Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 44

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 44)

¥. x = y. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,¤®ª § ­ ¢§ ¨¬­ ï ®¤­®§­ ç­®áâì ®â®¡à ¦¥­¨ï F ¨§ X ­ Im F . „ «¥¥ ¤«ï «î¡®£® x ∈ X ¢ ᨫ㠯㭪â 4 á«¥¤á⢨ï 5.1.2 ¯®«ãç ¥¬kF xk =sup|(F x)(f )| =f ∈X ∗ :kf k=1supf ∈X ∗ :kf k=1çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.263|f (x)| = kxkX ,Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 5.1.2. Š®¬¯«¥ªá­®¥ «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (X, k · kX ) ­ §ë¢ ¥âáï à¥ä«¥ªá¨¢­ë¬, ¥á«¨ Im F == X ∗∗ , â. ¥. ¥á«¨ F ï¥âáï ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ¨§®¬®à䨧¬®¬ ¨§ X­ X ∗∗ .Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 5.1.3.

‹¨­¥©­ë¥ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠(X, k · kX ) ¨ (Y, k · kY ) ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì à ¢­ë¬¨, ¥á«¨ ®­¨ ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨ ¨§®¬®àä­ë, â. ¥. áãé¥áâ¢ã¥â «¨­¥©­®¥ ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ç­®¥®â®¡à ¦¥­¨¥ Φ ¨§ X ­ Y , â ª®¥, çâ® kxkX = kΦ(x)kY ¤«ï «î¡®£®x ∈ X . ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¡ã¤¥¬ ¯¨á âì X = Y .…᫨ ¯à®áâà ­á⢮ X à¥ä«¥ªá¨¢­®, â® ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮ Xª®â®à®¥ ॠ«¨§ã¥â ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨© ¨§®¬®à䨧¬ F .= X ∗∗ ,=5.2.

Œ «ë¥ «¥¡¥£®¢ë ¯à®áâà ­á⢠„«ï «î¡®£® ç¨á« ¯à®áâà ­á⢮(`p =p ≥ 1®¯à¥¤¥«¨¬ «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥¯)∞¯ X¯x: N → C ¯|x(k)|p < +∞ ,¯k=1­®à¬ ¢ ª®â®à®¬ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï à ¢¥­á⢮¬vu∞uXpkxkp = t|x(k)|p ,x ∈ `p .k=1 áᬮâਬ ­¥¯à¥à뢭ãî á«¥¢ äã­ªæ¨î ᪠窮¢ α: R → R ¢¨¤ (α(x) =P1,x > 1,0,x ≤ 1.k∈N: k<x’®£¤ ¢ª«î祭¨¥ x ∈ `p à ¢­®á¨«ì­® ⮬ã, çâ® äã­ªæ¨ï x ®¯à¥¤¥«¥­ µα -¯®ç⨠¢áî¤ã ­ R ¨ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¢ª«î祭¨î |x|p ∈ Lα (R).∞RPà¨ í⮬ ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ |x|p dµα =|x(k)|p .

‘«¥¤®¢ ⥫ìRk=1­®, ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮ `p = Lp (R, µα ). ®í⮬㠯® ⥮६¥ 4.4.1¯à®áâà ­á⢮ `p ï¥âáï ¯®«­ë¬.264Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¥éñ «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮½`∞ =¯¾¯x: N → C ¯¯ sup |x(k)| < +∞ ,k∈N­®à¬ ¢ ª®â®à®¬ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï à ¢¥­á⢮¬kxk∞ = sup |x(k)|,k∈Nx ∈ `∞ ,¨ ¤¢ ¥£® ¯®¤¯à®áâà ­á⢠½c =x ∈ `∞nc0=¯¾¯¯ ∃ lim x(k) = x(∞) ∈ C ,¯k→∞¯o¯x ∈ c ¯ x(∞) = 0 .Ÿá­®, çâ® ¢ª«î祭¨¥ x ∈ `∞ à ¢­®á¨«ì­® ⮬ã, çâ® äã­ªæ¨ï x ®¯à¥¤¥«¥­ µα -¯®ç⨠¢áî¤ã ­ R ¨ ï¥âáï µα -¯®ç⨠¢áî¤ã ®£à ­¨ç¥­­®© ­ R. à¨ í⮬, ®ç¥¢¨¤­®, ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ess sup |x(t)| = sup |x(k)|.t∈Rk∈N‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮ `∞ = L∞ (R, µα ). ®í⮬㠯®â¥®à¥¬¥ 4.4.3 ¯à®áâà ­á⢮ `∞ ï¥âáï ¯®«­ë¬. Žç¥¢¨¤­®, çâ® ¯®¤¯à®áâà ­á⢠c ¨ c0 ïîâáï § ¬ª­ãâ묨 ¢ ¯à®áâà ­á⢥ `∞ .

