (z2 ) ¬­®£®ç«¥­®¬ á⥯¥­¨ ¬¥­ìè¥ m0 . ’ ª ª ª¬­®£®ç«¥­ P ¨ äã­ªæ¨ï f ॣã«ïà­ë ¢ ®¡« á⨠G ¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¯®εá«¥¤®¢ ⥫쭮áâì wk = z2 + k+1∈ Oε (z2 ), â ª ï, çâ® wk → z2 ¯à¨k → ∞ ¨ f (wk ) = P (wk ), â® ¯® ⥮६¥ ¥¤¨­á⢥­­®á⨠ॣã«ïà­®©ä㭪樨 f = P ¢ ®¡« á⨠G.0222221.5.

®¯®«­¥­¨¥ ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 1.5.1. ãáâì (X1 , ρ1 ) ¨ (X2 , ρ2 ) | ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà ­á⢠. Žâ®¡à ¦¥­¨¥ ϕ: X1 → X2 ­ §ë¢ ¥âáï ¨§®¬¥âਥ©, ¥á«¨ ϕ ï¥âáï ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ç­ë¬ (â. ¥. ¤«ï «î¡®£® x2 ∈∈ X2 áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ë© x1 ∈ X1 , â ª®©, çâ® ϕ(x1 ) = x2 ), ¨¤«ï «î¡ëåí«¥¬¥­â®¢x1 , y1 ∈ X1 ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ ρ1 (x1 , y1 ) =³´= ρ2 ϕ(x1 ), ϕ(y1 ) . …᫨ ¬¥¦¤ã ¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨ ¯à®áâà ­á⢠¬¨ X1¨ X2 áãé¥áâ¢ã¥â ¨§®¬¥âà¨ï, â® £®¢®àïâ, çâ® ®­¨ ïîâáï ¨§®¬¥âà¨ç­ë¬¨.54“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 1.5.1. ãáâì (X1 , ρ1 ) ¨ (X2 , ρ2 ) | ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà ­á⢠, ¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¨§®¬¥âà¨ï ϕ: X1 → X2 . ’®£¤ ®¡à â­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ ϕ−1 : X2 → X1 ⮦¥ ï¥âáï ¨§®¬¥âਥ©.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

’ ª ª ª ϕ ï¥âáï ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ç­ë¬ ®â®¡à ¦¥­¨¥¬ X1 ­ X2 , â® ®¡à â­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ ϕ−1 : X2 →→ X1 áãé¥áâ¢ã¥â. ’®£¤ ¤«ï «î¡ëå í«¥¬¥­â®¢ x2 , y2 ∈ X2 ¯®«ãç ¥¬³ ³´ ³´´³´ρ2 (x2 , y2 ) = ρ2 ϕ ϕ−1 (x2 ) , ϕ ϕ−1 (y2 ) = ρ1 ϕ−1 (x2 ), ϕ−1 (y2 ) ,â. ¥. ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 1.5.1 ®â®¡à ¦¥­¨¥ ϕ−1 ï¥âáï ¨§®¬¥âਥ©.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 1.5.2.

ãáâì (X1 , ρ1 ), (X2 , ρ2 ) ¨ (X3 , ρ3 ) |¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà ­á⢠, ¯à¨çñ¬ áãé¥áâ¢ãîâ ¨§®¬¥âਨ ϕ: X1 →→ X2 ¨ ψ: X2 → X3 . ’®£¤ ®â®¡à ¦¥­¨¥ γ: X1 → X3 ¢¨¤ γ = ϕ ◦ ψ ,â. ¥. á㯥௮§¨æ¨ï ®â®¡à ¦¥­¨© ϕ ¨ ψ, ⮦¥ ï¥âáï ¨§®¬¥âਥ©.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. Žâ®¡à ¦¥­¨¥ γ ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ç­® ®â®¡à ¦ ¥â X1 ­ X3 ª ª á㯥௮§¨æ¨ï ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ç­ëå ®â®¡à ¦¥­¨© ϕ ¨ ψ. „ «¥¥ ¤«ï «î¡ëå í«¥¬¥­â®¢ x1 , y1 ∈ X1 ­ 室¨¬³´ρ1 (x1 , y1 ) = ρ2 ϕ(x1 ), ϕ(y1 ) =³ ³´ ³´´³´= ρ3 ψ ϕ(x1 ) , ψ ϕ(y1 ) = ρ3 γ(x1 ), γ(y1 ) .‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 1.5.1 ®â®¡à ¦¥­¨¥¬¥âਥ©.γï¥âáï ¨§®-“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 1.5.3.

