Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 42

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 42)

’ ªm→∞m→∞Bª ª ¯à¨ m → ∞ ¢ë¯®«­¥­® ᮮ⭮襭¨¥m¯¯ ¯¯¯Z¯ ¯ ZZ¯¯¯ α0 dµ − α0 dµ¯ = ¯¯¯¯ ¯¯¯ ¯BmEBm \EZα0 dµ −E\BmÃZα0 dµ ≤≤¯¯¯¯α0 dµ¯ ≤¯¯!sup α0 (x) µ∗ (Bm 4 E) → 0,x∈[a,b]Bm 4 Eâ® ®ª®­ç ⥫쭮 ­ 室¨¬ µ∗α (E) = m→∞limRBmα0 dµ =REα0 dµ.„«ï ¯à®¨§¢®«ì­®£® ¬­®¦¥á⢠E ∈ M(µ) ¤«ï «î¡®£® 楫®£® m®¯à¥¤¥«¨¬ ®£à ­¨ç¥­­®¥ ¬­®¦¥á⢮ Em = E ∩ [m, m + 1) ∈ MF (µ).∞S’ ª ª ª ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ E =Em , ¤«ï «î¡®£® m ∈m=−∞∈ Z,ª ª ¯®ª § ­® ¢ëè¥, ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ Em ∈ MF (µα ), ⮯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î µα -¨§¬¥à¨¬®á⨠¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ E ∈ M(µα ).250®áª®«ìªã Em ∩ Ek = ∅ ¯à¨ ¢á¥å m 6= k, â® ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢠∞Xµ∗α (E) =m=−∞Z∞Xµ∗α (Em ) =Zα0 dµ =m=−∞Emα0 dµ.E’¥¯¥àì ¤«ï ®£à ­¨ç¥­­®£® ¬­®¦¥á⢠E ∈ MF (µ) ¨ ä㭪樨 f ∈¢ë¯®«­¥­ë ¢ª«î祭¨¥ f ∈ Lα (E) ¨ à ¢¥­á⒠ª ª ª ¯® ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨î ­¥®âà¨æ â¥«ì­ ï∈ L(E)¯®ª ¦¥¬,çâ®RR¢® f dµα = f α0 dµ.EEäã­ªæ¨ï α0 ®£à ­¨ç¥­ ­ ®£à ­¨ç¥­­®¬¬­®¦¥á⢥ E , â® á¯à ¢¥¤³ ´«¨¢ë ­¥à ¢¥­á⢠0 ≤ M = sup α0 < +∞.