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, «¨­¥©­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠c ¨ c0 á ­®à¬®© k · k∞ â ª¦¥ï¢«ïîâáï ¯®«­ë¬¨.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.2.1. „«ï «î¡®£® ç¨á« p ≥ 1 ¢ ¯à®áâà ­á⢠å `p ¨ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ c0 áãé¥áâ¢ã¥â áçñâ­ë© ¡ §¨á {em }∞m=1 ,£¤¥½em (k) =1, m = k,0, m =6 k.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. „«ï «î¡®£® x ∈ `p ¯®«ãç ¥¬°°N°°X°°x(m)em ° =°x −°°m=1pvu Xu ∞pt|x(m)|p → 0m=N +1265¯à¨N → ∞, ¤«ï «î¡®£® y ∈ c0 ¯®«ãç ¥¬°°N°°X°°y(m)em °°y −°°m=1¯à¨= sup |y(m)| → 0m>N∞N → ∞.…᫨ ¦¥ ¤«ï x ∈ `p áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {γm }∞m=1 ⊂ C∞P¢¨¤ x =γm em , â® ¤«ï «î¡®£® m ∈ N ¨ ­®¬¥à N > m ¯®«ãç ¥¬m=1°°N°°X°°|x(m) − γm | ≤ °x −γm em ° → 0°°m=1¯à¨N → ∞,pâ. ¥. x(m) = γm ¤«ï «î¡®£® m ∈ N.

€­ «®£¨ç­®, ¥á«¨ ¤«ï y ∈ c0∞Páãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {γm }∞γm em ,m=1 ⊂ C ¢¨¤ y =m=1â® ¤«ï «î¡®£® m ∈ N ¨ ­®¬¥à N > m ¯®«ãç ¥¬°°N°°X°°|y(m) − γm | ≤ °y −γm em °°°m=1¯à¨→0N → ∞,∞â. ¥. y(m) = γm ¤«ï «î¡®£® m ∈ N.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.2.2. ‚ ¯à®áâà ­á⢥ c áãé¥áâ¢ã¥â áçñâ­ë©¡ §¨á {em }∞m=0 , £¤¥ í«¥¬¥­â e0 ∈ c ¨¬¥¥â ¢¨¤ e0 (k) = 1 ¯à¨ ¢á¥å k ∈ N.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. „«ï «î¡®£® z ∈ c ¢ë¯®«­¥­®¢ª«î祭¨¥³´z − z(∞)e0 ∈ c0 . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, z − z(∞)e0 =∞Pm=1z(m) − z(∞) em .’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî饥 à §«®¦¥­¨¥:z = z(∞)e0 +∞ ³X´z(m) − z(∞) em .m=1…᫨ ¦¥ ¤«ï z ∈ c áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì∞P¢¨¤ z =γm em , â® ¤«ï «î¡®£® N ∈ N ¯®«ãç ¥¬{γm }∞m=0 ⊂ Cm=0°°N°°X°°|z(N + 1) − γ0 | ≤ °z −γm em °°°m=0∞266→0¯à¨N → ∞.’ ª ª ª z(N + 1) → z(∞) ¯à¨ N → ∞, â® ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮ γ0 == z(∞). ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® m ∈ N ¨ N > m ¯®«ãç ¥¬°°N°°X°°|z(m) − z(∞) − γm | ≤ °z −γ m em °°°m=0→0¯à¨N → ∞,∞â.

¥. γm = z(m) − z(∞), çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.2.3. ‘¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ `∗1 = `∞ .„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ’ॡã¥âáï ®¯à¥¤¥«¨âì ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨©¨§®¬®à䨧¬ Φ ¨§ `∗1 ­ `∞ . „«ï «î¡®£® f ∈ `∗1 ¨ x ∈ `1 á¯à ¢¥¤∞P«¨¢® à ¢¥­á⢮ f (x) =x(m)f (em ). Ž¯à¥¤¥«¨¬ z(m) = f (em ) ¤«ïm=1«î¡®£® m ∈ N. ’®£¤ |z(m)| ≤ kf k kem k1 = kf k. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ kzk∞ ≤ kf k, â.