ãáâì (X1 , ρ1 ) ¨ (X2 , ρ2 ) | ¨§®¬¥âà¨ç­ë¥ ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà ­á⢠, ¯à¨çñ¬ ¯à®áâà ­á⢮ (X1 , ρ1 ) ï¥âáï ¯®«­ë¬. ’®£¤ ¯à®áâà ­á⢮ (X2 , ρ2 ) â ª¦¥ ï¥âáï ¯®«­ë¬.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ãáâì ϕ: X1 → X2 | ¨§®¬¥âà¨ï.  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ãî ρ2 -äã­¤ ¬¥­â «ì­ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì{zn }∞n=1 ⊂ X2 . ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à N == N (ε), â ª®©, çâ® ¤«ï «î¡ëå n, m > N ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ ρ2 (zn , zm ) < ε. Ž¯à¥¤¥«¨¬ xn = ϕ−1 (zn ).

’®£¤ ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 1.5.1 ¯®«ãç ¥¬ ρ1 (xn , xm ) = ρ2 (zn , zm ) < ε ¤«ï «î¡ëå n, m >> N . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 ⊂ X1 ï¥âáïρ1 -äã­¤ ¬¥­â «ì­®©. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫ㠯®«­®âë ¯à®áâà ­á⢠55(X1 , ρ1 ) áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥­â x ∈ X1 , â ª®©, çâ® ρ1 (xn , x) → 0 ¯à¨n → ∞. Ž¯à¥¤¥«¨¬ í«¥¬¥­â z = ϕ(x). ’®£¤ ­ 室¨¬ ρ2 (zn , z) == ρ2 (ϕ(xn ), ϕ(x)) = ρ1 (xn , x) → 0 ¯à¨ n → ∞. ®«ã稫¨, çâ® ¯à®¨§¢®«ì­ ï ρ2 -äã­¤ ¬¥­â «ì­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì á室¨âáï ¢ X2 ,â.

¥. ¯à®áâà ­á⢮ (X2 , ρ2 ) ï¥âáï ¯®«­ë¬.Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 1.5.2. ãáâì (X, ρ) | ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮. ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® ¬­®¦¥á⢮ A ⊂ X ï¥âáï ¢áî¤ã ¯«®â­ë¬ (¨«¨ ρ-¢áî¤ã ¯«®â­ë¬) ¢ ¬­®¦¥á⢥ B ⊂ X , ¥á«¨ ¢ë¯®«­¥­®¢ª«î祭¨¥ [A]τ ⊃ B , â. ¥. ¤«ï «î¡®£® b ∈ B ¨ «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â a ∈ A, â ª®¥, çâ® ρ(a, b) < ε.ρŽ ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 1.5.3. ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® ¯®«­®¥ ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (Y, d) ï¥âáï ¯®¯®«­¥­¨¥¬ ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠(X, ρ), ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¬­®¦¥á⢮ Z ⊂ Y , d-¢áî¤ã ¯«®â­®¥ ¢Y , â ª®¥, çâ® ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà ­á⢠(X, ρ) ¨ (Z, d) ¨§®¬¥âà¨ç­ë.‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 1.5.1.

ãáâì (X, ρ) | ­¥¯®«­®¥ ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮, (Y, d) | ¯®«­®¥ ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮, ¯à¨çñ¬ X ⊂ Y .ãáâì á㦥­¨¥ ¬¥âਪ¨ d ­ ¬­®¦¥á⢮ X ᮢ¯ ¤ ¥â á ¬¥âਪ®©ρ, ¬­®¦¥á⢮ X ï¥âáï d-¢áî¤ã ¯«®â­ë¬ ¢ Y . ’®£¤ ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (Y, d) ï¥âáï ¯®¯®«­¥­¨¥¬ (X, ρ). „¥©á⢨⥫쭮,à áᬮâਬ ¬­®¦¥á⢮ Z = X ¨ ⮦¤¥á⢥­­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ ϕ: X →→ Z ¢¨¤ ϕ(x) = x ¢ ஫¨ ¨§®¬¥âਨ ¬¥¦¤ã (X, ρ) ¨ (Z, d). ’®£¤ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.5.3 ¢ë¯®«­¥­®. ’ ª ª ª ¬­®¦¥á⢮ X ¢áî¤ã ¯«®â­® ¢Y , â® ¤«ï «î¡ëå í«¥¬¥­â®¢ y, ỹ ∈ Y áãé¥áâ¢ãîâ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨∞∈ X ¨ {x̃n }∞{xn }n=1n=1 ⊂ X , â ª¨¥, çâ® d(xn , y) → 0 ¨ d(x̃n , ỹ) →→ 0 ¯à¨ n → ∞.

