Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 40

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 40)

⥮६ã 4.1.1) ¤«ï «î¡®£® δ > 0 ¨ «î¡®£® k ∈ 1, Náãé¥áâ¢ãîâ § ¬ª­ã⮥ ¬­®¦¥á⢮ Fk ⊂ Rn ¨ ®âªàë⮥ ¬­®¦¥á⢮Gk ⊂ Rn , â ª¨¥, çâ® ¢ë¯®«­¥­ë ¢ª«î祭¨ï Fk ⊂ Ek ⊂ Gk ¨ ­¥à ¢¥­á⢠µ(Gk \Ek ) ≤ δ ¨ µ(Ek \Fk ) ≤ δ .„«ï «î¡®£® ¬­®¦¥á⢠A ⊂ Rn ®¯à¥¤¥«¨¬ äã­ªæ¨î à ááâ®ï­¨ï®â «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ Rn ¤® ¬­®¦¥á⢠A á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:ρ(x, A) = inf |x − a|. ’®£¤ ¤«ï «î¡ëå x, y ∈ Rn ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­áâa∈A´|y − a| + |x − y| = ρ(y, A) + |x − y|. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮,a∈A¯¯á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ ¯¯ρ(x, A) − ρ(y, A)¯¯ ≤ |x − y|. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, äã­ªæ¨ï x 7→ ρ(x, A) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ­ Rn ãá«®¢¨î ‹¨¯è¨æ ᪮­á⠭⮩ ¥¤¨­¨æ ¨, ¢ ç áâ­®áâ¨, ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭®© ­ Rn .„«ï «î¡®£® k ∈ 1, N ®¯à¥¤¥«¨¬ äã­ªæ¨î hk : E → R á«¥¤ãî騬¢® ρ(x, A) ≤³inf®¡à §®¬:hk (x) =ρ(x, Gck ),ρ(x, Gck ) + ρ(x, Fk )x ∈ E.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, 0 ≤ hk (x) ≤ 1 ¤«ï ¢á¥å x ∈ E , ¤«ï «î¡®£® x ∈ Fk¨¬¥¥¬ hk (x) = 1, ¤«ï «î¡®£® x 6∈ Gk ¨¬¥¥¬ hk (x) = 0.

’ ª ª ª ¬­®¦¥á⢠Gck ¨ Fk ïîâáï § ¬ª­ãâ묨 ¨ ­¥¯¥à¥á¥ª î騬¨áï (¢ ᨫãFk ⊂ Gk ), â® ¤«ï «î¡®£® x ∈ E §­ ¬¥­ ⥫ì ρ(x, Gck ) + ρ(x, Fk ) > 0.’®£¤ ¢ ᨫ㠯®ª § ­­®© ¢ëè¥ ­¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪樨 à ááâ®ï­¨ï®â â®çª¨ x ∈ Rn ¤® «î¡®£® ¬­®¦¥á⢠A ⊂ Rn ¯®«ãç ¥¬, çâ® äã­ªæ¨ï hk ­¥¯à¥à뢭 ­ E .

Ž¯à¥¤¥«¨¬ ­¥¯à¥à뢭ãî ­ ¬­®¦¥á⢥ E235NPäã­ªæ¨î h(x) =ck hk (x), x ∈ E . ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® k ∈ 1, N ¨k=1«î¡®£® x ∈ Fk ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ h(x) = ck = sm(ε) (x). ’®£¤ ¢á¨«ã ⥮६ë 4.3.1 ¯®«ãç ¥¬ ᮮ⭮襭¨ïZp|h − sm(ε) | dµ =N ZX|h − sm(ε) |p dµ =k=1EkE=ZNX|ck |p |hk − 1|p dµ ≤NX|2ck |p µ(Ek \Fk ) ≤m=1k=1E \FkkÃ≤NX!|2ck |pδ ≤ εpm=1¯à¨ ¢ë¡®à¥ δ =εpNPm=1|2ck |p +1. à¨ í⮬ ¨¬¥¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮kh − sm(ε) kp ≤ ε.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥ h ∈ Lp (E), â. ¥.