¥. z ∈ `∞ . ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë,á¯à ¢¥¤«¨¢ë ­¥à ¢¥­á⢠|f (x)| ≤∞X|x(m)| |z(m)| ≤ kzk∞ kxk1 .m=1‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ kf k ≤ kzk∞ , â. ¥. ¤®ª § ­®à ¢¥­á⢮ kf k = kzk∞ . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¯à¥¤¥«¥­® «¨­¥©­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ Φ: `∗1 → `∞ ¢¨¤ (Φf )(m) = f (em ) ¤«ï «î¡®£® m ∈ N, ¯à¨çñ¬á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ kf k = kΦf k∞ . …᫨ ¤«ï ¤¢ãå ä㭪樮­ «®¢f, g ∈ `∗1 ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ Φf = Φg , â® ¤«ï «î¡®£® x ∈ `1 ¯®∞∞PP«ãç ¥¬ f (x) =x(m)f (em ) =x(m)g(em ) = g(x), â.

¥. f = g .m=1m=1Žáâ «®áì ¯®ª § âì, çâ® Im Φ = `∞ . „«ï «î¡®£® z ∈ `∞ ®¯à¥¤¥«¨¬∞P«¨­¥©­ë© ä㭪樮­ « f (x) =x(m)z(m), x ∈ `1 . ’®£¤ ¢ë¯®«­¥m=1­® ­¥à ¢¥­á⢮ kf k ≤ kzk∞ , â. ¥. á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥ f ∈ `∗1 , ¨f (em ) = z(m) ¯à¨ ª ¦¤®¬ m ∈ N. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤®ª § ­® à ¢¥­á⢮ Φf = z , çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.2.4. à¨¢¥­á⢮ `∗p = `q , £¤¥1p+1q= 1.1 < p < +∞á¯à ¢¥¤«¨¢® à -„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

’ॡã¥âáï ®¯à¥¤¥«¨âì ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨©¨§®¬®à䨧¬ Φ ¨§¢® à ¢¥­á⢮ f (x)`∗p=­ ∞P`q .m=1„«ï «î¡®£® f ∈ `∗p ¨ x ∈ `p á¯à ¢¥¤«¨x(m)f (em ). „«ï «î¡®£® m ∈ N ®¯à¥¤¥«¨¬267z(m) = f (em )¨ ç¨á«®(z(m)|z(m)| ,sm =„«ï «î¡®£® Nz(m) 6= 0,z(m) = 0.0,à áᬮâਬ ¢¥ªâ®à xN∈N½∈ `p¢¨¤ q|z(m)| p sm , m ∈ 1, N ,0, m > N.xN (m) =’®£¤ ¤«ï «î¡®£® m ∈ N ¯®«ãç ¥¬½xN (m)z(m) =‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯à¨ ª ¦¤®¬ N|f (xN )| =NX|z(m)|q , m ∈ 1, N ,0, m > N.¨¬¥¥¬∈NÃq|z(m)| ≤ kf k kxN kp = kf km=1NX! p1|z(m)|q,m=1â.

¥. á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮Ã! q1NX|z(m)|q≤ kf k.m=1’®£¤ ¯à¨ N → ∞ ¯®«ãç ¥¬ kzkq ≤ kf k, â. ¥. z ∈ `q . ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ¢ ᨫ㠭¥à ¢¥­á⢠ƒñ«ì¤¥à ¤«ï «î¡®£® x ∈ `p á¯à ¢¥¤«¨¢ë­¥à ¢¥­á⢠|f (x)| ≤∞X|x(m)| |z(m)| ≤ kzkq kxkp .m=1‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ kf k ≤ kzkq , â.

¥. ¤®ª § ­®à ¢¥­á⢮ kf k = kzkq . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¯à¥¤¥«¥­® «¨­¥©­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ Φ: `∗p → `q ¢¨¤ (Φf )(m) = f (em ) ¤«ï «î¡®£® m ∈ N, ¯à¨çñ¬á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ kf k = kΦf kq . …᫨ ¤«ï ¤¢ãå ä㭪樮­ «®¢f, g ∈ `∗p ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ Φf = Φg , â® ¤«ï «î¡®£® x ∈ `p ¯®∞∞PP«ãç ¥¬ f (x) =x(m)f (em ) =x(m)g(em ) = g(x), â. ¥. f = g .m=1m=1268Žáâ «®áì ¯®ª § âì, çâ® Im Φ = `q . „«ï «î¡®£® z ∈ `q ®¯à¥¤¥«¨¬∞P«¨­¥©­ë© ä㭪樮­ « f (x) =x(m)z(m), x ∈ `p . ’®£¤ ¢ ᨫãm=1­¥à ¢¥­á⢠ƒñ«ì¤¥à ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ kf k ≤ kzkq , â. ¥.

