Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 38

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 38)

Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¬­®¦¥á⢮ E0 = E\Fm .m=0’®£¤ µ(E\E0 ) = 0.  ¬­®¦¥á⢥ E0 ®¯à¥¤¥«¨¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ쨧¬¥à¨¬ëå ä㭪権 gm = fm − f1 ¨ h = f − f1 . ® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ­ E0 ¨¬¥¥¬ 0 = g1 ≤ g2 ≤ g3 ≤ . . . , ¯à¨çñ¬ gm (x) → h(x) ¤«ï «î¡®£®x ∈ E0 . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯® ⥮६¥ 4.3.2 ¯®«ãç ¥¬Zlimm→∞E0Zgm dµ =h dµ.E0’ ª ª ª ¯® ⥮६¥ 4.3.3 ¨¬¥¥¬ZZgm dµ =E0Zfm dµ −E0f1 dµ =E0Z=Zfm dµ −Eâ® ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥Zf1 dµ ≤ M −ERE0h dµ ≤ M0 < +∞.h ∈ L(E0 ).f1 dµ = M0 ≥ 0,E‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¯à -®í⮬㠯® ⥮६¥ 4.3.3 ¨¬¥¥¬ ­ 220E0 ᮮ⭮襭¨¥ f = h + f1¯®«ãç ¥¬ f ∈ L(E). ’®£¤ ZZf dµ =E ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 4.3.5Zh dµ +E0∈ L(E0 ),f1 dµ =E0ZZZ= limfm dµ − f1 dµ + f1 dµ =m→∞E0E0Z= limm→∞E0E0Zfm dµ = limfm dµ,m→∞Eçâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.’ ¥ ® à ¥ ¬ 4.3.4 (” âã). ãáâì ¬­®¦¥á⢮ E ∈ M, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¨§¬¥à¨¬ëå ä㭪権 fm : X → [0, +∞], ¨§¬¥à¨¬ ï äã­ªæ¨ï f : X → [0, +∞], ¯à¨çñ¬ f (x) = lim fm (x), x ∈ X .

’®£¤ á¯à RRm→∞¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ f dµ ≤ lim fm dµ.m→∞ EE„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¤«ï «î¡®£® m ∈ N ­¥®âà¨æ ⥫ì­ãî ¨§¬¥à¨¬ãî äã­ªæ¨î gm (x) = inf fk (x), x ∈ X . ’®£k≥m¤ ¤«ï «î¡®£® x ∈ X ¨¬¥¥¬ 0 ≤ g1 (x) ≤ g2 (x) ≤ . . . ¨ f (x) == lim gm (x) ¤«ï ¢á¥å x ∈ X . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯® ⥮६¥ 4.3.2 ¯®m→∞RR«ãç ¥¬ m→∞lim gm dµ = f dµ. ’ ª ª ª ¤«ï «î¡ëå m ∈ N ¨ x ∈ XEEá¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ gm (x) ≤ fm (x), â®R ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï4.3.8R¤«ï «î¡®£® m ∈ N ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮ gm dµ ≤ fm dµ. ‘«¥¤®RRREER¢ ⥫쭮, f dµ = m→∞lim gm dµ = lim gm dµ ≤ lim fm dµ, çâ®m→∞ Em→∞ EEE¨ âॡ®¢ «®áì.‘ « ¥ ¤ á â ¢ ¨ ¥ 4.3.6.

