Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 39

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

à¨¬¥à®¬ ä㭪樨, ¨­â¥£à¨à㥬®© ¯® ‹¥¡¥£ã¨ ­¥ ¨­â¥£à¨à㥬®© ¯® ¨¬ ­ã ­ «î¡®¬ ®â१ª¥ [a, b], a < b, ¬®¦¥âá«ã¦¨âì äã­ªæ¨ï „¨à¨å«¥ D: R → R ¢¨¤ ½D(x) = δQ (x) =1, x ∈ Q,0, x ∈ I.‡¤¥áì Q | ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å à 樮­ «ì­ëå ç¨á¥«, I | ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å ¨àà 樮­ «ì­ëå ç¨á¥«.  áᬠâਢ ¥¬ ­ ¢¥é¥á⢥­­®© ®á¨á¥¬¥©á⢮ ¨§¬¥à¨¬ëå ¯® ‹¥¡¥£ã ¬­®¦¥á⢠M(µ), ¯®áâ஥­­®¥ á ¯®¬®éìî ª®«ìæ ª«¥â®ç­ëå ¬­®¦¥á⢠¨§ R.

’ ª ª ª ¬­®¦¥á⢮ à 樮226­ «ì­ëå ç¨á¥« Q áçñâ­®, â® ®­® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© áçñâ­®¥ ®¡ê¥¤¨­¥­¨¥ ®¤­®â®ç¥ç­ëå ¬­®¦¥á⢠­ã«¥¢®© ¬¥àë, ¨ ¯®í⮬ã á ¬® ¨¬¥¥â ‹¥¡¥£®¢ã ¬¥àã ­ã«ì. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, äã­ªæ¨ï „¨à¨å«¥ íª¢¨¢ «¥­â­ ⮦¤¥á⢥­­® ­ã«¥¢®© ä㭪樨. ®í⮬㠢 ᨫã ã⢥ত¥­¨ïá«¥¤ãî饥 ¢ª«î祭¨¥ D ∈ L([a, b]) ¨ à ¢¥­á⢮R 4.3.5 ¯®«ãç ¥¬RD dµ =0 dµ = 0.

¥¨­â¥£à¨à㥬®áâì ä㭪樨 „¨à¨å«¥ ¯®[a,b][a,b]¨¬ ­ã ­ «î¡®¬ ®â१ª¥ ­¥­ã«¥¢®© ¤«¨­ë ¨§¢¥áâ­ ¨§ ªãàá ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® ­ «¨§ (á¬., ­ ¯à¨¬¥à, ã¯à ¦­¥­¨¥ 7 ¨§ [4, £«. 6,á. 156]).“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.3.18. ãáâì M(µ) | σ-ª®«ìæ® ¨§¬¥à¨¬ë寮 ‹¥¡¥£ã ¬­®¦¥á⢠­ ¢¥é¥á⢥­­®© ®á¨ R, ¯®áâ஥­­®¥ ­ ª®«ì楪«¥â®ç­ëå ¬­®¦¥áâ¢. ãáâì a < b ≤ +∞, äã­ªæ¨ï f : [a, b) → R ï¥âáï ¨­â¥£à¨à㥬®© ¯® ¨¬ ­ã ­ «î¡®¬ ®â१ª¥ [a, c] ⊂ [a, b). ãáâ쭥ᮡá⢥­­ë© ¨­â¥£à « ¨¬ ­ I =Rbf (x) dx = limRcc→b−0 aa¤¨âáï ¡á®«îâ­® (â. ¥. á室¨âáï ­¥á®¡á⢥­­ë© ¨­â¥£à «f (x) dxáå®-Rb|f (x)| dx).a³´R’®£¤ f ∈ L [a, b) , ¯à¨çñ¬ á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ I =f dµ. …á[a,b)«¨ ¦¥ ­¥á®¡á⢥­­ë© ¨­â¥£à « ¨¬ ­ I ¡á®«îâ­® à á室¨âáï (â. ¥.³´Rclim|f (x)| dx = +∞), â® ¢ë¯®«­ï¥âáï ᮮ⭮襭¨¥ f 6∈ L [a, b) .c→b−0 a„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ® ⥮६¥ 4.3.6³ ¤«ï´ «î¡®£® ç¨á« c ¢¨¤ a ≤ c < b ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ f ∈ L [a, c] ¨ á¯à ¢¥¤«¨¢ë à ¢¥­á⢠Rcf (x) dx =aR[a,c]f dµ¨Rc|f (x)| dx =aR[a,c]|f | dµ.ˆ§¬¥à¨¬®áâìä㭪樨 f ­ «î¡®¬ ®â१ª¥ [a, c] ⊂ [a, b) ¢«¥çñâ ¥ñ ¨§¬¥à¨¬®áâì­ ¯à®¬¥¦ã⪥ [a, b).

