Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 53

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 53)

‚ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 5.5.3 á« ¡ ï* ⮯®«®£¨ï ­ è ॠBR∗ (0) ¬¥âਧ㥬 . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯® ⥮६¥ 2.2.1á« ¡ ï* ª®¬¯ ªâ­®áâì è à BR∗ (0) íª¢¨¢ «¥­â­ ¥£® á« ¡®©* ᥪ¢¥­æ¨ «ì­®© ª®¬¯ ªâ­®áâ¨. „«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠᫠¡®©* ᥪ¢¥­æ¨ «ì­®© ª®¬¯ ªâ­®á⨠è à BR∗ (0) à áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ãî ¯®á«¥∗¤®¢ ⥫쭮áâì ä㭪樮­ «®¢ {fn }∞n=1 ⊂ BR (0) ¨ ¯®ª ¦¥¬, çâ® ®­ ᮤ¥à¦¨â á« ¡®* á室ïéãîáï ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ª ­¥ª®â®à®¬ãä㭪樮­ «ã g ∈ BR∗ (0).ãáâì E = {xm }∞m=1 | áçñâ­®¥ ¢áî¤ã ¯«®â­®¥ ¯®¤¬­®¦¥á⢮¯à®áâà ­á⢠X . ’ ª ª ª ç¨á«®¢ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {fn (x1 )}∞n=1®£à ­¨ç¥­ (¢ ᨫ㠭¥à ¢¥­á⢠|fn (x1 )| ≤ Rkx1 k ¤«ï «î¡®£® n ∈∈ N), â® ¯® ⥮६¥ ®«ìæ ­®|‚¥©¥àèâà áá ®­ ¨¬¥¥â á室ïéãîáï ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {fn (1) (x1 )}∞k=1 .

à¥¤¯®«®¦¨¬, à áá㦤 ﯮ ¨­¤ãªæ¨¨, çâ® ¤«ï ­®¬¥à m ¨¬¥¥¬ áâண® ¢®§à áâ îéãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {nk (m)}∞k=1 ⊂ N, â ªãî, çâ® ¤«ï «î¡®£® s ∈ 1, mç¨á«®¢ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {fn (m) (xs )}∞k=1 ï¥âáï á室ï饩áï.’ ª ª ª ç¨á«®¢ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {fn (m) (xm+1 )}∞k=1 ®£à ­¨ç¥­ (¢ ᨫ㠭¥à ¢¥­á⢠|fn (m) (xm+1 )| ≤ Rkxm+1 k ¤«ï «î¡®£® k ∈∈ N), â® ¯® ⥮६¥ ®«ìæ ­®|‚¥©¥àèâà áá ®­ ¨¬¥¥â á室ïéãîáï ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {fn (m+1) (xm+1 )}∞k=1 .

 áᬮâਬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ä㭪樮­ «®¢ {fn (k) }∞.’ ªª ª ¤«ï «î¡®£® m ∈ Nk=1∞¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ {nk (m + 1)}∞⊂{n(m)}kk=1k=1 , â® ¨¬¥¥â ¬¥áâ®­¥à ¢¥­á⢮ nm+1 (m + 1) ≥ nm+1 (m) > nm (m). ®í⮬㠯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ­ âãà «ì­ëå ç¨á¥« {nk (k)}∞k=1 ï¥âáï áâண® ¢®§à áâ î饩, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ä㭪樮­ «®¢ {fn (k) }∞k=1 ï¥âáï.¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâìî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠{fn }∞n=1 ’ ª ª ª ¤«ï«î¡®£® m ∈ N ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {nk (k)}∞ï¥âáﯮ¤¯®á«¥¤®k=m¢ ⥫쭮áâìî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠{nk (m)}∞,â®áãé¥áâ¢ã¥â¯à¥k=1¤¥« lim fn (k) (xm ) = lim fn (m) (xm ) = g(xm ). ®ª ¦¥¬, çâ® ¤«ïk→∞k→∞«î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X ç¨á«®¢ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {fn (k) (x)}∞k=1ï¥âáï á室ï饩áï. „¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â­®¬¥à m, â ª®©, çâ® kx − xm k ≤ ε.

