Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 46

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 46)

¥. § ¬ëª ­¨¥ [M ] = X . à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® íâ® ­¥ â ª, â. ¥. [M ] 6= X . Žç¥¢¨¤­®, çâ® § ¬ª­ã⮥¬­®¦¥á⢮ [M ] ï¥âáï ¯®¤¯à®áâà ­á⢮¬ ¢ X . ’®£¤ ¯® ¯ã­ªâã 1á«¥¤á⢨ï 5.1.2 áãé¥áâ¢ã¥â ­¥­ã«¥¢®© ä㭪樮­ « f ∈ X ∗ , â ª®©,çâ® f (x) = 0 ¤«ï «î¡®£® x ∈ [M ]. ‚ ç áâ­®áâ¨, f (xm ) = 0 ¤«ï «î¡®£® m ∈ N. „«ï «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â m(ε) ∈ N, â ª®¥, çâ®kf − fm(ε) k < ε.

’ ª ª ª ¢ë¯®«­¥­ë ­¥à ¢¥­á⢠°° ¯¯ ¯¯ kfm(ε) k°° ¯¯ ¯¯,°f − fm(ε) ° ≥ ¯f (xm(ε) ) − fm(ε) (xm(ε) )¯ = ¯fm(ε) (xm(ε) )¯ >2â® ¯®«ãç ¥¬ kfm(ε) k < 2ε. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, kf k < 3ε, çâ® ¢ ᨫ㠯ந§¢®«ì­®á⨠ε > 0 ®§­ ç ¥â à ¢¥­á⢮ kf k = 0. ’®£¤ f = 0, ç⮯à®â¨¢®à¥ç¨â ­¥âਢ¨ «ì­®á⨠ä㭪樮­ « f .‘ « ¥ ¤ á â ¢ ¨ ¥ 5.2.1. à®áâà ­á⢮ `∗∞ ­¥ à ¢­® `1 , ­® ᮤ¥à¦¨â ¯®¤¯à®áâà ­á⢮, ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨ ¨§®¬®àä­®¥ `1 . ‚ ç áâ­®áâ¨,¯à®áâà ­á⢮ `1 ­¥ ï¥âáï à¥ä«¥ªá¨¢­ë¬.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ‚ ã⢥ত¥­¨¨ 5.2.3 ¯®ª § ­® à ¢¥­á⢮ `∗1 = `∞ . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ `∗∞ = `∗∗1 . ’®£¤ ¢á¨«ã ã⢥ত¥­¨ï 5.1.1 ¯à®áâà ­á⢮ `∗∞ ᮤ¥à¦¨â ¯®¤¯à®áâà ­á⢮, ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨ ¨§®¬®àä­®¥ `1 . à®áâà ­á⢮ `1 ï¥âáï ᥯ à ¡¥«ì­ë¬, â ª ª ª ¯® ã⢥ত¥­¨î 5.2.1 ¨¬¥¥â áçñâ­ë© ¡ §¨á.

…᫨¯à¥¤¯®«®¦¨âì à ¢¥­á⢮ `1 = `∗∞ , â® ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 5.2.11 ¯®«ãç ¥¬ ᥯ à ¡¥«ì­®áâì ¯à®áâà ­á⢠`∞ , çâ® ­¥¢¥à­®. „¥©á⢨⥫쭮,à áᬮâਬ ¬­®¦¥á⢮ S ⊂ `∞ , â ª®¥, çâ® ¢ª«î祭¨¥ x ∈ S à ¢­®á¨«ì­® x(k) = 0 ¨«¨ x(k) = 1 ¯à¨ ª ¦¤®¬ k ∈ N, ¯à¨çñ¬ ¤«ï «î¡®£®m ∈ N áãé¥áâ¢ã¥â k > m, â ª®¥, çâ® x(k) = 0. ’®£¤ äã­ªæ¨ï α: S →∞Px(k)→ [0, 1) ¢¨¤ α(x) =¤«ï «î¡®£® x ∈ S ï¥âáï ¡¨¥ªæ¨¥©2k=1¬¥¦¤ã ¬­®¦¥á⢮¬ S ¨ ¯à®¬¥¦ã⪮¬ [0, 1). ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬­®¦¥á⢮ S à ¢­®¬®é­® ¯à®¬¥¦ãâªã [0, 1), â.

