Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 58

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 58)

’ ª ª ª ¤«ï «î¡®£® ®£à ­¨ç¥­­®£®¬­®¦¥á⢠³´ S ⊂ Z ¬­®¦¥á⢮ B(S) ®£à ­¨ç¥­® ¢ X , â® ¬­®¦¥á⢮A B(S) ï¥âáï ¢¯®«­¥ ®£à ­¨ç¥­­ë¬ ¢ Y . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, AB ∈∈ K(Z, Y ). „«ï «î¡®£® ®£à ­¨ç¥­­®£® ¬­®¦¥á⢠S ⊂ X ¬­®¦¥á⢮³´A(S) ï¥âáï ¢¯®«­¥ ®£à ­¨ç¥­­ë¬ ¢ Y . ’®£¤ ¬­®¦¥á⢮ C A(S)⮦¥ ï¥âáï ¢¯®«­¥ ®£à ­¨ç¥­­ë¬ ¢ Z . „¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® ε > 0 à áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ãî ª®­¥ç­ãî ε-á¥âì ¬­®¦¥á⢠A(S).

Ž£à ­¨ç¥­­ë© ®¯¥à â®à C ¯¥à¥¢¥¤ñâ í«¥¬¥­âë í⮩ á¥â¨ ¢ ª®­¥ç­®¥¬­®¦¥á⢮,ª®â®à®¥ ®ç¥¢¨¤­® ¡ã¤¥â kCkε-á¥âìî ¬­®¦¥á⢠³´C A(S) . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, CA ∈ K(X, Z).“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.8.6. ãáâì ¯à®áâà ­á⢮ X ï¥âáï à¥ä«¥ªá¨¢­ë¬ ¨ ᥯ à ¡¥«ì­ë¬. ’®£¤ ®¯¥à â®à A ∈ L(X, Y ) ï¥âá类¬¯ ªâ­ë¬ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ®­ «î¡ãî á« ¡® á室ïéãîáﯮ᫥¤®¢ ⥫쭮áâì ¨§ X ¯¥à¥¢®¤¨â ¢ ᨫ쭮 á室ïéãîáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¢ Y .„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ãáâì ®¯¥à â®à A ï¥âáï ª®¬¯ ªâ­ë¬. áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 ⊂ X , á« ¡®á室ïéãîáï ª ¢¥ªâ®àã z ∈ X .

’®£¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì A(xn ) ï¥âáï á« ¡® á室ï饩áï ª A(z), â ª ª ª ¤«ï «î¡®£® ä㭪樮­ « g ∈ Y ∗ ¨¬¥¥¬lim g(Axn ) = lim (A∗ g)(xn ) = (A∗ g)(z) = g(Az).n→∞n→∞à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® A(xn ) ­¥ ï¥âáï ᨫ쭮 á室ï饩áï ª ¢¥ªâ®àãA(z). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, áãé¥áâ¢ãîâ ç¨á«® ε0 > 0 ¨ ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì A(xn ), â ª¨¥, çâ® kA(xn ) − A(z)k ≥ ε0 ¤«ï ¢á¥å m ∈ N.’ ª ª ª á« ¡® á室ïé ïáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì xn ®£à ­¨ç¥­ ¢ X ¢á¨«ã ã⢥ত¥­¨ï 5.4.3, â® ¢ ᨫ㠪®¬¯ ªâ­®á⨠®¯¥à â®à A ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì A(xn ) ï¥âáï ¢¯®«­¥ ®£à ­¨ç¥­­ë¬ ¬­®¦¥á⢮¬¢ ¯à®áâà ­á⢥ Y . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ®­ ᮤ¥à¦¨â ᨫ쭮 äã­¤ ¬¥­â «ì­ãî ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì A(xn ). ’ ª ª ª ¯à®áâà ­á⢮ Yï¥âáï ¯®«­ë¬, â® áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à y ∈ Y , ª ª®â®à®¬ã ᨫ쭮á室¨âáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì A(xn ).

’ ª ª ª ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâìA(xn ) ï¥âáï â ª¦¥ ¨ á« ¡® á室ï饩áï ª ¢¥ªâ®àã A(z), â® ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 5.4.2 ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮ A(z) = y. Ž¤­ ª® íâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ­¥à ¢¥­áâ¢ã ky −A(z)k = lim kA(xn )−A(z)k ≥ ε0 . ‘«¥k→∞¤®¢ ⥫쭮, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì A(xn ) ï¥âáï ᨫ쭮 á室ï饩áïmmmmkmkmkmk347ª ¢¥ªâ®àã A(z). ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¬ë ¯®ª ­¥ ¯®«ì§®¢ «¨áì à¥ä«¥ªá¨¢­®áâìî ¨ ᥯ à ¡¥«ì­®áâìî ¯à®áâà ­á⢠X .à¥¤¯®«®¦¨¬ ⥯¥àì, çâ® «¨­¥©­ë© ®£à ­¨ç¥­­ë© ®¯¥à â®à A¢áïªãî á« ¡® á室ïéãîáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¨§ X ¯¥à¥¢®¤¨â ¢ ᨫ쭮 á室ïéãîáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¢ Y .  áᬮâਬ ®¡à § ¥¤¨­¨ç­®£® è à A(B1 (0)).

