Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 61

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 61)

¥. áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® L > 0, â ª®¥, çâ® ¤«ï ¢á¥å x ∈ H ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮kAλ (x)k ≥ Lkxk.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ¥®¡å®¤¨¬®áâì ãá«®¢¨ï ®£à ­¨ç¥­­®áâ¨á­¨§ã ®¯¥à â®à Aλ ­ H ¤«ï ¢ë¯®«­¥­¨ï ¢ª«î祭¨ï λ ∈ ρ(A) áà §ã á«¥¤ã¥â ¨§ ã⢥ত¥­¨ï 3.5.4, ¯à¨ í⮬ L = kR 1(A)k . „®ª ¦¥¬¤®áâ â®ç­®áâì. ãáâì ®¯¥à â®à Aλ ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­ë¬ á­¨§ã ­ H. ’®£¤ ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 3.5.4 ¯®«ãç ¥¬, çâ® ®¯¥à â®à Aλ ­¥¯à¥à뢭® ®¡à ⨬, â. ¥. áãé¥áâ¢ã¥â ®¡à â­ë© ®¯¥à â®à (Aλ )−1 ∈∈ L(Im Aλ , H). à¨ í⮬ ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 3.5.5 ®¡à § ®¯¥à â®à Aλ ï¥âáï § ¬ª­ãâë¬.

® ⮣¤ ¢ ᨫã Ker Aλ = {0} ¨ ã⢥ত¥­¨ï 5.9.2 ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮ Im Aλ = H. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, (Aλ )−1 == RA (λ) ∈ L(H), â. ¥. á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥ λ ∈ ρ(A), çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.λ‘ « ¥ ¤ á â ¢ ¨ ¥ 5.9.2. —¨á«® λ ∈ σ(A) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¢¥ªâ®à®¢ xn ∈ H ¢¨¤ kxn k = 1,â ª¨å, çâ® kAλ (xn )k → 0 ¯à¨ n → ∞.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

‚ª«î祭¨¥ λ ∈ σ(A) à ¢­®á¨«ì­® ᮮ⭮襭¨î λ 6∈ ρ(A), ª®â®à®¥ ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 5.9.4 ¢ë¯®«­ï¥âáï⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ®¯¥à â®à Aλ ­¥ ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­ë¬á­¨§ã ­ H. â® ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì à ¢­®á¨«ì­® ⮬ã, çâ® ¤«ï «î¡®£®362n ∈ N áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à zn ∈ H, â ª®©, çâ® ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮kAλ (zn )k < kznn k . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® n ∈ N ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ zn 6= 0. Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¥¤¨­¨ç­ë© ¢¥ªâ®à xn = kzznn k . ®«ãç ¥¬kAλ (xn )k < n1 → 0 ¯à¨ n → ∞, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.9.5. Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¢¥é¥á⢥­­ë¥ ç¨á« m− = inf (A(x), x),kxk=1m+ = sup (A(x), x).kxk=1’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥ σ(A) ⊂ [m− , m+ ], ¯à¨çñ¬ m± ∈ σ(A).„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ç¨á¥«m± ¤«ï «î¡®£®x ∈ H á¯à ¢¥¤«¨¢ë ­¥à ¢¥­á⢠m− kxk2 ≤ (A(x), x) ≤≤ m+ kxk2 . ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ¢¥é¥á⢥­­®£® ç¨á« λ > m+ ¨ «î¡®£®x ∈ H ¯®«ãç ¥¬¢¥ªâ®à (λ − m+ )kxk2 ≤ (λx, x) − (A(x), x) = −(Aλ (x), x) ≤ kAλ (x)k kxk,â. ¥. á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ (λ − m+ )kxk ≤ kAλ (x)k. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ®¯¥à â®à Aλ ®£à ­¨ç¥­ á­¨§ã ­ H, ¨ ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 5.9.4¯®«ãç ¥¬ ¢ª«î祭¨¥ λ ∈ ρ(A). €­ «®£¨ç­® ¤«ï «î¡®£® ¢¥é¥á⢥­­®£® ç¨á« λ < m− ¨ «î¡®£® x ∈ H ¯®«ãç ¥¬(m− − λ)kxk2 ≤ (A(x), x) − (λx, x) = (Aλ (x), x) ≤ kAλ (x)k kxk,â. ¥. á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ (m− − λ)kxk ≤ kAλ (x)k.

