Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 48

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 48)

Š ª ¯®ª § ­® ¢ § ¬¥ç ­¨¨ 5.4.3, ¢ á«ãç ¥¡¥áª®­¥ç­®¬¥à­®£® ¯à®áâà ­á⢠X ¥£® á« ¡ ï ⮯®«®£¨ï áâண® á« ¡¥¥ ᨫ쭮© ­®à¬¨à®¢ ­­®© ⮯®«®£¨¨. ’¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥ ¤ ¦¥ ¢ í⮬á«ãç ¥ ¬®¦¥â ®ª § âìáï, çâ® á« ¡ ï ¨ á¨«ì­ ï á室¨¬®á⨠¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¡ã¤ãâ à ¢­®á¨«ì­ë¬¨. à¨¬¥à â ª®© á¨âã 樨 ¤ ñâá«¥¤ãîé ï’ ¥ ® à ¥ ¬ 5.4.1 (˜ãà).

‚ ¯à®áâà ­á⢥ `1 ¢áïª ï á« ¡® á室ïé ïáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ï¥âáï ᨫ쭮 á室ï饩áï.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. à¥¤¯®«®¦¨¬, à áá㦤 ï ®â ¯à®â¨¢­®£®, áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 ⊂ `1 , á« ¡® á室ïé ïáï¢ `1 ª ¢¥ªâ®àã x ∈ `1 ¨ ­¥ á室ïé ïáï ª ­¥¬ã ᨫ쭮, â. ¥. ¢ë¯®«­¥­®kxn − xk1 6→ 0 ¯à¨ n → ∞.

 áᬮâਬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì yn == xn − x. ’®£¤ yn á« ¡®, ­® ­¥ ᨫ쭮 á室¨âáï ¢ `1 ª ­ã«î. ’ ªª ª ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 5.4.3 ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì kyn k1 ®£à ­¨ç¥­ ¨ ¯® ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨î ­¥ á室¨âáï ª ­ã«î, â® áãé¥áâ¢ã¥â ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {yn }∞k=1 , â ª ï, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¥¤¥« lim kyn k1 =k→∞= c > 0. ’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à k0 , â ª®©, çâ® ¤«ï ¢á¥å k > k0¢ë¯®«­¥­® yn 6= 0. Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâìkkkzm =ynm+k0kynm+k0 k1∀ m ∈ N.∈ `∗1 ¯®«ãç ¥¬Ã!lim f (ynm+k0 )f (ynm+k0 )0lim f (zm ) = lim= m→∞= = 0 = f (0),m→∞m→∞kynm+k0 k1lim kynm+k0 k1c„«ï «î¡®£® ä㭪樮­ « fm→∞290â. ¥.

¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì zm á« ¡® á室¨âáï ¢ `1 ª ­ã«î ¨ kzm k1 = 1¤«ï «î¡®£® m ∈ N.„«ï «î¡®£® k ∈ N ®¯à¥¤¥«¨¬ «¨­¥©­ë© ä㭪樮­ « fk : `1 → C¢¨¤ fk (x) = x(k) ¤«ï «î¡®£® x ∈ X . ˆ¬¥¥¬ à ¢¥­á⢮kfk k =sup|x(k)| = 1,x∈`1 : kxk1 =1â. ¥. á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥ fk ∈ `∗1 . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® k ∈∈ N ¨¬¥¥¬ ᮮ⭮襭¨¥ fk (zm ) = zm (k) → 0 ¯à¨ m → ∞.ãáâì m1 = 1 ¨ p0 = 0.

’ ª ª ªkzm1 k1 =∞X|zm1 (k)| = 1,k=1â® áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à p1 , â ª®©, çâ® ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮p1X|zm1 (k)| >k=13.4„ «¥¥, à áá㦤 ï ¯® ¨­¤ãªæ¨¨, ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ¤«ï ­¥ª®â®à®£®j ∈ N ¢ë¡à ­ë ­®¬¥à 1 = m1 < m2 < . . . < mj¨0 = p0 < p1 < . . . < pj ,â ª¨¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® ­®¬¥à s ∈ 1, j ¢ë¯®«­¥­ë ­¥à ¢¥­á⢠ps−1X|zms (k)| <k=11,4psX|zms (k)| >k=ps−1 +1’ ª ª ª ¤«ï ª ¦¤®£® k ∈ N ¢ë¯®«­¥­® zm (k)áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à mj+1 > mj , â ª®©, çâ®pjX|zmj+1 (k)| <k=1’ ª ª ª kzmj+1k1 = 1,∞X→03.4¯à¨1.4â® ¯®«ãç ¥¬|zmj+1 (k)| = 1 −k=pj +1pjXk=1291|zmj+1 (k)| >3.4m → ∞,⮒®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à pj+1 > pj , â ª®©, çâ® ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮pj+1X3.4|zmj+1 (k)| >k=pj +1„«ï «î¡®£® ª®¬¯«¥ªá­®£® ç¨á« w ®¯à¥¤¥«¨¬ ç¨á«®½w|w| ,w=6 0,0, w = 0,σ(w) =â ª çâ® wσ(w)®¡à §®¬:= |w|.Ž¯à¥¤¥«¨¬ í«¥¬¥­âη ∈ `∞ = `∗1á«¥¤ãî騬³´η(k) = σ zms (k)¤«ï ¢á¥å k ¢¨¤ ps−1 < k ≤ ps ¤«ï «î¡®£® s ∈ N.

