Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 57

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 57)

‘«¥¤®¢ k=1⥫쭮,³ ¯®«ãç ¥¬P (A) = aN Arz . . . Arz . …᫨ ¨¬¥¥¬ ᮮ⭮襭¨¥´0 6∈ P σ(A) , â. ¥. zk 6∈ σ(A) ¤«ï «î¡®£® k ∈ 1, m, â® áãé¥áâ¢ã¥â®¡à â­ë© ®¯¥à â®àP (A)k11³mm´−1¡¢ r11 ¡ −1 ¢rNP (A)=AzN. . . A−1∈ L(X).z1aNŽ¡à â­®, ¯ãáâì ®¯¥à â®à P (A)­¥¯à¥à뢭®®¡à ⨬ ­ X , â. ¥. áã³´−1é¥áâ¢ã¥â ®¡à â­ë© ®¯¥à â®à P (A)∈ L(X).  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­®¥ n ∈ 1, m. ’ ª ª ª «¨­¥©­ë¥ ®¯¥à â®àë Az ¯à¨ ¢á¥å k ∈ 1, mmQArz , ¯®¯¥à¥áâ ­®¢®ç­ë, â®, ®¯à¥¤¥«¨¢ ®¯¥à â®à T = aN Arz −1knnk=1k6=nkk«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮P (A) = Az T = T Az . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ³´−1³´−1¥¬ I = Az T P (A)= P (A)T Az .

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¯¥à â®à Az ¨¬¥¥â «¥¢ë© ¨ ¯à ¢ë© ®¡à â­ë¥ ®¯¥à â®àë, ­¥¯à¥à뢭륳´−1­ X . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯® § ¬¥ç ­¨î 3.5.3 ¯®«ãç ¥¬ T P (A)=nnnnn³´−1³´−1= P (A)T = Azn∈ L(X),â. ¥. ¢ë¯®«­¥­® zn 6∈ σ(A). ’ ª¨¬®¡à §®¬, á¯à ¢¥¤«¨¢® ᮮ⭮襭¨¥ 0 6∈ P³´σ(A) .‚ ᨫ㠢ë襨§«®¦¥­­®£® ¯®«ãç ¥¬, ç⮠ᮮ⭮襭¨¥ λ 6∈ σ³P (A)³´à ¢­®á¨«ì­® ­¥¯à¥à뢭®© ®¡à ⨬®á⨠­ X ®¯¥à â®à P (A) =³´ λ= (P −λ)(A), çâ® ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì à ¢­®á¨«ì­® 0 6∈ (P −λ) σ(A) , â.

¥.³´³´λ 6∈ P σ(A) . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ª«î祭¨¥ λ ∈ σ P (A) à ¢­®á¨«ì­®³´³´¢ª«î祭¨î λ ∈ P σ(A) , â. ¥. á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ σ P (A) =³´= P σ(A) , çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.5.8. Š®¬¯ ªâ­ë© ®¯¥à â®à341´‚ í⮬ ¯ à £à ä¥ à áᬠâਢ îâáï ¡ ­ å®¢ë ¯à®áâà ­á⢠X , Y¨ «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A: X → Y .Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 5.8.1. ‹¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A ­ §ë¢ ¥âáï ª®¬¯ ªâ­ë¬, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ®£à ­¨ç¥­­®£® ¬­®¦¥á⢠S ⊂ X ¥£® ®¡à § A(X) ï¥âáï ¢¯®«­¥ ®£à ­¨ç¥­­ë¬ ¢ Y .‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 5.8.1. ’ ª ª ª ¢¯®«­¥ ®£à ­¨ç¥­­®áâì ¬­®¦¥á⢠¢«¥çñâ ¥£® ®£à ­¨ç¥­­®áâì, â® ª®¬¯ ªâ­ë© ®¯¥à â®à ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­ë¬ ®¯¥à â®à®¬. à¨¬¥à®¬ ­¥ª®¬¯ ªâ­®£® «¨­¥©­®£® ®£à ­¨ç¥­­®£® ®¯¥à â®à ¬®¦¥â á«ã¦¨âì ⮦¤¥á⢥­­ë© ®¯¥à â®à ­ ¡¥áª®­¥ç­®¬¥à­®¬ ¡ ­ 客®¬ ¯à®áâà ­á⢥, â ª ª ª ¯® ⥮६¥ 3.1.2¨áá ¥¤¨­¨ç­ ï áä¥à ¢ ¡¥áª®­¥ç­®¬¥à­®¬ ¡ ­ 客®¬ ¯à®áâà ­á⢥­¥ ï¥âáï ¢¯®«­¥ ®£à ­¨ç¥­­ë¬ ¬­®¦¥á⢮¬.

