Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 55

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 55)

’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢ë ᮮ⭮襭¨ï⊥Ker A = ⊥ (Im A∗ ) ,Ker A∗ = (Im A) .„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ‚ ᨫ㠯㭪â 3 á«¥¤á⢨ï 5.1.2 ¢ª«îç¥-­¨¥x ∈ Ker A, â. ¥. à ¢¥­á⢮ Ax = 0 à ¢­®á¨«ì­® ᮮ⭮襭¨îg(Ax) = 0 ¤«ï «î¡®£® g ∈ Y ∗ , çâ® ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì à ¢­®á¨«ì­®(A∗ g)(x) = 0 ¤«ï «î¡®£® g ∈ Y ∗ , íâ® à ¢­®á¨«ì­® ¢ª«î祭¨î x ∈∈ ⊥ (Im A∗ ). ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®ª § ­® à ¢¥­á⢮ Ker A = ⊥ (Im A∗ ).‚ª«î祭¨¥ g ∈ Ker A∗ , â. ¥. à ¢¥­á⢮ A∗ g = 0 à ¢­®á¨«ì­® ᮮ⭮襭¨î (A∗ g)(x) = 0 ¤«ï «î¡®£® x ∈ X , çâ® ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì à ¢­®á¨«ì­® g(Ax) = 0 ¤«ï «î¡®£® x ∈ X , íâ® à ¢­®á¨«ì­® ¢ª«î祭¨î⊥⊥g ∈ (Im A) .

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®ª § ­® à ¢¥­á⢮ Ker A∗ = (Im A) .‘ « ¥ ¤ á â ¢ ¨ ¥ 5.6.1. ãáâì X, Y | «¨­¥©­ë¥ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥¯à®áâà ­á⢠, «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A ∈ L(X, Y ). ’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢ëᮮ⭮襭¨ï⊥(Ker A) ⊃ [Im A∗ ] ,⊥(Ker A∗ ) = [Im A] .…᫨ ¯à®áâà ­á⢮ X à¥ä«¥ªá¨¢­®, â® ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮⊥(Ker A) = [Im A∗ ] .„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ‚ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 5.6.2 ¨ ⥮६ë 5.6.1¯®«ãç ¥¬´(Im A∗ ) ⊥ ⊃ [Im A∗ ] ,³´⊥(Ker A∗ ) = ⊥ (Im A) ⊥ = [Im A] .⊥³(Ker A) =⊥…᫨ ¯à®áâà ­á⢮ X à¥ä«¥ªá¨¢­®, â® ¤«ï ¯®¤¯à®áâà ­á⢠Im A∗ ⊂⊂ X ∗ ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 5.6.2 ¨¬¥¥¬ à ¢¥­á⢮³⊥(Im A∗ )´⊥= [Im A∗ ] .‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮⊥(Ker A) = [Im A∗ ] .329 à ¨ ¬ ¥ à 5.6.2. ‚ á«ãç ¥, ª®£¤ ¯à®áâà ­á⢮ X ­¥ ï¥âáïà¥ä«¥ªá¨¢­ë¬, ¤«ï «¨­¥©­®£® ®¯¥à â®à A ∈ L(X, Y ) ¬®¦¥â ¨¬¥â쬥áâ® ­¥à ¢¥­á⢮ (Ker A)⊥ 6= [Im A∗ ].

à¨¢¥¤ñ¬ ¤¢ â ª¨å ¯à¨¬¥à .‘­ ç « à áᬮâਬ ¯à®áâà ­á⢠X = Y = `1 ¨ «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A: `1 → `1 ¢¨¤ (Ax)(k) = x(k)¤«ï ¢á¥å x ∈ `1 ¨ ¤«ï ¢á¥åkk ∈ N. Žç¥¢¨¤­® ­¥à ¢¥­á⢮ kAk ≤ 1, â ª ª ª ¤«ï ¢á¥å x ∈ `1 ¨¬¥¥¬kAxk1 =¯∞∞ ¯X¯ x(k) ¯ X¯≤¯|x(k)| = kxk1 ,¯ k ¯k=1k=1â.