¥. ï¥âáï ­¥áçñâ­ë¬.k277à¨ í⮬ ¤«ï «î¡ëå ¢¥ªâ®à®¢ x, y ∈ S , x 6= y ¨¬¥¥â ¬¥áâ® à ¢¥­á⢮ kx − yk∞ = 1. …᫨ ¯à¥¤¯®«®¦¨âì ­ «¨ç¨¥ ¢ `∞ áçñâ­®£® ¢áî¤ã¯«®â­®£® ¬­®¦¥á⢠{zm }∞m=1 ⊂ `∞ , â® ¤«ï «î¡®£® x ∈ S áãé¥áâ¢ã¥âm(x) ∈ N, â ª®¥, çâ® kx − zm(x) k∞ < 13 . ’®£¤ ¤«ï «î¡ëå x, y ∈ S ,x 6= y ¯®«ãç ¥¬kzm(x) − zm(y) k∞ ≥ kx − yk∞ − kx − zm(x) k∞ − ky − zm(y) k∞ >1.3‘«¥¤®¢ ⥫쭮, zm(x) 6= zm(y) . ®í⮬㠬­®¦¥á⢮A = { zm(x) | x ∈ S }à ¢­®¬®é­® ¬­®¦¥áâ¢ã S , â. ¥. ï¥âáï ­¥áçñâ­ë¬.

‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, A ï¥âáï ¯®¤¬­®¦¥á⢮¬ áçñâ­®£® ¬­®¦¥á⢠, â. ¥. ­¥ ¡®«¥¥ç¥¬ áçñâ­®. ®«ã稫¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥.5.3. ‘®¯àï¦ñ­­®¥ £¨«ì¡¥à⮢® ¯à®áâà ­á⢮’ ¥ ® à ¥ ¬ 5.3.1 (¨áá, ”à¥è¥). ãáâì H | £¨«ì¡¥à⮢® ¯à®áâà ­á⢮. ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® «¨­¥©­®£® ä㭪樮­ « f ∈ H∗ áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ë© ¢¥ªâ®à z(f ) ∈ H, â ª®©, çâ® f (x) = (x, z(f )) ¤«ï«î¡®£® x ∈ H, ¯à¨çñ¬ kf k = kz(f )k. Žâ®¡à ¦¥­¨¥ z: H∗ → H ï¥âáï ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ç­ë¬ ®â®¡à ¦¥­¨¥¬ ¯à®áâà ­á⢠H∗ ­ H,¨§®¬¥âà¨ç­ë¬ ¨ ᮯàï¦ñ­­®-«¨­¥©­ë¬, â. ¥. z(f + g) = z(f ) + z(g)¨ z(αf ) = αz(f ) ¤«ï ¢á¥å f, g ∈ H∗ , α ∈ C.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. …᫨ ä㭪樮­ « f = 0, â® ¯®«®¦¨¬z(0) = 0.

 áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ë© ­¥âਢ¨ «ì­ë© ä㭪樮­ « f ∈∈ H∗ . ’®£¤ Ker f | § ¬ª­ã⮥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ ¢ H, ­¥ ᮢ¯ ¤ î饥 á H. ’ ª ª ª ¯® ⥮६¥ 3.2.2 ¨¬¥¥¬ H = Ker f ⊕ (Ker f )⊥ ¨⊥Ker f 6= H, â® (Ker f ) 6= 0.  áᬮâਬ ­¥âਢ¨ «ì­ë© ¢¥ªâ®à y ∈⊥∈ (Ker f ) . ’®£¤ f (y) 6= 0, ¨ ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ H ¢ë¯®«­¥­®¢ª«î祭¨¥ x − ff (x)y ∈ Ker f . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮³´(y)f (x)0 = x − f (y) y, y = (x, y) − ff (x)(y) (y, y), â. ¥. á¯à ¢¥¤«¨¢® ᮮ⭮襭¨¥³´f (y)f (y)f (x) = x, (y,y) y . Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¢¥ªâ®à z(f ) = (y,y)y , ⮣¤ ¤«ï «î¡®£®³´x ∈ H ¨¬¥¥¬ à ¢¥­á⢮ f (x) = x, z(f ) .278à¥¤¯®«®¦¨¬, áãé¥áâ¢ã¥â ¤à㣮© ¢¥ªâ®à w ∈ H, â ª®©, çâ®f (x) = (x, w) ¤«ï ¢á¥å x ∈ H.³´’®£¤ ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮ x, z(f ) − w = 0 ¤«ï «î¡®£® x ∈ H.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï ¢¥ªâ®à x = z(f ) − w ∈ H ¯®«ãç ¥¬³´z(f ) − w, z(f ) − w = 0,â.