„¥©á⢨⥫쭮, ¯ãáâì ç¨á«®¢ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì cm ∈ [a, b) áâண® ¢®§à á⠥⠨ á室¨âáï ª b. ’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢®∞Sà ¢¥­á⢮[a, cm ] = [a, b). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® ç¨á« α ¯®m=1«ãç ¥¬nL< (f, α) =¯o¯x ∈ [a, b) ¯ f (x) < α ==∞ n[m=1227¯o¯x ∈ [a, cm ] ¯ f (x) < α ∈ M(µ).’®£¤ ¢ ᨫã áçñâ­®© ¤¤¨â¨¢­®á⨠¨­â¥£à « ‹¥¡¥£ (⥮६ 4.3.1)¨ ã⢥ত¥­¨ï 4.1.2 ¨¬¥¥¬ à ¢¥­á⢠ZZ|f | dµ = limm→∞[a,cm ][a,b)ZcmZb|f | dµ = lim|f (x)| dx = |f (x)| dx.m→∞aa‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¥á«¨ ­¥á®¡á⢥­­ë© ¨­â¥£à «­®, â® ¯®«ãç ¥¬Rá室¨âáï ¡á®«îâ-IRb|f | dµ = |f (x)| dx < +∞. ’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢®a³´¢ª«î祭¨¥ |f | ∈ L [a, b) , ª®â®à®¥ ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 4.3.11 à ¢³´­®á¨«ì­® ¢ª«î祭¨î f ∈ L [a, b) .

à¨ í⮬ ¢ ᨫã ⥮६ë 4.3.1[a,b)¨ ã⢥ত¥­¨ï 4.1.2 ¢ë¯®«­¥­ë à ¢¥­á⢠ZbZcmf (x) dx = limf (x) dx = limm→∞am→∞[a,cm ]a= lim ZZf+ dµ −m→∞[a,cm ]Z=  limm→∞[a,cm ] f+ dµ −  limf− dµ =Zm→∞[a,cm ]Zf− dµ =Zf+ dµ −[a,b)f dµ =[a,cm ]Z=Zf− dµ =[a,b)f dµ.[a,b)…᫨ ¦¥ ­¥á®¡á⢥­­ë© ¨­â¥£à « I ¡á®«îâ­® à á室¨âáï, â® ¯®«ãç ¥¬ZZb|f | dµ =[a,b)|f (x)| dx = +∞.a’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢® ᮮ⭮襭¨¥ |f | 6∈ L³¤¥­¨ï 4.3.11 à ¢­®á¨«ì­® ᮮ⭮襭¨î228´[a, b) , ª®â®à®¥ ¢ ᨫã ã⢥঳´f 6∈ L [a, b) .4.4.

à®áâà ­á⢮ Lp‚ í⮬ ¯ à £à ä¥ à áᬠâਢ ¥¬ ¨§¬¥à¨¬®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (X, M, µ)¨ ¬­®¦¥á⢮ E ∈ M.Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 4.4.1. „«ï «î¡®£® ç¨á« p ≥ 1 ¬­®¦¥á⢮¬Lp (E) ­ §®¢ñ¬ ᮢ®ªã¯­®áâì ª« áᮢ íª¢¨¢ «¥­â­ëå ­ ¬­®¦¥á⢥E ¨§¬¥à¨¬ëå ä㭪権 f : E → R ∪ {±∞}, â ª¨å, çâ® |f |p ∈ L(E).‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 4.4.1.

