Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 56

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 56)

Ž­ ï¥âáï äã­¤ ¬¥­â «ìk=0­®© ¨, §­ ç¨â, á室ï饩áï ¢ ¯®«­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ L(X) ª ®¯¥à â®àãS ∈ L(X). „ «¥¥, (I − A)Sm = Sm (I − A) = I − Am+1 → I ¯à¨m → ∞ ¢ ᨫã ᮮ⭮襭¨ï kAm+1 k ≤ kAkm+1 → 0 ¯à¨ m → ∞.‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, â ª ª ª Sm → S , â® (I − A)Sm → (I − A)S ¨Sm (I − A) → S(I − A) ¯à¨ m → ∞. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, (I − A)S = S(I −− A) = I .

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¯¥à â®à S ∈ L(X) ï¥âáï ª ª ¯à ¢ë¬,â ª ¨ «¥¢ë¬ ®¡à â­ë¬ ¤«ï ®¯¥à â®à I − A ­ ¢áñ¬ X , çâ® ®§­ ç ¥â ­¥¯à¥à뢭ãî ®¡à ⨬®áâì ®¯¥à â®à I − A ­ X ¨ à ¢¥­á⢮(I − A)−1 = S , çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.‘ « ¥ ¤ á â ¢ ¨ ¥ 5.7.1. ãáâì ®¯¥à â®à A ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭®®¡à â¨¬ë¬ ­ X , ®¯¥à â®à ∆A ∈ L(X) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ­¥à ¢¥­áâ¢ãk∆Ak <1.kA−1 k’®£¤ ®¯¥à â®à A + ∆A ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭® ®¡à â¨¬ë¬ ­ X , ¯à¨çñ¬ á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮°°°(A + ∆A)−1 − A−1 ° ≤kA−1 k2 k∆Ak.1 − kA−1 k k∆Ak¡¢„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

’ ª ª ª A + ∆A = A I + A−1 ∆A , kA−1 ∆Ak ≤ kA−1 k k∆Ak < 1, â® ¯® ⥮६¥ 5.7.1 ®¯¥à â®à I ++ A−1 ∆A ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭® ®¡à â¨¬ë¬ ­ X . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮,334®¯¥à â®à B = (I + A−1 ∆A)−1 A−1 ∈ L(X) ï¥âáï ®¡à â­ë¬ ¤«ï®¯¥à â®à A + ∆A, â. ¥. ®¯¥à â®à A + ∆A ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭® ®¡à â¨¬ë¬ ­ X , ¯à¨çñ¬ á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮(A + ∆A)−1 =∞X(−1)k (A−1 ∆A)k A−1 .k=0’®£¤ ¯®«ãç ¥¬°°∞°X°° °°k−1k−1−1−1°(A + ∆A) − A ° = ° (−1) (A ∆A) A °°≤°°k=1≤∞XkA−1 kk+1 k∆Akk =k=1kA−1 k2 k∆Ak.1 − kA−1 k k∆AkŽ ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 5.7.2. —¨á«® λ ∈ C ­ §ë¢ ¥âáï ॣã«ïà­ë¬¤«ï ®¯¥à â®à A, ¥á«¨ ®¯¥à â®à Aλ ­¥¯à¥à뢭® ®¡à ⨬ ­ X . ‘®¢®ªã¯­®áâì ¢á¥å ॣã«ïà­ëå ᪠«ï஢ ¤«ï ®¯¥à â®à A ­ §ë¢ ¥âá北® १®«ì¢¥­â­ë¬ ¬­®¦¥á⢮¬ ¨ ®¡®§­ ç ¥âáï ρ(A).

„«ï «î¡®£®−1λ ∈ ρ(A) «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à RA (λ) = (Aλ )∈ L(X) ­ §ë¢ ¥âáï१®«ì¢¥­â®© ®¯¥à â®à A.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.7.1. ¥§®«ì¢¥­â­®¥ ¬­®¦¥á⢮ ρ(A) ï¥âáï ®âªàëâë¬ ¢ C, «î¡®¥ ç¨á«® λ ∈ C ¢¨¤ |λ| > kAk ¯à¨­ ¤«¥¦¨â१®«ì¢¥­â­®¬ã ¬­®¦¥áâ¢ã ρ(A). Žâ®¡à ¦¥­¨¥ RA : ρ(A) → L(X) ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭ë¬, ¨ ¤«ï «î¡ëå λ1 , λ2 ∈ ρ(A) á¯à ¢¥¤«¨¢® ⮦¤¥á⢮ ƒ¨«ì¡¥àâ :RA (λ1 ) − RA (λ2 ) = (λ1 − λ2 )RA (λ2 )RA (λ1 ).„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