‚ ¡ ­ 客®¬ ¯à®áâà ­á⢥ ¢¯®«­¥ ®£à ­¨ç¥­­®áâì ¬­®¦¥áâ¢ à ¢­®á¨«ì­ ⮬ã, çâ® ¥£®§ ¬ëª ­¨¥ ï¥âáï ª®¬¯ ªâ®¬ (á¬. § ¬¥ç ­¨¥ 2.2.3). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ®¯¥à â®à A ï¥âáï ª®¬¯ ªâ­ë¬ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ § ¬ëª ­¨¥ ®¡à § «î¡®£® ®£à ­¨ç¥­­®£® ¬­®¦¥á⢠¨§ X ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ A ï¥âáï ª®¬¯ ªâ®¬³´¢ Y . Š®¬¯ ªâ­®áâì ®¯¥à â®à A à ¢­®á¨«ì­ ⮬ã, çâ® A B1 (0) ï¥âáï ¢¯®«­¥ ®£à ­¨ç¥­­ë¬ ¬­®¦¥á⢮¬ ¢ Y . ¥®¡å®¤¨¬®áâì í⮣® ãá«®¢¨ï ®ç¥¢¨¤­ . ®ª ¦¥¬ ¤®áâ â®ç­®áâì. „«ï «î¡®£® ®£à ­¨ç¥­­®£® ¬­®¦¥á⢠S ⊂ X áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® R > 0, â ª®¥,³ çâ® S´⊂ BR (0). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, RS ⊂ B1 (0) ¨¡ ¢¬­®¦¥á⢮ A RS ⊂ A B1 (0) ï¥âáï ¢¯®«­¥ ®£à ­¨ç¥­­ë¬ ª ª¯®¤¬­®¦¥á⢮ ¢¯®«­¥ ®£à ­¨ç¥­­®£® ¬­®¦¥á⢠.® ⮣¤ ¢¯®«­¥¡ ¢®£à ­¨ç¥­­ë¬ ï¥âáï ¨ ¬­®¦¥á⢮ RA RS = A(S), çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì. ’ ª ª ª á㬬 ¢¯®«­¥ ®£à ­¨ç¥­­ëå ¬­®¦¥á⢠¨ 㬭®¦¥­¨¥¢¯®«­¥ ®£à ­¨ç¥­­®£® ¬­®¦¥á⢠­ ᪠«ïà ⮦¥ ïîâáï ¢¯®«­¥ ®£à ­¨ç¥­­ë¬¨ ¬­®¦¥á⢠¬¨, â® ª®­¥ç­ ï «¨­¥©­ ï ª®¬¡¨­ æ¨ïª®¬¯ ªâ­ëå ®¯¥à â®à®¢ ⮦¥ ï¥âáï ª®¬¯ ªâ­ë¬ ®¯¥à â®à®¬.