h ∈ CLp (E),¨ ­¥à ¢¥­á⢮ kf − hkp ≤ 2ε, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.4.3. ãáâì 1 ≤ p ≤ q, µ(E) < +∞. ’®£¤ Lq (E) ⊂ Lp (E).„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. „«ï «î¡®£® f ∈ Lq (E) ®¯à¥¤¥«¨¬ ¨§¬¥à¨¬ë¥ ¬­®¦¥á⢠nA=¯o¯x ∈ E ¯ |f (x)| ≥ 1 ,nB=¯o¯x ∈ E ¯ |f (x)| < 1 .’®£¤ A ∪ B = E ¨ A ∩ B = ∅. „«ï «î¡®£® x ∈ A ¨¬¥¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮ |f (x)|p ≤ |f (x)|q , ¤«ï «î¡®£® x ∈ B ¨¬¥¥¬ |f (x)|p ≤ 1.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫã ⥮६ë 4.3.1 ¨ ã⢥ত¥­¨ï 4.3.8 ¯®«ãç ¥¬á®®â­®è¥­¨ïZZZZZ|f |p dµ =E|f |p dµ +A|f |p dµ ≤BZ≤|f | dµ +BZ1 dµ +AZ1 dµ =B|f |q dµ + µ(E) < +∞.=E2361 dµ ≤BZq|f | dµ +AAZq|f |q dµ +â® ®§­ ç ¥â, çâ® |f |p ∈ L(E), â. ¥. f∈ Lp (E),çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 4.4.3.

Œ­®¦¥á⢮¬ L∞ (E) ­ §®¢ñ¬ ᮢ®ªã¯­®áâì ª« áᮢ íª¢¨¢ «¥­â­ëå ­ ¬­®¦¥á⢥ E ¨§¬¥à¨¬ëå ä㭪権f : E → R ∪ {±∞}, ®£à ­¨ç¥­­ëå ¯®ç⨠¢áî¤ã ­ E .‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 4.4.2. „®£®¢®à¨¬áï, çâ® ¢ª«î祭¨¥ f ∈ L∞ (E)®§­ ç ¥â, çâ® ¢ë¡à ­ ¯à®¨§¢®«ì­ ï ¨§¬¥à¨¬ ï ®£à ­¨ç¥­­ ï ¯®ç⨠¢áî¤ã ­ E äã­ªæ¨ï f ¨§ ­¥ª®â®à®£® ª« áá íª¢¨¢ «¥­â­ëå ­ ¬­®¦¥á⢥ E ¨§¬¥à¨¬ëå ä㭪権, ¢å®¤ï饣® ¢ ¬­®¦¥á⢮ L∞ (E).”㭪樨, ­ 室ï騥áï ¢ ®¤­®¬ ª« áá¥ íª¢¨¢ «¥­â­®á⨠¨§ L∞ (E),¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì à ¢­ë¬¨.ãáâì äã­ªæ¨ï g ®¯à¥¤¥«¥­ ­ ¨§¬¥à¨¬®¬ ¬­®¦¥á⢥ G ⊂ E¢¨¤ µ(E\G) = 0 (â.

¥. ¯®ç⨠¢áî¤ã ­ E ), ¨§¬¥à¨¬ ¨ ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­®© ¯®ç⨠¢áî¤ã ­ G. ã¤¥¬ áç¨â âì ¥ñ í«¥¬¥­â®¬ L∞ (E) ¢á«¥¤ãî饬 á¬ëá«¥: ¤®®¯à¥¤¥«¨¬ äã­ªæ¨î g ¯à®¨§¢®«ì­ë¬ ®¡à §®¬­ ¬­®¦¥á⢥ E\G ­ã«¥¢®© ¬¥àë, ¯®«ã稬 ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 4.2.2¨§¬¥à¨¬ãî ®£à ­¨ç¥­­ãî ¯®ç⨠¢áî¤ã ­ E äã­ªæ¨î, ¯à¨­ ¤«¥¦ éãî L∞ (E). à¨ í⮬ ¯à¨ à §«¨ç­ëå ᯮᮡ å ¤®®¯à¥¤¥«¥­¨ï g ­ E\G ¯®«ãç îâáï íª¢¨¢ «¥­â­ë¥ ­ E ä㭪樨, â. ¥. íâ® í«¥¬¥­â뮤­®£® ª« áá íª¢¨¢ «¥­â­®á⨠¨§ L∞ (E).“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.4.4. Œ­®¦¥á⢮­ë¬ ¯à®áâà ­á⢮¬.L∞ (E)ï¥âáï «¨­¥©-„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ã«ñ¬ ¢ L∞ (E) ¡ã¤¥¬ áç¨â âì ª« áá ¨§¬¥à¨¬ëå ä㭪権, íª¢¨¢ «¥­â­ëå ­ E ­ã«¥¢®© ä㭪樨.