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ®¯¥à â®à Aλ ®£à ­¨ç¥­ á­¨§ã ­ H, ¨ ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 5.9.4¯®«ãç ¥¬ ¢ª«î祭¨¥ λ ∈ ρ(A). ’ ª ª ª ¯® á«¥¤á⢨î 5.9.1 ᯥªâய¥à â®à A ¢¥é¥á⢥­¥­, â® ¯®«ãç ¥¬ ¢ª«î祭¨¥ σ ⊂ [m− , m+ ].„®ª ¦¥¬, çâ® m+ ∈ σ(A). ‚ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 5.9.2 ¤«ï í⮣®âॡã¥âáï ­ ©â¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¢¥ªâ®à®¢ xn ∈ H ¢¨¤ kxn k = 1,â ª¨å, çâ® kAm (xn )k → 0 ¯à¨ n → ∞. ® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ç¨á« m+ áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¢¥ªâ®à®¢ xn ∈ H ¢¨¤ kxn k = 1, â ª¨å,çâ® (A(xn ), xn ) → m+ ¯à¨ n → ∞. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, (Am (xn ), xn ) →→ 0 ¯à¨ n → ∞. ® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ç¨á« m+ ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ H ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ (Am (x), x) ≤ 0.

Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¢ H \¯®«ã᪠«ïà­®¥" ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ hx, yi = −(Am (x), y) ¤«ï «î¡ëå x, y ∈∈ H. ’®£¤ ¯à¨ ¢á¥å x ∈ H ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ hx, xi ≥ 0, ¢á¨«ã à ¢¥­á⢠(Am )∗ = Am ¤«ï ¢á¥å x, y ∈ H ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮hx, yi = −(x, (Am (y))) = −(Am (y), x) = hy, xi. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï++++++++363\¯®«ã᪠«ïà­®£®" ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ Š®è¨|ã­ïª®¢áª®£®. „¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï «î¡ëå ¢¥ªâ®à®¢ x, y ∈ H ¨ «î¡®£® t ∈ R ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮0 ≤ hx − ty, x − tyi = hx, xi − 2t Rehx, yi + t2 hy, yi.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ (Rehx, zi)2 − hx, xihy, yi ≤≤ 0. ‡ ¯¨á ¢ ª®¬¯«¥ªá­®¥ ç¨á«® hx, yi ¢ íªá¯®­¥­æ¨ «ì­®© ä®à¬¥hx, yi = eiϕ |hx, yi|, ¯®«ã稬|hx, yi| = hx, eiϕ yi = Rehx, eiϕ yi ≤pppp≤ hx, xi heiϕ y, eiϕ yi = hx, xi hy, yi,â.

¥. ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮ Š®è¨|ã­ïª®¢áª®£® |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi.’®£¤ ¤«ï «î¡®£® n ∈ N ¨¬¥¥¬ ᮮ⭮襭¨ï³´DEkAm+ (xn )k2 = Am+ (xn ), Am+ (xn ) = − xn , Am+ (xn ) ≤¯DE¯DE¯¯≤ ¯ xn , Am+ (xn ) ¯ ≤ hxn , xn i Am+ (xn ), Am+ (xn ) ≤¯³´¯¯¯≤ ¯ Am+ (xn ), xn ¯ kAm+ k3 → 0 ¯à¨ n → ∞.’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 5.9.2 ¯®«ãç ¥¬ âॡ㥬®¥ ¢ª«î祭¨¥ m+ ∈ σ(A). ‘®¢¥à襭­® ­ «®£¨ç­® ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¤à㣮¥ ¢ª«î祭¨¥ m− ∈ σ(A).‘ « ¥ ¤ á â ¢ ¨ ¥ 5.9.3. ‘¯à ¢¥¤«¨¢ë à ¢¥­á⢠nokAk = max |m− |, |m+ | = r(A).„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ᯥªâà «ì­®£® à ¤¨ãá ®¯¥à â®à A ¨¬¥¥¬ à ¢¥­á⢮ r(A) = sup |λ|. ’ ª ª ª ¯® ã⢥à¦λ∈σ(A)¤¥­¨î 5.9.5 ¢ë¯®«­¥­ë ¢ª«î祭¨ïn m± ∈ σ(A)o , â® ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ­¥à ¢¥­á⢮ |m± | ≤ r(A). ’®£¤ max |m− |, |m+ | ≤ r(A). ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ¯® ⮬㠦¥ ã⢥ত¥­¨î 5.9.5 ¢ ᨫ㠢ª«î祭¨ïnσ ⊂ [m− , mo+]¤«ï «î¡®£® λ ∈ σ(A) ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮ |λ| ≤ max |m− |, |m+ | .nor(A) ≤ max |m− |, |m+ | . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, á¯à ¢¥¤no«¨¢® à ¢¥­á⢮ max |m− |, |m+ | = r(A).