„®£®¢®à¨¬áï, çâ® ¢ª«î祭¨¥ f ∈ Lp (E)®§­ ç ¥â, çâ® ¢ë¡à ­ ¯à®¨§¢®«ì­ ï ¨§¬¥à¨¬ ï ­ E äã­ªæ¨ï f ¢¨¤ |f |p ∈ L(E) ¨§ ­¥ª®â®à®£® ª« áá íª¢¨¢ «¥­â­ëå ­ ¬­®¦¥á⢥E ¨§¬¥à¨¬ëå ä㭪権, ¢å®¤ï饣® ¢® ¬­®¦¥á⢮ Lp (E). ”㭪樨,­ 室ï騥áï ¢ ®¤­®¬ ª« áá¥ íª¢¨¢ «¥­â­®á⨠¨§ Lp (E), ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì à ¢­ë¬¨.ãáâì äã­ªæ¨ï g ®¯à¥¤¥«¥­ ­ ¨§¬¥à¨¬®¬ ¬­®¦¥á⢥ G ⊂ E¢¨¤ µ(E\G) = 0 (â. ¥. ¯®ç⨠¢áî¤ã ­ E ), ¨§¬¥à¨¬ ¨ |g|p ∈ L(G) .ã¤¥¬ áç¨â âì ¥ñ í«¥¬¥­â®¬ Lp (E) ¢ á«¥¤ãî饬 á¬ëá«¥: ¤®®¯à¥¤¥«¨¬ äã­ªæ¨î g ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ ®¡à §®¬ ­ ¬­®¦¥á⢥ E\G ­ã«¥¢®©¬¥àë. ®«ã稬 ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 4.2.2 ¨§¬¥à¨¬ãî ­ E äã­ªæ¨î,¯à¨­ ¤«¥¦ éãî ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 4.3.13 ¨ ã⢥ত¥­¨ï 4.3.15¬­®¦¥áâ¢ã Lp (E).

à¨ í⮬ ¯à¨ à §«¨ç­ëå ᯮᮡ å ¤®®¯à¥¤¥«¥­¨ïg ­ E\G ¯®«ãç îâáï íª¢¨¢ «¥­â­ë¥ ­ E ä㭪樨, â. ¥. íâ® í«¥¬¥­âë ®¤­®£® ª« áá íª¢¨¢ «¥­â­®á⨠¨§ Lp (E).“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.4.1. Œ­®¦¥á⢮ Lp (E) ï¥âáï «¨­¥©­ë¬¯à®áâà ­á⢮¬.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ã«ñ¬ ¢ Lp (E) ¡ã¤¥¬ áç¨â âì ª« áá ¨§¬¥à¨¬ëå ä㭪権, íª¢¨¢ «¥­â­ëå ­ E ­ã«¥¢®© ä㭪樨. „«ï «î¡®© ä㭪樨 f ∈ Lp (E) ¨ ç¨á« α 6= 0 ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 4.3.12¯®«ãç ¥¬ |αf |p = |α|p |f |p ∈ L(E), â. ¥. αf ∈ Lp (E). ‚ª«î祭¨¥ |f |p ∈∈ L(E) ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 4.3.6 ®§­ ç ¥â, çâ® äã­ªæ¨ï f ¯®ç⨢áî¤ã ª®­¥ç­ ­ E .

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï ¯®ç⨠¢á¥å x ∈ E ®¯à¥¤¥«¥­® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ 0f (x) = 0. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¯à¥¤¥«ñ­­ ï ¯®ç⨢áî¤ã ­ E äã­ªæ¨ï 0f íª¢¨¢ «¥­â­ ­ E ­ã«¥¢®© ä㭪樨, â. ¥.äã­ªæ¨ï 0f à ¢­ ­ã«î ¢ Lp (E). ãáâì f1 ∈ Lp (E) ¨ f2 ∈ Lp (E). ’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¬­®¦¥á⢮ E0 ⊂ E , â ª®¥, µ(E\E0 ) = 0, ä㭪樨 f1¨ f2 ª®­¥ç­ë ­ E0 . ’®£¤ ­ ¬­®¦¥á⢥ E0 , â. ¥. ¯®ç⨠¢áî¤ã ­ E ,229®¯à¥¤¥«¥­ ¨§¬¥à¨¬ ï äã­ªæ¨ï f = f1 + f2 . ®ª ¦¥¬, çâ® á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥ |f |p ∈ L(E), ª®â®à®¥ ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 4.3.5 à ¢­®á¨«ì­® ¢ª«î祭¨î |f |p ∈ L(E0 ). ’ ª ª ª ­ ¬­®¦¥á⢥ E0 ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ |f | ≤ |f1 | +¡ |f2 |, â® ¢ ¢á¨«ãã⢥ত¥­¨ï 4.3.8 ¤®áâ pâ®ç­® ¯®ª § âì ¢ª«î祭¨¥ |f1 | + |f2 | ∈ L(E0 ).