…᫨ λ ∈ C 㤮¢«¥â¢®àï¥â­¥à ¢¥­áâ¢ã¡¢|λ| > kAk,â® ¯® ⥮६¥ 5.7.1 ®¯¥à â®à Aλ = −λ I − Aλ ï¥âáï­¥¯à¥à뢭® ®¡à ⨬ë¬, ¯à¨çñ¬ á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮RA (λ) = −∞XAk.λk+1k=0‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ç¨á«® λ ∈ ρ(A), â. ¥. १®«ì¢¥­â­®¥ ¬­®¦¥á⢮ ®¯¥à â®à A ᮤ¥à¦¨â ¢­¥è­®áâì § ¬ª­ã⮣® ªà㣠¨§ C á 業â஬ ¢­ã«¥ à ¤¨ãá kAk.335„«ï «î¡®£® λ ∈ ρ(A) ¨ ᪠«ïà ∆λ ¢¨¤ |∆λ| < kR 1(λ)k ¢ ᨫãá«¥¤á⢨ï 5.7.1 ¯®«ãç ¥¬, çâ® ®¯¥à â®à Aλ+∆λ = Aλ − ∆λI ï¥âáï­¥¯à¥à뢭® ®¡à â¨¬ë¬ ­ X , ¯à¨çñ¬ á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮A°°°°°RA (λ + ∆λ) − RA (λ)° ≤kRA (λ)k2 |∆λ|.1 − kRA (λ)k |∆λ|‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¬­®¦¥á⢮ ρ(A) ®âªàëâ®, ¨ kRA (λ + ∆λ) − RA (λ)k == O(|∆λ|) → 0 ¯à¨ ∆λ → 0.

®íâ®¬ã ®â®¡à ¦¥­¨¥ RA : ρ(A) → L(X)ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭ë¬.  ª®­¥æ, ¤«ï «î¡ëå ç¨á¥« λ1 , λ2 ∈ ρ(A)¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢠RA (λ1 ) − RA (λ2 ) = RA (λ2 ) (Aλ2 − Aλ1 ) RA (λ1 ) == (λ1 − λ2 )RA (λ2 )RA (λ1 ).Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 5.7.3. ‘¯¥ªâ஬ ®¯¥à â®à A ­ §ë¢ ¥âáï ¬­®¦¥á⢮ σ(A) = C\ρ(A). ‘¯¥ªâà «ì­ë¬ à ¤¨ãᮬ ®¯¥à â®à A ­ §ë¢ ¥âáï ¢¥«¨ç¨­ r(A) = sup |λ|.λ∈σ(A)’ ¥ ® à ¥ ¬ 5.7.2. ‘¯¥ªâà ®¯¥à â®à A ï¥âáï ­¥¯ãáâë¬ ª®¬¯ ªâ­ë¬ ¬­®¦¥á⢮¬ ¢ C.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ‚ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 5.7.1 १®«ì¢¥­â­®¥¬­®¦¥á⢮ ρ(A) ®âªàëâ® ¢ C. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ᯥªâà σ(A) = C\ρ(A)§ ¬ª­ãâ ¢ C. ‚ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 5.7.1 «î¡®¥ ç¨á«® λ ∈ C ¢¨¤ |λ| >> kAk ï¥âáï ॣã«ïà­ë¬ §­ 祭¨¥¬ ®¯¥à â®à A. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮,¤«ï «î¡®£® λ ∈ σ(A) ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ |λ| ≤ kAk.