‚ ᨫ㠯㭪â 4 ã⢥ত¥­¨ï 5.9.1 ¨¬¥¥¬ à ¢¥­á⢮ r(A) = kAk. Žâáî¤ ¯®«ãç ¥¬ âॡ㥬륑«¥¤®¢ ⥫쭮,364à ¢¥­á⢠nomax |m− |, |m+ | = kAk = r(A).‘ « ¥ ¤ á â ¢ ¨ ¥ 5.9.4. ãáâì ­¥âਢ¨ «ì­ë© «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®àT ∈ K(H).’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢ë à ¢¥­á⢠kT k =prr(T ∗ T ) =maxλ∈σp (T ∗ T )|λ|.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. Ž¯¥à â®à T ∗ T ï¥âáï á ¬®á®¯àï¦ñ­-­ë¬.

®í⮬㠯® á«¥¤á⢨î 5.9.3 ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢠¯ ¯¯on¯¯¯ ¯¯r(T ∗ T ) = kT ∗ T k = max ¯m+ (T ∗ T )¯ , ¯m− (T ∗ T )¯ =¯³¯³´¯´¯¯¯¯¯= sup ¯ T ∗ T (x), x ¯ = sup ¯ T (x), T (x) ¯ =kxk=1kxk=1= sup kT (x)k2 = kT k2 .kxk=1® ⥮६¥ 5.8.8 ¨ ã⢥ত¥­¨î 5.8.5 ®¯¥à â®à T ∗ T ï¥âáï ª®¬¯ ªâ­ë¬. ’ ª ª ª ®¯¥à â®à T 6= 0, â® ¨¬¥¥¬ r(T ∗ T ) = kT ∗ T k == kT k2 > 0.

®í⮬㠯® ⥮६¥ 5.8.1 ¯®«ãç ¥¬ σp (T ∗ T ) 6= ∅ ¨¨¬¥¥¬ à ¢¥­á⢮ r(T ∗ T ) = max |λ|, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.λ∈σp (T ∗ T ) à ¨ ¬ ¥ à 5.9.2.  áᬮâਬ «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à ‚®«ìâ¥àà :A: L2 [0, 1] → L2 [0, 1],ª®â®àë© ¨¬¥¥â ¢¨¤Z¤«ï ¯. ¢.x(τ ) dµ(τ )(Ax)(t) =t ∈ [0, 1]∀ x ∈ L2 [0, 1].[0,t]‚ëç¨á«¨¬ ­®à¬ã í⮣® «¨­¥©­®£® ®¯¥à â®à . ‡ ¬¥â¨¬,çâ® ®¯¥à Râ®à ‚®«ìâ¥àà ¬®¦­® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ (Ax)(t) =K(t, τ ) dµ(τ )¤«ï ¯.³ ¢.∈ L2t ´∈ [0, 1] ¨ ¢á¥å[0, 1]2 ¨¬¥¥â ¢¨¤ä㭪権½K(t, τ ) =x ∈ L2 [0, 1],1, 0 ≤ τ ≤ t ≤ 1,0, 0 ≤ t < τ ≤ 1.365[0,1]£¤¥ äã­ªæ¨ïK ∈‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ª ª ¯®ª § ­® ¢ ¯à¨¬¥à¥ 5.8.1, ®¯¥à â®à ‚®«ìâ¥àà ï¥âá类¬¯ ªâ­ë¬¢ L2 [0, 1], â. ¥.