„«ï «î¡®£® f ∈ L∞ (E) áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® M > 0, â ª®¥, çâ® ¤«ï ¯®ç⨠¢á¥åx ∈ E ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ |f (x)| ≤ M . ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ç¨á« α¯®ç⨠¢áî¤ã ­ E ®¯à¥¤¥«¥­ ¨§¬¥à¨¬ ï äã­ªæ¨ï αf , ®£à ­¨ç¥­­ ïç¨á«®¬ |α|M . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ αf ∈ L∞ (E).ãáâì f1 ∈ L∞ (E) ¨ f2 ∈ L∞ (E). ’®£¤ áãé¥áâ¢ãîâ ç¨á« M1 > 0¨ M2 > 0, â ª¨¥, çâ® ¤«ï ¯®ç⨠¢á¥å x ∈ E ¢ë¯®«­¥­ë ­¥à ¢¥­á⢠|f1 (x)| ≤ M1 ¨ |f2 (x)| ≤ M2 .

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®ç⨠¢áî¤ã ­ E ®¯à¥¤¥«¥­ ¨§¬¥à¨¬ ï äã­ªæ¨ï f = f1 +f2 , ¯à¨çñ¬ ¤«ï ¯®ç⨠¢á¥å x ∈ E¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ |f (x)| ≤ M1 +M2 . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ë¯®«­¥­®¢ª«î祭¨¥ f ∈ L∞ (E).Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 4.4.4. ãáâì ¨§¬¥à¨¬ ï äã­ªæ¨ïf : E → R ∪ {±∞}237®£à ­¨ç¥­ ¯®ç⨠¢áî¤ã ­ E . ‘ãé¥á⢥­­®© ¢¥àå­¥© £à ­ìî ä㭪樨 f ­ E ­ §ë¢ ¥âáï ¢¥«¨ç¨­ ness sup f = infE¯¯M ∈ R ¯ f (x) ≤ M¤«ï ¯. ¢.ox∈E.Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 4.4.5.

„«ï «î¡®£® f ∈ L∞ (E) ­®à¬®© f ­ -§®¢ñ¬ ç¨á«® kf k∞ = ess sup |f |.E“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.4.5. ®à¬ k · k∞ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ L∞ (E)㤮¢«¥â¢®àï¥â ªá¨®¬ ¬ ­®à¬ë ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï 3.1.1 ­®à¬¨à®¢ ­­®£® ¯à®áâà ­á⢠.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ’ ª ª ª «î¡ ï äã­ªæ¨ï f ∈ L∞ (E) ®£à ­¨ç¥­ ¯®ç⨠¢áî¤ã ­ E , â. ¥. áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® M > 0, â ª®¥, çâ®|f (x)| ≤ M ¤«ï ¯®ç⨠¢á¥å x ∈ E , â® 0 ≤ kf k∞ ≤ M . „ «¥¥ ¤«ï«î¡®£® ç¨á« α 6= 0 ¨¬¥¥¬ ᮮ⭮襭¨ï¯¯M ≥ 0 ¯ |αf (x)| ≤ M¯½¯MM= |α| inf≥ 0 ¯¯ |f (x)| ≤|α||α|nkαf k∞ = inf¤«ï ¯. ¢.¤«ï ¯. ¢.ox∈E=¾x ∈ E = |α| kf k∞ . ¢¥­á⢮ k0f k∞ = 0 = 0kf k∞ ®ç¥¢¨¤­®. „«ï «î¡ëå f1 , f2 ∈ L∞ (E)¨¬¥¥¬¯n¯kf1 +f2 k∞ = inf M ≥ 0 ¯ |f1 (x) + f2 (x)| ≤ M¯n¯≤ inf M ≥ 0 ¯ |f1 (x)| + |f2 (x)| ≤ M ¤«ï¯n¯≤ inf M1 + M2 ¯ |f1 (x)| ≤ M1 , |f2 (x)| ≤ M2o¤«ï ¯. ¢.¯.