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å ª®¬¯ ªâ­ëå ®¯¥à â®à®¢, ¤¥©áâ¢ãîé¨å¨§ X ¢ Y , ®¡à §ã¥â ¢ ¯à®áâà ­á⢥ L(X, Y ) ¯®¤¯à®áâà ­á⢮, ª®â®à®¥®¡®§­ 稬 K(X, Y ). …᫨ Y = X , â® ®¡®§­ 稬 K(X) = K(X, X).“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.8.1. …᫨ «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A ∈ L(X, Y )¨¬¥¥â ª®­¥ç­®¬¥à­ë© ®¡à §, â® ®­ ª®¬¯ ªâ­ë©.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ’ ª ª ª ®¯¥à â®à A ∈ L(X, Y ), â® ¤«ï«î¡®£® ®£à ­¨ç¥­­®£® ¬­®¦¥á⢠S ⊂ X ¨¬¥¥¬ A(S) | ®£à ­¨ç¥­342­®¥ ¯®¤¬­®¦¥á⢮ ª®­¥ç­®¬¥à­®£® ¯®¤¯à®áâà ­á⢠Im A. ® á«¥¤á⢨î 3.1.1 ª®­¥ç­®¬¥à­®¥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ Im A ¯®«­® ¢ Y .

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ [A(S)] ⊂ Im A. ‚ ᨫã á«¥¤á⢨ï 3.1.1«î¡®¥ § ¬ª­ã⮥ ®£à ­¨ç¥­­®¥ ¯®¤¬­®¦¥á⢮ ª®­¥ç­®¬¥à­®£® ¯®¤¯à®áâà ­á⢠¨§ Y ï¥âáï ª®¬¯ ªâ®¬ ¢ Y . ®í⮬ã [A(S)] | ª®¬¯ ªâ, ¨ ¢ ᨫ㠧 ¬¥ç ­¨ï 5.8.1 ¯®«ãç ¥¬, çâ® A | ª®¬¯ ªâ­ë© ®¯¥à â®à.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.8.2. ãáâì «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A ï¥â-áï ª®¬¯ ªâ­ë¬, ¥£® ®¡à §ª®­¥ç­®¬¥à­ë© ®¡à §.Im A§ ¬ª­ãâ.

’®£¤ ®¯¥à â®àA¨¬¥¥â„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ãáâì Z = Im A | § ¬ª­ã⮥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ ¢ ¡ ­ 客®¬ ¯à®áâà ­á⢥ Y . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ Z á ¬® ï¥âáï ¯®«­ë¬. ’®£¤ ¯® ⥮६¥ 3.4.5 A ∈ L(X, Z)³ ﴥâáï ®âªàëâë¬ ®â®¡à ¦¥­¨¥¬. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¬­®¦¥á⢮ A O1 (0)®âªàëâ® ¢ ¡ ­ 客®¬ ¯à®áâà ­á⢥Z .´’ ª ª ª ®¯¥à â®à A ª®¬¯ ª³â¥­, â® ®âªàë⮥ ¬­®¦¥á⢮ A O1 (0) ï¥âáï ¢¯®«­¥ ®£à ­¨ç¥­­ë¬ ¢ Z . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ Z áãé¥áâ¢ã¥â ¢¯®«­¥ ®£à ­¨ç¥­­ ï áä¥à ¯®«®¦¨â¥«ì­®£® à ¤¨ãá . ’®£¤ ¯® ⥮६¥ 3.1.2 ¨áá ¯®«ãç ¥¬, ç⮯à®áâà ­á⢮ Z = Im A ï¥âáï ª®­¥ç­®¬¥à­ë¬.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.8.3. ãáâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ®¯¥à â®à®¢ {Am }∞m=1 ⊂ K(X, Y ) ï¥âáï á室ï饩áï ª ®¯¥à â®àã A ¯® ®¯¥à â®à­®© ­®à¬¥, â. ¥. kAm − Ak → 0 ¯à¨ m → ∞.