ãáâì ¬­®¦¥á⢮ E ∈ M, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¨§¬¥à¨¬ëå ä㭪権 fm : X → R∪{±∞} â ª®¢ , çâ® fm ∈ L(E)¤«ï ¢á¥å m ∈ N, ¨ ¤«ï ¯®ç⨠¢á¥å x ∈ E áãé¥áâ¢ã¥â m→∞lim fm (x) == f (x) ∈ R ∪ {±∞}. ’®£¤ , ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¯®«®¦¨â¥«ì­®¥ç¨á«®RM , â ª®¥, çâ® ¤«ï ¢á¥å m ∈ N ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ |fm | dµ ≤ M ,â® á¯à ¢¥¤«¨¢ë ¢ª«î祭¨¥ f∈ L(E)221¨ ­¥à ¢¥­á⢮RE|f | dµ ≤ M .E„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¨§¬¥à¨¬®¥ ¬­®¦¥á⢮nE0 =¯o¯x ∈ E ¯ ∃ lim fm (x) = f (x) .m→∞’®£¤ ¯® ãá«®¢¨î µ(E\E0 ) = 0 ¨ |fm (x)| → |f (x)| ¯à¨ m → ∞ ¤«ï¢á¥å x ∈RE0 . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮,¯® ⥮६¥ 4.3.4 ” âã ¯®«ãç ¥¬ ­¥à R¢¥­á⢠|f | dµ ≤ lim |fm | dµ ≤ M , çâ® ®§­ ç ¥â |f | ∈ L(E0 ). ®m→∞ E0E0ã⢥ত¥­¨î 4.3.11 íâ® à ¢­®á¨«ì­® ¢ª«î祭¨î f ∈ L(E0 ), ¢ á¨4.3.5 ¯®«ãç ¥¬ ¢ª«î祭¨¥ f ∈ L(E) ¨ ᮮ⭮襭¨¥R«ã ã⢥ত¥­¨ïR|f | dµ = |f | dµ ≤ M , çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.EE0 à ¨ ¬ ¥ à 4.3.2. ãáâì ¬­®¦¥á⢮ E ∈ M, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ쯮ç⨠¢áî¤ã ­ ¬­®¦¥á⢥ E á室¨âáï ª¯ ä㭪樨¯ f ∈¯R¯L(E). ãáâì áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® M > 0, â ª®¥, çâ® ¯¯ fm dµ¯¯ ≤ Mfm ∈ L(E)∈E¤«ï ¢á¥å m.

à¨ í⮬ ¬®¦¥â ®ª § âìáï, çâ® ¨¬¥¥â ¬¥á⮯¯¯R¯¯ f dµ¯ >¯¯E> M .  áᬮâਬ ­ E = [0, 1] ¤«ï «î¡®£® m ∈ N ¯à®áâãî äã­ªæ¨îfm : [0, 1] → R ¢¨¤ £1 ¤,1 ,1,x∈ mfm (x) =£¢11 − m, x ∈ 0, m.’®£¤ ¤«ï «î¡®£® m ∈ N ¯®«ãç ¥¬ZZfm dµ =[0,1]Zdµ −[ m1 ,1](m − 1) dµ = 1 −11− (m − 1) = 0.mm[0, m1 )à¨m → ∞ ¨¬¥¥¬ fm (x) → 1 = f (x) ¤«ï «î¡®£®¯ x ∈ (0, 1]¯ . Ÿá­®,¯ R¯R¯¯çâ®f dµ = 1. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬ 0 = ¯fm dµ¯ < 21 =¯¯[0,1][0,1]¯¯¯ R¯¯¯=M <1=¯f dµ¯, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.¯[0,1]¯’ ¥ ® à ¥ ¬ 4.3.5 (‹¥¡¥£, ®¡ ®£à ­¨ç¥­­®© á室¨¬®áâ¨). ãáâì ¬­®¦¥á⢮ E ∈ M, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¨§¬¥à¨¬ëå ä㭪権fm : X → R ∪ {±∞}222¯®ç⨠¢áî¤ã ­ E á室¨âáï ª ä㭪樨 f .

ãáâì áãé¥áâ¢ã¥â ¨§¬¥à¨¬ ï äã­ªæ¨ï g: X → [0, +∞], â ª ï, çâ® g ∈ L(E), ¨ ¤«ï ¯®ç⨢á¥å x ∈ E ¨ ¢á¥å m ∈ N á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ |fm (x)| ≤ g(x).’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢ë ¢ª«î祭¨ï fm ∈ L(E) ¤«ï ¢á¥å m ¨ f ∈ L(E), ¨áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¥¤¥«ZlimZfm dµ =m→∞E¢®f dµ.E„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. „«ï «î¡®£® m ∈ N à áᬮâਬ ¬­®¦¥áânEm =¯o¯x ∈ E ¯ |fm (x)| ≤ g(x) .® ãá«®¢¨î µ(E\Em ) = 0. ‚ ᨫã á«¥¤á⢨ï 4.3.2 ¨¬¥¥¬ fm ∈ L(Em ),®âªã¤ ¯® ã⢥ত¥­¨î¯ 4.3.5 ¯®«ãç ¥¬ fm ∈oL(E).

Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¬­®n¦¥á⢮ F = x ∈ E ¯¯ ∃ m→∞lim fm (x) = f (x) . ® ãá«®¢¨î µ(E\F ) =0.ãáâì ¬­®¦¥á⢮ H = F \õ∞[∞Sm=1(E\Em ).!(E\Em )m=1≤∞X‚ ᨫ㠭¥à ¢¥­á⢠µ(E\Em ) = 0m=1¯®«ãç ¥¬ µ(F \H) = 0. ’ ª ª ª E\H ⊂ (E\F ) ∪ (F \H), â® µ(E\H) == 0. „«ï «î¡®£® x ∈ H ¨¬¥¥¬ |fm (x)| ≤ g(x) ¤«ï ¢á¥å m ¨ fm (x) →→ f (x) ¯à¨ m → ∞. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ­¥à ¢¥­á⢮ |f (x)| ≤ g(x) á¯à ¢¥¤«¨¢® ¤«ï ¢á¥å x ∈ H .

’®£¤ ¯® á«¥¤á⢨î 4.3.2 ¨¬¥¥¬ f ∈ L(H),®âªã¤ ¯® ã⢥ত¥­¨î¢ª«î祭¨¥f ∈ L(E). Ž¯à¥¤¥¯n 4.3.5 ¯®«ãç ¥¬o¯«¨¬ ¬­®¦¥á⢮ G = x ∈ E ¯ g(x) = +∞ . ® ã⢥ত¥­¨î 4.3.6¯®«ãç ¥¬ µ(G) = 0. Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¬­®¦¥á⢮ Z = H\G. ’ ª ª ª á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥ E\Z ⊂ G ∪ (E\H), â® ¯®«ãç ¥¬ µ(E\Z) = 0.  ¬­®¦¥á⢥ Z ¢á¥ ä㭪樨 fm , f ¨ g ª®­¥ç­ë.

’ ª ª ª ­ Z ¨¬¥¥¬g + fm ≥ 0 ¨ g + fm → g + f ¯à¨ m → ∞, â® ¯® ⥮६¥ 4.3.4 ” â㯮«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮ZZ(g + f ) dµ ≤ limZm→∞Z(g + fm ) dµ =ZZg dµ + limZm→∞fm dµ.Z‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫã ⥮६ë 4.3.3 ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮ZZfm dµ.f dµ ≤ limZm→∞223Z€­ «®£¨ç­®, â ª ª ª ­ Z ¨¬¥¥¬ g − fm ≥ 0 ¨ g − fm → g − fm → ∞, â® ¯® ⥮६¥ 4.3.4 ” âã ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮ZZZZ(g − f ) dµ ≤ lim(g − fm ) dµ = g dµ − limfm dµ.m→∞Z¯à¨m→∞ZZZ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫã ⥮६ë 4.3.3 ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮ZZf dµ ≥ limfm dµ.m→∞ZZ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, á¯à ¢¥¤«¨¢ë ­¥à ¢¥­á⢠ZZf dµ ≥ limm→∞ZZfm dµ ≥ limm→∞Z®âªã¤ á«¥¤ã¥â áãé¥á⢮¢ ­¨¥ ¯à¥¤¥« Zfm dµ ≥Zf dµ,ZRlimm→∞fm dµ =ZRZf dµ.’ ªª ª µ(E\Z) =R0, â® ¢ ᨫã4.3.5R ¯®«ãç ¥¬ ¤«ï «î¡®£®R ã⢥ত¥­¨ïRm à ¢¥­á⢠fm dµ = fm dµ ¨ f dµ = f dµ.

‘«¥¤®¢ ⥫쭮,Záãé¥áâ¢ã¥â m→∞limREfm dµ =EREf dµ,ZEçâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.‘ « ¥ ¤ á â ¢ ¨ ¥ 4.3.7. (®¡ \ ª¢ à¨ã¬¥") ãáâì ¬­®¦¥á⢮ E ∈∈ M ¨ µ(E) < +∞. ãáâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¨§¬¥à¨¬ëå ä㭪権fm : X → R ∪ {±∞} ¯®ç⨠¢áî¤ã ­ E á室¨âáï ª ä㭪樨 f ¨ ¯®ç⨢áî¤ã ­ E ®£à ­¨ç¥­ , â. ¥. áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® M > 0, â ª®¥, çâ® ¤«ï¯®ç⨠¢á¥å x ∈ E ¨ ¢á¥å m ∈ N ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ |fm (x)| ≤ M .’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢ë ¢ª«î祭¨ï fm ∈ L(E) ¤«ï ¢á¥å m ¨ f ∈ L(E), ¨áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¥¤¥«ZlimZfm dµ =m→∞Ef dµ.E„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ‘à §ã á«¥¤ã¥â ¨§ ã⢥ত¥­¨ï 4.3.7 ¨â¥®à¥¬ë 4.3.5, ¥á«¨ à áᬮâà¥âì äã­ªæ¨î g(x) = M , x ∈ X . à ¨ ¬ ¥ à 4.3.3. ãáâì ¬­®¦¥á⢮ E ∈ M, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì fm : X → R ∪ {±∞} ¨­â¥£à¨à㥬ëå ¯® ‹¥¡¥£ã ­ E ä㭪権 ï¥âáï á室ï饩áï ¯®ç⨠¢áî¤ã ­ ¬­®¦¥á⢥ E ª ä㭪樨224f ∈ L(E)R .