‚ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 4.3.3, áãé¥áâ¢ãîâ ¬®­®â®­­® ¢®§à áâ î騥 ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨭¥®âà¨æ ⥫ì­ëå ¨§¬¥à¨¬ëå ¯à®áâëå ä㭪権 s0m ¨ s00m , ¯®â®ç¥ç­®á室ï騥áï ­ E0 ᮮ⢥âá⢥­­® ª äã­ªæ¨ï¬ |f1 | ¨ |f2 |. ’®£¤ ­ E0 ¯à¨ m → ∞ ¨¬¥¥¬:(s0m )p ↑ |f1 |p ,¡¢p(s0m + s00m )p ↑ |f1 | + |f2 | .(s00m )p ↑ |f2 |p ,® ⥮६¥ 4.3.2 ¯à¨ m → ∞ ¯®«ãç ¥¬ ᮮ⭮襭¨ï:ZZ(s0m )pE0Zdµ →(s00m )p|f1 | dµ,E0Z(s0mZp+Zs00m )pdµ →E0E0¡|f2 |p dµ,dµ →E0|f1 | + |f2 |¢pdµ.E0‡ 䨪á¨à㥬 ç¨á«® m ∈ N. ® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ¯à®á⮩ ­¥®âà¨æ ⥫쭮© ¨§¬¥à¨¬®© ä㭪樨 s0m áãé¥áâ¢ãîâ ¯®¯ à­® ­¥¯¥à¥á¥ª î騥á﨧¬¥à¨¬ë¥ ¯®¤¬­®¦¥á⢠A1 , . .

