Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

¯®«ã稫¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.3.7. ãáâì ¨§¬¥à¨¬ ï ä㭪樨 f : X →→ R ∪ {±∞} ®£à ­¨ç¥­ ­ ¬­®¦¥á⢥ E ∈ M, â. ¥. áãé¥áâ¢ãîâç¨á« a ¨ b, â ª¨¥, çâ® ¤«ï ¢á¥å x ∈ E ¢ë¯®«­¥­ë ­¥à ¢¥­á⢠a ≤≤ f (x) ≤ b. ãáâì µ(E) < +∞. ’®£¤ f ∈ L(E) ¨ á¯à ¢¥¤«¨¢ë­¥à ¢¥­á⢠Zaµ(E) ≤ f dµ ≤ bµ(E).E„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. …᫨ a ≥ 0, â® f (x) = f+ (x) ¤«ï ¢á¥å x ∈∈ E . ’®£¤ ¤«ï ¢á¥å x ∈ E≤ bδE (x), á«¥¤®¢ ⥫쭮:¨¬¥¥¬ ­¥à ¢¥­á⢠0 ≤ aδE (x) ≤ f+ (x) ≤Zaµ(E) = IE (aδE ) ≤sup IE (s) =0≤s≤f+f+ dµ =EZ=f dµ ≤ IE (bδE ) = bµ(E).E…᫨ b ≤ 0, â® f (x) = −f− (x) ¤«ï ¢á¥å x ∈ E .

’®£¤ ¤«ï ¢á¥å x ∈ E¨¬¥¥¬ ­¥à ¢¥­á⢠0 ≤ −bδE (x) ≤ f− (x) ≤ −aδE (x), á«¥¤®¢ ⥫쭮:Z−bµ(E) = IE (−bδE ) ≤sup IE (s) =0≤s≤f−f− dµ =EZ=−f dµ ≤ IE (−aδE ) = −aµ(E).E206ãáâì ⥯¥àì a < 0 ¨ b > 0. ’®£¤ ¤«ï ¢á¥å x ∈ E ¨¬¥¥¬ ­¥à ¢¥­á⢠0 ≤ f+ (x) ≤ bδE (x),0 ≤ f− (x) ≤ −aδE (x),á«¥¤®¢ ⥫쭮:RERf+ dµ =f− dµ =E’®£¤ ¯®«ãç ¥¬sup IE (s)≤ IE (bδE )sup IE (s)≤ IE (−aδE ) =0≤s≤f+0≤s≤f−Zaµ(E) ≤Zf+ dµ −E=bµ(E),−aµ(E).Zf− dµ =Ef dµ ≤ bµ(E).E“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.3.8.

ãáâì ¨§¬¥à¨¬ë¥ ä㭪樨f, g: X → [0, +∞]â ª®¢ë, Rçâ® f ≤ Rg ­ ¬­®¦¥á⢥¢¥­á⢮ f dµ ≤ g dµ.EE ∈ M.’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à -E„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. „«ï «î¡®© ¯à®á⮩ ¨§¬¥à¨¬®© ä㭪樨¢¨¤ 0 ≤R s ≤ f ­ ¬­®¦¥á⢥ E ¯®«ãç ¥¬ 0 ≤R s ≤ g ­ E . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, f dµ = sup IE (s) ≤ sup IE (g) = g dµ, çâ® ¨ âॡ®¢ 0≤s≤g0≤s≤fEE«®áì.s“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.3.9. ãáâì ¨§¬¥à¨¬ë¥ ä㭪樨f, g: X → R ∪ {±∞}¨­â¥£à¨àã¥¬ë ­ ¨§¬¥à¨¬®¬ ¬­®¦¥á⢥ E , ¯à¨çñ¬ f (x) ≤ g(x) ¤«ï¢á¥å x ∈ E . ’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ZZf dµ ≤Eg dµ.E„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