¥. ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ A ∈ L(`1 ). Žç¥¢¨¤­®, çâ® Ker A = {0}.„¥©á⢨⥫쭮, à ¢¥­á⢮ Ax = 0 ¤«ï ­¥ª®â®à®£® x ∈ `1 à ¢­®á¨«ì­®= 0 ¤«ï ¢á¥å k ∈ N, â. ¥. x(k) = 0 ¤«ï ¢á¥å k ∈ N.à ¢¥­áâ¢ã x(k)k‚ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 5.2.3 á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ `∗1 = `∞ . ’®£¤ ᮯàï¦ñ­­ë© «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A∗ : `∞ → `∞ ¨¬¥¥â ¢¨¤ (A∗ z)(k) == z(k)k ¤«ï ¢á¥å k ∈ N, £¤¥ z ∈ `∞ . „¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï ¢á¥å x ∈ `1 ¨z ∈ `∞ ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮∞X(Ax)(k)z(k) =k=1∞Xk=1∞x(k)X1z(k) =x(k)(A∗ z)(k).kk=1’ ª ª ª Ker A = {0}, â® (Ker A)⊥ = `∞ . ®ª ¦¥¬, çâ® [Im A∗ ] 6= `∞ . áᬮâਬ ¢¥ªâ®à z ∈ `∞ ¢¨¤ z(k) = 1 ¤«ï ¢á¥å k ∈ N.

®ª ¦¥¬,çâ® ¢ë¯®«­¥­® z 6∈ [Im A∗ ]. „¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® x ∈ `∞ ¨¬¥¥¬¯¯¯¯¯¯¯x(k) ¯¯¯1 − x(k) ¯ = 1.kz − A∗ xk∞ = sup ¯¯1 −≥lim¯¯k→∞kk ¯k∈N‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ρ(z, Im A∗ ) ≥ 1, â. ¥. ¤¥©á⢨⥫쭮 z 6∈ [Im A∗ ], ç⮨ âॡ®¢ «®áì.’¥¯¥àì à áᬮâਬ ¯à®áâà ­á⢠X = Y = L1 [0, 1] ¨ «¨­¥©­ë©®¯¥à â®à A: L1 [0, 1] → L1 [0, 1] ¢¨¤ (Ax)(t) = tx(t) ¤«ï ¢á¥å x ∈∈ L1 [0, 1] ¨ ¤«ï ¯. ¢.

t ∈ [0, 1]. Žç¥¢¨¤­® ­¥à ¢¥­á⢮ kAk ≤ 1, â ªª ª ¤«ï ¢á¥å x ∈ L1 [0, 1] ¨¬¥¥¬ZkAxk1 =Z|tx(t)| dµ ≤[0,1]|x(t)| dµ = kxk1 ,[0,1]330â. ¥. ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ A ∈ L(L1 [0, 1]). Žç¥¢¨¤­®, çâ® Ker A == {0}. „¥©á⢨⥫쭮, à ¢¥­á⢮ Ax = 0 ¤«ï ­¥ª®â®à®£® x ∈ L1 [0, 1]à ¢­®á¨«ì­® à ¢¥­áâ¢ã tx(t) = 0 ¤«ï ¯. ¢. t ∈ [0, 1], çâ® ¢«¥çñâ à ¢¥­á⢮ x(t) = 0 ¤«ï ¯. ¢. t ∈ [0, 1], â. ¥. x = 0 ¢ ¯à®áâà ­á⢥ L1 [0, 1].ˆ§¢¥áâ­®, çâ® (L1 [0, 1])∗ = L∞ [0, 1], ¯à¨çñ¬ ¤«ï «î¡®£® ä㭪樮­ « f ∈ (L1 [0, 1])∗ áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ë© í«¥¬¥­â zf ∈ L∞ [0, 1],â ª®©, çâ® kf k = kzf k∞ , ¨ ¤«ï ¢á¥å x ∈ L1 [0, 1] ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮Zf (x) =x(t)zf (t) dµ.[0,1]’®£¤ ᮯàï¦ñ­­ë© «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A∗ : L∞ [0, 1] → L∞ [0, 1] ¨¬¥¥â ¢¨¤ (A∗ z)(t) = tz(t) ¤«ï ¯.