’®£¤ kηk∞ ≤ 1. áᬮâਬ ä㭪樮­ « f0 ∈ `∗1 , ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¯®áâ஥­­®¬ãí«¥¬¥­âã η ∈ `∞ , â. ¥.f0 (x) =∞Xη(k)x(k)∀ x ∈ `1 .k=1à¨ í⮬ kf0 k = kηk∞ ≤ 1. ®«ãç ¥¬ ¤«ï «î¡®£® s ∈ N:¯¯ ¯¯∞¯¯ ¯X¯ ¯¯¯ ¯¯η(k)zms (k)¯ ≥ ¯¯¯f0 (zms )¯ = ¯¯¯ ¯k=1ps−1−X|η(k)| |zms (k)| −k=1≥∞X´|η(k)| |zms (k)| ≥k=ps +1ps−1psX|zms (k)| −k=ps−1 +1=2¯¯¯σ zms (k) zms (k)¯¯ −¯k=ps−1 +1³psXXk=1psX∞X|zms (k)| −|zms (k)| − kzms k1 >k=ps−1 +1|zms (k)| =k=ps +113−1= .22Ž¤­ ª® ¯® ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨î zm á« ¡® á室¨âáï ¢ `1 ª ­ã«î ¯à¨ s →→ ∞, â. ¥., ¢ ç áâ­®áâ¨, ¢ë¯®«­ï¥âáï ᮮ⭮襭¨¥ f0 (zm ) → 0 ¯à¨s → ∞, ª®â®à®¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¤®ª § ­­®¬ã ­¥à ¢¥­áâ¢ã |f0 (zm )| >> 12 ¤«ï «î¡®£® s ∈ N.

®«ã祭­®¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ®§­ ç ¥â, çâ® ¯à®¨§¢®«ì­ ï á« ¡® á室ïé ïáï ¢ `1 ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ï¥âáï ᨫ쭮 á室ï饩áï.sss292‡ ¤ ç 5.4.1. ãáâì «¨­¥©­®¥ ¯à®áâà ­á⢮¬¥à­®. ãáâìX¡¥áª®­¥ç­®-¯o¯x ∈ X ¯ kxk = 1nS=| ¥¤¨­¨ç­ ï áä¥à ¢ ¯à®áâà ­á⢥ X . „®ª § âì, çâ® á« ¡®¥ § ¬ëª ­¨¥ áä¥àë S ᮢ¯ ¤ ¥â á ¥¤¨­¨ç­ë¬ § ¬ª­ãâë¬ è ஬ ¢ X , â.

¥.á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮n[S]τw = B1 (0) =¯o¯x ∈ X ¯ kxk ≤ 1 . ¥ è ¥ ­ ¨ ¥.  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ë© ¢¥ªâ®à x0 6∈ B1 (0), â. ¥.kx0 k > 1. ‚ ᨫ㠯㭪â 2 á«¥¤á⢨ï 5.1.2 áãé¥áâ¢ã¥â ä㭪樮­ «f0 ∈ X ∗ , â ª®©, çâ® kf0 k = 1 ¨ f (x0 ) = kx0 k. ’®£¤ ¤«ï «î¡®£®x ∈ V (x0 , f0 , kx0 k − 1) ¯®«ãç ¥¬³´kxk ≥ |f0 (x)| ≥ |f0 (x0 )| − |f0 (x) − f0 (x0 )| > kx0 k − kx0 k − 1 = 1,â. ¥.