„«ï «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠yn A(B1 (0)) áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì xn ∈ B1 (0) ⊂ X , â ª ï, çâ® A(xn ) = yn¤«ï ¢á¥å n ∈ N. ’ ª ª ª ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì xn ®£à ­¨ç¥­ ¢ à¥ä«¥ªá¨¢­®¬ ᥯ à ¡¥«ì­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ X , â® ¯® ⥮६¥ 5.5.2  ­ å |’¨å®­®¢ ®­ ᮤ¥à¦¨â á« ¡® á室ïéãîáï ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâìxn . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì A(xn ) ï¥âáï ᨫ쭮á室ï饩áï. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, «î¡ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¨§ ¬­®¦¥á⢠A(B1 (0)) ¨¬¥¥â ᨫ쭮 á室ïéãîáï ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì.

…᫨¯à¨ í⮬ ¬­®¦¥á⢮ A(B1 (0)) ­¥ ï¥âáï ¢¯®«­¥ ®£à ­¨ç¥­­ë¬, â®áãé¥áâ¢ãîâ ç¨á«® ε0 > 0 ¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì yn ∈ A(B1 (0)), â ª¨¥, çâ® kyn − ym k ≥ ε0 ¯à¨ ¢á¥å n 6= m. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, «î¡ ﯮ¤¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠yn ­¥ ï¥âáï ᨫ쭮äã­¤ ¬¥­â «ì­®©, ¨ ¯®í⮬㠭¥ ï¥âáï ᨫ쭮 á室ï饩áï. ®«ã祭­®¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ®§­ ç ¥â, çâ® ¬­®¦¥á⢮ A(B1 (0)) ï¥âá®«­¥ ®£à ­¨ç¥­­ë¬. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫ㠧 ¬¥ç ­¨ï 5.8.1 ¯®«ãç ¥¬ ª®¬¯ ªâ­®áâì ®¯¥à â®à A.mm‡ ¤ ç 5.8.1. ãáâì X | à¥ä«¥ªá¨¢­®¥ ᥯ à ¡¥«ì­®¥ ¯à®áâà ­á⢮.

ãáâì «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A ∈ L(X, `1 ). „®ª § âì, çâ® A |ª®¬¯ ªâ­ë© ®¯¥à â®à. ¥ è ¥ ­ ¨ ¥. ’ ª ª ª ®¯¥à â®à A ï¥âáï «¨­¥©­ë¬ ¨ ®£à ­¨ç¥­­ë¬, â®, ª ª ¯®ª § ­® ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ã⢥ত¥­¨ï 5.8.6, ®­¢áïªãî á« ¡® á室ïéãîáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¯à®áâà ­á⢠X ¯¥à¥¢®¤¨â ¢ á« ¡® á室ïéãîáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¯à®áâà ­á⢠`1 .‚ ᨫã ⥮६ë 5.4.1 ˜ãà ¢ ¯à®áâà ­á⢥ `1 á« ¡ ï ¨ á¨«ì­ ïá室¨¬®áâ¨ íª¢¨¢ «¥­â­ë. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ®¯¥à â®à A ¢áïªãî á« ¡® á室ïéãîáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì à¥ä«¥ªá¨¢­®£® ᥯ à ¡¥«ì­®£®¯à®áâà ­á⢠X ¯¥à¥¢®¤¨â ¢ ᨫ쭮 á室ïéãîáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì¯à®áâà ­á⢠`1 . ‚ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 5.8.6 íâ® ®§­ ç ¥â ª®¬¯ ªâ­®áâì ®¯¥à â®à A.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.8.7. ãáâì «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A ∈ K(X), ª®¬¯«¥ªá­®¥ ç¨á«®§ ¬ª­ãâ®.λ 6= 0.’®£¤ 348Ker A몮­¥ç­®¬¥à­®, Im Aλ„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ãáâì{xn }∞n=1 ⊂ Ker Aλ |áãé¥áâ¢ã¥â R > 0, â ª®¥,®£à ­¨ç¥­­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì.