®ª ¦¥¬, çâ® á¯à ¢¥¤«¨¢® ᮮ⭮襭¨¥ d(y, ỹ) == lim ρ(xn , x̃n ). „¥©á⢨⥫쭮, ¯® ­¥à ¢¥­áâ¢ã âà¥ã£®«ì­¨ª ­ å®n→∞¤¨¬d(y, ỹ) ≤ d(xn , y) + d(x̃n , ỹ) + ρ(xn , x̃n ).¥à¥å®¤ï ª ­¨¦­¥¬ã ¯à¥¤¥«ã ¢ í⮬ ­¥à ¢¥­á⢥, ¯®«ãç ¥¬ d(y, ỹ) ≤≤ lim ρ(xn , x̃n ). „ «¥¥ ¯® ­¥à ¢¥­áâ¢ã âà¥ã£®«ì­¨ª ­ 室¨¬n→∞ρ(xn , x̃n ) ≤ d(xn , y) + d(x̃n , ỹ) + d(y, ỹ).¥à¥å®¤ï ª ¢¥àå­¥¬ã ¯à¥¤¥«ã ¢ í⮬ ­¥à ¢¥­á⢥, ¯®«ãç ¥¬lim ρ(xn , x̃n ) ≤ d(y, ỹ).n→∞56‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¯à ¢¥¤«¨¢ë ®æ¥­ª¨lim ρ(xn , x̃n ) ≤ d(y, ỹ) ≤ lim ρ(xn , x̃n ).n→∞n→∞’ ª ª ª ¢á¥£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮lim ρ(xn , x̃n ) ≤ lim ρ(xn , x̃n ),n→∞n→∞â® ¯®«ãç ¥¬, çâ®lim ρ(xn , x̃n ) = lim ρ(xn , x̃n ) = d(y, ỹ).n→∞n→∞‘«¥¤®¢ ⥫쭮, áãé¥áâ¢ã¥â n→∞lim ρ(xn , x̃n ) = d(y, ỹ). à ¨ ¬ ¥ à 1.5.1.  áᬮâਬ ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (R, d),£¤¥ ¬¥âਪ d(x, y) = |ex − ey |.

‚ § ¬¥ç ­¨¨ 1.4.1 ¡ë« ¯®ª § ­ ­¥¯®«­®â í⮣® ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠. à¥¤ê¬ ¯®¯®«­¥­¨¥í⮣® ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠.  áᬮâਬ Y = [0, +∞) á ®¡ëç­®© ­ ¢¥é¥á⢥­­®© ®á¨ ¬¥âਪ®© ρ(x, y) = |x − y|. ’ ª ª ª (R, ρ)ï¥âáï ¯®«­ë¬ ¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ¯à®áâà ­á⢮¬, ¬­®¦¥á⢮ Y ï¥âáï τρ -§ ¬ª­ãâë¬ ¢ R, â® ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 1.4.1 ¬¥âà¨ç¥áª®¥¯à®áâà ­á⢮ (Y, ρ) ï¥âáï ¯®«­ë¬.  áᬮâਬ ¬­®¦¥á⢮ Z == (0, +∞) ⊂ Y . ’ ª ª ª [Z]τ = Y , â® Z ï¥âáï ρ-¢áî¤ã ¯«®â­ë¬¢ Y .  áᬮâਬ ®â®¡à ¦¥­¨¥ ϕ: R → Z ¢¨¤ ϕ(x) = ex ¤«ï «î¡®£®x ∈ R. ’®£¤ ®â®¡à ¦¥­¨¥ ϕ ï¥âáï ¨§®¬¥âਥ© ¬¥¦¤ã ¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨ ¯à®áâà ­á⢠¬¨ (R, d) ¨ (Z, ρ).