¥. z(f ) = w. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®ª § ­ ¥¤¨­á⢥­­®áâì ¢¥ªâ®à z(f ).‚ ᨫ㠭¥à ¢¥­á⢠Š®è¨|ã­ïª®¢áª®£® ¯®«ãç ¥¬¤«ï «î¡®£®|f (x)| ≤ kxk kz(f )kx ∈ H.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, kf k ≤ kz(f )k. ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë,³kz(f )k =´z(f ), z(f )kz(f )k=f (z(f ))≤ kf k.kz(f )k‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤®ª § ­® à ¢¥­á⢮ kf k = kz(f )k.„«ï «î¡ëå ä㭪樮­ «®¢ f, g ∈ H∗ ¨ «î¡®£®¢¥­á⢠x∈H¨¬¥¥¬ à -³´(f + g)(x) = x, z(f + g) = f (x) + g(x) =³´ ³´ ³´= x, z(f ) + x, z(g) = x, z(f ) + z(g) .‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® x ∈ H ¯®«ãç ¥¬³´x, z(f + g) − z(f ) − z(g) = 0.’®£¤ ¤«ï ¢¥ªâ®à x = z(f + g) − z(f ) − z(g) ¯®«ãç ¥¬³´z(f + g) − z(f ) − z(g), z(f + g) − z(f ) − z(g) = 0,â.

¥. ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ z(f + g) = z(f ) + z(g).„«ï «î¡®£® f ∈ H∗ ¨ ᪠«ïà α ∈ C ¤«ï «î¡®£® x ∈ H ¨¬¥¥¬³´³´ ³´(αf )(x) = x, z(αf ) = αf (x) = α x, z(f ) = x, αz(f ) .279‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ H ¯®«ãç ¥¬³´x, z(αf ) − αz(f ) = 0.’®£¤ ¤«ï ¢¥ªâ®à x = z(αf ) − αz(f ) ¯®«ãç ¥¬³´z(αf ) − αz(f ), z(αf ) − αz(f ) = 0,â. ¥. ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ z(αf ) = αz(f ).Žáâ «®áì ¯®ª § âì, çâ® ®¡à § ®â®¡à ¦¥­¨ï z: H∗ → H ᮢ¯ ¤ ¥âá H, â. ¥. ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à y ∈ H áãé¥áâ¢ã¥â «¨­¥©­ë© ä㭪樮­ « f ∈ H∗ , â ª®©, çâ® z(f ) = y. „«ï «î¡®£® y ∈ H à áᬮâਬ«¨­¥©­ë© ä㭪樮­ « f (x) = (x, y), x ∈ H.

’ ª ª ª |f (x)| ≤ kxk kyk,â® kf k ≤ kyk. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, f ∈ H∗ . ’ ª ª ª ¤«ï ä㭪樮­ « ³´ fáãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ë© ¢¥ªâ®à z(f ) ∈ H ¢¨¤ f (x) = x, z(f ) ¤«ï«î¡®£® x ∈ H, â® ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮ z(f ) = y, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.‘ « ¥ ¤ á â ¢ ¨ ¥ 5.3.1. ƒ¨«ì¡¥à⮢® ¯à®áâà ­á⢮ H ï¥âáï à¥-ä«¥ªá¨¢­ë¬.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.  áᬮâਬ ®â®¡à ¦¥­¨¥F : H → H∗∗¢¨¤ (F x)(f ) = f (x) ¤«ï «î¡ëå x ∈ H ¨ f ∈ H .

® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 5.1.2 âॡã¥âáï ¤®ª § âì, çâ® ¤«ï «î¡®£® ä㭪樮­ « Φ ∈ H∗∗áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à y ∈ H, â ª®©, çâ® F y = Φ . ãáâì z: H∗ → H| ᮯàï¦ñ­­®-«¨­¥©­®¥ ¨§®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ç­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥, ®¯à¥¤¥«ñ­­®¥ ¢ ⥮६¥ 5.3.1. „«ï «î¡®£® ä㭪樮­ « Φ ∈ H∗∗ ®¯à¥¤¥«¨¬ «¨­¥©­ë© ä㭪樮­ « f = Φ ◦ z −1 , â. ¥.

f (x) == Φ (z −1 (x)) ¤«ï «î¡®£® x ∈ H. ’®£¤ ¨¬¥¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮ |f (x)| ≤≤ kΦk kz −1 (x)k = kΦk kxk ¤«ï «î¡®£® x ∈ H, â. ¥. kf k ≤ kΦk. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥ f ∈ H∗ . Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¢¥ªâ®à y == z (f ). ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ä㭪樮­ « g ∈ H∗ ¯®«ãç ¥¬∗³´³´³³´´(F y)(g) = g(y) = z (f ) , z(g) = f z(g) = Φ z −1 z(g) = Φ(g),â.

¥. F y = Φ , çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì. à ¨ ¬ ¥ à 5.3.1. „«ï «î¡®£® ¬­®¦¥á⢠E ∈ M(µ) ¯®«­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ L2 (E)R, ᪠«ïà­®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¢ ª®â®à®¬ § ¤ ­® ᮮ⭮襭¨¥¬ (x, y) = x y dµ ¤«ï «î¡ëå x, y ∈ L2 (E), ï¥âáï £¨«ì¡¥àâ®E¢ë¬ ¯à®áâà ­á⢮¬. „¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï «î¡ëå x, y ∈ L2 (E) ¨¬¥¥¬280¯à¨ ª ¦¤®¬ t ∈ E ­¥à ¢¥­á⢮|x(t)y(t)| = |x(t)| |y(t)| ≤2|x(t)|2 + |y(t)|2.22’ ª ª ª äã­ªæ¨ï |x| +|y|∈ L(E), â® ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 4.3.2 ¯®2«ãç ¥¬ |xy| ∈ L(E), â. ¥.

¢¥«¨ç¨­ (x, y) áãé¥áâ¢ã¥â ¤«ï «î¡ëåx, y ∈ L2 (E) ¨, ®ç¥¢¨¤­®, 㤮¢«¥â¢®àï¥â ᢮©á⢠¬ 1|4 ®¯à¥¤¥«¥­¨ï 3.2.1 ᪠«ïà­®£® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï. à¨ í⮬ ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮(x, x) = kxk2 . ® ⥮६¥ 5.3.1 ¨áá |”à¥è¥çâ® «î³ ¯®«ãç ¥¬,´∗¡®© «¨­¥©­ë© ­¥¯à¥àë¢­ë© ä㭪樮­ « f ∈ L2 (E) ¯®à®¦¤ ¥âá磻¨­á⢥­­ë¬ í«¥¬¥­â®¬ z ∈ L2 (E) ¯® ä®à¬ã«¥Zf (x) =x z dµ∀ x ∈ L2 (E),E¯à¨çñ¬ á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ kf k = kzk2 .5.4. ‘« ¡ ï ⮯®«®£¨ï‚ í⮬ ¯ à £à ä¥ ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ª®¬¯«¥ªá­®¥ «¨­¥©­®¥­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (X, k · k).Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 5.4.1.

„«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x0 ∈ X , äã­ªæ¨-®­ « f∈ X∗¨ ç¨á« ε > 0 ®¯à¥¤¥«¨¬ ¬­®¦¥á⢮nV (x0 , f, ε) =’®¯®«®£¨ï ¢ ¬­®¦¥á⢥¬­®¦¥áâ¢nσw =¯o¯x ∈ X ¯ |f (x) − f (x0 )| < ε .X,¯à¥¤¡ §®© ª®â®à®© ï¥âáï ᥬ¥©á⢮¯o¯V (x0 , f, ε) ¯ x0 ∈ X, f ∈ X ∗ , ε > 0 ,­ §ë¢ ¥âáï á« ¡®© ⮯®«®£¨¥© ¢ X ¨ ®¡®§­ ç ¥âáï τw .‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 5.4.1. ‡ ¬¥â¨¬, ç⮠ᥬ¥©á⢮ σw 㤮¢«¥â¢®àï¥âãá«®¢¨î ã⢥ত¥­¨ï 1.1.10, â ª ª ª ¤«ï «î¡®£® x ∈ X ¨ «î¡®£®f ∈ X ∗ ¢ë¯®«­¥­® x ∈ V (x, f, 1). à¨çñ¬ á ¬® ¬­®¦¥á⢮ X ï¥âáï í«¥¬¥­â®¬ ᥬ¥©á⢠σw , â ª ª ª X = V (0, 0, 1) ∈ σw .