’®£¤ ­ ¬­®¦¥á⢥ Ex∈E¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮ |f α0 | ≤ |f |M ∈ L(E), â. ¥. ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 4.3.2 ¯®«ãç ¥¬ ¢ª«î祭¨¥ f α0 ∈ L(E).…᫨ äã­ªæ¨ï f | ¯à®áâ ï, â® áãé¥áâ¢ãîâ ¯®¯ à­® ­¥¯¥à¥á¥ª î騥áï µ-¨§¬¥à¨¬ë¥ ¬­®¦¥á⢠Em ⊂ E ¨ à §«¨ç­ë¥ ç¨á« cm ,NNSPm ∈ 1, N , â ª¨¥, çâ® E =Em , f (x) =cm δE (x), x ∈ E .m=1m=1‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬mZf dµα =NXcm µ∗α (Em ) =m=1ENXm=1ZcmEmZα0 dµ =f α0 dµ.E…᫨ ¯à®¨§¢®«ì­ ï µ-¨§¬¥à¨¬ ï äã­ªæ¨ï f ∈ L(E), â® ¯® ã⢥ত¥­¨î 4.3.3 áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¯à®áâëå µ-¨§¬¥à¨¬ëåä㭪権 sm : E → R ¢¨¤ (sm )+ (x) ↑ f+ (x) ¨ (sm )− (x) ↑ f− (x) ¤«ï«î¡®£® x ∈ E ¯à¨ m → ∞. ’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢ë ᮮ⭮襭¨ï(sm α0 )+ (x) = (sm )+ (x)α0 (x) ↑ f+ (x)α0 (x),(sm α0 )− (x) = (sm )− (x)α0 (x) ↑ f− (x)α0 (x)¤«ï «î¡®£®­ 室¨¬¯à¨x ∈ EZ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯® ⥮६¥ 4.3.2Zf+ α0 dµ = limEZ(sm )+ α0 dµ,m→∞EZ(sm )− α0 dµ,m→∞EZ(sm )+ dµα ,m→∞Zf− α0 dµ = limEZf+ dµα = limEm → ∞.Zf− dµα = lim(sm )− dµα .m→∞EE251E‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, á¯à ¢¥¤«¨¢ë à ¢¥­á⢠ZZ(sm )+ dµα =EZ0(sm )+ α dµ,ZEZEEZ0f+ dµα =(sm )− α0 dµ.(sm )− dµα =E’®£¤ Zf+ α dµ < +∞,Zf− α0 dµ < +∞.f− dµα =EEE’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«ãç ¥¬ ¢ª«î祭¨¥ f∈ Lα (E) ¨ à ¢¥­á⢮ZZZZZZf dµα = f+ dµα − f− dµα = f+ α0 dµ − f− α0 dµ = f α0 dµ,EEEEçâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.252EEƒ« ¢ 5‘®¯àï¦ñ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮5.1.

’¥®à¥¬ • ­ | ­ å ãáâì (X, k · k) | ª®¬¯«¥ªá­®¥ «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮. ®­ï⨥ ᮯàï¦ñ­­®£® ¯à®áâà ­á⢠X ∗ = L(X, C) ¡ë«®¤ ­® ¢ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ 3.4.6.Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 5.1.1. ”㭪樮­ « f : X → R ­ §®¢ñ¬ ¢¥é¥á⢥­­®-«¨­¥©­ë¬, ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå x, y ∈ X ¨ «î¡ëå ç¨á¥« α, β ∈∈ R ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ f (αx + βy) = αf (x) + βf (y).ãáâì f : X → C | «¨­¥©­ë© ä㭪樮­ « (â. ¥. ª®¬¯«¥ªá­®«¨­¥©­ë© | ¤«ï «î¡ëå x, y ∈ X ¨ «î¡ëå ç¨á¥« α, β ∈ C ¢ë¯®«­¥­®à ¢¥­á⢮ f (αx + βy) = αf (x) + βf (y)). ’®£¤ ä㭪樮­ « u(x) == Re f (x), ®ç¥¢¨¤­®, ï¥âáï ¢¥é¥á⢥­­®-«¨­¥©­ë¬, ¯à¨çñ¬ ¤«ï«î¡®£® x ∈ X á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮³´f (x) = Re f (x) − i Re if (x) = u(x) − iu(ix).‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ¤«ï «î¡®£® ¢¥é¥á⢥­­®-«¨­¥©­®£® ä㭪樮­ « w: X → R ®¯à¥¤¥«¨¬ ä㭪樮­ « g(x) = w(x) − iw(ix), x ∈ X .