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ᯥªâà σ(A) ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­ë¬ ¬­®¦¥á⢮¬ ¢ C. ®í⮬ãσ(A) ª ª ®£à ­¨ç¥­­®¥ § ¬ª­ã⮥ ¬­®¦¥á⢮ ï¥âáï ª®¬¯ ªâ®¬ ¢C. ®ª ¦¥¬, çâ® σ(A) 6= ∅. à¥¤¯®«®¦¨¬¯à®â¨¢­®¥. ’®£¤ ρ(A) =³´∗= C. „«ï «î¡®£® ä㭪樮­ « Φ ∈ L(X) à áᬮâਬ äã­ªæ¨î³´ϕ: C → C ¢¨¤ ϕ(z) = Φ RA (z) ¤«ï «î¡®£® z ∈ C. ‚ ᨫã à ¢¥­á⢠ƒ¨«ì¡¥àâ ¤«ï «î¡ëå ç¨á¥« z, ∆z ∈ C ¨¬¥¥¬³´ϕ(z + ∆z) − ϕ(z) = Φ ∆zRA (z)RA (z + ∆z) =³´= ∆zΦ RA (z)RA (z + ∆z) .336’ ª ª ª १®«ì¢¥­â RA ­¥¯à¥à뢭 ­ १®«ì¢¥­â­®¬ ¬­®¦¥á⢥,â. ¥. ¤«ï à áᬠâਢ ¥¬®£® á«ãç ï ¢ C, â® ¯®«ãç ¥¬³´ϕ(z + ∆z) − ϕ(z)2= Φ RA(z)∆z→0∆zϕ0 (z) = lim∀ z ∈ C.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯à®¨§¢®¤­ ï ϕ(z) ­¥¯à¥à뢭 ­ C ª ª á㯥௮§¨æ¨ï ­¥¯à¥à뢭ëå ®â®¡à ¦¥­¨©.

®í⮬㠪®¬¯«¥ªá­ ï äã­ªæ¨ï ϕï¥âáï 楫®© ä㭪樥©. à¨ í⮬ ¤«ï ¢á¥å z ∈ C ¢¨¤ |z| > kAk ¢á¨«ã ⥮६ë 5.7.1 ¯®«ãç ¥¬|ϕ(z)| ≤∞kΦk X kAkkkΦk=→0|z||z|k|z| − kAk¯à¨z → ∞.k=0‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫã â¥®à¥¬ë ‹¨ã¢¨««ï ¨§ ⥮ਨ ä㭪権 ª®¬¯«¥ªá­®£® ¯¥à¥¬¥­­®£® ¯®«ãç ¥¬, çâ® ϕ(z) = 0 ¤«ï ¢á¥å z ∈ C. ®â®£¤ çâ® ¤«ï³ «î¡®£®³ ¯®«ãç ¥âáï,´∗´ z ∈ C ¨ «î¡®£® ä㭪樮­ « Φ ∈∈ L(X) ¢ë¯®«­¥­® Φ RA (z) = 0. ’®£¤ ¢ ᨫ㠯㭪â 3 á«¥¤á⢨ï 5.1.2 ¯®«ãç ¥¬ RA (z) = 0 ¤«ï «î¡®£® z ∈ C, çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¢§ ¨¬­®© ®¤­®§­ ç­®á⨠®¯¥à â®à RA (z) = (A − zI)−1 . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ã祭­®¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¤®ª §ë¢ ¥â ­¥¯ãáâ®âã ᯥªâà σ(A) ®¯¥à â®à A.‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 5.7.2. ‚ ᨫ㠧 ¬¥ç ­¨ï 5.6.4 ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì­®£®ç¨á« λ ∈ C áãé¥áâ¢ã¥â ®¯¥à â®à (A − λI)−1 ∈ L(X) ⮣¤ ¨ ⮫쪮⮣¤ , ª®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ®¯¥à â®à ((A − λI)∗ )−1 = (A∗ − λI ∗ )−1 ∈∈ L(X ∗ ).