’®£¤ A ï¥âá类¬¯ ªâ­ë¬ ®¯¥à â®à®¬, â. ¥. A ∈ K(X, Y ). ˆ­ë¬¨ á«®¢ ¬¨, ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ K(X, Y ) § ¬ª­ãâ® ¢ L(X, Y ).„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. „«ï «î¡®£® ç¨á« ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â ­®-¬¥àN (ε), â ª®©, çâ® ¤«ï ¢á¥å m ≥ N (ε) ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮kAm − Ak ≤ ε. ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® x ∈ B1 (0) ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮ kAm (x) − A(x)k ≤ kAm − Ak ≤ ε ¯à¨ m ≥ N (ε)³ . ‡ 䨪á¨àã´¥¬ ¯à®¨§¢®«ì­®¥ m ≥ N (ε).

’ ª ª ª ¬­®¦¥á⢮ Am B1 (0) ¢¯®«­¥®£à ­¨ç¥­® ¢ Y , â® áãé¥áâ¢ãîâ ¢¥ªâ®àë x1 , . . . , xM ∈ B1 (0), â ª¨¥,Mçâ® ³ª®­¥ç­®¥´ ¬­®¦¥á⢮ {Am (xk )}k=1 ï¥âáï ε-á¥âìî ¬­®¦¥á⢠Am B1 (0)áï3ε-á¥âìî∈ B1 (0). ®ª ¦¥¬, çâ® ª®­¥ç­®¥ ¬­®¦¥á⢮ {A(xk )}Mk=1 ï¥â³´¬­®¦¥á⢠A B1 (0) . „¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® x ∈áãé¥áâ¢ã¥â k ∈ 1, M , â ª®©, çâ® kAm (x) − Am (xk )k ≤ ε.343’®£¤ ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî騥 ­¥à ¢¥­á⢠:kA(x) − A(xk )k ≤≤ kA(x) − Am (x)k + kAm (x) − Am (xk )k + kAm (xk ) − A(xk )k ≤ 3ε,çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 5.8.2. Ž¯¥à â®à A ­ §ë¢ ¥âáï ª®­¥ç­®¬¥à­ë¬, ¥á«¨ ®­ ï¥âáï ¯à¥¤¥«®¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠«¨­¥©­ëå ­¥¯à¥à뢭ëå ®¯¥à â®à®¢ á ª®­¥ç­®¬¥à­ë¬¨ ®¡à § ¬¨.‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 5.8.2.

‚ ᨫã ã⢥ত¥­¨© 5.8.1 ¨ 5.8.3 ¢á直©ª®­¥ç­®¬¥à­ë© ®¯¥à â®à ï¥âáï ª®¬¯ ªâ­ë¬.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.8.4. ãáâì Y = H | £¨«ì¡¥à⮢® ¯à®áâà ­á⢮, «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A ï¥âáï ª®¬¯ ªâ­ë¬. ’®£¤ A |ª®­¥ç­®¬¥à­ë© ®¯¥à â®à.„ ® ª § ³â ¥ « ì´á â ¢ ®. ’ ª ª ª A | ª®¬¯ ªâ­ë© ®¯¥à â®à, ⮬­®¦¥á⢮ A B1 (0) ï¥âáï ¢¯®«­¥ ®£à ­¨ç¥­­ë¬ ¢ H. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮,ª®­¥ç­ ï ε-á¥âì {ym }Mm=1 ⊂³ ¤«ï´ «î¡®£® ε > 0 ³áãé¥áâ¢ã¥â´⊂ A B1 (0) ¬­®¦¥á⢠A B1 (0) . Ž¯à¥¤¥«¨¬ ª®­¥ç­®¬¥à­®¥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮Lε = Lin{y1 , . . . , yM } ⊂ H.’ ª ª ª ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ Lε ª®­¥ç­®¬¥à­®, â® ¢ ᨫã á«¥¤á⢨ï 3.1.1®­® ï¥âáï § ¬ª­ãâë¬ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ H. ’®£¤ ¯® ⥮६¥ 3.2.2¨áá ®¡ ®à⮣®­ «ì­®¬ ¤®¯®«­¥­¨¨ á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ H == Lε ⊕(Lε )⊥ .