¢. t ∈ [0, 1], £¤¥ z ∈ L∞ [0, 1]. „¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï ¢á¥å x ∈ L1 [0, 1] ¨ z ∈ L∞ [0, 1] ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ZZ(Ax)(t)z(t) dµ =[0,1]Zx(t)(A∗ z)(t) dµ.x(t)tz(t) dµ =[0,1][0,1]’ ª ª ª Ker A = {0}, â® (Ker A)⊥ = L∞ [0, 1]. ®ª ¦¥¬, çâ® [Im A∗ ] 6=6= L∞ [0, 1].  áᬮâਬ äã­ªæ¨î z ∈ L∞ [0, 1], à ¢­ãî ¥¤¨­¨æ¥ ¯®ç⨢áî¤ã ­ [0, 1], â. ¥. z(t) = 1 ¤«ï ¯. ¢. t ∈ [0, 1]. ®ª ¦¥¬, çâ® ¢ë¯®«­¥­® z 6∈ [Im A∗ ].

„¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® x ∈ L∞ [0, 1] ¨ «î¡®£®ç¨á« δ ∈ (0, 1) ¨¬¥¥¬kz − A∗ xk∞ ≥ ess sup |1 − tx(t)| ≥ 1 − δkxk∞ → 1t∈[0,δ]‘«¥¤®¢ ⥫쭮,¨ âॡ®¢ «®áì.ρ(z, Im A∗ ) ≥ 1,â. ¥. ¤¥©á⢨⥫쭮¯à¨δ → +0.z 6∈ [Im A∗ ],ç⮒ ¥ ® à ¥ ¬ 5.6.2. ãáâì X, Y | «¨­¥©­ë¥ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥¯à®áâà ­á⢠, «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A ∈ L(X, Y ). ’®£¤ ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ®¡à â­ë© ®¯¥à â®à A−1 ∈ L(Y, X), â® áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ®¯¥à â®à(A∗ )−1 ∈ L(X ∗ , Y ∗ ), ¯à¨çñ¬ ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ (A∗ )−1 = (A−1 )∗ .Ž¡à â­®, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ®¯¥à â®à (A∗ )−1 ∈ L(X ∗ , Y ∗ ), ¯à®áâ−1à ­á⢮ X à¥ä«¥ªá¨¢­®, â® áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¡®¯¥à â®à¢ A ∈ L(Y, X),−1−1∗ −1 ∗¯à¨çñ¬ ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ A = F (A )H , £¤¥ F : X →→ X ∗∗ ¨ H: Y → Y ∗∗ | ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¨§®¬®à䨧¬ë, ¢¢¥¤ñ­­ë¥ ¢ã⢥ত¥­¨¨ 5.1.1.331„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