à¨ í⮬ ¬®¦¥â ®ª § âìáï, çâ® «¨¡® ª®­¥ç­®£® ¯à¥¤¥« m→∞lim fm dµ ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â, «¨¡® áãé¥áâ¢ã¥â ª®­¥ç­ë© ¯à¥¤¥«R ERlim fm dµ 6= f dµ.  ¯à¨¬¥à, à áᬮâਬ ­ ¬­®¦¥á⢥ E =m→∞EE= [0, 1] ¤«ï «î¡®£® m ∈ N ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ä㭪権 fm (x) == m2 δ[0, 1 ] (x). ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® x ∈ (0, 1] ¢ë¯®«­¥­® ᮮ⭮襭¨¥mRfm dµ = m → +∞. € ¤«ïfm (x) → 0 = f (x) ¯à¨ m → ∞ , ­®[0,1]¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠ä㭪権 fm (x) = mδ[0, ] (x) â ª¦¥ ¯®«ãç ¥¬fm (x) → 0 = f (x) ¯à¨Rm → ∞ ¤«ï «î¡®£®R x ∈ (0, 1], ¯à¨ í⮬ ¤«ï«î¡®£® m ∈ N ¨¬¥¥¬fm dµ = 1 6= 0 =f dµ.1m[0,1][0,1]’ ¥ ® à ¥ ¬ 4.3.6.

ãáâì M(µ) | σ-ª®«ìæ® ¨§¬¥à¨¬ëå ¯® ‹¥¡¥£ã ¬­®¦¥á⢠¢ Rn , ¯®áâ஥­­®¥ ­ ª®«ìæ¥ ª«¥â®ç­ëå ¬­®¦¥áâ¢.ãáâì ¬­®¦¥á⢮ E ⊂ Rn ï¥âáï ¨§¬¥à¨¬ë¬ ¯® †®à¤ ­ã, äã­ªæ¨ï f : E → R ï¥âáï ¨­â¥£à¨à㥬®© ¯® ¨¬ ­ã ­ E . ’®£¤ f ∈∈ L(E) ¨ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® à ¢¥­á⢮¨­â¥£à «®¢¨¬ ­ ¨ ‹¥¡¥£ äã­ªRR樨 f ¯® ¬­®¦¥áâ¢ã E , â. ¥. f dx = f dµ.EE„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ‚ ᨫ㠧 ¬¥ç ­¨ï 4.1.15 ¢á类¥ ¨§¬¥à¨¬®¥ ¯® †®à¤ ­ã ¬­®¦¥á⢮ ¨§ Rn ï¥âáï ¨§¬¥à¨¬ë¬ ¯® ‹¥¡¥£ã, ¥£® ¬¥àë †®à¤ ­ ¨ ‹¥¡¥£ ᮢ¯ ¤ îâ.

 áᬮâਬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {Tm }∞m=1 ¢«®¦¥­­ëå ¨§¬¥«ìç îé¨åáï à §¡¨¥­¨© ¬­®¦¥á⢠E ¥£® ¨§¬¥à¨¬ë¬¨ ¯® †®à¤ ­ã ¯®¤¬­®¦¥á⢠¬¨, â. ¥. ¤«ï «î¡®£®Nm ¨¬¥¥¬ Tm = {Em,k }k=1 , £¤¥ ¬­®¦¥á⢮ Em,k ¨§¬¥à¨¬® ¯® †®à¤ mNSm­ã ¤«ï «î¡®£® k ∈ 1Nm ¨ á¯à ¢¥¤«¨¢ë ᮮ⭮襭¨ï: E =Em,k ,k=1Em,k ∩ Em,s = ∅ ¯à¨ k 6= s.

