Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 47

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 47)

¥. á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥V (xk , fk , δk ) ⊂ U0 .k=1â® ®§­ ç ¥â, çâ® ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ¢¨¤ |fk (x)| < δ ¯à¨ ¢á¥å§­ 祭¨ïå k ∈ 1, N á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ |f (x)| < ε. ‚ ç áâ­®áâ¨,282¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à NT¨ «î¡®£® ç¨á« t > 0 ¯®«ãç ¥¬|fk (tx)| = |tfk (x)| = 0 < δ . Žâáî¤ |f (tx)| < ε, â. ¥. |f (x)| < εt → 0 ¯à¨t → +∞. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, f (x) = 0, â. ¥.

x ∈ Ker f . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥x ∈Ker fkk=1N\Ker fk ⊂ Ker f.k=1 áᬮâਬ «¨­¥©­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ Φ: X → CN ¢¨¤ ³´Φ(x) = f1 (x), . . . , fN (x)∀ x ∈ X.³´Ž¯à¥¤¥«¨¬ ®â®¡à ¦¥­¨¥ H: Im Φ → C ¢¨¤ H Φ(x) = f (x) ¤«ï«î¡®£® x ∈ X . Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ ®â®¡à ¦¥­¨ï H ª®à४⭮, â ª ª ª ¥á«¨¢¥ªâ®àë x ∈ X ¨ y ∈ X ¯®à®¦¤ îâ ®¤­ã ¨ âã ¦¥ â®çªã ¢ «¨­¥©­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ Im Φ , â. ¥. ¨¬¥¥â ¬¥áâ® à ¢¥­á⢮ Φ(x) = Φ(y), â®NTx−y ∈Ker fk ⊂ Ker f . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮,³´³k=1 ´f (x) = f (y), â. ¥.

H Φ(x) = H Φ(y) . Žç¥¢¨¤­®, çâ® ®â®¡à ¦¥­¨¥H «¨­¥©­®, â ª ª ª ¤«ï «î¡ëå ¢¥ªâ®à®¢ x, y ∈ X ¨ ᪠«ï஢ α, β ∈ Cá¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥¨¬¥¥¬ à ¢¥­á⢠³´³´H αΦ(x) + βΦ(y) = H Φ(αx + βy) =³´³´= f (αx + βy) = αf (x) + βf (y) = αH Φ(x) + βH Φ(y) .‚ ᨫ㠫¨­¥©­®á⨠®â®¡à ¦¥­¨ï H , ®¯à¥¤¥«ñ­­®¬ ­ ª®­¥ç­®¬¥à­®¬«¨­¥©­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ Im Φ , áãé¥áâ¢ãîâ ᪠«ïàë {αk }Nk=1 ⊂ C, â ª¨¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® x ∈ X á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮N³´ XH Φ(x) =αk fk (x) = f (x),k=1NPâ.

¥. f =αk fk . ’ ª ª ª fk ∈ X ∗ ¤«ï «î¡®£® k ∈ 1, N , â® ®ª®­ç k=1⥫쭮 ¯®«ãç ¥¬ f ∈ X ∗ , çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.283‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 5.4.3. ‚ᥣ¤ á« ¡ ï ⮯®«®£¨ï τw ¢ X ᮤ¥à¦¨âáï ¢ ­®à¬¨à®¢ ­­®© ⮯®«®£¨¨ τn , â. ¥. á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥τw ⊂ τn , ª®â®à®¥ á«¥¤ã¥â ¨§ ¢ª«î祭¨ï σw ⊂ τn . ®ª ¦¥¬ íâ® ¯®á«¥¤­¥¥ ¢ª«î祭¨¥. „«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x0 ∈ X , ä㭪樮­ « f ∈∈ X ∗ ¨ ç¨á« ε > 0 à áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ë© ¢¥ªâ®à z ∈ V (x0 , f, ε).Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¯®«®¦¨â¥«ì­®¥ ç¨á«® r = ε − |f (z) − f (x0 )|. ’®£¤ ¤«ïr«î¡®£® ¢¥ªâ®à x ¢¨¤ kx − zk < kf k+1¯®«ãç ¥¬|f (x) − f (x0 )| ≤ |f (x) − f (z)| + |f (z) − f (x0 )| ≤≤ kf k kx − zk + |f (z) − f (x0 )| < r + |f (z) − f (x0 )| = ε.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, x ∈ V (x0 , f, ε).

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, «î¡ ï â®çª ¬­®¦¥á⢠V (x0 , f, ε) ¢å®¤¨â ¢ ­¥£® ¢¬¥áâ¥ á ­¥ª®â®àë¬ τn -®âªàëâë¬è ஬, â. ¥. á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥ V (x0 , f, ε) ∈ τn . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮,σw ⊂ τn , çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.Žâáî¤ , ¢ ç áâ­®áâ¨, «¥£ª® á«¥¤ã¥â, çâ® ¢á直© á« ¡® ­¥¯à¥àë¢­ë© «¨­¥©­ë© ä㭪樮­ « f : X → C ï¥âáï ­¥¯à¥àë¢­ë¬ ®â­®á¨â¥«ì­® ­®à¬¨à®¢ ­­®© ⮯®«®£¨¨ ¢ X , â.