’®£¤ ¤«ï ¢á¥å k, s ≥ m ¯®«ãç ¥¬­¥à ¢¥­á⢠kkkkkkkkkk¯¯¯¯¯fnk (k) (x) − fns (s) (x)¯ ≤¯¯ ¯¯ ¯¯¯¯ ¯¯ ¯¯≤ ¯fnk (k) (x − xm )¯ + ¯fns (s) (x − xm )¯ + ¯(fnk (k) − fns (s) )(xm )¯ ≤¯¯¯¯≤ 2Rε + ¯(fnk (k) − fns (s) )(xm )¯ .318’ ª ª ª¯¯ ¯¯¯¯ ¯¯lim ¯(fnk (k) − fns (s) )(xm )¯ = ¯g(xm ) − g(xm )¯ = 0, â® áãé¥áâk→∞s→∞¢ã¥â ­®¬¥à¯ M ≥ m, â ª®©, ç⮯ ¤«ï ¢á¥å k, s ≥ M ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¯¢¥­á⢮ ¯(fn (k) − fn (s) )(xm )¯¯ ≤ ε. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯à¨ ¢á¥å k, s ≥sk¯¯¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮ ¯¯fn (k) (x) − fn (s) (x)¯¯ ≤ (2R + 1)ε.

’ ª¨¬®¡à §®¬, ç¨á«®¢ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {fn (k) (x)}∞k=1 ï¥âáï äã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¨ ¯®í⮬ã á室ï饩áï. ãáâì lim fn (k) (x) = g(x).k→∞’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¯à¥¤¥«ñ­ «¨­¥©­ë© ä㭪樮­ « g: X → C ª ª ¯®â®ç¥ç­ë© ¯à¥¤¥« ­ X ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠fn (k) . à¨ í⮬ ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X ¢¨¤ kxk = 1 ¨¬¥¥¬ |g(x)| = lim |fn (k) (x)| ≤ R,k→∞â. ¥. á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ kgk ≤ R. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ä㭪樮­ «∗g ∈ BR(0) ⊂ X ∗ , ¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì fn (k) ¯®â®ç¥ç­® ­ X , §­ ç¨â, ¨ á« ¡®* á室¨âáï ª ä㭪樮­ «ã g, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.’ ¥ ® à ¥ ¬ 5.5.2 ( ­ å, ’¨å®­®¢). ãáâì ¯à®áâà ­á⢮ X à¥ä«¥ªá¨¢­® ¨ ᥯ à ¡¥«ì­®. ’®£¤ «î¡ ï ®£à ­¨ç¥­­ ï ¢ X ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ᮤ¥à¦¨â á« ¡® á室ïéãîáï ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

ãáâì F : X → X ∗∗ | ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨©¨§®¬®à䨧¬ ¬¥¦¤ã X ¨ X ∗∗ ¢¨¤ (F x)(f ) = f (x) ¤«ï ¢á¥å x ∈ X¨ f ∈ X ∗ . ’ ª ª ª ¯à®áâà ­á⢮ X ᥯ à ¡¥«ì­®, â® ¯à®áâà ­á⢮X ∗∗ = Im F ⮦¥ ï¥âáï ᥯ à ¡¥«ì­ë¬ ¢ ᨫ㠨§®¬¥âà¨ç­®áâ¨®â®¡à ¦¥­¨ï F . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 5.2.11 ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¯à®áâà ­á⢮ X ∗ ï¥âáï ᥯ à ¡¥«ì­ë¬.  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ãî ®£à ­¨ç¥­­ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 ⊂ X .