x 6∈ B1 (0). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¯à ¢¥¤«¨¢® ᮮ⭮襭¨¥S ∩ V (x0 , f0 , kx0 k − 1) = ∅,çâ® ®§­ ç ¥â[S]τw ⊂ B1 (0).x0 6∈ [S]τw .‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¢ª«î祭¨¥’¥¯¥àì à áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ë© ¢¥ªâ®à z0 ∈ B1 (0), â. ¥. kz0 k ≤¨ ¯à®¨§¢®«ì­ãî á« ¡ãî ®ªà¥áâ­®áâì U (z0 ) ¢¥ªâ®à z0 . ’®£¤ Náãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à N , ¢¥ªâ®àë {zk }Nk=1 ⊂ X , ä㭪樮­ «ë {fk }k=1 ⊂⊂ X ∗ ¨ ¯®«®¦¨â¥«ì­ë¥ ç¨á« {εk }N,â ª¨¥,çâ®á¯à ¢¥¤«¨¢ë¢ª«îk=1祭¨ï≤ 1,z0 ⊂N\V (zk , fk , εk ) ⊂ U (z0 ).k=1’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ z0 +NTk=1Ker fk¯®«ãç ¥¬ ¤«ï «î¡®£®­®¬¥à k ∈ 1, N à ¢¥­á⢮ fk (x) = fk (z0 ). ®í⮬ã |fk (x) − fk (zk )| == |fk (z0 ) − fk (zk )| < εk ¤«ï «î¡®£® k ∈ 1, N .

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥z0 +N\k=1Ker fk ⊂N\V (zk , fk , εk ) ⊂ U (z0 ).k=1293Š ª ¯®ª § ­® ¢ § ¬¥ç ­¨¨ 5.4.3, ¢ á«ãç ¥ dim X = +∞ ¢ë¯®«­¥­®NTKer fk = +∞. ®í⮬ã áãé¥áâ¢ã¥â ­¥âਢ¨ «ì­ë© ¢¥ªâ®àdimy ∈∈k=1NTNTk=1k=1Ker fk .Ker fk’®£¤ ¤«ï «î¡®£®t ∈ R¯®«ãç ¥¬ ¢ª«î祭¨ïty ∈¨ z0 + ty ∈ U (z0 ).  áᬮâਬ äã­ªæ¨îϕ(t) = kz0 + tyk,t ∈ R.Žç¥¢¨¤­®, çâ® äã­ªæ¨ï ϕ ­¥¯à¥à뢭 ­ R, â ª ª ª ¢ ᨫ㠭¥à ¢¥­á⢠âà¥ã£®«ì­¨ª ¤«ï ­®à¬ë, ¤«ï «î¡ëå t, τ ∈ R á¯à ¢¥¤«¨¢®­¥à ¢¥­á⢮ |ϕ(t) − ϕ(τ )| ≤ |t − τ | kyk. ’ ª ª ª ϕ(0) = kz0 k ≤ 1 ¨ϕ(t) ≥ |t| kyk − kz0 k → +∞ ¯à¨ t → ∞, â® ¯® ⥮६¥ ® ¯à®¬¥¦ãâ®ç­ëå §­ 祭¨ïå ­¥¯à¥à뢭®© ä㭪樨 áãé¥áâ¢ã¥â t0 ∈ R, â ª®¥, çâ®ϕ(t0 ) = 1.

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥ z0 +t0 y ∈ S . ’®£¤ ¯®«ãç ¥¬ S ∩ U (z0 ) 6= ∅, â. ¥. z0 ∈ [S]τ . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®ª § ­®¢ª«î祭¨¥ B1 (0) ⊂ [S]τ , çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.ww’ ¥ ® à ¥ ¬ 5.4.2 (Œ §ãà). ãáâì ¬­®¦¥á⢮ A ⊂ X ï¥âáï¢ë¯ãª«ë¬. ’®£¤ ¬­®¦¥á⢮ A ï¥âáï á« ¡® § ¬ª­ãâë¬ â®£¤ ¨â®«ìª® ⮣¤ , ª®£¤ ®­® ï¥âáï ᨫ쭮 § ¬ª­ãâë¬.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ãáâì ¬­®¦¥á⢮ A á« ¡® § ¬ª­ãâ®.

’®£¤ ¥£® ¤®¯®«­¥­¨¥ Ac = X\A á« ¡® ®âªàëâ®, â. ¥. Ac ∈ τw . ’ ª ª ª¯® § ¬¥ç ­¨î 5.4.3 ¢á类¥ á« ¡® ®âªàë⮥ ¬­®¦¥á⢮ ¢ X ï¥âáïᨫ쭮 ®âªàëâë¬, â® ¯®«ãç ¥¬, çâ® Ac ∈ τn . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¬­®¦¥á⢮ A ᨫ쭮 § ¬ª­ãâ®. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¬ë ¯®ª ­¥ ¨á¯®«ì§®¢ «¨¢ë¯ãª«®áâì ¬­®¦¥á⢠A.ãáâì ⥯¥àì ¬­®¦¥á⢮ A ᨫ쭮 § ¬ª­ãâ®. ®ª ¦¥¬, çâ® ¥£®¤®¯®«­¥­¨¥ Ac á« ¡® ®âªàëâ®.

 áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ë© í«¥¬¥­âx0 6∈ A. Ž¤­®â®ç¥ç­®¥ ¬­®¦¥á⢮ {x0 } ï¥âáï ¢ë¯ãª«ë¬ ª®¬¯ ªâ®¬ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ (X, k · k), ­¥ ¯¥à¥á¥ª î騬áï á ¢ë¯ãª«ë¬ ¨ § ¬ª­ãâë¬ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ (X, k · k) ¬­®¦¥á⢮¬ A. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®â¥®à¥¬¥ 5.1.2 ®¡ ®â¤¥«¨¬®á⨠áãé¥áâ¢ãîâ ä㭪樮­ « f0 ∈ X ∗ ¨¢¥é¥á⢥­­ë¥ ç¨á« γ1 < γ2 , â ª¨¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à a ∈ Aá¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮Re f0 (x0 ) < γ1 < γ2 < Re f0 (a).294ãáâì ç¨á«® ε = γ2 −γ1 > 0.

’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ V (x0 , f0 , ε)¯®«ãç ¥¬³´Re f0 (x) = Re f0 (x0 ) + Re f0 (x) − Re f0 (x0 ) << γ1 + |f0 (x) − f0 (x0 )| < γ1 + ε = γ2 < Re f0 (a)¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à a ∈ A. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¬­®¦¥á⢮ V (x0 , f0 , ε)áâண® ®â¤¥«¥­® ®â ¬­®¦¥á⢠A ä㭪樮­ «®¬ f0 . â® ®§­ ç ¥â, çâ®V (x0 , f0 , ε) ∩ A = ∅, â. ¥. V (x0 , f0 , ε) ⊂ Ac . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x0 ∈ Ac áãé¥áâ¢ã¥â ¥£® á« ¡ ï ®ªà¥áâ­®áâì V (x0 , f0 , ε),ᮤ¥à¦ é ïáï ¢ Ac . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¬­®¦¥á⢮ Ac ï¥âáï á« ¡®®âªàëâë¬, ¨ ᮮ⢥âá⢥­­® A ï¥âáï á« ¡® § ¬ª­ãâë¬ ¢ X .‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 5.4.6. ‚ë¯ãª«®áâì ᨫ쭮 § ¬ª­ã⮣® ¬­®¦¥á⢠¨§ X áãé¥á⢥­­ ¤«ï ¥£® á« ¡®© § ¬ª­ãâ®áâ¨.  ¯à¨¬¥à, ª ªá«¥¤ã¥â ¨§ १ã«ìâ â § ¤ ç¨ 5.4.1, ­¥¢ë¯ãª« ï ¥¤¨­¨ç­ ï áä¥à S¢ «î¡®¬ ¡¥áª®­¥ç­®¬¥à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ X ­¥ ï¥âáï á« ¡® § ¬ª­ãâë¬ ¬­®¦¥á⢮¬, å®âï, ª®­¥ç­®, ï¥âáï ᨫ쭮 § ¬ª­ãâë¬.Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 5.4.3.

®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 ­ §ë¢ -¥âáï á« ¡® äã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¢ X , ¥á«¨ ¤«ï «î¡®© á« ¡®© ®ªà¥áâ­®á⨠­ã«ï U (0) áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à M , â ª®©, çâ® ¤«ï ¢á¥å n, m ≥ M¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ xn − xm ∈ U (0).“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.4.4. ®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 ï¥â-áï á« ¡® äã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¢ X ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¤«ï «î¡®£® ä㭪樮­ « f ∈ X ∗ ç¨á«®¢ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {f (xn )}∞n=1ï¥âáï äã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¢ C.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ãáâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 ï¥âáï á« ¡® äã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¢ X .

„«ï «î¡®£® ä㭪樮­ « f ∈∈ X ∗ ¨ «î¡®£® ç¨á« ε > 0 à áᬮâਬ á« ¡ãî ®ªà¥áâ­®áâì ­ã«ï¢¨¤ V (0, f, ε). ’®£¤ ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 5.4.3 áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à M == M (f, ε), â ª®©, çâ® ¤«ï ¢á¥å ­®¬¥à®¢ n, m ≥ M ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥xn − xm ∈ V (0, f, ε),ª®â®à®¥ à ¢­®á¨«ì­® ­¥à ¢¥­áâ¢ã|f (xn − xm ) − f (0)| = |f (xn ) − f (xm )| < ε.295â® ®§­ ç ¥â, çâ® ç¨á«®¢ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {f (xn )}∞n=1 ï¥âáïäã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¢ C.ãáâì ⥯¥àì ¤«ï «î¡®£® ä㭪樮­ « f ∈ X ∗ ç¨á«®¢ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {f (xn )}∞n=1 ï¥âáï äã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¢ C.