¢.x∈Eox∈E ≤¤«ï ¯. ¢.≤ox∈E== kf1 k∞ + kf2 k∞ .’ ¥ ® à ¥ ¬ 4.4.3.L∞ (E)ï¥âáï ¯®«­ë¬.‹¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.  áᬮâਬ äã­¤ ¬¥­â «ì­ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {fm }∞m=1 ⊂ L∞ (E). ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â­®¬¥à N (ε), â ª®©, çâ® ¤«ï ¢á¥å m, k ≥ N (ε) ¨¬¥¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮kfm − fk k∞ ≤ ε.238„«ï «î¡®£® m ∈ N áãé¥áâ¢ã¥â ¬­®¦¥á⢮ Em ⊂ E ¬¥àë ­ã«ì, â ª®¥, çâ® äã­ªæ¨ï fm ®£à ­¨ç¥­ ­ E\Em . ’®£¤ ¬­®¦¥á⢮ E0 =∞S=Em ¨¬¥¥â ¬¥àã ­ã«ì, ¨ ª ¦¤ ï äã­ªæ¨ï fm ®£à ­¨ç¥­ ­ m=1¬­®¦¥á⢥ E\E0 . à¨ í⮬ ¤«ï ¢á¥å m, k ≥ N (ε) ¯®«ãç ¥¬sup |fm (x) − fk (x)| = kfm − fk k∞ < ε.x∈E\E0â® ®§­ ç ¥â, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â äã­ªæ¨ï f : E\E0 → R, â ª ï, çâ®fm ⇒ f ­ E\E0 ¯à¨ m → ∞.

’®£¤ ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 4.2.2 äã­ªæ¨ï f ¨§¬¥à¨¬ ­ E\E0 , ¯à¨çñ¬ ¤«ï «î¡®£® x ∈ E\E0 á¯à ¢¥¤«¨¢®­¥à ¢¥­á⢮ |f (x)| ≤ |fN (1) (x)| + 1. ’ ª ª ª äã­ªæ¨ï fN (1) ®£à ­¨ç¥­ ­ ¬­®¦¥á⢥ E\E0 , â® f â ª¦¥ ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­®© ­ E\E0 .‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ f ∈ L∞ (E), ¨kfm − f k∞ =sup |fm (x) − f (x)| → 0x∈E\E0¯à¨m → ∞,çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.4.6. ãáâì 0 < µ(E) < +∞. ’®£¤ ¤«ï«î¡®£® f ∈ L∞ (E) ¨ «î¡®£® ç¨á« p ≥ 1 ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ f ∈∈ Lp (E) ¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¥¤¥« lim kf kp = kf k∞ .p→+∞„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

’ ª ª ª ¤«ï «î¡®£® ç¨á« p ≥ 1 äã­ªæ¨ï |f |p ®£à ­¨ç¥­ ¯®ç⨠¢áî¤ã ­ E , â® ¢ª«î祭¨¥ |f |p ∈ L(E) á«¥¤ã¥â ¨§ ã⢥ত¥­¨ï 4.3.7. …᫨ kf k∞ = 0, â® kf kp = 0 ¤«ï «î¡®£®p ≥ 1. ®í⮬㠤 «¥¥ áç¨â ¥¬, çâ® kf k∞ > 0. ’ ª ª ª |f (x)| ≤pkf k∞¤«ï ¯®ç⨠¢á¥å x ∈ E , â® ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮ kf kp ≤ kf k∞ µ(E).‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ¤«ï «î¡®£® ¯®«®¦¨â¥«ì­®£® ç¨á« R < kf k∞ áãé¥áâ¢ã¥â ¨§¬¥à¨¬®¥ ¬­®¦¥á⢮ ER ⊂ E ¯®«®¦¨â¥«ì­®© ¬¥àë, â ª®¥,çâ® |f (x)| ≥ R ¤«ï ¢á¥å x ∈ ER . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮vZpuukf kp ≥ tpp|f |p dµ ≥ R p µ(ER ).ER’ ª ª ª ¯à¨ p → +∞ ¨¬¥¥¬ ᮮ⭮襭¨ï→ 1, â® ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢠ppµ(E) → 1R ≤ lim kf kp ≤ lim kf kp ≤ kf k∞ .p→+∞p→+∞239¨ppµ(ER ) →’®£¤ ¯®á«¥ ¯à¥¤¥«ì­®£® ¯¥à¥å®¤ ¯à¨ R → kf k∞ − 0 ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢠lim kf kp = lim kf kp = kf k∞ .p→+∞p→+∞â® ®§­ ç ¥â, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â p→+∞lim kf kp = kf k∞ , çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.4.5.