„¥©á⢨⥫쭮, ®â®¡à ¦¥­¨¥ ϕï¥âáï ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ç­ë¬ ¨§ R ­ Z , ¨ ¯à¨ í⮬ ¤«ï «î¡ëåx, y ∈ R ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ρ³´d(x, y) = |ex − ey | = | ϕ(x) − ϕ(y)| = ρ ϕ(x), ϕ(y) .’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 1.5.3 ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (Y, ρ)ï¥âáï ¯®¯®«­¥­¨¥¬ ­¥¯®«­®£® ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠(R, d).‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¢ à áᬮâ७­®¬ ¯à¨¬¥à¥ ¯®¯®«­¥­¨¥ Y ï¥âáï ᮡá⢥­­ë¬ ¯®¤¬­®¦¥á⢮¬ ¯®¯®«­ï¥¬®£® ¬­®¦¥á⢠R, â. ¥. Y ⊂ R ¨Y 6= R.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 1.5.4. ‹î¡ë¥ ¤¢ ¯®¯®«­¥­¨ï ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠(X, ρ) ¨§®¬¥âà¨ç­ë.57„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ãáâì (Y1 , ρ1 ) ¨ (Y2 , ρ2 ) | ¤¢ ¯®¯®«­¥­¨ï ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠(X, ρ). ’ॡã¥âáï ¤®ª § âì, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¨§®¬¥âà¨ï ψ: Y1 → Y2 . ® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 1.5.3 áãé¥áâ¢ã¥â¬­®¦¥á⢮ Z1 ⊂ Y1 , ρ1 -¢áî¤ã ¯«®â­®¥ ¢ Y1 , ¨ ¬­®¦¥á⢮ Z2 ⊂ Y2 , ρ2 ¢áî¤ã ¯«®â­®¥ ¢ Y2 , â ª¨¥, çâ® ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (X, ρ) ¨§®¬¥âà¨ç­® ¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ¯à®áâà ­á⢠¬ (Z1 , ρ1 ) ¨ (Z2 , ρ2 ).

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, áãé¥áâ¢ãîâ ¨§®¬¥âਨ ϕ1 : X → Z1 ¨ ϕ2 : X → Z2 . Ž¯à¥¤¥«¨¬®â®¡à ¦¥­¨¥ ϕ = ϕ2 ◦ ϕ−11 : Z1 → Z2 . ‚ ᨫã ã⢥ত¥­¨© 1.5.1 ¨ 1.5.2®â®¡à ¦¥­¨¥ ϕ ï¥âáï ¨§®¬¥âਥ©. ’ ª ª ª ¬­®¦¥á⢮ Z1 ï¥âáïρ1 -¢áî¤ã ¯«®â­ë¬ ¢ Y1 , â® ¤«ï «î¡®£® y1 ∈ Y1 áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {zn }∞n=1 ⊂ Z1 , â ª ï, çâ® ρ1 (zn , y1 ) → 0 ¯à¨ n → ∞.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, â ª ª ª ®â®¡à ¦¥­¨¥ ϕ ï¥âáï ¨§®¬¥âਥ©, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ®¡à §®¢ ϕ(zn ) ∈ Z2 ï¥âáï ρ2 -äã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¢¯®«­®¬ ¬¥âà¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà ­á⢥(Y2 ,´ρ2 ).

®í⮬ã áãé¥áâ¢ã¥â í«¥³¬¥­â y2 ∈ Y2 , â ª®©, çâ® ρ2 ϕ(zn ), y2 → 0 ¯à¨ n → ∞. Ž¡ê¬¯®áâ஥­­ë© í«¥¬¥­â y2 ∈ Y2 ®¡à §®¬ í«¥¬¥­â y1 ∈ Y1 ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ®â®¡à ¦¥­¨ï ψ, â. ¥. ψ(y1 ) = y2 . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¯à¥¤¥«¥­®®â®¡à ¦¥­¨¥ ψ: Y1 → Y2 . ®ª ¦¥¬, çâ® íâ® ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ª®à४⭮, â. ¥. §­ 祭¨¥ ψ(y1 ) ­¥ § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨zn ∈ Z1 , á室ï饩áï ª y1 . „¥©á⢨⥫쭮, ¯ãáâì ¤àã£ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì z̃n ∈ Z1 á室¨âáï ª y1 . ’®£¤ ¯® ­¥à ¢¥­áâ¢ã âà¥ã£®«ì­¨ª ρ1 (zn , z̃n ) ≤ ρ1 (zn , y1 ) + ρ1 (z̃n , y1 ) → 0 ¯à¨ n → ∞.³‘«¥¤®¢ ⥫쭮,´â ª ª ª ®â®¡à ¦¥­¨¥ ϕ ï¥âáï ¨§®¬¥âਥ©, â® ρ2 ϕ(zn ), ϕ(z̃n ) == ρ1 (zn , z̃n ) ³→ 0 ¯à¨ ´n → ∞âà¥ã£®«ì­¨ª ³.

Характеристики

Список файлов лекций