. , AN ¬­®¦¥á⢠E0 ¨ à §«¨ç­ë¥ ¯®«®¦¨â¥«ì­ë¥ ç¨á« a1 , . . . , aN , â ª¨¥, çâ®s0m (x) =NXak δAk (x),∀ x ∈ E0 .k=1€­ «®£¨ç­®, ¤«ï ä㭪樨 s00m áãé¥áâ¢ãîâ ¯®¯ à­® ­¥¯¥à¥á¥ª î騥áï ¨§¬¥à¨¬ë¥ ¯®¤¬­®¦¥á⢠B1 , . . . , BM ¬­®¦¥á⢠E0 ¨ à §«¨ç­ë¥¯®«®¦¨â¥«ì­ë¥ ç¨á« b1 , . . . , bM , â ª¨¥, çâ®s00m (x) =MXbr δBr (x),∀ x ∈ E0 .r=1µNS¶Âµ MS¶ãáâì ¬­®¦¥á⢠A0 = E0Ak , B0 = E0Br . ’®£¤ r=1k=1s0m (x) = 0 ¤«ï «î¡®£® x ∈ A0 , s00m (x) = 0 ¤«ï «î¡®£® x ∈ B0 .Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¯®¯ à­® ­¥¯¥à¥á¥ª î騥áï ¬­®¦¥á⢠Ckr = Ak ∩ Br∀ k ∈ 0, N ,230r ∈ 0, M .’®£¤ ¤«ï «î¡®£® x ∈ E0 ¯®«ãç ¥¬:N XMX(s0m + s00m )(x) =NX(ak + br )δCkr (x) +k=1 r=1ak δCk0 (x) +MXbr δC0r (x).r=1k=1® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 4.3.4 ¨ ã⢥ত¥­¨î 4.3.4 ¨¬¥¥¬ à ¢¥­á⢠:ZN³´ X(s0m )p dµ = IE0 (s0m )p =(ak )p µ(Ak ),k=1E0ZM³´ X(s00m )p dµ = IE0 (s00m )p =(br )p µ(Br ).r=1E0Z³´(s0m + s00m )p = IE0 (s0m + s00m )p =E0=N XMNMXXX(ak + br )p µ(Ckr ) +(ak )p µ(Ck0 ) +(br )p µ(C0r ).k=1 r=1r=1k=1„«ï «î¡ëå k ∈ 1, N ¨ r ∈ 1, M ®¯à¥¤¥«¨¬ á«¥¤ãî騥 ç¨á« :αk0ppµ(Ckr ),p= ak p µ(Ck0 ),αkr = akppµ(Ckr ),p= br p µ(C0r ).βkr = brβ0r’®£¤ ¢ ᨫ㠭¥à ¢¥­á⢠Œ¨­ª®¢áª®£® ¤«ï ª®­¥ç­ëå á㬬 ¨¬¥¥¬:rRpE0s(s0m + s00m )p dµ =s≤pN PMPk=1 r=1s=pNPpN PMPk=1 r=1p(αkr ) +NP(akk=1µMPr=0MP(αk0 )p +r=1k=1s(αk0 )p +p¶µ(Ckr ) +231N PMPpk=1 r=1k=1)pNPp(αkr + βkr ) +spMPr=1(βkr ) +µ(br)pNPk=0MP(β0r )p ≤(β0r )p =r=1¶µ(Ckr ) .’ ª ª ª ¬­®¦¥á⢠Ckr ¯à¨ à §«¨ç­ëå k ¨«¨ r ­¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï, ⮤«ï «î¡®£® k ∈ 1, N ¢ ᨫ㠤¤¨â¨¢­®á⨠¬¥àë µ ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢠:MXµ(Ckr ) = µÃM[r=0(Ak ∩ Br )Ã= µ Ak ∩ÃM[r=0â ª ª ªNX!MSr=0Br = E0 .õ(Ckr ) = µk=0NSk=0rRpE0= µ(Ak ),€­ «®£¨ç­® ¤«ï «î¡®£® r ∈ 1, M ­ 室¨¬, çâ®N[Ak = E0 .Br )r=0!(Ak ∩ Br )ÃÃ= µ Br ∩k=0â ª ª ª!!N[!!Ak )= µ(Br ),k=0‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮:s(s0m + s00m )p dµ ≤pNPs(ak )p µ(Ak ) +k=1MPp(br )p µ(Br ) =r=1r´ r´ rR³³rRpp0= IE0 (sm ) + p IE0 (s00m )p = p (s0m )p dµ + p (s00m )p dµ,E0E0¯¥à¥å®¤ï ¢ ª®â®à®¬ ª ¯à¥¤¥«ã ¯à¨ m → ∞, ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮vZu ¡¢pu|f1 | + |f2 | dµ ≤ptE0vZuu|f1 |p dµ +ptvZuu|f2 |p dµ < +∞,ptE0E0çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, f1 + f2 ∈ Lp (E).Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨r¥ 4.4.2. „«ï «î¡®£® f§®¢ñ¬ ç¨á«® kf kp =RpE|f |pdµ.∈ Lp (E)­®à¬®©f­ -“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.4.2. ®à¬ k · kp ¢ ¯à®áâà ­á⢥ Lp (E)㤮¢«¥â¢®àï¥â ªá¨®¬ ¬ ­®à¬ë ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï 3.1.1 ­®à¬¨à®¢ ­­®£® ¯à®áâà ­á⢠.232„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. Ÿá­®, çâ® ¤«ï «î¡®£® f ∈ Lp (E) ¨ ç¨á« α ¢ë¯®«­¥­ë ᮮ⭮襭¨ï kf kp ≥ 0 ¨ kαf kp = |α| kf kp . ¥à ¢¥­á⢮âà¥ã£®«ì­¨ª kf1 + f2 kp ≤ kf1 kp + kf2 kp ¤«ï «î¡ëå f1 , f2 ∈ Lp (E)¤®ª § ­® ¯à¨ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ã⢥ত¥­¨ï 4.4.1.  ª®­¥æ, ¤«ï f ∈∈ Lp (E) ¢¨¤ kf kp = 0 ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 4.3.4 ¯®«ãç ¥¬ |f |p = 0¯®ç⨠¢áî¤ã ­ E . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, f = 0 ¯®ç⨠¢áî¤ã ­ E , â. ¥.