à¨ í⮬ Tm+1 ≺ Tm , â. ¥. ¤«ï «î¡®£®k ∈ 1, Nm+1 áãé¥áâ¢ã¥â s ∈ 1, Nm , â ª®¥, çâ® Em+1,k ⊂ Em,s . Œ¥«ª®áâì à §¡¨¥­¨ï |Tm | = max diam(Em,k ) → 0 ¯à¨ m → ∞. „«ï1≤k≤N«î¡ëå m ∈ N ¨ k ∈ 1, Nm ®¯à¥¤¥«¨¬ ç¨á« Mm,k = sup f (x) ¨mLm,k = inf f (x).Em,kgm (x) =NmX áᬮâਬ ¨§¬¥à¨¬ë¥ ä㭪樨Mm,k δEm,k (x),hm (x) =k=1NmXk=1225x∈Em,kLm,k δEm,k (x),x ∈ E.’®£¤ Rgm dµ =ENmPk=1Mm,k µJ (Em,k ) | ¢¥àå­ïï á㬬 „ à¡ã ä㭪樨Rf,NmPᮮ⢥âáâ¢ãîé ï à §¡¨¥­¨î Tm , hm dµ =Lm,k µJ (Em,k ) |k=1E­¨¦­ïï á㬬 „ à¡ã ä㭪樨 f , ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï à §¡¨¥­¨î Tm .‘«¥¤®¢ ⥫쭮,¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î¨­â¥£à « ¨¬ ­ ¨¬¥¥¬ à ¢¥­á⢠RRRlim gm dµ = lim hm dµ = f dx.

‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, â ª ª ªm→∞m→∞EEE¤«ï «î¡®£® m ∈ N ¢ë¯®«­¥­® ᮮ⭮襭¨¥ ¢«®¦¥­­®á⨠Tm+1 ≺ Tm ,â® á¯à ¢¥¤«¨¢ë ­¥à ¢¥­á⢠gm+1 (x) ≤ gm (x) ¨ hm+1 (x) ≥ hm (x) ¤«ï¢á¥å x ∈ E . à¨ í⮬ ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ä㭪権 gm ¨ hm ¤«ï ¢á¥å x ∈∈ E â ª¦¥ ¢ë¯®«­¥­ë ­¥à ¢¥­á⢠gm (x) ≥ f (x) ≥ hm (x). â® ®§­ ç ¥â, çâ® ¤«ï «î¡®£® x ∈ E áãé¥áâ¢ãî⠯।¥«ë m→∞lim gm (x) = g(x)¨ m→∞lim hm (x) = h(x), 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ­¥à ¢¥­á⢠¬ g(x) ≥ f (x) ≥h(x). ’®£¤ ¯® á«¥¤á⢨î 4.3.5R ¯®«ãç ¥¬,R çâ® ä㭪樨R g, h ∈ L(E)R ,¨¢ë¯®«­¥­ë à ¢¥­á⢠m→∞lim gm dµ = g dµ, lim hm dµ = h dµ.m→∞EREh dµ = f dx.

’®£¤ ¨§EER E¬¥à¨¬ ï äã­ªæ¨ï (g−h) ­¥®âà¨æ â¥«ì­ ­ E ¨ (g−h) dµ = 0. ‘«¥E‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¨¬¥¥¬ à ¢¥­á⢠REg dµ =RE¤®¢ ⥫쭮, ¯® á«¥¤á⢨î 4.3.4 ¯®«ãç ¥¬ g(x) − h(x) = 0 ¤«ï ¯®ç⨢á¥å x ∈ E . ® ⮣¤ f (x) = g(x) = h(x) ¤«ï ¯®ç⨠¢á¥å x ∈ E . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯® § ¬¥ç ­¨î 4.2.2 ¯®«ãç ¥¬, çâ® äã­ªæ¨ï f ¨§¬¥à¨¬ ­ E ¨ íª¢¨¢ «¥­â­ ­ E äã­ªæ¨ï¬ g ¨ h. ’®£¤ R ¯® ã⢥ত¥­¨îRR 4.3.5¯®«ãç ¥¬ ¢ª«î祭¨¥ f ∈ L(E) ¨ à ¢¥­á⢮ f dµ = g dµ = h dµ ==REf dx,Eçâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.EE à ¨ ¬ ¥ à 4.3.4.

Характеристики

Список файлов лекций