¥à ¢¥­á⢮¢¥­á⢠f+ ≤ g+ ¨ f−¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢠Z≥ g−Zf+ dµ ≤Ef ≤ g ­ E ¢«¥çñâ ­¥à ­ E . ’®£¤ ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 4.3.8Zg+ dµ,Zf− dµ ≥EE207g− dµ.E‘«¥¤®¢ ⥫쭮,=REg dµ,Rf dµ =ERf+ dµ −ERf− dµ ≤Eçâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.Rg+ dµ −ERg− dµ =E“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.3.10. ãáâì ¨§¬¥à¨¬ ï äã­ªæ¨ï f : X→ [0, +∞]. ’®£¤ ¤«ï «î¡ëå ¨§¬¥à¨¬ëåRR¬­®¦¥á⢠E1E1 ⊂ E2 ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ f dµ ≤ f dµ.E1¨E2→¢¨¤ E2„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. „«ï «î¡®£® ¨§¬¥à¨¬®£® ¬­®¦¥á⢠E¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ µ(E ∩ E1 ) ≤ µ(E ∩ E2 ).

’®£¤ ¤«ï «î¡®©¯à®á⮩ ­¥®âà¨æ ⥫쭮© ¨§¬¥à¨¬®© ä㭪樨 s ¨¬¥¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮IE (s) ≤ IE (s). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬12ZZf dµ = sup IE1 (s) ≤ sup IE2 (s) =0≤s≤fE10≤s≤ff dµ,E2çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.3.11. ˆ§¬¥à¨¬ ï äã­ªæ¨ïf : X → R ∪ {±∞}ï¥âáï ¨­â¥£à¨à㥬®© ¯® ‹¥¡¥£ã ­ ¨§¬¥à¨¬®¬ ¬­®¦¥á⢥ E ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ ,ª®£¤ äã­ªæ¨ï |f | ∈ L(E). à¨ í⮬ ¢ë¯®«­¥­®¯¯¯R¯ R¯¯­¥à ¢¥­á⢮ ¯ f dµ¯ ≤ |f | dµ.EE„ ® ª § â ¥ « ìRá â ¢ ®.

ãáâì f ∈R L(E), â. ¥. ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 4.3.6¨¬¥¥¬ ­¥à ¢¥­á⢠f+ dµ < +∞ ¨ f− dµ < +∞. Ž¯à¥¤¥«¨¬ á«¥EE¤ãî騥 ¬­®¦¥á⢠:E+ = { x ∈ E | f (x) ≥ 0 },E− = { x ∈ E | f (x) ≤ 0 }.Ÿá­®, çâ® |f (x)| = f+ (x) ¯à¨ x ∈ E+ ¨ |f (x)| = f− (x) ¯à¨ x ∈∈ E− . ’®£¤ ¤«ï «î¡®© ¯à®á⮩ ¨§¬¥à¨¬®© ä㭪樨 s ¢¨¤ 0 ≤ s ≤≤ |f | ¯®«ãç ¥¬ 0 ≤ s ≤ f+ ­ E+ , 0 ≤ s ≤ f− ­ E− . ’ ª ª ª¤«ï «î¡®£® ¨§¬¥à¨¬®£® ¬­®¦¥á⢠A ⊂ E ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 4.1.1¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ µ(A) ≤ µ(A ∩ E+ ) + µ(A ∩ E− ), â®, ¨á¯®«ì§ãïã⢥ত¥­¨¥ 4.3.10, ¯®«ãç ¥¬ZIE (s) ≤ IE+ (s) + IE− (s) ≤Zf+ dµ +E+E−208Zf− dµ ≤Zf+ dµ +Ef− dµ.E‘«¥¤®¢ ⥫쭮,R|f | dµ =sup IE (s) ≤0≤s≤|f |Eâ.