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ᥬ¥©á⢮ σw ¤¥©á⢨⥫쭮 ï¥âáï ¯à¥¤¡ §®© ­¥ª®â®à®©â®¯®«®£¨¨ ¢ X , ª®â®à ï ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 5.4.1 ­ §ë¢ ¥âáï á« ¡®©.281‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 5.4.2. ® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ¯à¥¤¡ §ë σw á« ¡®© ⮯®«®£¨¨ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ (X, k · k) ¯®«ãç ¥¬, çâ® «î¡®© ä㭪樮­ « f ∈∈ X ∗ ¡ã¤¥â ­¥¯à¥àë¢­ë¬ ®â­®á¨â¥«ì­® á« ¡®© ⮯®«®£¨¨ τw . „¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï «î¡ëå ä㭪樮­ « f ∈ X ∗ , ¢¥ªâ®à x0 ∈ X ¨ ç¨á« ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â á« ¡ ï ®ªà¥áâ­®áâì ¢¥ªâ®à x0 ¢¨¤ V (x0 , f, ε) ∈∈ τw , â ª ï, çâ® ¤«ï «î¡®£® x ∈ V (x0 , f, ε) ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 5.4.1¯®«ãç ¥¬ |f (x) − f (x0 )| < ε.

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ä㭪樮­ « f ∈ X ∗ï¥âáï á« ¡® ­¥¯à¥àë¢­ë¬ ­ X .‚¥à­® ¨ ®¡à â­®¥ ã⢥ত¥­¨¥, â. ¥. ¥á«¨ «¨­¥©­ë© ä㭪樮­ «f : X → C ï¥âáï á« ¡® ­¥¯à¥àë¢­ë¬ ­ X , â® f ï¥âáï ­¥¯à¥àë¢­ë¬ ®â­®á¨â¥«ì­® ­®à¬¨à®¢ ­­®© ⮯®«®£¨¨ ¢ X , â. ¥. á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥ f ∈ X ∗ . „¥©á⢨⥫쭮, ¥á«¨ «¨­¥©­ë© ä㭪樮­ « f ï¥âáï á« ¡® ­¥¯à¥àë¢­ë¬ ¢ ­ã«¥, â® ¤«ï «î¡®£® ε > 0áãé¥áâ¢ã¥â á« ¡ ï ®ªà¥áâ­®áâì ­ã«ï U0 ∈ τw , â ª ï, çâ® ¤«ï «î¡®£®x ∈ U0 ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ |f (x)| < ε. ® ®¯à¥¤¥«¥­¨î á« ¡®© ⮯®«®£¨¨ áãé¥áâ¢ãîâ ­®¬¥à N , ¢¥ªâ®àë {xk }Nk=1 ⊂ X , ä㭪樮­ «ë∗N{fk }N⊂X¨¯®«®¦¨â¥«ì­ë¥ç¨á« {δ}kk=1k=1 , â ª¨¥, çâ® ¢ë¯®«­¥­ë ¢ª«î祭¨ï0∈N\V (xk , fk , δk ) ⊂ U0 .k=1’®£¤ |fk (xk )| < δk ¤«ï «î¡®£® k ∈ 1, N .  áᬮâਬ ç¨á«®³δ = mink∈1,N´δk − |fk (xk )| > 0.’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈NTV (0, fk , δ)k=1¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢠|fk (x) − fk (xk )| ≤ |fk (x)| + |fk (xk )| < δ + |fk (xk )| ≤ δk‘«¥¤®¢ ⥫쭮, x ∈N\k=1NTk=1V (xk , fk , δk ),V (0, fk , δ) ⊂N\∀ k ∈ 1, N .â.

Характеристики

Список файлов лекций