’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â R > 0, â ª®¥, çâ® kxn k ≤ R ¤«ï ¢á¥å n ∈ N. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì Φn = F xn ∈ X ∗∗ ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­®© ¢X ∗∗ , ¨ kΦn k = kxn k ≤ R ¤«ï ¢á¥å n ∈ N. ’ ª ª ª ¯à®áâà ­á⢮X ∗ ï¥âáï ᥯ à ¡¥«ì­ë¬, â® ¯® ⥮६¥ 5.5.1  ­ å |€« ®£«ãáãé¥áâ¢ã¥â ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì Φn , á« ¡®* á室ïé ïáï ¢ X ∗∗ ªä㭪樮­ «ã Ψ ∈ X ∗∗ .

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à y ∈ X ,â ª®©, çâ® Ψ = F y, ¨ ¤«ï «î¡®£® ä㭪樮­ « f ∈ X ∗ ¯®«ãç ¥¬≥Mskkkkkkklim Φnk (f ) = lim f (xnk ) = Ψ (f ) = f (y).k→∞k→∞’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 5.4.1 ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâìá« ¡® á室¨âáï ª ¢¥ªâ®àã y ∈ X ¯à¨ k → ∞, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.xnk‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 5.5.7. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¢ ᥯ à ¡¥«ì­®¬ ­¥à¥ä«¥ªá¨¢­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ `1 ®£à ­¨ç¥­­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¡ §¨á­ëå319¢¥ªâ®à®¢ {en }∞n=1 ­¥ ¨¬¥¥â á« ¡® á室ï饩áï ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨, â ª ª ª ¯® ⥮६¥ 5.4.1 ˜ãà á« ¡ ï ¨ á¨«ì­ ï á室¨¬®á⨠¢ `1íª¢¨¢ «¥­â­ë, «î¡ ï ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨{en }∞n=1 ­¥ ï¥âáï ᨫ쭮 äã­¤ ¬¥­â «ì­®©.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.5.6.

ãáâì ¯à®áâà ­á⢮ X à¥ä«¥ªá¨¢­®¨ ᥯ à ¡¥«ì­®. ãáâì ¬­®¦¥á⢮ S ⊂ X ï¥âáï ¢ë¯ãª«ë¬ ¨ § ¬ª­ãâë¬. ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X ¢ ¬­®¦¥á⢥ S áãé¥áâ¢ã¥â ¡«¨¦ ©è¨© í«¥¬¥­â, â. ¥. ¢¥ªâ®à y = y(x) ∈ S , â ª®©, çâ®kx − yk = ρ(x, S) = inf kx − zk.z∈S„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ® ®¯à¥¤¥«¥­¨î â®ç­®© ­¨¦­¥© £à ­¨ç¨á«®¢®© ä㭪樨 ¤«ï ¢¥ªâ®à x ∈ X áãé¥áâ¢ã¥â ¬¨­¨¬¨§¨àãîé ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì zn ∈ S , â ª ï, çâ® ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ρ(x, S) = lim kx − zn k. ’ ª ª ª kzn k ≤ kxk + kx − zn k, á室ïé n→∞ïáï ç¨á«®¢ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì kx − zn k ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­®©,â® ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì zn ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­®© ¢ ¯à®áâà ­á⢥ X .‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯® ⥮६¥ 5.5.2  ­ å |’¨å®­®¢ ®­ ¨¬¥¥â á« ¡®á室ïéãîáï ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì zn ª ¢¥ªâ®àã y ∈ X . ’ ª ª ª¯® ⥮६¥ 5.4.2 Œ §ãà ¢ë¯ãª«®¥ § ¬ª­ã⮥ ¬­®¦¥á⢮ S ï¥âáïá« ¡® § ¬ª­ãâë¬, â® ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ y ∈ S .