á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥ A ∈³´∈ K L2 [0, 1] . „«ï ¢ëç¨á«¥­¨ï ­®à¬ë ®¯¥à â®à A ¢®á¯®«ì§ã¥¬áïá«¥¤á⢨¥¬ 5.9.4, ᮣ« á­® ã⢥ত¥­¨î ª®â®à®£® á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮r ³´ rkAk =r A∗ A =maxλ∈σp (A∗ A)|λ|.‚ëç¨á«¨¬ ᮯàï¦ñ­­ë© ®¯¥à â®à A∗ : L2 [0, 1] → L2 [0, 1].  áᬮâਬ¯à®¨§¢®«ì­ë¥ ä㭪樨 x, y ∈ CL2 [0, 1]. ’ ª ª ª ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 4.3.6 ¨­â¥£à «ë ¨¬ ­ ¨ ‹¥¡¥£ ­¥¯à¥à뢭®© ä㭪樨 ᮢ¯ ¤ îâ, â® ¯®«ãç ¥¬Z1dt (Ax, y) =0ZtZ1x(τ ) dτ  y(t) =0 1Zdτ x(τ ) y(t) dt = (x, A∗ y).τ0‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®© ­¥¯à¥à뢭®© ä㭪樨 y ∈ CL2 [0, 1] ¤«ï¯. ¢. t ∈ [0, 1] á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮Z1∗(A y)(t) =Zy(τ ) dτ =ty(τ ) dµ(τ ).[t,1]’ ª ª ª ¯à®áâà ­á⢮ CL2 [0, 1] ï¥âáï ¢áî¤ã ¯«®â­ë¬ ¢ L2 [0, 1], ⮤«ï «î¡®£® x ∈ L2 [0, 1] áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì yn ∈ CL2 [0, 1],â ª ï, çâ® kx − yn k2 → 0 ¯à¨ n → ∞.

’®£¤ ¢ ᨫ㠭¥¯à¥à뢭®á⨮¯¥à â®à A∗ ¯®«ãç ¥¬ kA∗ x − A∗ yn k2 → 0 ¯à¨ n → ∞. „«ï «î¡®£®t ∈ [0, 1] ¢ ᨫ㠭¥à ¢¥­á⢠Š®è¨|ã­ïª®¢áª®£® ¨¬¥¥¬¯¯¯Z¯ZZ ¯¯¯¯¯¯¯¯yn (τ ) dµ(τ )¯ ≤x(τ ) dµ(τ ) −¯¯x(τ ) − yn (τ )¯ dµ(τ ) ≤ kx−yn k2 .¯¯¯[t,1]¯ [0,1][t,1]‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬°°°Z°Z°°°°x(τ ) dµ(τ ) −yn (τ ) dµ(τ )° =°°°°[t,1]°[t,1]2366v ¯¯2u ¯¯uZ1 ¯ ZZ¯u ¯¯u=t ¯x(τ ) dµ(τ ) −yn (τ ) dµ(τ )¯ dµ(t) ≤¯¯¯0 ¯[t,1][t,1]vuZ1u ³´2u≤tkx − yn k2 dµ(t) = kx − yn k2 → 0 ¯à¨ n → ∞.0’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨ n → ∞ ¢ë¯®«­¥­® ᮮ⭮襭¨¥°°°°°°°°ZZ°°°°° ∗°° ∗°x(τ ) dµ(τ )° = 0.x(τ ) dµ(τ )° = lim °(A yn )(t) −°(A x)(t) −n→∞ °°°°°°°°[t,1][t,1]22‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮Z(A∗ x)(t) =x(τ ) dµ(τ )¤«ï ¯.

