Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 59

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 59)

„¥©á⢨⥫쭮, ¢ª«î祭¨¥[Im T ] ⊂ S ®ç¥¢¨¤­®, ¯®ª ¦¥¬ ®¡à â­®¥ ¢ª«î祭¨¥.  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ãî äã­ªæ¨î x ∈ S . ® ⥮६¥ ‚¥©¥àèâà áá ¤«ï «î¡®£®ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â ¬­®£®ç«¥­ Pε , â ª®©, çâ® |x(t) − Pε (t)| ≤ ε ¯à¨ ¢á¥åt ∈ [1, 2]. ’ ª ª ª x(t) = x(1) ¯à¨ ¢á¥å t ∈ [0, 1], â® |x(t) − Pε (1)| ≤ ε¯à¨ t ∈ [0, 1]. Ž¯à¥¤¥«¨¬ äã­ªæ¨î zε ∈ C[0, 2] ¢¨¤ ½zε (t) = Pε0 (t) +’®£¤ ¯®«ãç ¥¬«î¡®£®R102(1 − t)Pε (0), t ∈ [0, 1],0, t ∈ [1, 2].zε (τ ) dτ = Pε (0) + Pε (1) − Pε (0) = Pε (1),Rt ¤«ïRt¨¬¥¥¬ à ¢¥­á⢮ zε (τ ) dτ = Pε (1) + Pε0 (τ ) dτ =01= Pε (t).

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬ kx − T (zε )kc ≤ ε, çâ® ®§­ ç ¥â¢ª«î祭¨¥ S ⊂ [Im T ]. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®ª § ­® à ¢¥­á⢮ [Im T ] == S . à¨ í⮬ ®ç¥¢¨¤­® ­¥à ¢¥­á⢮ S 6= Im T , â ª ª ª ¢ ¬­®¦¥á⢥S ¨¬¥îâáï ­¥¤¨ää¥à¥­æ¨àã¥¬ë¥ ­ ®â१ª¥ [1, 2] ä㭪樨. ’®£¤ ¨áª®¬ë© ®¯¥à â®à A = T + I ¨ ç¨á«® λ = 1, â. ¥. Aλ = T .t ∈ [1, 2]“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.8.8. ‹¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A ï¥âáï ª®¬¯ ªâ­ë¬ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ª®¬¯ ªâ¥­ ᮯàï¦ñ­­ë© ®¯¥à â®à A∗ .351„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ãáâì «¨­¥©­ë©®¯¥à â®àh ³´iï¥âá类¬¯ ªâ­ë¬. ’®£¤ ¬­®¦¥á⢮ K = A B1 (0) ï¥âáï ª®¬¯ ªâ®¬ ¢ Y .

„«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠ª®¬¯ ªâ­®á⨠®¯¥à â®à A∗ ¯®ª ¦¥¬,∗çâ® ¤«ï «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠{gn }∞n=1 ⊂ Y ¢¨¤ kgn k ≤ 1 ¯à¨¢á¥å n ∈ N áãé¥áâ¢ã¥â á室ïé ïáï ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì A∗ (gn ) ∈∈ X ∗ . ‚ ¯à®áâà ­á⢥ C(K) à áᬮâਬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ä㭪権 {ϕn }∞n=1 ⊂ C(K) ¢¨¤ ϕn (y) = gn (y) ¤«ï ¢á¥å y ∈ K ¨ n ∈ N.’®£¤ ¯à¨ ¢á¥å n ∈ N ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢠Ak¯ ³´¯¯¯sup ¯gn A(x) ¯ =kϕn kc = sup |gn (y)| =y∈Kx∈B1 (0)=¯¯¯¯sup ¯(A∗ gn )(x)¯ = kA∗ gn k ≤ kA∗ k.x∈B1 (0)‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ϕn ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­®© ¢ ¯à®áâà ­á⢥ C(K).

„«ï «î¡ëå ¢¥ªâ®à®¢ y, z ∈ K ¨ ­®¬¥à n ∈ N ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮|ϕn (y) − ϕn (z)| = |gn (y − z)| ≤ kgn k ky − zk ≤ ky − zk.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â δ(ε) = ε, â ª®¥, ç⮤«ï «î¡ëå ¢¥ªâ®à®¢ y, z ∈ K ¢¨¤ ky − zk ≤ δ(ε) ¨ ¤«ï «î¡®£®n ∈ N ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ |ϕn (y) − ϕn (z)| ≤ ε. ®í⮬㠬­®¦¥á⢮ {ϕn }∞n=1 ï¥âáï à ¢­®á⥯¥­­® ­¥¯à¥àë¢­ë¬ ¨ ®£à ­¨ç¥­­ë¬ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ C(K). ’®£¤ ¯® ⥮६¥ 2.2.4 €à楫« |€áª®«¨¬­®¦¥á⢮ {ϕn }∞n=1 ï¥âáï ¢¯®«­¥ ®£à ­¨ç¥­­ë¬ ¢ ¯à®áâà ­á⢥C(K). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ϕn ¨¬¥¥â à ¢­®¬¥à­® á室ïéãîáï ­ K ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ϕn , â.