‚ ᨫ㠯㭪â 2á«¥¤á⢨ï 5.1.2 â¥®à¥¬ë • ­ | ­ å áãé¥áâ¢ã¥â ä㭪樮­ « f ∈∈ X ∗ ¢¨¤ kf k = 1 ¨ |f (x − y)| = kx − yk. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬á®®â­®è¥­¨ïkρ(x, S) ≤ kx − yk = |f (x − y)| = lim |f (x − znk )| ≤k→∞≤ lim kx − znk k = ρ(x, S),k→∞®âªã¤ áà §ã ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮ ρ(x, S) = kx − yk. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,¢¥ªâ®à y ∈ S ï¥âáï ¡«¨¦ ©è¨¬ ª ¢¥ªâ®àã x í«¥¬¥­â®¬ ¬­®¦¥á⢠S , çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì. à ¨ ¬ ¥ à 5.5.4. à¨¢¥¤ñ¬ ¯à¨¬¥à ¢ë¯ãª«®£® § ¬ª­ã⮣® ®£à ­¨ç¥­­®£® ¬­®¦¥á⢠¨§ ­¥à¥ä«¥ªá¨¢­®£® ᥯ à ¡¥«ì­®£® ¡ ­ 客 ¯à®áâà ­á⢠X , ­¥ ¨¬¥î饣® ¡«¨¦ ©è¥£® í«¥¬¥­â ¤«ï § ¤ ­­®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X .

â®â ¯à¨¬¥à ¯à¥¤«®¦¨« áâ㤥­â 574 £à㯯댔’ˆ . ƒ¨¬ ¤¥¥¢. ‚ ­¥à¥ä«¥ªá¨¢­®¬ ᥯ à ¡¥«ì­®¬ ¡ ­ 客®¬320¯à®áâà ­á⢥ (`1 , k · k1 ) à áᬮâਬ áâ ­¤ àâ­ë©¡ §¨á E =©¡¢ áçñâ­ë©ª∞1= {en }∞¨®¯à¥¤¥«¨¬¬­®¦¥á⢮M=1+e.‚ª ç¥á⢥n n=1n=1n¢ë¯ãª«®£® § ¬ª­ã⮣® ®£à ­¨ç¥­­®£® ¬­®¦¥á⢠S ¨§ ¯à®áâà ­á⢠`1 à áᬮâਬ § ¬ëª ­¨¥ ¢ `1 ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨ ¬­®¦¥á⢠M ,â. ¥. S = [conv M ].

 ¯®¬­¨¬, çâ® ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª®© ¬­®¦¥á⢠«¨­¥©­®£® ¯à®áâà ­á⢠­ §ë¢ ¥âáï ᮢ®ªã¯­®áâì ¢á¥¢®§¬®¦­ëå ª®­¥ç­ëå ¢ë¯ãª«ëå ª®¬¡¨­ 権 â®ç¥ª í⮣® ¬­®¦¥á⢠, â. ¥. ¢ë¯ãª«®©®¡®«®çª®© ¬­®¦¥á⢠M ï¥âáï ¬­®¦¥á⢮(conv M =NXαk xkk=1¯)N¯x1 ∈ M, . . . , xN ∈ M, X¯αk = 1 .¯ N ∈ N,¯α1 ≥ 0, .

. . , αN ≥ 0,k=1ã¤¥¬ ¨§ãç âì à ááâ®ï­¨¥ ®â ­ã«ï ¤® ¬­®¦¥á⢠S , â. ¥. ρ(0, S) == inf kzk1 .  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ãî â®çªã z ∈ S = [conv M ]. ’ ªz∈Sª ª ¢á¥ í«¥¬¥­âë ¬­®¦¥á⢠M ¨¬¥îâ ¢¥é¥á⢥­­ë¥ ­¥®âà¨æ ⥫ì­ë¥ ª®¬¯®­¥­âë, ⮠⥬ ¦¥ ᢮©á⢮¬ ®¡« ¤ îâ í«¥¬¥­âë ¬­®¦¥áâ¢conv M ¨ S = [conv M ]. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, z(k) ≥ 0 ¤«ï «î¡®£® k ∈ N.z(k)Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¤«ï «î¡®£® ­®¬¥à k ç¨á«® βk = 1+≥ 0. ’®£¤ ¯®«ãç ¥¬ z =∞Pz(k)ek =k=1∞ ¡P1+k=1¢1k1kβk ek . „«ï «î¡®£® ç¨á« ε > 0 áãé¥áâ-¢ãîâ ­®¬¥à N , ­¥®âà¨æ ⥫ì­ë¥ ç¨á« â ª¨¥, çâ® ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮α1 , . .