’®£¤ çâ® kxn k ≤≤ R ¯à¨ ¢á¥åh ³n ∈ N.´i’ ª ª ª ¢ ᨫ㠪®¬¯ ªâ­®á⨠®¯¥à â®à A¬­®¦¥á⢮ A BR (0) ª®¬¯ ªâ­® ¢ X , â® ¯® ⥮६¥ 2.2.1 ®­®ï¢«ï¥âáï ᥪ¢¥­æ¨ «ì­®ª®¬¯ ªâ­ë¬,¯®í⮬㠯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâìh ³´iyn = A(xn ) ∈ A BR (0)¨¬¥¥â á室ïéãîáï ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì yn → z ¯à¨ k → ∞. ® ⮣¤ ¯®«ãç ¥¬ xn = yλ → λz¯à¨ k → ∞. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, «î¡®¥ ®£à ­¨ç¥­­®¥ § ¬ª­ã⮥ ¯®¤¬­®¦¥á⢮ ¨§ Ker Aλ ï¥âáï ᥪ¢¥­æ¨ «ì­® ª®¬¯ ªâ­ë¬, ¢ ᨫã ⥮६ë 2.2.1 íâ® à ¢­®á¨«ì­® ª®¬¯ ªâ­®áâ¨. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®â¥®à¥¬¥ 3.1.2 ¨áá ® ­¥ª®¬¯ ªâ­®á⨠¥¤¨­¨ç­®© áä¥àë ¢ ¡¥áª®­¥ç­®¬¥à­®¬ «¨­¥©­®¬ ­®à¬¨à®¢ ­­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ ¯®«ãç ¥¬, çâ®dim Ker Aλ = N < +∞. áᬮâਬ ¢ ª®­¥ç­®¬¥à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ Ker Aλ ¯à®¨§¢®«ì­ë©¡ §¨á {en }Nn=1 . ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ Ker Aλ áãé¥áâ¢ãî⥤¨­á⢥­­ë¥ ᪠«ïàë αn (x) ∈ C, â ª¨¥, çâ® ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮nkkx=NPn=1αn (x)en .kŽç¥¢¨¤­®, çâ® αn : Ker Aλ→Cï¥âáï «¨­¥©­ë¬NP|αn (x)|ä㭪樮­ «®¬ ¤«ï «î¡®£® n ∈ 1, N , äã­ªæ¨ï kxke =n=1ï¥âáï ­®à¬®© ¢ ª®­¥ç­®¬¥à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ Ker Aλ .

® ⥮६¥ 3.1.1 ¢á¥ ­®à¬ë ¢ Ker Aλ íª¢¨¢ «¥­â­ë. ®í⮬ã áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® C > 0, â ª®¥, çâ® ¤«ï ¢á¥å x ∈ Ker Aλ ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮kxke ≤ Ckxk. ’®£¤ |αn (x)| ≤ Ckxk ¤«ï ¢á¥å x ∈ Ker Aλ ¨ n ∈ 1, N .‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ä㭪樮­ « αn ï¥âáï ­¥¯à¥àë¢­ë¬ ­ Ker Aλ¯à¨ ª ¦¤®¬ n ∈ 1, N . ® á«¥¤á⢨î 5.1.1 â¥®à¥¬ë • ­ | ­ å ¤«ï «î¡®£® n ∈ 1, N áãé¥áâ¢ã¥â «¨­¥©­ë© ä㭪樮­ « fn ∈ X ∗ , â ª®©, çâ® f = αn ­ Ker Aλ . Ž¯à¥¤¥«¨¬ § ¬ª­ã⮥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮NTM=Ker fn . ’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮n=1X = M ⊕ Ker Aλ .„¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X ®¯à¥¤¥«¨¬ ¢¥ªâ®ày=NXfn (x)en ∈ Ker Aλ .n=1349’ ª ª ª ¢ë¯®«­¥­ë à ¢¥­á⢠fk (en ) = αk (en )fk (ek ) = 1, â® ¤«ï «î¡®£® k ∈ 1, N ¯®«ãç ¥¬fk (x − y) = fk (x) −NX= 0¯à¨k 6= n,¨fn (x)fk (en ) = fk (x) − fk (x) = 0.n=1‘«¥¤®¢ ⥫쭮, x − y ∈ M , â. ¥.