‡¤¥áì ®¯¥à â®à I ∗ ï¥âáï ⮦¤¥á⢥­­ë¬ ®¯¥à â®à®¬ ¢¯à®áâà ­á⢥ X ∗ . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ª«î祭¨¥ λ ∈ ρ(A) à ¢­®á¨«ì­®¢ª«î祭¨î λ ∈ ρ(A∗ ), â. ¥. á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ ρ(A) = ρ(A∗ ).‘«¥¤®¢ ⥫쭮, σ(A) = σ(A∗ ).’ ¥ ® à ¥ ¬ 5.7.3. ‘ãé¥áâ¢ã¥â n→∞limpn„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. „«ï «î¡®£®λ ∈ CkAn k = r(A).¨ n ∈ N ®¯à¥¤¥«¨¬®¯¥à â®à Bλ,n =A λ. ’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ An −m=0− λn I = (A − λI)Bλ,n = Bλ,n (A − λI). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¥á«¨ ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ λn ∈ ρ(An ), â® ®¯¥à â®à Aλ ¨¬¥¥â «¥¢ë© ®¡à â­ë© ®¯¥à â®à RA (λn )Bλ,n ∈ L(X) ¨ ¯à ¢ë© ®¡à â­ë© ®¯¥à â®àn−1Pm n−1−mn337Bλ,n RAn (λn ) ∈ L(X).®í⮬ã ᮣ« á­® § ¬¥ç ­¨î 3.5.3 í⨠®¯¥à â®àë ᮢ¯ ¤ îâ ¨ à ¢­ë RA (λ) ∈ L(X), â.

¥. λ ∈ ρ(A). ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¢ª«î祭¨¥ ρ(An ) ⊂ (ρ(A))n , ª®â®à®¥ ¢«¥çñâ ¢ª«î祭¨¥ (σ(A))n ⊂ σ(An ). ®í⮬㠤«ï «î¡®£® λ ∈ σ(A) á¯à ¢¥¤«¨¢®p­¥à ¢¥­á⢮ |λ|n ≤ kAn k, ®âªã¤ ¯®«ãç ¥¬ ®æ¥­ªã |λ| ≤ lim kAn k.n→∞‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮nr(A) = sup |λ| ≤ limpnkAn k.n→∞λ∈σ(A)³´∗„«ï ¯à®¨§¢®«ì­®£® ä㭪樮­ « Φ ∈ L(X) à áᬮâਬ äã­ªæ¨î ϕ(z) = Φ(RA (z)) ¯à¨ z ∈ ρ(A). Š ª ¯®ª § ­® ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥⥮६ë 5.7.2, äã­ªæ¨ï ϕ ॣã«ïà­ ¢ ρ(A), ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠¡¥áª®­¥ç­®á⨠|z| > kAk ¨¬¥¥â à §«®¦¥­¨¥ ¢ àï¤ ‹®à ­ ¯® á⥯¥­ï¬ z¢¨¤ ϕ(z) = −∞XΦ(An ).z n+1n=0’ ª ª ª kAk ≥ r(A), â® ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠¡¥áª®­¥ç­®á⨠|z| > r(A) äã­ªæ¨ï ϕ ¨¬¥¥â â ª®© ¦¥ àï¤ ‹®à ­ ¯® á⥯¥­ï¬ z ¢ ᨫã ⥮६륤¨­á⢥­­®áâ¨ à §«®¦¥­¨ï ॣã«ïà­®© ¢ ª®«ìæ¥ ª®¬¯«¥ªá­®© ä㭪樨 ¢ àï¤ ‹®à ­ .

‘«¥¤®¢ ⥫쭮,¤«ï³´∗ «î¡®£® z ∈ C ¢¨¤ |z| > r(A)¨ «î¡®£® ä㭪樮­ « Φ ∈ L(X) áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® M (Φ, z) >¯¯)¯â ª®¥, çâ® ¯¯ Φ(A¯ ≤ M (Φ, z) ¯à¨ ¢á¥å n ∈ N. ’®£¤ ¯à¨ ª ¦¤®¬zz ∈ C ¢¨¤ |z|´> r(A) ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì «¨­¥©­ëå ä㭪樮­ «®¢³∗∗)Hn,z ∈ L(X)¢¨¤ Hn,z (Φ) = Φ(Aï¥âáï ¯®â®ç¥ç­® ®£à ­¨z祭­®©, â ª ª ª ¯à¨ ¢á¥å n ∈ N ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ |Hn,z (Φ)| ≤≤ M (Φ, z).