’®£¤ ¤«ï «î¡ëå x, y ∈ X ¨¬¥¥¬ g(x + y) = w(x) + w(y) − iw(ix) − iw(iy) == g(x) + g(y). „«ï «î¡®£® x ∈ X ¨ «î¡ëå ç¨á¥« α, β ∈ R ¨¬¥¥¬à ¢¥­á⢮³´g (α + iβ)x = αw(x) + βw(ix) − iαw(ix) + iβw(x) =³´= (α + iβ) w(x) − iw(ix) = (α + iβ)g(x).‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ä㭪樮­ « g: X → C ï¥âáï ª®¬¯«¥ªá­®-«¨­¥©­ë¬. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢á直© ª®¬¯«¥ªá­ë© «¨­¥©­ë© ä㭪樮­ «f : X → C ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭ë¬, â. ¥. f ∈ X ∗ , ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ ,ª®£¤ ¢¥é¥á⢥­­®-«¨­¥©­ë© ä㭪樮­ « Re f : X → R ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭ë¬, ¢á直© ­¥¯à¥àë¢­ë© ¢¥é¥á⢥­­®-«¨­¥©­ë© ä㭪樮­ « w: X → R ï¥âáï ¢¥é¥á⢥­­®© ç áâìî ¥¤¨­á⢥­­®£® ­¥¯à¥à뢭®£® «¨­¥©­®£® ä㭪樮­ « g ∈ X ∗ ¢¨¤ g(x) = w(x) − iw(ix)¤«ï ¢á¥å x ∈ X .253‹ ¥ ¬ ¬ 5.1.1. ãáâì (X, k · kX ) ¨ (Y, k · kY ) | ª®¬¯«¥ªá­ë¥«¨­¥©­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠, ¯à¨çñ¬ ¯à®áâà ­á⢮ (Y, k · kY ) | ¡ ­ 客®.

ãáâì Z ⊂ X | ¯®¤¯à®áâà ­á⢮, ¢áî¤ã ¯«®â­®¥ ¢ X . ãáâ쫨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A ∈ L(Z, Y ). ’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ë©«¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à B ∈ L(X, Y ), â ª®©, çâ® B(z) = A(z) ¤«ï ¢á¥åz ∈ Z . à¨ í⮬ kAk = kBk.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. „«ï «î¡®£® x ∈ X áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {zn }∞n=1 ⊂ Z , â ª ï, çâ® kzn − xkX → 0 ¯à¨ n → ∞.’®£¤ ¯®«ãç ¥¬ kA(zn ) − A(zm )kY ≤ kAk kzn − zm kX → 0 ¯à¨ n, m →→ ∞, â. ¥.

¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {A(zn )}∞n=1 ⊂ Y ï¥âáï äã­¤ ¬¥­â «ì­®©. ‚ ᨫ㠯®«­®âë ¯à®áâà ­á⢠(Y, k · kY ) áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®ày ∈ Y , â ª®©, çâ® kA(zn ) − ykY → 0 ¯à¨ n → ∞. ‡ ¬¥â¨¬, çâ®ãª § ­­ë© ¢¥ªâ®à y ∈ Y ­¥ § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠{zn }∞n=1 ⊂ Z , á室ï饩áï ª ¢¥ªâ®àã x ∈ X . „¥©á⢨⥫쭮, ¥á«¨¤àã£ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {z̃n }∞n=1 ⊂ Z ï¥âáï á室ï饩áï ª x,â® kA(z̃n ) − A(zn )kY ≤ kAk kz̃n − zn kX → 0 ¯à¨ n → ∞. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, n→∞lim A(z̃n ) = lim A(zn ) = y , çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.