¥. f ∈ X ∗ . „¥©á⢨⥫쭮, ¥á«¨ ä㭪樮­ « f á« ¡® ­¥¯à¥à뢥­, â®, ¯® ã⢥ত¥­¨î 1.1.6,¤«ï «î¡®£® ®âªàë⮣® ¢ C ¬­®¦¥á⢠G ¥£® ¯à®®¡à § f −1 (G) = { x ∈∈ X | f (x) ∈ G} ï¥âáï á« ¡® ®âªàëâë¬ ¬­®¦¥á⢮¬ ¢ X . ®í⮬㮭 ¯à¨­ ¤«¥¦¨â ¨ ­®à¬¨à®¢ ­­®© ⮯®«®£¨¨ ¯à®áâà ­á⢠X . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫã ⮣® ¦¥ ã⢥ত¥­¨ï 1.1.6, ¯®«ãç ¥¬ ¢ª«î祭¨¥f ∈ X ∗.ãáâì «¨­¥©­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ X ¡¥áª®­¥ç­®¬¥à­®.

’®£¤ á« ¡ ï⮯®«®£¨ï τw ¢ X áâண® á« ¡¥¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®© ⮯®«®£¨¨ τn , â. ¥.τwτn . “¢¨¤¨¬, çâ® τn -®âªàëâë© è à O1X (0) 6∈ τw . „«ï í⮣® ¤®ª ¦¥¬, çâ® «î¡ ï á« ¡ ï ®ªà¥áâ­®áâì ­ã«ï U0 ­¥ ᮤ¥à¦¨âáï ¢ è ॠO1X (0). „¥©á⢨⥫쭮, ª ª ¯®ª § ­® ¢ § ¬¥ç ­¨¨ 5.4.2, ¤«ï «î¡®© á« ¡®© ®ªà¥áâ­®á⨠­ã«ï U0 áãé¥áâ¢ãîâ ­®¬¥à N , ä㭪樮­ «ëNT∗{fk }NV (0, fk , δ) ⊂ U0 . ’ ª ª ªk=1 ⊂ X ¨ ç¨á«® δ > 0, â ª¨¥, çâ®NTk=1Ker fk ⊂NTk=1k=1V (0, fk , δ),â® ¯®«ãç ¥¬ ¢ª«î祭¨¥®ª ¦¥¬, çâ® ¯®¤¯à®áâà ­á⢮NTk=1NTk=1Ker fk ⊂ U0 .Ker fk ­¥âਢ¨ «ì­®. „«ï ¤®ª § -⥫ìá⢠í⮣® ä ªâ 㢨¤¨¬, çâ® áãé¥áâ¢ãîâ ¢¥ªâ®àë {zk }Nk=1 ⊂ X ,284â ª¨¥, çâ® á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮N\Ker fk ⊕ Lin{z1 , . .

. , zN } = X.k=1®ª ¦¥¬ íâ® à ¢¥­á⢮ ¨­¤ãªæ¨¥© ¯® N . „¥©á⢨⥫쭮, áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à z1 ∈ X , â ª®©, çâ® Ker f1 ⊕ Lin{z1 } = X . …᫨ f1 = 0,â® ¯®¤®©¤ñâ z1 = 0. …᫨ ¦¥ f1 6= 0, â® áãé¥áâ¢ã¥â z1 ∈ X , â ª®©,çâ® f (z1 ) 6= 0. ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® x ∈ X ¯®«ãç ¥¬ x = y + ff (z(x)) z1 ,£¤¥ ¢¥ªâ®à y = x − ff (z(x)) z1 ∈ Ker f1 . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ X = Ker f1 + Lin{z1 }. …᫨ ¦¥ ¢¥ªâ®à x ∈ Ker f1 ∩∩ Lin{z1 }, â® x = tz1 ¨ 0 = f (x) = tf (z1 ), â. ¥.

t = 0 ¨ x = 0.®í⮬ã Ker f1 ∩ Lin{z1 } = {0}, â. ¥. á㬬 ¯®¤¯à®áâà ­á⢠Ker f1 ¨Lin{z1 } ¯àï¬ ï. ’¥¯¥àì, à áá㦤 ï ¯® ¨­¤ãªæ¨¨, ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ®11111NT−1k=11Ker fk ⊕ Lin{z1 , . . . , zN −1 } = X . áᬮâਬ á㦥­¨¥ ä㭪樮NT−1­ « fN ­ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ LN =Ker fk . Š ª ¯®ª § ­® ¢ëè¥k=1¢ ¯¥à¢®¬ è £¥ ¨­¤ãªæ¨¨, áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à zN ∈ LN , â ª®©, çâ®á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮³´LN ∩ Ker fN ⊕ Lin{zN } = LN .’®£¤ ¯®«ãç ¥¬X = LN ⊕ Lin{z1 , . .