ãáâì áãé¥áâ¢ã¥â ®¡à â­ë© ®¯¥à â®àA−1 ∈ L(Y, X).’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ®¯¥à â®à (A−1 )∗ ∈ L(X ∗ , Y ∗ ). „«ï«î¡®£® ä㭪樮­ « f ∈ X ∗ ¨ «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X ¨¬¥¥¬³´³´A∗ (A−1 )∗ f (x) = (A−1 )∗ f (Ax) = f (A−1 Ax) = f (x).‚ ᨫ㠯ந§¢®«ì­®á⨠¢¥ªâ®à x ∈ X ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮A∗ (A−1 )∗ f = f ¤«ï «î¡®£® f ∈ X ∗ .‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ®¯¥à â®à (A−1 )∗ ï¥âáï ¯à ¢ë¬ ®¡à â­ë¬ ®¯¥à â®à®¬ ¤«ï A∗ . €­ «®£¨ç­® ¤«ï «î¡®£® ä㭪樮­ « g ∈ Y ∗ ¨ «î¡®£®¢¥ªâ®à y ∈ Y ¨¬¥¥¬³´³´(A−1 )∗ A∗ g (y) = A∗ g (A−1 y) = g(AA−1 y) = g(y).‚ ᨫ㠯ந§¢®«ì­®á⨠¢¥ªâ®à y ∈ Y ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮(A−1 )∗ A∗ g = g ¤«ï «î¡®£® g ∈ Y ∗ .‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ®¯¥à â®à (A−1 )∗ ï¥âáï «¥¢ë¬ ®¡à â­ë¬ ®¯¥à â®à®¬ ¤«ï A∗ . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 3.5.3 ®¯¥à â®à (A−1 )∗ï¥âáï ®¡à â­ë¬ ®¯¥à â®à®¬ ¤«ï A∗ , â. ¥. áãé¥áâ¢ã¥â ®¯¥à â®à(A∗ )−1 = (A−1 )∗ .ãáâì ⥯¥àì ®¯¥à â®à (A∗ )−1 ∈ L(X ∗ , Y ¡∗ ) áãé¥áâ¢ã¥â.’®£¤ ¯®¢¤®ª § ­­®¬ã ¢ëè¥ «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à B = (A∗ )−1 ∗ ∈ L(Y ∗∗ , X ∗∗ )ï¥âáï ®¡à â­ë¬ ª ®¯¥à â®àã A∗∗ ∈ L(X ∗∗ , Y ∗∗ ).

’ ª ª ª ¯à®áâà ­á⢮ X à¥ä«¥ªá¨¢­®, â® ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 5.1.2 ¨¬¥¥¬ à ¢¥­á⢮Im F = X ∗∗ . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ®¯¥à â®à F −1 BH ∈ L(Y, X). ’®£¤ ¤«ï«î¡®£® ¢¥ªâ®à y ∈ Y ¨ ä㭪樮­ « g ∈ Y ∗ ¨¬¥¥¬³´³´g AF −1 BHy = (A∗ g) F −1 BHy = (BHy)(A∗ g) =³´= (Hy) (A∗ )−1 A∗ g = (Hy)(g) = g(y).‚ ᨫ㠯ந§¢®«ì­®á⨠ä㭪樮­ « g ∈ Y ∗ ᮣ« á­® ¯ã­ªâã 3 á«¥¤á⢨ï 5.1.2 ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮ AF −1 BHy = y ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à y ∈∈ Y .

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ®¯¥à â®à F −1 BH ï¥âáï ¯à ¢ë¬ ®¡à â­ë¬¤«ï ®¯¥à â®à A. €­ «®£¨ç­® ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X ¨ ä㭪樮­ « f ∈ X ∗ ¨¬¥¥¬³´³´f F −1 BHAx = (BHAx)(f ) = (HAx) (A∗ )−1 f =³´³´= (A∗ )−1 f (Ax) = A∗ (A∗ )−1 f (x) = f (x).332’®£¤ ¢ ᨫ㠯ந§¢®«ì­®á⨠ä㭪樮­ « f ∈ X ∗ ᮣ« á­® ¯ã­ªâã 3 á«¥¤á⢨ï 5.1.2 ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮ F −1 BHAx = x ¤«ï «î¡®£®¢¥ªâ®à x ∈ X . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ®¯¥à â®à F −1 BH ï¥âáï «¥¢ë¬®¡à â­ë¬ ¤«ï ®¯¥à â®à A. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 3.5.3®¯¥à â®à F −1 BH ï¥âáï ®¡à â­ë¬ ®¯¥à â®à®¬ ¤«ï A, â. ¥. áãé¥áâ¢ã¥â ®¯¥à â®à A−1 = F −1 BH .‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 5.6.4. ãáâì X, Y | ¡ ­ å®¢ë ¯à®áâà ­á⢠, ®¯¥à â®à A ∈ L(X, Y ).