’®£¤ ¯® ⥮६¥ 3.4.2  ­ å |˜â¥©­£ 㧠¯®á«¥¤®¢ ³´∗∗⥫쭮áâì ä㭪樮­ «®¢ Hn,z ®£à ­¨ç¥­ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ L(X)¯® ®¯¥à â®à­®© ­®à¬¥, â. ¥. áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® L(z) > 0, â ª®¥, çâ®kHn,z k ≤ L(z) ¯à¨ ¢á¥å n ∈ N. ’ ª ª ª ¯® ¯ã­ªâã 4 á«¥¤á⢨ï 5.1.2â¥®à¥¬ë • ­ | ­ å á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮> 0,nnnn|Φ(An )|kAn k=,n|z||z|nkΦk=1kHn,z k = sup338â® ¨¬¥¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮√nkAn k|z| > √n¯à¨ ¢á¥å |z| > r(A) ¨ n ∈ N.L(z)p’ ª ª ªpn L(z) → 1 ¯à¨ n → ∞, â® ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮ |z| ≥≥ lim n kAn k ¯à¨ ¢á¥å |z| > r(A). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯à¨ |z| → r(A)+0n→∞p¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮ r(A) ≥ lim n kAn k.

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®ª § ­ë á«¥¤ãî騥 ­¥à ¢¥­á⢠:limn→∞n→∞ppnkAn k ≤ r(A) ≤ lim n kAn k,n→∞®âªã¤ ¯®«ãç ¥¬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â n→∞limpnkAn k = r(A).‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 5.7.3. ® ⥮६¥ 3.5.1  ­ å ®¡ ®¡à â­®¬ ®¯¥à â®à¥ ç¨á«® λ ∈ ρ(A) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ Ker Aλ = {0} ¨Im Aλ = X . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ª«î祭¨¥ λ ∈ σ(A) ¢®§¬®¦­® «¨¡® ¯à¨Ker Aλ 6= {0} (¢ í⮬ á«ãç ¥ ®¯¥à â®à Aλ ­¥ ¨¬¥¥â «¥¢®£® ®¡à â­®£®®¯¥à â®à ), «¨¡® Ker Aλ = {0}, ­® Im Aλ 6= X . ‚ í⮬ á«ãç ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ®¡à â­ë© ®¯¥à â®à (Aλ )−1 : Im Aλ → X , ­® (Aλ )−1 6∈ L(X)¢ ᨫ㠭¥à ¢¥­á⢠Im Aλ 6= X . Ž¤­ ª® ¥á«¨ ¯®¤¯à®câà ­á⢮ Im Aλ§ ¬ª­ãâ® ¢ X , â® ®­® ï¥âáï ¯®«­ë¬, ¨ ¯® ⥮६¥ 3.5.1  ­ å ®¡ ®¡à â­®¬ ®¯¥à â®à¥ ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ (Aλ )−1 ∈ L(Im Aλ , X).…᫨ ¦¥ ¯®¤¯à®câà ­á⢮ Im Aλ ­¥§ ¬ª­ãâ®, â® ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 3.5.5 ¨¬¥¥â ¬¥áâ® à ¢¥­á⢮ k(Aλ )−1 k = +∞.Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 5.7.4.

Œ­®¦¥á⢮ σp (A) ⊂ σ(A) ­ §ë¢ ¥âáïâ®ç¥ç­ë¬ ᯥªâ஬ ®¯¥à â®à A, ¥á«¨ ¢ª«î祭¨¥ λ ∈ σp (A) à ¢­®á¨«ì­® ¢ë¯®«­¥­¨î ᮮ⭮襭¨ï Ker Aλ 6= {0}. ‹î¡®¥ ç¨á«® λ ∈∈ σp (A) ­ §ë¢ ¥âáï ᮡá⢥­­ë¬ ç¨á«®¬ ®¯¥à â®à A, «î¡®© ­¥âਢ¨ «ì­ë© ¢¥ªâ®à ¨§ ï¤à Ker Aλ ­ §ë¢ ¥âáï ᮡá⢥­­ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ ®¯¥à â®à A, ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ç¨á«ã λ.Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 5.7.5. Œ­®¦¥á⢮ σc (A) ⊂ σ(A) ­ §ë¢ ¥âáï­¥¯à¥àë¢­ë¬ á¯¥ªâ஬ ®¯¥à â®à A, ¥á«¨ ¢ª«î祭¨¥ λ ∈ σc (A) à ¢­®á¨«ì­® ¢ë¯®«­¥­¨î ᮮ⭮襭¨©Ker Aλ = {0},Im Aλ 6= X,[Im Aλ ] = X.Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 5.7.6. Œ­®¦¥á⢮ σr (A) ⊂ σ(A) ­ §ë¢ ¥âáï®áâ â®ç­ë¬ ᯥªâ஬ ®¯¥à â®à A, ¥á«¨ ¢ª«î祭¨¥ λ ∈ σr (A) à ¢­®á¨«ì­® ¢ë¯®«­¥­¨î ᮮ⭮襭¨©Ker Aλ = {0},339[Im Aλ ] 6= X.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.7.2. ‘¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮σ(A) = σp (A) ∪ σc (A) ∪ σr (A).„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