. , αN¢¨¤ NPk=1αk = 1,°µ¶ °N°°X1°°ε ≥ °z −αk 1 +ek ° =°°kk=11¶¶µµ∞NXX11|βk − αk | +βk ≥=1+1+kkk=N +1k=1≥NX|βk − αk | +k=1∞Xβk .k=N +1‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢠∞Xk=1βk ≤ ε+NXk=1αk = ε+1,∞Xβk ≥ −ε+k=1NXk=1321αk +2∞Xk=N +1βk ≥ −ε+1.’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ᨫ㠯ந§¢®«ì­®á⨠ε > 0 á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮∞Pβk = 1. ®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮k=1¶∞ µ∞XX1kzk1 =1+βk >βk = 1.kk=1k=1‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¯à ¢¥¤«¨¢ ®æ¥­ª ρ(0, S)¡≥ 1. ‘¢ ¤à㣮© áâ®à®­ë,¨¬¥¥¬ ­¥à ¢¥­á⢠ρ(0, S) ≤ ρ(0, M ) ≤ lim 1 + k1 = 1. ’ ª¨¬ ®¡à k→∞§®¬, ρ(0, S) = 1 < kzk1 ¤«ï «î¡®£® z ∈ S , â. ¥.

­ã«¥¢®© í«¥¬¥­â ¨§ `1­¥ ¨¬¥¥â ¡«¨¦ ©è¥£® í«¥¬¥­â ¢ ¢ë¯ãª«®¬ § ¬ª­ã⮬ ®£à ­¨ç¥­­®¬ ¬­®¦¥á⢥ S ⊂ `1 .à¨¢¥¤ñ¬³ ­ «®£¨ç­ë©´ ¯à¨¬¥à ¢ ­¥à¥ä«¥ªá¨¢­®¬ ¡ ­ 客®¬ ¯à®áâà ­á⢥ C[0, 1], k · kc . â®â ¯à¨¬¥à ¯à¥¤«®¦¨« áâ㤥­â 673 £àã¯¯ë Œ”’ˆ ˆ. –ë¡ã«¨­.

 áᬮâਬ ¬­®¦¥á⢮¯¾¯R1¯x ∈ C[0, 1] ¯ x(0) = 0, kxkc ≤ 2,x(t) dt = 1 .½M=0Œ­®¦¥á⢮ M ï¥âáï ¢ë¯ãª«ë¬, â ª ª ª ¤«ï «î¡ëåç¨á« λ ∈ [0, 1] ¯®«ãç ¥¬³x, y ∈ M¨´λx + (1 − λ)y (0) = λx(0) + (1 − λ)y(0) = 0,°°°°°λx + (1 − λ)y ° ≤ λkxkc + (1 − λ)kykc ≤ 2cR1 ³´¨ λx + (1 − λ)y (t) dt = λ + 1 − λ = 1, â. ¥. λx + (1 − λ)y ∈ M .0Œ­®¦¥á⢮ M ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­ë¬, â ª ª ª kxkc ≤ 2 ¤«ï «î¡®£® x ∈ M . Œ­®¦¥á⢮ M ï¥âáï § ¬ª­ãâë¬. „¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï«î¡®© ä㭪樨 z ∈ [M ] ¨¬¥¥¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì xn ∈ M , â ªãî,çâ®kxn − zkc = sup |xn (t) − z(t)| → 0 ¯à¨ n → ∞.t∈[0,1]’®£¤ ¯®«ãç ¥¬ ᮮ⭮襭¨ïz(0) = lim xn (0) = 0,n→∞kzkc = lim kxn kc ≤ 2,322n→∞¯1¯ ¯1³´ ¯¯¯R¯ ¯R¯ z(t) dt − 1¯ = ¯ z(t) − xn (t) dt¯ ≤ kz − xn kc → 0¯¯ ¯¯0¯à¨0n → ∞,R1â. ¥.

Характеристики

Список файлов лекций