®í⮬㠢¥ªâ®àn→∞y = y(x) § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ¢¥ªâ®à x ∈ X . ®«®¦¨¬ B(x) = y(x)¤«ï «î¡®£® x ∈ X . ’®£¤ ¤«ï «î¡ëå ¢¥ªâ®à®¢ x̃, x̂ ∈ X , ¯®á«¥¤®¢ ∞⥫쭮á⥩ {z̃n }∞n=1 ⊂ Z ¨ {ẑ}n=1 ⊂ Z ¢¨¤ z̃n → x̃ ¨ ẑn → x̂ ¯à¨n → ∞ ¨ «î¡ëå ç¨á¥« α, β ∈ C ¯®«ãç ¥¬B(αx + βy) = lim A(αz̃n + β ẑn ) =n→∞= α lim A(z̃n ) + β lim A(ẑn ) = αB(x̃) + βB(x̂).n→∞n→∞‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ®â®¡à ¦¥­¨¥ B: X → Y ï¥âáï «¨­¥©­ë¬ ®¯¥à â®à®¬. ’ ª ª ª ¤«ï «î¡®£® z ∈ Z áâ 樮­ à­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâìzn = z ¤«ï «î¡®£® n ∈ N ï¥âáï á室ï饩áï ª z , â® B(z) == lim A(zn ) = A(z). ’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢ë ᮮ⭮襭¨ïn→∞kAk =supkA(z)kY =z∈Z: kzkX =1supkB(z)kY ≤z∈Z: kzkX =1≤supkB(x)kY = kBk.x∈X: kxkX =1‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ¤«ï «î¡®£® x ∈ X ¢¨¤ kxk = 1 áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {zn }∞n=1 ⊂ Z , â ª ï, çâ® kzn −xkX → 0 ¯à¨ n → ∞.’®£¤ kzn k → 1 ¯à¨ n → ∞ ¨ ¢ë¯®«­¥­®kB(x)kY = lim kA(zn )kY ≤ kAk lim kzn kX = kAk.n→∞n→∞254‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮kBk =supkB(x)kY ≤ kAk.x∈X: kxkX =1’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®ª § ­® à ¢¥­á⢮ kAk = kBk.

Žâáî¤ , ¢ ç áâ­®áâ¨,á«¥¤ã¥â ¢ª«î祭¨¥ B ∈ L(X, Y ).®ª ¦¥¬ ¥¤¨­á⢥­­®áâì ¯®áâ஥­­®£® ®¯¥à â®à B . à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ­¥ª®â®àë© ®¯¥à â®à C ∈ L(X, Y ) â ª®¢, çâ® C(z) = A(z)¤«ï «î¡®£® z ∈ Z . ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® x ∈ X ¨ «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠{zn }∞n=1 ⊂ Z ¢¨¤ zn → x ¯à¨ n → ∞ ¢ ᨫ㠭¥¯à¥à뢭®á⨠®¯¥à â®à C ¨ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ®¯¥à â®à B ¯®«ãç ¥¬ C(x) == lim C(zn ) = lim A(zn ) = B(x), â. ¥. á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ B =n→∞n→∞= C , çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.’ ¥ ® à ¥ ¬ 5.1.1 (• ­,  ­ å).

ãáâì (X, k · kX ) | ª®¬¯«¥ªá­®¥ «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­®¥ ¯à®áâà ­á⢮, L ⊂ X | ¢¥é¥á⢥­­®«¨­¥©­®¥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ (â. ¥. x + y ∈ L ¨ tx ∈ L ¤«ï «î¡ëåx, y ∈ L ¨ t ∈ R). ãáâì äã­ªæ¨ï p: X → R ¯®«®¦¨â¥«ì­® ®¤­®à®¤­ (â. ¥. p(λx) = λp(x) ¤«ï «î¡ëå x ∈ X , λ ≥ 0), ¯®«ã ¤¤¨â¨¢­ (â. ¥.p(x+y) ≤ p(x)+p(y) ¤«ï «î¡ëå x, y ∈ X ) ¨ ®£à ­¨ç¥­ ­ ¥¤¨­¨ç­®©áä¥à¥ (â. ¥. M = sup |p(x)| < +∞). ãáâì ¢¥é¥á⢥­­®-«¨­¥©­ë©kxk=1ä㭪樮­ « u: L → R ¤«ï «î¡®£® x ∈ L 㤮¢«¥â¢®àï¥â ­¥à ¢¥­áâ¢ãu(x) ≤ p(x). ’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥é¥á⢥­­®-«¨­¥©­ë© ä㭪樮­ «v: X → R, â ª®©, çâ® ¤«ï «î¡®£® x ∈ L ¢ë¯®«­¥­® v(x) = u(x), ¤«ï«î¡®£® x ∈ X ¢ë¯®«­¥­® −p(−x) ≤ v(x) ≤ p(x).„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