fï¥âáï ­ã«ñ¬ ¢ Lp (E).’ ¥ ® à ¥ ¬ 4.4.1. ‹¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ Lp (E)ï¥âáï ¯®«­ë¬.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ‚ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 3.1.2 ¤®áâ â®ç­® ¯®ª § âì, çâ® «î¡®© ¡á®«îâ­® á室ï騩áï àï¤ ¨§ Lp (E) á室¨âáï ¢Lp (E).  áᬮâਬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {fm }∞m=1 ⊂ Lp (E), â ªãî,∞Pçâ®kfm kp = M < +∞. ’ॡã¥âáï ¤®ª § âì, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â g ∈m=1°°∈ Lp (E),â ª®©, çâ® ¢ë¯®«­¥­® ᮮ⭮襭¨¥ °°g −N → ∞.„«ï «î¡®£® ­®¬¥à µNPNPm=1°°fm °° →0p¯à¨N ®¯à¥¤¥«¨¬­¥®âà¨æ ⥫ì­ãî ¨§¬¥¶p∈ L(E).

Ÿá­®, çâ® ¤«ï «î¡®£®|fm |ਬãî äã­ªæ¨î SN =m=1x ∈ E ¨ «î¡®£® ­®¬¥à N ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ SN (x) ≤ SN +1 (x).‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì SN ï¥âáï ¯®â®ç¥ç­® á室ï饩áï ­ E ª ä㭪樨 F : E → [0, +∞]. à¨ í⮬ ¢ ᨫ㠭¥à ¢¥­á⢠âà¥ã£®«ì­¨ª ¤«ï ­®à¬ë ¢ Lp (E) ¤«ï «î¡®£® N ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮°°vZuuptNN°X°X°°SN dµ = °|fm |° ≤kfm kp ≤ M.°°m=1Ep’®£¤ ¯® ⥮६¥ 4.3.2 ¯®«ãç ¥¬ ¯à¨ NRm=1→ ∞ ᮮ⭮襭¨¥SN dµ →E‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥ F ∈ L(E),ª®â®à®¥ ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 4.3.6 ®§­ ç ¥â ª®­¥ç­®áâì ¯®ç⨠¢áî¤ã­ ¬­®¦¥á⢥ E §­ 祭¨© ä㭪樨 F . ’®£¤ ¤«ï ¯®ç⨠¢á¥å x ∈∞pP∈ E àï¤F (x) < +∞. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï ¯®çâ¨|fm (x)| =→EF dµ ≤ M p .Rpm=1∞Px ∈ E ç¨á«®¢®© àï¤fm (x) á室¨âáïm=1p|g(x)| ≤ p F (x) < +∞.

Ž¯à¥¤¥«ñ­­ ï â ª¨¬¢á¥å233ª ¢¥«¨ç¨­¥g(x)¢¨¤ ®¡à §®¬ ¯®ç⨠¢áî¤ã­ E ¨§¬¥à¨¬ ï äã­ªæ¨ï g 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¤«ï ¯®ç⨠¢á¥å x ∈ E­¥à ¢¥­áâ¢ã |g(x)|p ≤ F (x). ’ ª ª ª F ∈ L(E), â® ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 4.3.2 ¯®«ãç ¥¬ |g|p ∈ L(E), â. ¥. g ∈ Lp (E). „«ï ¯®ç⨠¢á¥å x ∈ E¨¬¥¥¬ ¯à¨ N → ∞ ᮮ⭮襭¨¥¯¯pN¯¯X¯¯fm (x)¯ → 0¯g(x) −¯¯m=1¨ ¤«ï ¢á¥å N ­¥à ¢¥­á⢮¯¯p Ã!pNN¯¯XX¯¯fm (x)¯ ≤ |g(x)| +|fm (x)|≤¯g(x) −¯¯m=1m=1³p´pp≤ p F (x) + p F (x) = 2p F (x).‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯® ⥮६¥ 4.3.5 ¯à¨ N°°N°°X°°fm ° =°g −°°m=1pvuZuupt→∞¯®«ãç ¥¬¯¯pN¯¯X¯¯fm (x)¯ → 0,¯g(x) −¯¯m=1Eçâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.’ ¥ ® à ¥ ¬ 4.4.2.