¥. kϕn − ϕn kc → 0¯à¨ k, m → ∞. ®«ãç ¥¬k°°° ∗°°A (gnk ) − A∗ (gnm )° ==km¯³¯´¯¯sup ¯ A∗ (gnk − gnm ) (x)¯ =x∈B1 (0)¯¯¯³´¯¯¯¯¯sup ¯(gnk − gnm ) A(x) ¯ = sup ¯gnk (y) − gnm (y)¯ =y∈Kx∈B1 (0)= kϕnk − ϕnm kc → 0¯à¨k, m → ∞.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì A∗ (gn ) ï¥âáï äã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¨ ¯®í⮬ã á室ï饩áï ¢ ¯à®áâà ­á⢥ X ∗ . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¯¥à â®à A∗ ï¥âáï ª®¬¯ ªâ­ë¬.k352ãáâì ⥯¥àì ®¯¥à â®à A∗ ï¥âáï ª®¬¯ ªâ­ë¬. ’®£¤ ª®¬¯ ªâ­ë¬ ï¥âáï ®¯¥à â®à A∗∗ .  áᬮâਬ «¨­¥©­ë¥ ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨¥®â®¡à ¦¥­¨ï F : X → X ∗∗ ¨ H: Y → Y ∗∗ ¢¨¤ (F x)(f ) = f (x) ¨(Hy)(g) = g(y) ¯à¨ ¢á¥å x ∈ X , f ∈ X ∗ , y ∈ Y , g ∈ Y ∗ .

’®£¤ ¤«ï¢á¥å x ∈ X ¨ g ∈ Y ∗ ¯®«ãç ¥¬´³H(Ax) (g) = g(Ax) = (A∗ g)(x) = (F x)(A∗ g) = (A∗∗ F x)(g).‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ HA = A∗∗ F . ’ ª®â®³ ª ª ´¡à ¦¥­¨¥ F | ¨§®¬¥âà¨ï, â® ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ F B1 (0) ⊂∗∗⊂ B1∗∗ (0)³| ¥¤¨­¨ç­ë©´³è à ¢ ´¯à®áâà ­á⢥ X . Žâáî¤ ¯®«ãç ¥¬ A∗∗ F B1 (0) ⊂ A∗∗ B1∗∗ (0) | ¢¯®«­¥ ®£à ­¨ç¥­­®¥ ¬­®¦¥áâ∗∗∗∗¢® ¢ ¯à®áâà ­á⢥³ Y ´ ¢ ᨫ㠪®¬¯ ªâ­®á⨠®¯¥à â®à A . ’®£¤ ¬­®¦¥á⢮ HA B1 (0) ï¥âáï ¢¯®«­¥ ®£à ­¨ç¥­­ë¬ ¢ Y ∗∗ . ’ ª³´ª ª ®â®¡à ¦¥­¨¥ H | ¨§®¬¥âà¨ï, â® ¬­®¦¥á⢮ A B1 (0) ï¥âá®«­¥ ®£à ­¨ç¥­­ë¬ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ Y .

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¯¥à â®à Aï¥âáï ª®¬¯ ªâ­ë¬.‘ « ¥ ¤ á â ¢ ¨ ¥ 5.8.1 (”।£®«ì¬). ãáâì «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®àA ∈ K(X).¢®’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ᪠«ïà λ 6= 0á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­áâ-Im Aλ = ⊥ (Ker A∗λ ) .…᫨ ¯à®áâà ­á⢮ X à¥ä«¥ªá¨¢­®, â® á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮⊥Im A∗λ = (Ker Aλ ) .„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ‚ ᨫã á«¥¤á⢨ï 5.6.1 ¨ ã⢥ত¥­¨ï 5.8.7¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢠Im Aλ = [Im Aλ ] = ⊥ (Ker A∗λ ) , ¤«ï à¥ä«¥ªá¨¢­®£® ¯à®áâà ­á⢠X ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢠⊥Im A∗λ = [Im A∗λ ] = (Ker Aλ ) .‡ ¤ ç 5.8.2.