á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ X = M ++ Ker Aλ . ®ª ¦¥¬, çâ® á㬬 ¯àï¬ ï, â. ¥. M ∩ Ker Aλ = {0}.„¥©á⢨⥫쭮, ¥á«¨ x ∈ M ∩ Ker Aλ , â® fn (x) = αn (x) = 0 ¤«ï«î¡®£® n ∈ 1, N , â. ¥. ¢ë¯®«­¥­® x = 0.’¥¯¥àì ¤®ª ¦¥¬, çâ® Im Aλ | § ¬ª­ã⮥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮. Ÿá­®, çâ® Im Aλ = Aλ (M ). ®ª ¦¥¬, çâ® ®¯¥à â®à Aλ ®£à ­¨ç¥­ á­¨§ã­ M , â. ¥. áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® L > 0, â ª®¥, çâ® ¤«ï ¢á¥å x ∈ M¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ kAλ (x)k ≥ Lkxk. à¥¤¯®«®¦¨¬, à áá㦤 ï®â ¯à®â¨¢­®£®, çâ® ¤«ï «î¡®£® n ∈ N áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à xn ∈ M ,â ª®©, çâ® kAλ (xn )k < kxn k . ’®£¤ xn 6= 0 ¯à¨ ª ¦¤®¬ n ∈ N.

Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¢¥ªâ®à zn = kxx k ∈ M ¢¨¤ kzn k = 1. ’®£¤ kAλ (zn )k < n1 .’ ª ª ª ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì zn ®£à ­¨ç¥­ , â® ¢ ᨫ㠪®¬¯ ªâ­®á⨮¯¥à â®à A ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì A(zn ) ¨¬¥¥â á室ïéãîáï ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì A(zn ) → u ∈ X . ’ ª ª ª Aλ (zn ) → 0 ¯à¨ n → ∞, â®(z )¯®«ãç ¥¬, çâ® zn = A(z )−A→ λu = v ∈ M ¯à¨ k → ∞, ¯à¨çñ¬λ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ kvk = 1.

® ⮣¤ kAλ (v)k = lim kAλ (zn )k =k→∞= 0, â. ¥. Aλ (v) = 0. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ v ∈ M ∩∩ Ker Aλ = {0}, â. ¥. v = 0, çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â à ¢¥­áâ¢ã kvk = 1.ˆâ ª, ®¯¥à â®à Aλ ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­ë¬ á­¨§ã ­ M . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 3.5.4 ®¯¥à â®à Aλ ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭®®¡à â¨¬ë¬ ­ M ¨ ¯® ã⢥ত¥­¨î 3.5.5 ¥£® ®¡à § Aλ (M ) = Im Aλ§ ¬ª­ãâ ¢ X , çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.nnnknkλnkkk à ¨ ¬ ¥ à 5.8.2. à¨¢¥¤ñ¬ ¯à¨¬¥à ®¯¥à â®à A ∈ L(X), ã ª®â®à®£® ¤«ï ­¥ª®â®à®£® ᪠«ïà λ 6= 0 ï¤à® Ker Aλ ¡¥áª®­¥ç­®¬¥à­®, ®¡à § Im Aλ ­¥§ ¬ª­ãâ.

ãáâì X = C[0, 2] | ¯à®áâà ­á⢮ ­¥¯à¥à뢭ëå ­ ®â१ª¥ [0, 2] ¢¥é¥á⢥­­ëå ä㭪権 x á ­®à¬®© à ¢­®¬¥à­®© á室¨¬®á⨠kxkc = max |x(t)|.  áᬮâਬ «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®àt∈[0,2]350T : C[0, 2] → C[0, 2]¢¨¤  1Rx(τ ) dτ, t ∈ [0, 1],(T x)(t) =0Rtx(τ ) dτ,t ∈ [1, 2].0Žç¥¢¨¤­®, çâ®kT k ≤ 2,â. ¥.Tï¥âáï ­¥¯à¥àë¢­ë¬ ®¯¥à â®à®¬.R1’®£¤ x ∈ Ker T ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ x(τ ) dτ = 0 ¨ x(t) =0= 0 ¯à¨ ¢á¥å t ∈ [1, 2]. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ï¤à® Ker T ¡¥áª®­¥ç­®¬¥à­®.Ž¡à § Im T á®á⮨⠨§ ¢á¥å ­¥¯à¥à뢭ëå ­ ®â१ª¥ [0, 2] ä㭪権,¯®áâ®ï­­ëå ­ ®â१ª¥ [0, 1] ¨ ­¥¯à¥à뢭® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬ëå ­ ®â१ª¥ [1, 2]. ’®£¤ § ¬ëª ­¨¥ [Im T ] ¡ã¤¥â ᮢ¯ ¤ âì á ¬­®¦¥á⢮¬ S ⊂ C[0, 2], á®áâ®ï騬 ¨§ ¢á¥å ­¥¯à¥à뢭ëå ­ ®â१ª¥ [0, 2]ä㭪権, ¯®áâ®ï­­ëå ­ ®â१ª¥ [0, 1].

Характеристики

Список файлов лекций