ãáâì X = Rn , E | ª®«ìæ® ª«¥â®ç­ëå ¬­®-¦¥á⢠¢ Rn , M(µ) | σ-ª®«ìæ® ¨§¬¥à¨¬ëå ¯® ‹¥¡¥£ã ¬­®¦¥á⢠¢ Rn ,¯®áâ஥­­®¥ ¯® ª®«ìæãE. ãáâ쒮£¤ ¬­®¯ ¬­®¦¥á⢮ E ∈ M(µ). on¦¥á⢮ CLp (E) = h: E → R ¯¯ |h|p ∈ L(E) ¨ h ∈ C(E) ï¥âáï¢áî¤ã ¯«®â­ë¬ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ Lp (E).„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. „«ï «î¡®£® f ∈ Lp (E) ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 4.3.3 áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¯à®áâëå ¨§¬¥à¨¬ëå ­ Eä㭪権 sm , â ª ï, çâ® ­ E ¢ë¯®«­¥­ë ­¥à ¢¥­á⢠0 ≤ (sm )+ ≤≤ f+ , 0 ≤ (sm )− ≤ f− , ¯à¨ m → ∞ á¯à ¢¥¤«¨¢ë ᮮ⭮襭¨ï(sm )+ → f+ , (sm )− → f− . ’®£¤ ­ ¬­®¦¥á⢥ E ¨¬¥¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮|sm | = (sm )+ + (sm )− ≤ f+ + f− = |f |.

’ ª ª ª |f |p ∈ L(E), â® ¯®ã⢥ত¥­¨î 4.3.6 äã­ªæ¨ï f ¯®ç⨠¢áî¤ã ª®­¥ç­ ­ E . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï ¯®ç⨠¢á¥å x ∈ E ¯à¨ m → ∞ ¯®«ãç ¥¬ ᮮ⭮襭¨¥³´ ³´|f − sm | ≤ f+ − (sm )+ + f− − (sm )− → 0.234Žâáî¤ ¯®ç⨠¢áî¤ã ­ E ¯à¨ m → ∞ ¯®«ãç ¥¬ |f − sm |p → 0. ’ ªª ª ¤«ï «î¡®£® m ∈ N ­ E ¨¬¥¥¬ â ª¦¥ ­¥à ¢¥­á⢮³´pp|f − sm | ≤ |f | + |sm | ≤ 2p |f |p ∈ L(E),â® r¯® ⥮६¥ 4.3.5 ¯à¨ m → ∞ ¯®«ãç ¥¬ ᮮ⭮襭¨¥ kf − sm kp =Rp=|f − sm | dµ → 0. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ãpE¥â m(ε) ∈ N, â ª®¥, çâ® á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ kf − sm(ε) kp ≤ ε.® § ¬¥ç ­¨î 4.3.1 ¤«ï ¯à®á⮩ ¨§¬¥à¨¬®© ä㭪樨 sm(ε) áãé¥áâ¢ãîâ à §«¨ç­ë¥ ç¨á« {ck }Nk=1 ¨ ¯®¯ à­® ­¥¯¥à¥á¥ª î騥áï ¨§¬¥à¨¬ë¥ ¬­®¦¥á⢠x∈E¢ë¯®«­¥­®{Ek }Nk=1 ,sm(ε) (x) =â ª¨¥, çâ®NPk=1E =ck δEk (x).NSk=1Ek , ¤«ï «î¡®£®‚ ᨫã ॣã«ïà­®á⨠¬¥-àë ‹¥¡¥£ (á¬.

Характеристики

Список файлов лекций