¢.t ∈ [0, 1] ∀ x ∈ L2 [0, 1].[t,1] áᬮâਬ á ¬®á®¯àï¦ñ­­ë© ª®¬¯ ªâ­ë© ®¯¥à â®àA∗ A: L2 [0, 1] → L2 [0, 1],ª®â®àë© ¨¬¥¥â ¢¨¤Z∗(A Ax)(t) =Zdµ(τ )[t,1]dµ(ξ) x(ξ)¤«ï ¯. ¢. t ∈ [0, 1] ∀ x ∈ L2 [0, 1].[0,τ ]‚ëç¨á«¨¬ ¥£® â®ç¥ç­ë© ᯥªâà. ¥âਢ¨ «ì­®¥ ç¨á«® λ ï¥âáïᮡá⢥­­ë¬ ç¨á«®¬ ®¯¥à â®à A∗ A ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ­¥­ã«¥¢ ï äã­ªæ¨ï xλ ∈ L2 [0, 1], â ª ï, çâ® xλ (t) == λ1 (A∗ Axλ )(t) ¤«ï ¯. ¢.

t ∈ [0, 1]. ’ ª ª ª ¤«ï «î¡®© ä㭪樨x ∈ L2 [0, 1] ®â®¡à ¦¥­¨¥ t 7→ (A∗ Ax)(t) ï¥âáï ­¥¯à¥àë¢­ë¬ ­ ®â१ª¥ [0, 1], â® ¡¥§ ®£à ­¨ç¥­¨ï ®¡é­®á⨠áç¨â ¥¬ äã­ªæ¨î xλ ­¥¯à¥à뢭®© ­ ®â१ª¥ [0, 1], à ¢¥­á⢮ xλ (t) = λ1 (A∗ Axλ )(t) ¢ë¯®«­¥­ë¬ ¤«ï ¢á¥å t ∈ [0, 1]. ’ ª ª ª ¤«ï «î¡®© ­¥¯à¥à뢭®© ä㭪樨x ∈ C[0, 1] ®â®¡à ¦¥­¨¥ t 7→ (A∗ Ax)(t) ï¥âáï ¤¢ ¦¤ë ­¥¯à¥à뢭®¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ­ ®â१ª¥ [0, 1] ä㭪樥©, â® äã­ªæ¨ï xλ â ª¦¥ï¢«ï¥âáï ¤¢ ¦¤ë ­¥¯à¥à뢭® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ­ ®â१ª¥ [0, 1].367„¢ ¦¤ë ¤¨ää¥à¥­æ¨àãï à ¢¥­á⢮ xλ (t) =¯®«ãç ¥¬x0λ (t)1=−λZtx00λ (t) = −x(τ ) dτ,01∗λ (A Axλ )(t)x(t)λ¯® t ∈ [0, 1],∀ t ∈ [0, 1],¯à¨çñ¬xλ (1) = 0 ¨ x0λ (0) = 0.

’ ª ª ª ¢ë¯®«­¥­ë ᮮ⭮襭¨ï´2³´2λ kxλ k2 = (λxλ , xλ ) = (A∗ Axλ , xλ ) = (Axλ , Axλ ) = kAxλ k2 >³ ´> 0, â® ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮ λ > 0. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, xλ = C cos √t볤«ï ç¨á« C 6= 0. “á«®¢¨¥ xλ (1) = 0 ®§­ ç ¥â √1λ = − π2 + πn ¤«ï n ∈∈ N. ®í⮬ã â®ç¥ç­ë© ᯥªâà ®¯¥à â®à A∗ A ¨¬¥¥â ¢¨¤σp (A∗ A)\{0} =½³−¾´−2 ¯π¯+ πn¯ n∈N .2Žâáî¤ ®ª®­ç ⥫쭮 ­ 室¨¬skAk =1max ¡¢ =n∈N − π + πn 22s¡1− π2+π¢2 =2.π‡ ¬¥â¨¬, çâ® 0 6∈ σp (A∗ A), å®âï í⮠ᮮ⭮襭¨¥ ­¥ ­ã¦­®³ ¤«ï´ ¢ëç¨á«¥­¨ï kAk. ’¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥ ¤®ª ¦¥¬ ¥£®. …᫨ x ∈ Ker A∗ A , ⮯®«ãç ¥¬ ¢ª«î祭¨¥ Ax ∈ Ker A∗ = (Im A)⊥ . ® â ª¦¥ Ax ∈ Im A.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, Ax = 0, ³â. ¥. x ∈ ´Ker A = (Im A∗ )⊥ .

Характеристики

Список файлов лекций