„®ª § ⥫ìá⢮ ¯à®¢¥¤ñ¬ ¢ ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨¨ ᥯ à ¡¥«ì­®á⨠¯à®áâà ­á⢠(X, k · kX ), â. ¥. ¢ X áãé¥áâ¢ã¥âáçñâ­®¥ ¢áî¤ã ¯«®â­®¥ ¯®¤¬­®¦¥á⢮ {xn }∞n=1 ⊂ X . Ž¡é¨© á«ãç ©¡¥§ ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨ï ᥯ à ¡¥«ì­®á⨠¯à®áâà ­á⢠(X, k · kX ) ¬®¦­®­ ©â¨, ­ ¯à¨¬¥à, ¢ [2, ç. I, £«.

3, á. 68{70].„«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X ®¯à¥¤¥«¨¬ ¥£® ¢¥é¥á⢥­­ãî «¨­¥©­ãî ®¡®«®çªã Lin{x} = { tx | t ∈ R }. Ÿá­®, çâ® Lin{x} |¢¥é¥á⢥­­®-«¨­¥©­®¥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ ¯à®áâà ­á⢠X . Ž¯à¥¤¥«¨¬¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {Ln }∞n=0 ¢¥é¥á⢥­­®-«¨­¥©­ëå ¯®¤¯à®áâà ­á⢯à®áâà ­á⢠X á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: L0 = L, Ln = Ln−1 + Lin{xn },n ∈ N. Ÿá­®, çâ® Ln−1 ⊂ Ln ¤«ï «î¡®£® n ∈ N.

ãáâì ä㭪樮­ «u0 = u: L0 → R. à¥¤¯®«®¦¨¬, à áá㦤 ï ¯® ¨­¤ãªæ¨¨, çâ® ¤«ï­¥ª®â®à®£® n ∈ N ¨ ¤«ï ¢á¥å k ∈ 0, n − 1 ®¯à¥¤¥«¥­ë ä㭪樮­ «ë255uk : Lk → R, â ª¨¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® k ∈ 1, n − 1 ¨ ¤«ï «î¡®£® x ∈ Lk−1¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ uk (x) = uk−1 (x), ¤«ï «î¡®£® x ∈ Lk ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ uk (x) ≤ p(x).

’®£¤ uk (−x) = −uk (x) ≤ p(−x).‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬kuk k =sup|uk (x)| ≤x∈Lk : kxkX =1≤supmax{p(x), p(−x)} ≤x∈Lk : kxkX =1sup|p(x)| ≤ M,x∈Lk : kxkX =1â. ¥. ä㭪樭 « uk ï¥âáï ­¥¯à¥àë¢­ë¬ ­ ¯®¤¯à®áâà ­á⢥ Lk .…᫨ xn ∈ Ln−1 , â® ¨¬¥¥â ¬¥áâ® à ¢¥­á⢮ Ln = Ln−1 , ⮣¤ ¯®« £ ¥¬ un = un−1 . ãáâì ¢ë¯®«­¥­® xn 6∈ Ln−1 .

’®£¤ ¯®«ãç ¥¬Ln = Ln−1 ⊕ Lin{xn } 6= Ln−1 , ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ Ln áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ë© ¢¥ªâ®à y = y(x) ∈ Ln−1 ¨ ᪠«ïà t = t(x) ∈ R,â ª¨¥, çâ® x = y + txn . Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¢¥é¥á⢥­­®-«¨­¥©­ë© ä㭪樮­ « un : Ln → R á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: un (y + txn ) = un−1 (y) + ta¤«ï «î¡ëå y ∈ Ln−1 ¨ t ∈ R. ‡¤¥áì ç¨á«® a ∈ R ¡ã¤¥â ®¯à¥¤¥«¥­®­¨¦¥. Ÿá­®, çâ® un = un−1 ­ ¯®¤¯à®áâà ­á⢥ Ln−1 . Œë å®â¨¬ ¤®¡¨âìáï ¢ë¯®«­¥­¨ï ­¥à ¢¥­á⢠un (y + txn ) ≤ p(y + txn ) ¤«ï «î¡ëåy ∈ Ln−1 ¨ t ∈ R.