®í⮬㠤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à y ∈ H áãé¥áâ¢ãîâ ¥¤¨­á⢥­­ë¥ ¢¥ªâ®àë yk ∈ Lε ¨ y⊥ ∈ (Lε )⊥ , â ª¨¥, çâ® y = yk + y⊥ . Ž¯à¥¤¥«¨¬ «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à Pε : H → H ®à⮣®­ «ì­®£® ¯à®¥ªâ¨à®¢ ­¨ï ­ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ Lε ¯® ä®à¬ã«¥ Pε (y) = yk ¤«ï «î¡®£®y ∈pH. ’ ª ª ª ¤«ï «î¡®£®kyk =p y ∈ H ¢ë¯®«­¥­ë ᮮ⭮襭¨ïp=(yk + y⊥ , yk + y⊥ ) =(yk , yk ) + (y⊥ , y⊥ ) =kyk k2 + ky⊥ k2 ≥≥ kyk k = kPε (y)k, â® ¯®«ãç ¥¬ kPε k ≤ 1.

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, Pε ∈∈ L(H). Ž¯à¥¤¥«¨¬ «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à Aε = Pε A ∈ L(X, H). ’ ªª ª Im Aε ⊂ Lε , â® ®¯¥à â®à Aε ¨¬¥¥â ª®­¥ç­®¬¥à­ë© ®¡à §.  áᬮâਬ ¢ X ¯à®¨§¢®«ì­ë© ¢¥ªâ®à x ∈ B1 (0). „«ï ­¥£® áãé¥áâ¢ã¥â344­®¬¥à m ∈ 1, M , â ª®©, çâ® kA(x) − ym k ≤ ε. à¨ í⮬ ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ®¯¥à â®à Pε á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ Pε (ym ) = ym . Žâáî¤ ¯®«ãç ¥¬kA(x) − Aε (x)k ≤ kA(x) − ym k + kPε (ym − A(x))k ≤≤ (1 + kPε k)kA(x) − ym k ≤ 2ε.‚ ᨫ㠯ந§¢®«ì­®á⨠¢¥ªâ®à x ∈ B1 (0) ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮ kA−− Aε k ≤ 2ε. ’®£¤ , ¢ë¡à ¢ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì εn → +0 ¯à¨ n → ∞,¯®«ãç ¥¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì «¨­¥©­ëå ®¯¥à â®à®¢ Aε ∈ L(X, H)á ª®­¥ç­®¬¥à­ë¬¨ ®¡à § ¬¨, â ªãî, çâ® kA − Aε k ≤ 2εn → 0 ¯à¨n → ∞.

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¯¥à â®à A ï¥âáï ª®­¥ç­®¬¥à­ë¬.nn à ¨ ¬ ¥³à 5.8.1.´ ãáâì äã­ªæ¨ïçâ®K: [0, 1] × [0, 1] → C â ª®¢ ,«¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A: L2 [0, 1] →K ∈ L2 [0, 1] .  áᬮâਬ→ L2 [0, 1] ¢¨¤ ZK(t, τ )x(τ ) dµ(τ ) ¤«ï(Ax)(t) =2¯. ¢.t ∈ [0, 1]∀ x ∈ L2 [0, 1].[0,1]®ª ¦¥¬, çâ® ®¯¥à â®à A ï¥âáï ª®¬¯ ªâ­ë¬. à¥¦¤¥ ¢á¥£® ¯®ª ¦¥¬, çâ® ®¯¥à â®à­¥¯à¥à뢭ë¬, â.