ãáâì Y | à¥ä«¥ªá¨¢­®¥ ᥯ à ¡¥«ì­®¥ ¯à®áâà ­á⢮. ãáâì «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A ∈ L(c0 , Y ). „®ª § âì, çâ® A |ª®¬¯ ªâ­ë© ®¯¥à â®à.353 ¥ è ¥ ­ ¨ ¥. ‚ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 5.2.5 ¨¬¥¥â ¬¥áâ® à ¢¥­á⢮(c0 )∗ = `1 .‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ᮯàï¦ñ­­ë© ®¯¥à â®à A∗ : Y ∗ → `1 . ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¢ ᨫã à¥ä«¥ªá¨¢­®á⨠¯à®áâà ­á⢠Y ¨¬¥¥â ¬¥áâ® à¥ä«¥ªá¨¢­®áâì ᮯàï¦ñ­­®£® ¯à®áâà ­á⢠Y ∗ .

’ ª ª ª ¯à®áâà ­á⢮Y ¥éñ ¨ ᥯ à ¡¥«ì­®, â® ¨§®¬¥âà¨ç­®¥ ¥¬ã ¯à®áâà ­á⢮ Y ∗∗ ⮦¥ï¢«ï¥âáï ᥯ à ¡¥«ì­ë¬. ’®£¤ ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 5.2.11 ¯®«ãç ¥¬á¥¯ à ¡¥«ì­®áâì ¯à®áâà ­á⢠Y ∗ . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï § ¤ ç¨ 5.8.1 ¯®«ãç ¥¬ ª®¬¯ ªâ­®áâì ᮯàï¦ñ­­®£® ®¯¥à â®à A∗ .

Žâáî¤ ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 5.8.8 ¯®«ãç ¥¬ ª®¬¯ ªâ­®áâì ®¯¥à â®à A.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.8.9. ãáâì ®¯¥à â®à A ∈ K(X), ­¥âਢ¨ «ì­ë© ᪠«ïà λ ∈ σp (A). ’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮Im Aλ 6= X.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. à¥¤¯®«®¦¨¬, à áá㦤 ï ®â ¯à®â¨¢­®£®, çâ® Im Aλ = X . „«ï «î¡®£® n ∈ N à áᬮâਬ § ¬ª­ã⮥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ Mn = Ker(Aλ )n . ’ ª ª ª λ ∈ σp (A), â® Ker Aλ == M1 6= {0}.

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, áãé¥áâ¢ã¥â ­¥âਢ¨ «ì­ë© ¢¥ªâ®à x1 ∈∈ M1 . ’ ª ª ª Im Aλ = X , â® áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à x2 ∈ X , â ª®©,çâ® Aλ (x2 ) = x1 6= 0, â. ¥. x2 6∈ M1 , ­® (Aλ )2 (x2 ) = Aλ (x1 ) = 0,â. ¥. x2 ∈ M2 . Žâáî¤ , ¢ ç áâ­®áâ¨, á«¥¤ã¥â, çâ® M1 M2 . à¥¤¯®«®¦¨¬, à áá㦤 ï ¯® ¨­¤ãªæ¨¨, çâ® ¤«ï ­®¬¥à n ≥ 2 ¨ «î¡®£® m ∈ 1, n ®¯à¥¤¥«¥­ë ­¥âਢ¨ «ì­ë¥ ¢¥ªâ®àë xm ∈ Mm ¢¨¤ Aλ (xk ) = xk−1 ¤«ï ¢á¥å k ∈ 2, m. ’ ª ª ª Im Aλ = X , â® áãé¥áâ¢ã¥â¢¥ªâ®à xn+1 ∈ X , â ª®©, çâ® Aλ (xn+1 ) = xn ∈ Mn . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮,(Aλ )n (xn+1 ) = x1 6= 0, â. ¥.