à¨ t = 0 íâ® ­¥à ¢¥­á⢮ ï¥âáï ¢¥à­ë¬, â ªª ª ¯® ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨î ¨­¤ãªæ¨¨ un (y) = un−1 (y) ≤ p(y) ¤«ï «î¡®£®y ∈ Ln−1 . à¨ t > 0 ¯®«ãç ¥¬a≤´³y´³y ´1³p(y + txn ) − un−1 (y) = p+ xn − un−1.tttà¨ t < 0 ¯®«ãç ¥¬a≥µµ ¶¶´1³yyp(y + txn ) − un−1 (y) = un−1−p− xn .t|t||t|‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¤«ï «î¡ëå ¢¥ªâ®à®¢ y, z ∈ Ln−1 ¢ë¯®«­¥­®un−1 (y) + un−1 (z) = un−1 (y + z) ≤ p(y + z) ≤ p(y + xn ) + p(z − xn ).‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮un−1 (z) − p(z − xn ) ≤ p(y + xn ) − un−1 (y),’®£¤ ¯®«ãç ¥¬−∞ < ãn = supz∈Ln−1³∀ y, z ∈ Ln−1 .´un−1 (z) − p(z − xn ) ≤³≤ ân =infy∈Ln−1256´p(y + xn ) − un−1 (y) < +∞.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ë¡à ¢ ç¨á«® a ∈ R, 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ­¥à ¢¥­á⢠¬ãn ≤ a ≤ ân , ¯®«ãç ¥¬ âॡ㥬®¥ ­¥à ¢¥­á⢮ un (y+txn ) ≤ p(y+txn )¤«ï «î¡ëå y ∈ Ln−1 ¨ t ∈ R.∞SLn , ª®â®à®¥ ï¥âáï ¢¥é¥á⎯।¥«¨¬ ¬­®¦¥á⢮ N =n=1¢¥­­®-«¨­¥©­ë¬ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮¬ ¢ X .

„¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï «î¡ëåx, y ∈ N áãé¥áâ¢ãîâ m, n ∈ N, â ª¨¥, çâ® x ∈ Ln , y ∈ Lm . ’®£¤ ¤«ïk = max{n, m} ¯®«ãç ¥¬ x, y ∈ Lk . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, x + y ∈ Lk ⊂ N¨ tx ∈ Lk ⊂ N ¤«ï «î¡®£® t ∈ R. Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¢¥é¥á⢥­­®-«¨­¥©­ë©ä㭪樮­ « w: N → R á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: w = un ­ Ln ¤«ï «î¡®£® n ∈ N. ’ ª ª ª kun k ≤ M ¤«ï «î¡®£® n ∈ N, â® kwk ≤ M , â. ¥.ä㭪樮­ « w ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭ë¬. ’ ª ª ª ¬­®¦¥á⢮ N ᮤ¥à¦¨â ¢áî¤ã ¯«®â­®¥ ¯®¤¬­®¦¥á⢮ ¬­®¦¥á⢠X , â® á ¬® N ï¥âáï¢áî¤ã ¯«®â­ë¬ ¢ X . ’®£¤ ¢ ᨫ㠫¥¬¬ë 5.1.1 áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ë© ­¥¯à¥àë¢­ë© ¢¥é¥á⢥­­®-«¨­¥©­ë© ä㭪樮­ « v: X → R,â ª®©, çâ® v = w ­ N ¨ kvk = kwk. ® ¯®áâ஥­¨î v(x) = w(x) == u(x) ¤«ï «î¡®£® x ∈ L. „®ª ¦¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮ −p(−x) ≤ v(x) ≤≤ p(x) ¤«ï «î¡®£® x ∈ X . à¥¦¤¥ ¢á¥£® § ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ ym → 0¯à¨ m → ∞, â® |p(ym )| ≤ kym kM → 0.

Характеристики

Список файлов лекций