¥. ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ |f | ∈ L(E).…᫨ á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥ |f | ∈0 ≤ f+ ≤ |f | ¨ 0 ≤ f− ≤ |f | ¯®«ãç ¥¬ZZf+ dµ ≤ERf+ dµ +Ef− dµ < +∞,â® ¢ ᨫ㠭¥à ¢¥­áâ¢Z|f | dµ < +∞,EEL(E),ZRf− dµ ≤E|f | dµ < +∞.E’ ª¨¬ ®¡à §®¬, fR∈ L(E). ‘¯à ¢¥¤«¨¢ë ­¥à ¢¥­á⢠RRRf+ dµ − f− dµ ≤f+ dµ ≤|f | dµ,EREf− dµ −E®í⮬ãREf+ dµ ≤EREf− dµ ≤ER¯¯¯ ¯¯ R¯R¯ ¯RR¯ f dµ¯ = ¯ f+ dµ − f− dµ¯ ≤ |f | dµ,¯¯¯ ¯EEEE|f | dµ.Eçâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.‘ « ¥ ¤ á â ¢ ¨ ¥ 4.3.2. ãáâì ¨§¬¥à¨¬ë¥ ä㭪樨f : X → R ∪ {±∞}¨g: X → [0, +∞]â ª®¢ë, çâ® g ∈ L(E) ¨ |f |¯≤ g ­ ¯ ¬­®¦¥á⢥ E ∈ M. ’®£¤ f¯R¯ R¨ ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ ¯¯ f dµ¯¯ ≤ g dµ.E∈ L(E)E„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ¥à ¢¥­á⢮RR |f | ≤ g ­ E ¯® ã⢥ত¥­¨î 4.3.8 ¢«¥çñâ ­¥à ¢¥­á⢮ |f | dµ ≤ g dµ < +∞, â. ¥.

¯®«ãç ¥¬EE|f | ∈ L(E). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯® ã⢥ত¥­¨î4.3.11 ¢ë¯®«­¥­ë ¢ª«î¯¯¯R¯ RR祭¨¥ f ∈ L(E) ¨ ­¥à ¢¥­á⢮ ¯¯ f dµ¯¯ ≤ |f | dµ ≤ g dµ.EEE“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.3.12. ãáâì ¨§¬¥à¨¬ ï äã­ªæ¨ï f : X→¨­â¥£à¨à㥬 ­ ¨§¬¥à¨¬®¬ ¬­®¦¥á⢥ E . ’®£¤ ¤«ï«î¡®£® ç¨á« c 6= 0 ¢ë¯®«­¥­® cf ∈ L(E), ¯à¨çñ¬→ R ∪ {±∞}ZZcf dµ = cEf dµ.E209„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ãáâì c > 0. ’®£¤ (cf )+ = cf+ ¨ (cf )− == cf− . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ë¯®«­¥­ë ᮮ⭮襭¨ïZZ³s´(cf )+ dµ = sup IE (s) = sup cIE= c f+ dµ,c0≤s≤cf+0≤ sc ≤f+EEZZ³s´(cf )− dµ = sup IE (s) = sup cIE= c f− dµ.c0≤s≤cf−0≤ sc ≤f−EE’®£¤ ¯®«ãç ¥¬ZZ(cf ) dµ =EZ(cf )+ dµ −E(cf )− dµ =EZ=cZf+ dµ − cEZf− dµ = cEãáâì c < 0. ’®£¤ (cf )+ = (−c)f− ¨â¥«ì­®, ¢ë¯®«­¥­ë ᮮ⭮襭¨ïf dµ.E(cf )− = (−c)f+ .‘«¥¤®¢ -Z(cf )+ dµ =supIE (s) =0≤s≤(−c)f−Eµ=sups0≤ −c≤f−(−c)IEs−c¶Z= (−c)f− dµ,EZ(cf )− dµ =supIE (s) =0≤s≤(−c)f+Eµ=’®£¤ ¯®«ãç ¥¬ZZ(cf ) dµ =E(−c)IE¶Z= (−c)f+ dµ.EZ(cf )+ dµ −Esups0≤ −c≤f+s−c(cf )− dµ =EZZf− dµ − (−c)= (−c)E210Zf+ dµ = cEf dµ.E“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.3.13.