á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥ f ∈ `∗p , ¨ f (em ) = z(m) ¯à¨ ª ¦¤®¬ m ∈ N.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤®ª § ­® à ¢¥­á⢮ Φf = z , çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.2.5. ‘¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ c∗0 = `1 .„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ’ॡã¥âáï ®¯à¥¤¥«¨âì ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨©¨§®¬®à䨧¬ Φ ¨§ c∗0 ­ `1 .

„«ï «î¡®£® f ∈ c∗0 ¨∞P¢® à ¢¥­á⢮ f (x) =x(m)f (em ). „«ï «î¡®£®m=1z(m) = f (em ) ¨ ç¨á«®(z(m)|z(m)| ,sm =„«ï «î¡®£® N∈N0,xN (m) =m∈z(m) 6= 0,z(m) = 0.à áᬮâਬ ¢¥ªâ®à xN½á¯à ¢¥¤«¨N ®¯à¥¤¥«¨¬x ∈ c0∈ c0¢¨¤ sm , m ∈ 1, N ,0, m > N.’®£¤ ¤«ï «î¡®£® m ∈ N ¯®«ãç ¥¬½xN (m)z(m) =‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯à¨ ª ¦¤®¬ N|f (xN )| =NX|z(m)|,0,∈Nm ∈ 1, N ,m > N.¨¬¥¥¬|z(m)| ≤ kf k kxN k∞ ≤ kf k.m=1’®£¤ ¯à¨ N → ∞ ¯®«ãç ¥¬ kzk1 ≤ kf k, â. ¥. z ∈áâ®à®­ë, ¤«ï «î¡®£® x ∈ c0 á¯à ¢¥¤«¨¢ë ­¥à ¢¥­á⢠|f (x)| ≤∞X`1 .‘ ¤à㣮©|x(m)| |z(m)| ≤ kzk1 kxk∞ .m=1‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ kf k ≤ kzk1 , â. ¥. ¤®ª § ­®à ¢¥­á⢮ kf k = kzk1 .

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¯à¥¤¥«¥­® «¨­¥©­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ Φ: c∗0 → `1 ¢¨¤ (Φf )(m) = f (em ) ¤«ï «î¡®£® m ∈ N, ¯à¨çñ¬269á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ kf k = kΦf k1 . …᫨ ¤«ï ¤¢ãå ä㭪樮­ «®¢¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ Φf = Φg, â® ¤«ï «î¡®£® x ∈ c0 ¯®∞∞PP«ãç ¥¬ f (x) =x(m)f (em ) =x(m)g(em ) = g(x), â. ¥. f = g .m=1m=1Žáâ «®áì ¯®ª § âì, çâ® Im Φ = `1 . „«ï «î¡®£® z ∈ `1 ®¯à¥¤¥«¨¬∞Px(m)z(m), x ∈ c0 .

’®£¤ ¢ë¯®««¨­¥©­ë© ä㭪樮­ « f (x) =m=1­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ kf k ≤ kzk1 , â. ¥. á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥ f ∈ c∗0 , ¨f (em ) = z(m) ¯à¨ ª ¦¤®¬ m ∈ N. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤®ª § ­® à ¢¥­á⢮ Φf = z , çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.f, g ∈ `∗1“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.2.6. ‘¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ c∗ = `1 .„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ’ॡã¥âáï ®¯à¥¤¥«¨âì ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨©¨§®¬®à䨧¬ Φ ¨§ c∗ ­ `1 . „«ï «î¡®£®³f ∈ c∗ ¨ x ∈´ c á¯à ¢¥¤∞P«¨¢® à ¢¥­á⢮ f (x) = x(∞)f (e0 ) +x(m) − x(∞) f (em ).

„«ïm=1«î¡®£® m ∈ N ®¯à¥¤¥«¨¬ ç¨á«®(sm =„«ï «î¡®£® N∈Nf (em )|f (em )| ,f (em ) 6= 0,0, f (em ) = 0.à áᬮâਬ ¢¥ªâ®à xN½xN (m) =∈c¢¨¤ sm , m ∈ 1, N ,0, m > N.’®£¤ ¤«ï «î¡®£® m ∈ N ¯®«ãç ¥¬½xN (m)f (em ) =|f (em )|, m ∈ 1, N ,0, m > N, xN (∞) = 0. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯à¨ ª ¦¤®¬ N|f (xN )| =NX∈N¨¬¥¥¬|f (em )| ≤ kf k kxN k∞ ≤ kf k.m=1∞P’®£¤ ¯à¨ N → ∞ ¯®«ãç ¥¬|f (em )| ≤ kf k.

Характеристики

Список файлов лекций