Œ¥à ¨ ¨­â¥£à « ‹¥¡¥£ |‘⨫âì¥á ‚ í⮬ ¯ à £à ä¥ E | ª®«ìæ® ª«¥â®ç­ëå ¬­®¦¥á⢠¢ R, α: R → R| ­¥ã¡ë¢ îé ï äã­ªæ¨ï.Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 4.5.1. Œ¥à®© ‘⨫âì¥á ­ E, ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ä㭪樨 α, ­ §®¢ñ¬ äã­ªæ¨î µα : R → [0, +∞), â ªãî, çâ® ¤«ï«î¡ëå ç¨á¥« a ≤ b ¢ë¯®«­¥­ë à ¢¥­á⢠µα [a, b] = α(b+0)−α(a−0),µα [a, b) = α(b − 0) − α(a − 0),µα (a, b] = α(b + 0) − α(a + 0), ¯à¨ a < b ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ µα (a, b) = α(b − 0) − α(a + 0). „«ï«î¡®£® ª«¥â®ç­®£® ¬­®¦¥á⢠A ∈ E ¨ «î¡®£® ¥£® à §¡¨¥­¨ï ¯®¯ à­®­¥¯¥à¥á¥ª î騬¨áï ¯à®¬¥¦ã⪠¬¨ {Im }Nm=1 , â. ¥.A=N[Im ,Im ∩ Ik = ∅¯à¨ ¢á¥åm 6= k,m=1¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ µα (A) =NPm=1µα (Im ).‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 4.5.1. Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¬¥àë ‘â¨«âì¥á ª«¥â®ç­®£®¬­®¦¥á⢠­¥ § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à ¥£® à §¡¨¥­¨ï ¯®¯ à­® ­¥¯¥à¥á¥ª î騬¨áï ¯à®¬¥¦ã⪠¬¨.

„®ª § ⥫ìá⢮ ­ «®£¨ç­® ¤®ª § ⥫ìáâ¢ãã⢥ত¥­¨ï 4.1.4.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.5.1. Œ¥à ‘⨫âì¥á µα : E → [0, +∞) ï¥âáï ª®­¥ç­®- ¤¤¨â¨¢­®© ¨ ॣã«ïà­®©.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ãáâì ¬­®¦¥á⢠A, B ∈ E ¨ A ∩ B = ∅.ãáâìPA = {Im }Nm=1| à §¡¨¥­¨¥ ¬­®¦¥á⢠A,240PB = {Jk }Mk=1|à §¡¨¥­¨¥ ¬­®¦¥á⢠B . ’ ª ª ª A ∩ B = ∅, â® ¯®«ãç ¥¬ Im ∩ Jk == ∅ ¯à¨ ¢á¥å m ∈ 1, N ¨ k ∈ 1, M .

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, PA ∪ PB ï¥âáïà §¡¨¥­¨¥¬ ¬­®¦¥á⢠A ∪ B , ¯®í⮬ã á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮µα (A ∪ B) =NXm=1µα (Im ) +MXµα (Jk ) = µα (A) + µα (B).k=1’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ª®­¥ç­ ï ¤¤¨â¨¢­®áâì ¬¥àë µα ¤®ª § ­ .®ª ¦¥¬ ॣã«ïà­®áâì µα ¤«ï «î¡®£® ¯à®¬¥¦ã⪠. ãáâì ç¨á« a ≤ b. ‡ 䨪á¨à㥬 ¯à®¨§¢®«ì­®¥ ε > 0. ‘ãé¥áâ¢ã¥â δ = δ(ε) > 0,â ª®¥, çâ® ¯à¨ ¢á¥å t ∈ (b, b + δ) ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮α(t) − α(b + 0) ≤ ε, ¯à¨ ¢á¥å t ∈ (a − δ, a) ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮α(a − 0) − α(t) ≤ ε.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ®âªàëâë© ¯à®¬¥¦ã⮪á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮G = (a − δ, b + δ) ⊃ [a, b]¨µα (G) − µα [a, b] = α(b + δ − 0) − α(b + 0) + α(a − 0) − α(a − δ + 0) ≤ 2ε.’ ª ª ª ¯à®¬¥¦ã⮪ [a, b] § ¬ª­ãâ, â® ¯®« £ ¥¬ F = [a, b]. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ॣã«ïà­®áâì ¬¥àë µα ¤«ï ¯à®¬¥¦ã⪠[a, b] ¤®ª § ­ .…᫨ a = b, â® (a, b) = [a, b) = (a, b] = ∅.

Характеристики

Список файлов лекций