ãáâì ¨§¬¥à¨¬®¥ ¬­®¦¥á⢮ E ¨¬¥¥â ¬¥àã ­ã«ì. ’®£¤ «î¡ ï ¨§¬¥à¨¬ ïRäã­ªæ¨ï f : X → R ∪ {±∞}¨­â¥£à¨à㥬 ¯® ‹¥¡¥£ã ­ E , ¯à¨ç¥¬ f dµ = 0.E„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ’ ª ª ª µ(E) = 0, â® ¤«ï «î¡®© ¯à®á⮩¨§¬¥à¨¬®© ä㭪樨 s ¢¨¤ 0 ≤ s ≤ f+ ¨«¨ 0 ≤ s ≤ f− ¯® ®¯à¥¤¥«¥R­¨î 4.3.4 ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ IE (s) = 0. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, f+ dµ ==REf− dµ = 0,E®âªã¤ áà §ã á«¥¤ã¥â ¨­â¥£à¨à㥬®áâì ä㭪樨 f ­ ¬­®¦¥á⢥ E ¨ à ¢¥­á⢮REf dµ =Rf+ dµ −EREf− dµ = 0.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.3.14. ãáâì ¨§¬¥à¨¬ ï äã­ªæ¨ï f : X→¨­â¥£à¨à㥬 ¯® ‹¥¡¥£ã ­ ¨§¬¥à¨¬®¬ ¬­®¦¥á⢥ E .’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ¨§¬¥à¨¬®£® ¬­®¦¥á⢠A ⊂ E ¢ë¯®«­¥­® f ∈∈ L(A).→ R ∪ {±∞}„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

„«ï «î¡®© ¯à®á⮩ ¨§¬¥à¨¬®© ä㭪樨¢¨¤ 0 ≤ s ≤ f+ ¨«¨ 0 ≤ s ≤ f− ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 4.3.4 ¨ ¢ ᨫã᢮©á⢠2 ã⢥ত¥­¨ï 4.1.1 ¢ë¯®«­¥­®IA (s)R ≤ IE (s).R ­¥à ¢¥­á⢮R‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢠f+ dµ ≤ f+ dµ ¨ f− dµ ≤s≤REf− dµ.’ ª ª ªª®­¥ç­ë ¢¥«¨ç¨­ëAf ∈ L(E), â® ¢¥«¨ç¨­ëRf± dµ, â. ¥. f ∈ L(A).REEf± dµAª®­¥ç­ë. ’®£¤ A’ ¥ ® à ¥ ¬ 4.3.1 (áçñâ­ ï ¤¤¨â¨¢­®áâì ¨­â¥£à « ‹¥¡¥£ ).ãáâì äã­ªæ¨ï f : X → [0, +∞] ¨§¬¥à¨¬ .„«ï «î¡®£® ¬­®¦¥á⢠RE ∈ M ®¯à¥¤¥«¨¬ ¢¥«¨ç¨­ã ϕ(E) = f dµ. ’®£¤ äã­ªæ¨ï ϕ: M →→ [0, +∞]Eï¥âáï áçñâ­®- ¤¤¨â¨¢­®©.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ãáâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¨§¬¥à¨¬ë嬭®¦¥á⢠{Em }∞m=1 â ª®¢ , çâ® Em ∩ Ek = ∅ ¤«ï ¢á¥å m 6= k ,∞S ¬­®¦¥á⢮ E =Em . ’ॡã¥âáï ¤®ª § âì à ¢¥­á⢮ ϕ(E) =∞Pm=1…᫨ äã­ªæ¨ï f ï¥âáï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®© ä㭪樥© ¨§¬¥à¨¬®£® ¬­®¦¥á⢠A, â. ¥.

f = δA , â® ϕ(E) = µ(A ∩ E).=m=1ϕ(Em ).211®í⮬㠢 ᨫã áçñâ­®© ¤¤¨â¨¢­®á⨠¬¥àëà ¢¥­á⢮Ãϕ(E) = µ∞[!(A ∩ Em )∞X=m=1µ¯®«ãç ¥¬ âॡ㥬®¥µ(A ∩ Em ) =m=1∞Xϕ(Em ).m=1…᫨ f ï¥âáï ¯à®á⮩ ­¥®âà¨æ ⥫쭮© ä㭪樥©, â® ¢ ᨫ㠮¯à¥¤¥«¥­¨ï 4.3.4 äã­ªæ¨ï ϕ ï¥âáï ª®­¥ç­®© «¨­¥©­®© ª®¬¡¨­ 樥©áçñâ­®- ¤¤¨â¨¢­ëå ä㭪権 á ¯®«®¦¨â¥«ì­ë¬¨ ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨,â. ¥.