 áᬮâਬ¯à®¨§¢®«ì­ãî á« ¡ãî ®ªà¥áâ­®áâì ­ã«ï U (0). Š ª ¯®ª § ­® ¢ § ¬¥ç ­¨¨ 5.4.2, ¤«ï á« ¡®© ®ªà¥áâ­®á⨠­ã«ï U (0) áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à N ,∗ä㭪樮­ «ë {fk }Nk=1 ⊂ X ¨ ç¨á«® δ > 0, â ª¨¥, çâ® á¯à ¢¥¤«¨¢®¢ª«î祭¨¥N\V (0, fk , δ) ⊂ U (0).k=1’ ª ª ª ¤«ï «î¡®£® k ∈ 1, N ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {fk (xn )}∞n=1 ï¥âáï äã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¢ C, â® áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à Mk , â ª®©, çâ® ¤«ï¢á¥å n, m ≥ Mk ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ |fk (xn ) − fk (xm )| < δ , ª®â®à®¥ à ¢­®á¨«ì­® ¢ª«î祭¨î xn − xm ∈ V (0, fk , δ).

Ž¯à¥¤¥«¨¬ ­®¬¥àM = max Mk . ’®£¤ ¤«ï ¢á¥å n, m ≥ M ¯®«ãç ¥¬ ¢ª«î祭¨¥k∈1,Nxn − xm ∈N\V (0, fk , δ) ⊂ U (0).k=1‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 ï¥âáï á« ¡® äã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¢ X .Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 5.4.4. ‹¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ X ­ §ë¢ ¥âáï á« ¡® ¯®«­ë¬, ¥á«¨ «î¡ ï á« ¡® äã­¤ ¬¥­â «ì­ ﯮ᫥¤®¢ ⥫쭮áâì ¨§ X ï¥âáï á« ¡® á室ï饩áï ¢ X .“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.4.5. ãáâì «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ X ï¥âáï á« ¡® ¯®«­ë¬.

’®£¤ ®­® ï¥âáï ᨫ쭮 ¯®«­ë¬.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ãî ᨫ쭮 äã­¤ ¬¥­â «ì­ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 , â. ¥. ¤«ï «î¡®£® ε > 0áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à M = M (ε), â ª®©, çâ® ¤«ï ¢á¥å n, m ≥ M ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ kxn − xm k ≤ ε. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® ä㭪樮­ « f ∈ X ∗ ¯®«ãç ¥¬ |f (xn ) − f (xm )| ≤ kf k kxn − xm k ≤ kf k ε ¤«ï«î¡ëå n, m ≥ M .

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 5.4.4 ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 ï¥âáï á« ¡® äã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¢ X . ’®£¤ 296áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à y ∈ X , â ª®©, çâ® xn¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® ä㭪樮­ « f ∈¯®«ãç ¥¬w→y ¯à¨ n → ∞. ‘«¥¤®X ∗ ¨ ­®¬¥à®¢ n, m ≥ Mτ|f (xn − y)| ≤ |f (xn − xm )| + |f (xm ) − f (y)| ≤ kf k ε + |f (xm ) − f (y)|.¥à¥å®¤ï ¢ í⮬ ­¥à ¢¥­á⢥ ª ¯à¥¤¥«ã ¯à¨ m → ∞ ¨ ¨á¯®«ì§ãïᮮ⭮襭¨¥ |f (xm ) − f (y)| → 0 ¯à¨ m → ∞, ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢠|f (xn − y)| ≤ kf k ε ∀n ≥ M (ε),∀ f ∈ X ∗.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫ㠯㭪â 4 á«¥¤á⢨ï 5.1.2 ¯®«ãç ¥¬kxn − yk =supf ∈X ∗ : kf k=1|f (xn − y)| ≤ ε∀ n ≥ M (ε),â. ¥. xn ᨫ쭮 á室¨âáï ¢ X ª ¢¥ªâ®àã y ¯à¨ n → ∞. â® ®§­ ç ¥â,çâ® ¯à®áâà ­á⢮ X ï¥âáï ᨫ쭮 ¯®«­ë¬.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.4.6. ãáâì ¯à®áâà ­á⢮ X ï¥âáï à¥ä«¥ªá¨¢­ë¬.

Характеристики

Список файлов лекций