xn+1 6∈ Mn , (Aλ )n+1 (xn+1 ) = Aλ (x1 ) = 0,â. ¥. xn+1 ∈ Mn+1 . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ Mn 6=6= Mn+1 , ¢ª«î祭¨¥ Mn ⊂ Mn+1 ®ç¥¢¨¤­®. à¨ ª ¦¤®¬³ n ∈´ N¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ Mn+1 ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮ (Aλ )n Aλ (x) == (Aλ )n+1 (x) = 0, â. ¥. Aλ (x) ∈ Mn . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¯à ¢¥¤«¨¢®¢ª«î祭¨¥ Aλ (Mn+1³ ) ⊂ Mn .´ „«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ Mn ¯®«ãç n¥¬ (Aλ ) (Ax) = A (Aλ )n (x) = 0, â. ¥. A(x) ∈ Mn . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮,á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥ A(Mn ) ⊂ Mn .„«ï «î¡®£® n ∈ N ¯à¨¬¥­¨¬ «¥¬¬ã 3.1.1 ¨áá ® ¯®ç⨠¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïॠ¢ «¨­¥©­®¬ ­®à¬¨à®¢ ­­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ Mn+1 ¤«ï ¥£®á®¡á⢥­­®£® § ¬ª­ã⮣® ¯®¤¯à®áâà ­á⢠Mn .

®«ãç ¥¬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à zn ∈ Mn+1 , â ª®©, çâ® kzn k = 1 ¨ ρ(zn , Mn ) ≥ 12 .354’®£¤ ¤«ï «î¡ëåm, n ∈ N ¢¨¤ m < n ¯®«ãç ¥¬, çâ® A(zm ) ∈∈ A(Mm+1 ) ⊂ Mm+1 ⊂ Mn , Aλ (zn ) ∈ Aλ (Mn+1 ) ⊂ Mn , á«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢¥ªâ®à w = A(zm ) − Aλ (zn ) ∈ Mn . ’®£¤ ¯®«ãç ¥¬kA(zn ) − A(zm )k = kλzn − wk ≥ |λ| ρ(zn , Mn ) ≥|λ|2 .‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì A(zn ) ­¥ ¨¬¥¥â äã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨, çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ª®¬¯ ªâ­®á⨠®¯¥à â®à A. à ¨ ¬ ¥ à 5.8.3. à¨¢¥¤ñ¬ ¯à¨¬¥à ®¯¥à â®à A ∈ L(X), ã ª®â®à®£® ¤«ï ­¥ª®â®à®£® ᪠«ïà λ 6= 0 ¢ë¯®«­¥­ë ᮮ⭮襭¨ïKer Aλ 6= {0} ¨ Im Aλ = X. áᬮâਬ «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à T : `1 → `1 ¢¨¤ (T x)(k) = x(k + 1)¤«ï ¢á¥å x ∈ `1 ¨ k ∈ N.

ˆ¬¥¥¬ Ker T = Lin{e1 } 6= {0}, Im T = `1 .’®£¤ ¨áª®¬ë© ®¯¥à â®à A = T + I ¨ ç¨á«® λ = 1, â. ¥. Aλ = T .“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.8.10. ãáâì «¨­¥©­ë©®¯¥à â®àA∈oK(X).¯n¯’®£¤ ¤«ï «î¡®£® δ > 0 ¬­®¦¥á⢮ Λδ = λ ∈ σp (A) ¯ |λ| ≥ δ ª®­¥ç­® (¡ëâì ¬®¦¥â, ¯ãáâ®).„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. à¥¤¯®«®¦¨¬, à áá㦤 ï ®â ¯à®â¨¢­®£®, çâ® ¬­®¦¥á⢮ Λδ ¡¥áª®­¥ç­® ¤«ï ­¥ª®â®à®£® δ > 0.

’®£¤ ®­®á®¤¥à¦¨â áçñâ­®¥ ¯®¤¬­®¦¥á⢮ {λm }∞m=1 ⊂ Λδ à §«¨ç­ëå ᮡá⢥­­ëå ç¨á¥« ®¯¥à â®à A. ãáâì xm ∈ X | ᮡá⢥­­ë© ¢¥ªâ®à ®¯¥à â®à A, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ᮡá⢥­­®¬ã ç¨á«ã λm . ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® n ∈ N ¢¥ªâ®àë x1 , . . . , xn «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬ë, ª ª ᮡá⢥­­ë¥¢¥ªâ®àë «¨­¥©­®£® ®¯¥à â®à , ®â¢¥ç î騥 à §«¨ç­ë¬ ᮡá⢥­­ë¬ç¨á« ¬. „«ï «î¡®£® n ∈ N ®¯à¥¤¥«¨¬ ª®­¥ç­®¬¥à­®¥ (¨ ¯®í⮬㧠¬ª­ã⮥) ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ Mn = Lin{xm }nm=1 . ’®£¤ Mn ⊂ Mn+1 ,Mn 6= Mn+1 , A(Mn ) ⊂ Mn ¨ Aλ (Mn+1 ) ⊂ Mn ¤«ï «î¡®£® n ∈ N.„«ï «î¡®£® n ∈ N ¯à¨¬¥­¨¬ «¥¬¬ã 3.1.1 ¨áá ® ¯®ç⨠¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïॠ¢ «¨­¥©­®¬ ­®à¬¨à®¢ ­­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ Mn+1 ¤«ï ¥£®á®¡á⢥­­®£® § ¬ª­ã⮣® ¯®¤¯à®áâà ­á⢠Mn .