⮦¥ ï¥âáï áçñâ­®- ¤¤¨â¨¢­®©. ‚ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¤«ï «î¡®©¯à®á⮩ ¨§¬¥à¨¬®© ä㭪樨 s ¢¨¤ 0 ≤ s ≤ f ¨¬¥¥¬IE (s) =∞XIEm (s) ≤m=1∞ ZX∞Xf dµ =m=1Emϕ(Em ).m=1‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮∞Xϕ(E) = sup IE (s) ≤0≤s≤fϕ(Em ).m=1’ ª ª ª Em ⊂ E ¤«ï «î¡®£® ­®¬¥à m, â®RR ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 4.3.10¨¬¥¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮ ϕ(Em ) = f dµ ≤ f dµ = ϕ(E). ‘«¥¤®¢ ⥫ìEmE­®, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à m0 , â ª®©, çâ® ϕ(Emϕ(E) = +∞ =∞X0) = +∞, â® ¯®«ãç ¥¬ϕ(Em ).m=1®í⮬㠤 «¥¥ áç¨â ¥¬, çâ® ϕ(Em ) < +∞ ¤«ï ¢á¥å m. ’®£¤ ¤«ï«î¡ëå N ∈ N ¨ ε > 0 ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 4.3.5 áãé¥áâ¢ã¥â ¯à®áâ 﨧¬¥à¨¬ ï äã­ªæ¨ï s ¢¨¤ 0 ≤ s ≤ f , â ª ï, çâ® ¤«ï ¢á¥å m ∈ 1, N¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ZIEm (s) ≥f dµ −εε= ϕ(Em ) − .NNEm‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬ ϕ(E) ≥ IE (s) =≥NPm=1∞Pm=1IEm (s) ≥NPm=1IEm (s) ≥ϕ(Em ) − ε.

Žâáî¤ , ¯¥à¥å®¤ï ª ¯à¥¤¥«ã ¯à¨ ε → +0 ¨ N → ∞,¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮ ϕ(E) ≥∞Pm=1ϕ(Em ),212çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.‘ « ¥ ¤ á â ¢ ¨ ¥ 4.3.3. ãáâì ¨§¬¥à¨¬ ï äã­ªæ¨ïf : X → R ∪ {±∞}¨­â¥£à¨à㥬 ­ ¨§¬¥à¨¬®¬ ¬­®¦¥á⢥ E . ’®£¤ ¤«ï «î¡®© ¯®á«¥∞S¤®¢ ⥫쭮á⨠¨§¬¥à¨¬ëå ¬­®¦¥á⢠{Em }∞Em ¨m=1 ¢¨¤ E =m=1Em ∩ Ek = ∅ ¯à¨ ¢á¥å m 6= k á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮Z∞ ZXf dµ =f dµ,m=1EmE¯à¨ í⮬ ¯®á«¥¤­¨© àï¤ á室¨âáï ¡á®«îâ­®.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ® ⥮६¥ 4.3.1 ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢠Zf+ dµ =∞ ZXZf+ dµ < +∞,f− dµ =m=1EmE∞ ZXf− dµ < +∞.m=1EmE¯¯¯R¯RR¯’ ª ª ª ¤«ï «î¡®£® m ¨¬¥¥¬ ¯ f dµ¯¯ ≤ f+ dµ + f− dµ | ç«¥­¯Em¯ EmEm∞ RPá室ï饣®áï àï¤ , â® ç¨á«®¢®© àï¤f dµ á室¨âáï ¡á®«îâ­®.m=1 EmC«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬∞ ZXf dµ =m=1Em= lim N →∞= lim N →∞=∞ ZXN ZXm=1Emf+ dµ − m=1Em∞ ZXZf− dµ =f+ dµ −EmEmf+ dµ −N ZXf− dµ =m=1Emf+ dµ − lim m=1EmZm=1N ZX∞XN →∞213f− dµ =m=1EmZf+ dµ −Eçâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.Zf− dµ =m=1EmN ZXZf− dµ =Ef dµ,E“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.3.15.

Характеристики

Список файлов лекций