‘à §ã á«¥¤ã¥â ¨§ § ¬¥ç ­¨ï 5.7.3.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.7.3. ãáâì ç¨á«® λ ∈ σ(A). ’®£¤ ¢ª«îç¥-­¨¥ λ ∈ σc (A) à ¢­®á¨«ì­® ᮮ⭮襭¨ï¬ Ker Aλ = {0} ¨ Ker A∗λ == {0}, ¢ª«î祭¨¥ λ ∈ σr (A) à ¢­®á¨«ì­® ᮮ⭮襭¨ï¬ Ker Aλ == {0} ¨ Ker A∗λ 6= {0}.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ® ⥮६¥ 5.6.1 ”।£®«ì¬ á¯à ¢¥¤«¨-¢® à ¢¥­á⢮⊥(Im Aλ ) = Ker A∗λ .…᫨ ç¨á«® λ ∈ σc (A), â® Ker Aλ = {0} ¨ [Im Aλ ] = X .

’ ª ª ª ¤«ï«î¡®£® ¯®¤¯à®áâà ­á⢠L ⊂ X ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ L⊥ = [L]⊥ ,â® ¯®«ãç ¥¬ Ker A∗λ = X ⊥ = {0}. Ž¡à â­®, ¥á«¨ Ker Aλ = {0} ¨Ker A∗λ = {0}, â® ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 5.6.2 ¯®«ãç ¥¬³´³´⊥[Im Aλ ] = ⊥ (Im Aλ )= ⊥ (Ker A∗λ ) = ⊥ {0} = X,â. ¥. λ ∈ σc (A).…᫨ ç¨á«® λ ∈ σr (A), â® Ker Aλ = {0} ¨ [Im Aλ ] 6= X . ‚ ᨫã¯ã­ªâ 1 á«¥¤á⢨ï 5.1.2 â¥®à¥¬ë • ­ | ­ å áãé¥áâ¢ã¥â ­¥âਢ¨ «ì­ë© ä㭪樮­ « f ∈ X ∗ , â ª®©, çâ®f ∈ [Im Aλ ]⊥ = (Im Aλ )⊥ = Ker A∗λ ,â. ¥.Ker A∗λ 6= {0}. Ž¡à â­®, ¥á«¨ Ker Aλ = {0} ¨ Ker A∗λ 6= {0},(Im Aλ )⊥ 6= {0}. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬ ᮮ⭮襭¨ï³´³´⊥[Im Aλ ] = ⊥ (Im Aλ )6= ⊥ {0} = X,â®â. ¥. λ ∈ σr (A).’ ¥ ® à ¥ ¬ 5.7.4 (®¡ ®â®¡à ¦¥­¨¨ ᯥªâà ¬­®£®ç«¥­®¬).

ãáâìNP| ª®¬¯«¥ªá­ë© ¬­®£®ç«¥­ á⥯¥­¨ N6 0). ’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮=P (z) =ak z kk=0³´³´σ P (A) = P σ(A) .340∈ N (â. ¥. aN 6=„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. à¥¦¤¥ ¢á¥£® ¯®ª ¦¥¬, çâ® ®¯¥à â®à­¥¯à¥à뢭®³´®¡à ⨬ ­ X ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¢ë¯®«­¥­® 0 6∈ P σ(A) . ãáâì z1 , . . . , zm | ¢á¥ à §«¨ç­ë¥ ª®¬¯«¥ªá­ë¥ª®à­¨ ¬­®£®ç«¥­ P ªà â­®á⨠r1 , . . . , rm ᮮ⢥âá⢥­­®. ’®£¤ ¤«ïmQ«î¡®£® z ∈ C ¨¬¥¥¬ à ¢¥­á⢮ P (z) = aN (z − zk )r .

Характеристики

Список файлов лекций