®«ãç ¥¬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à zn ∈ Mn+1 , â ª®©, çâ® kzn k = 1 ¨ ρ(zn , Mn ) ≥ 12 .’®£¤ ¤«ï «î¡ëå m, n ∈ N ¢¨¤ m < n ¯®«ãç ¥¬, çâ® A(zm ) ∈∈ A(Mm+1 ) ⊂ Mm+1 ⊂ Mn , Aλ (zn ) ∈ Aλ (Mn+1 ) ⊂ Mn , á«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢¥ªâ®à w = A(zm ) − Aλ (zn ) ∈ Mn . ’®£¤ ¯®«ãç ¥¬n+1n+1n+1n+1kA(zn ) − A(zm )k = kλn+1 zn − wk ≥ |λn+1 | ρ(zn , Mn ) ≥ 2δ .355®í⮬㠯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì A(zn ) ­¥ ¨¬¥¥â äã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨, çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ª®¬¯ ªâ­®á⨠®¯¥à â®à A.‘ « ¥ ¤ á â ¢ ¨ ¥ 5.8.2.

ãáâì «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A ∈ K(X). ’®£¤ â®ç¥ç­ë© ᯥªâà σp (A) ï¥âáï ­¥ ¡®«¥¥ 祬 áçñâ­ë¬ (¡ëâì ¬®¦¥â, ¯ãáâë¬) ¬­®¦¥á⢮¬.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ‘¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮σp (A)\{0} =∞[n=1Λ n1 , ¬­®¦¥á⢮ Λ ª®­¥ç­® ¨«¨ ¯ãáâ® ¤«ï «î¡®£® n ∈ N. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¬­®¦¥á⢮ σp (A)\{0} ­¥ ¡®«¥¥ 祬 áçñâ­® ª ª áçñâ­®¥ ®¡ê¥¤¨­¥­¨¥ ª®­¥ç­ëå ¨«¨ ¯ãáâëå ¬­®¦¥áâ¢.

’®£¤ ¨ σp (A) ­¥ ¡®«¥¥ 祬áçñâ­®.1n“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.8.11. ãáâì «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A ∈ K(X).’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ª®¬¯«¥ªá­®£® ç¨á« λ 6= 0 ¨¬¥¥â ¬¥áâ® à ¢¥­á⢮dim Ker Aλ = dim Ker A∗λ .„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. „®ª § ⥫ìá⢮ ¯à®¢¥¤ñ¬ ¤«ï X = H |£¨«ì¡¥à⮢® ¯à®áâà ­á⢮. „«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠®¡é¥£® á«ãç ï á¬.⥮६ã 4.25 ¨§ [2, ç. I, £«. 4, á. 123].® ã⢥ত¥­¨î 5.8.8 ®¯¥à â®à A∗ ∈ K(X ∗ ).

‚ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 5.8.7 á¯à ¢¥¤«¨¢ë ­¥à ¢¥­á⢠dim Ker Aλ < +∞ ¨ dim Ker A∗λ << +∞, ¯®¤¯à®áâà ­á⢠Im Aλ ¨ Im A∗λ § ¬ª­ãâë. ® ⥮६¥ 5.6.1”।£®«ì¬ ¨¬¥¥¬ à ¢¥­á⢠Ker Aλ = ⊥ (Im A∗λ ) ¨ Ker A∗λ = (Im Aλ )⊥ .Ž¡®§­ 稬m = dim Ker Aλ ,³´⊥n = dim (Im Aλ ) ,m∗ = dim Ker A∗λ , n∗ = dim¡⊥¢(Im A∗λ ) .’®£¤ m = n∗ ¨ m∗ = n. …᫨ ¤«ï ®¯¥à â®à A ¤®ª § âì ­¥à ¢¥­á⢮m ≤ n, â® ­ «®£¨ç­ë¬¨ à áá㦤¥­¨ï¬¨ ¤«ï ®¯¥à â®à A∗ ¡ã¤¥¬¨¬¥âì ­¥à ¢¥­á⢮ m∗ ≤ n∗ .

Характеристики

Список файлов лекций