¥. á¯à ¢¥¤«¨¢®³ A ï¥âáï´¢ª«î祭¨¥ A ∈ L L2 [0, 1] . „«ï «î¡®£® x ∈ L2 [0, 1] ¨¬¥¥¬ ᮮ⭮襭¨ïv¯¯2u¯ Z¯uZ¯¯u¯¯kAxk2 = udµ(t) ¯K(t, τ )x(τ ) dµ(τ )¯ ≤t¯¯¯[0,1]¯[0,1]vuuZZZu|K(t, τ )|2 dµ(τ ) |x(τ )|2 dµ(τ ) =dµ(t) ≤ut[0,1][0,1]vu=utZ[0,1]vZu2|K(t, τ )| dµ(t, τ ) u|x(τ )|2 dµ(τ ) = kKk2 kxk2 .t[0,1]×[0,1][0,1]‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ kAk ≤ kKk2®¯¥à â®à A ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭ë¬. ‘çñâ­ ï á¨á⥬ no∞S = fn (t) = sin (πnt)n=1345< +∞,â.

¥.®¡à §ã¥â ®à⮣®­ «ì­ë© ¡ §¨á¯à®áâà ­á⢥ L2 [0, 1].n ¢ £¨«ì¡¥à⮢®¬o∞’®£¤ áçñâ­ ï á¨á⥬ E = fn (t)fm (τ )®¡à §ã¥â ®à⮣®­ «ìn,m=1³´­ë© ¡ §¨á ¢ £¨«ì¡¥à⮢®¬ ¯à®áâà ­á⢥ L2 [0, 1]2 . ‡ ­ã¬¥à㥬 í«¥¬¥­âë á¨á⥬ë E á ¯®¬®éìî ®¤­®£® ¨­¤¥ªá , ¯®«ã稬no∞E = gk (t, τ ) = fnk (t)fmk (τ ).k=1„«ï «î¡®£® ­®¬¥à N à áᬮâਬN´-î á㬬㠔ãàì¥ ä㭪樨 K ¯®³2á¨á⥬¥ E ¢ ¯à®áâà ­á⢥ L2 [0, 1] :SN (t, τ ) =NX(K, gk )gk (t, τ ).(gk , gk )k=1‘¯à ¢¥¤«¨¢® ᮮ⭮襭¨¥ kSN − Kk2 → 0 ¯à¨ N → ∞.

„«ï «î¡®£® ­®¬¥à N ®¯à¥¤¥«¨¬ «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à AN : L2 [0, 1] → L2 [0, 1]á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:Z(AN x)(t) =SN (t, τ )x(τ ) dµ(τ )¤«ï ¯. ¢. t ∈ [0, 1]∀ x ∈ L2 [0, 1].[0,1]’ ª ª ª ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ kAN k ≤ kSN k2 < +∞, â® ®¯¥à â®àAN ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭ë¬. ’ ª¦¥ ¤«ï «î¡®© ä㭪樨 x ∈ L2 [0, 1]á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥ AN x ∈ Lin{fn , .

. . , fn }. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮,Im AN ⊂ Lin{fn , . . . , fn }. ®í⮬ã dim Im AN ≤ N , â. ¥. ®¯¥à â®à AN ¨¬¥¥â ª®­¥ç­®¬¥à­ë© ®¡à §.  ª®­¥æ, ¤«ï «î¡®© ä㭪樨x ∈ L2 [0, 1] ¨ ¤«ï ¯. ¢. t ∈ [0, 1] ¨¬¥¥¬11³NNZ ³´´(A − AN )(x) (t) =K(t, τ ) − SN (t, τ ) x(τ ) dµ(τ ).[0,1]‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬ kA − AN k ≤ kK − SN k2 → 0 ¯à¨ N → ∞.’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®ª § ­®, çâ® ®¯¥à â®à A ï¥âáï ª®­¥ç­®¬¥à­ë¬.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯® ã⢥ত¥­¨î 5.8.2 ¯®«ãç ¥¬ ª®¬¯ ªâ­®áâì ®¯¥à â®à A.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.8.5. ãáâì X, Y, Z | ¡ ­ å®¢ë ¯à®áâà ­á⢠, A ∈ K(X, Y ), B ∈ L(Z, X), C ∈ L(Y, Z). ’®£¤ ®¯¥à â®àë AB ∈∈ K(Z, Y ) ¨ CA ∈ K(X, Z).346„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

Характеристики

Список файлов лекций