’®£¤ áãé¥á⢮¢ ­¨¥ ®¯¥à â®à A−1 ∈ L(Y, X)à ¢­®á¨«ì­® áãé¥á⢮¢ ­¨î ®¯¥à â®à (A∗ )−1 ∈ L(X ∗ , Y ∗ ). ‚ ᨫã⥮६ë 5.6.2 ¤®áâ â®ç­® ¯®ª § âì, çâ® ­¥¯à¥à뢭 ï ®¡à ⨬®áâ쮯¥à â®à A∗ ¢«¥çñâ ­¥¯à¥à뢭ãî ®¡à ⨬®áâì ®¯¥à â®à A. ‘®£« á­® ⥮६¥ 4.14 ¨§ [2, ç. I, £«. 4, á. 115] ®¡à § Im A ®¯¥à â®à A§ ¬ª­ãâ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ § ¬ª­ãâ ®¡à § Im A∗ ᮯàï¦ñ­­®£® ®¯¥à â®à A∗ . ãáâì áãé¥áâ¢ã¥â ®¯¥à â®à (A∗ )−1 ∈ L(X ∗ , Y ∗ ).® ⥮६¥ 3.5.1  ­ å ®¡ ®¡à â­®¬ ®¯¥à â®à¥ íâ® à ¢­®á¨«ì­® à ¢¥­á⢠¬ Ker A∗ = {0} ¨ Im A∗ = X ∗ . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫ㠧 ¬ª­ãâ®á⨠Im A∗ ¢ X ∗ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ Im A § ¬ª­ãâ® ¢ Y . ®í⮬㠯® ⥮६¥ 5.6.1 ¨ á«¥¤á⢨î 5.6.1 ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢠Ker A == ⊥ (Im A∗ ) = ⊥ (X ∗ ) = {0}, Im A = [Im A] = ⊥ (Ker A∗ ) = ⊥ ({0}) = Y .‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯® ⥮६¥ 3.5.1  ­ å ®¡ ®¡à â­®¬ ®¯¥à â®à¥ áãé¥áâ¢ã¥â ®¯¥à â®à A−1 ∈ L(Y, X).5.7.

‘¯¥ªâà «¨­¥©­®£® ®¯¥à â®à ‚ í⮬ ¯ à £à ä¥ à áᬠâਢ ¥¬ ­¥âਢ¨ «ì­®¥ ª®¬¯«¥ªá­®¥ ¡ ­ 客® ¯à®áâà ­á⢮ X ¨ «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A ∈ L(X). ’®¦¤¥á⢥­­ë© ®¯¥à â®à, ¤¥©áâ¢ãî騩 ¢ X , ®¡®§­ 稬 I , â. ¥. I(x) = x ¤«ï ¢á¥åx ∈ X . „«ï «î¡®£® λ ∈ C ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®àAλ = A − λI .Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 5.7.1. ‹¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì­¥¯à¥à뢭® ®¡à â¨¬ë¬ ­ A−1 ∈ L(X).X,¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ®¡à â­ë© ®¯¥à â®à‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 5.7.1.

‚ ᨫã ⥮६ë 3.5.1  ­ å ®¡ ®¡à â­®¬®¯¥à â®à¥ «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭® ®¡à â¨¬ë¬ ­ X ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ Ker A = {0} ¨ Im A = X .333’ ¥ ® à ¥ ¬ 5.7.1 („¦. ä®­ ¥©¬ ­). ãáâì kAk < 1. ’®£¤ «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à I − A ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭® ®¡à â¨¬ë¬ ­ X , ¯à¨çñ¬ á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮∞X(I − A)−1 =Ak .k=0„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. à¥¦¤¥ ¢á¥£® § ¬¥â¨¬, çâ® àï¤S=∞XAkk=0á室¨âáï ¡á®«îâ­® ¢ ¯®«­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ L(X) ¯® ¯à¨§­ ªã áà ¢­¥­¨ï, â ª ª ª kAk k ≤ kAkk | ç«¥­ á室ï饣®áï àï¤ ¢ ᨫ㠭¥à ¢¥­á⢠kAk < 1.  áᬮâਬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {Sm }∞m=0 ç áâ¨çmPk­ëå á㬬 í⮣® àï¤ , â. ¥. Sm =A .

Характеристики

Список файлов лекций