. , zN −1 } =³´= LN ∩ Ker fN ⊕ Lin{zN } ⊕ Lin{z1 , . . . , zN −1 } ==N\Ker fk ⊕ Lin{z1 , . . . , zN },k=1çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì. ’ ª ª ª ¯® ãá«®¢¨î dim X = +∞, dim Lin{z1 , . . . , zN } ≤ N,â® ¯®«ãç ¥¬, çâ®dimNTk=1¬¥à­®¥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮Ker fk = +∞.NTKer fkk=1285‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¡¥áª®­¥ç­®-§ ¢¥¤®¬® ï¥âáï ­¥âਢ¨ «ì-­ë¬. ® ⮣¤ ¤«ï «î¡®£® ­¥âਢ¨ «ì­®£® ¢¥ªâ®à x ∈⊂ U0¯®«ãç ¥¬, çâ® ¢¥ªâ®à z =2xkxkNT∈Ker fkk=1NTKer fk ⊂k=1㤮¢«¥â¢®àï¥â á®®â-­®è¥­¨ï¬: kzk = 2 > 1, â. ¥.

z 6∈ O1X (0), ­® z ∈ U0 . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,¬ë ¤®ª § «¨, çâ® U0 6⊂ O1X (0), â. ¥. O1X (0) 6∈ τw .Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 5.4.2. ®à¬¨à®¢ ­­ãî ⮯®«®£¨î τn ¢ X ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì ᨫ쭮© ⮯®«®£¨¥©.‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 5.4.4. ãáâì ¯à®áâà ­á⢮ X ª®­¥ç­®¬¥à­®, ¥£®à §¬¥à­®áâì dim X = n. ’®£¤ á« ¡ ï ⮯®«®£¨ï ¢ X ᮢ¯ ¤ ¥â á ¥£®á¨«ì­®© ­®à¬¨à®¢ ­­®© ⮯®«®£¨¥©. „®áâ â®ç­® ¤®ª § âì, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â á« ¡ ï ®ªà¥áâ­®áâì ­ã«ï U0 , ª®â®à ï ᮤ¥à¦¨âáï ¢ O1X (0).à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® áãé¥á⢮¢ ­¨¥ ®ªà¥áâ­®á⨠U0 ãáâ ­®¢«¥­®.

„«ï«î¡®£® ᨫ쭮 ®âªàë⮣® ¬­®¦¥á⢠G ⊂ X ¨ «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ GXáãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® r(x) > 0, â ª®¥, çâ® Or(x)(x) ⊂ G. ’®£¤ ¬­®¦¥á⢮V (x) = x + r(x)U0 ï¥âáï á« ¡®© ®ªà¥áâ­®áâìî â®çª¨ x, ¯à¨çñ¬X(x) ⊂ G. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¯à ¢¥¤«¨¢ëV (x) ⊂ x + r(x)O1X (0) = Or(x)¢ª«î祭¨ï[[G={x} ⊂x∈GV (x) ⊂ G.x∈GSV (x), â. ¥. ¬­®¦¥á⒠ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ G =x∈G¢® G ï¥âáï á« ¡® ®âªàëâë¬ ª ª ®¡ê¥¤¨­¥­¨¥ á« ¡® ®âªàëâë嬭®¦¥áâ¢. ’ ª ª ª ¢ ᨫ㠧 ¬¥ç ­¨ï 5.4.3 «î¡®¥ á« ¡® ®âªàë⮥¢ X ¬­®¦¥á⢮ ï¥âáï ᨫ쭮 ®âªàëâë¬, â® ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮ᨫ쭮© ­®à¬¨à®¢ ­­®© ¨ á« ¡®© ⮯®«®£¨© ¢ ª®­¥ç­®¬¥à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ X .Žáâ «®áì ¤®ª § âì áãé¥á⢮¢ ­¨¥ á« ¡®© ®ªà¥áâ­®á⨠­ã«ï U0 ⊂⊂ O1X (0).

ãáâì {ek }nk=1 | ­¥ª®â®àë© ¡ §¨á ¢ ¯à®áâà ­á⢥ X . ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X áãé¥áâ¢ãîâ ¥¤¨­á⢥­­ë¥ ᪠«ïàënPαk (x), â ª¨¥, çâ® x =αk (x)ek . Ÿá­®, çâ® ®â®¡à ¦¥­¨¥ αk : X → Ck=1nPï¥âáï «¨­¥©­ë¬, äã­ªæ¨ï kxke =|αk (x)| ¥áâì ­®à¬ ¢ X .k=1® ⥮६¥ 3.1.1 ­®à¬ë k · ke ¨ k · kX íª¢¨¢ «¥­â­ë. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, áãé¥áâ¢ãîâ ç¨á« C1 > 0 ¨ C2 > 0, â ª¨¥, çâ® ¤«ï ¢á¥å x ∈ Xá¯à ¢¥¤«¨¢ë ­¥à ¢¥­á⢠C1 kxkX ≤ kxke ≤ C2 kxkX .286’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ­®¬¥à k ∈ 1, n ¨ ¢¥ªâ®à x ∈ X ¨¬¥¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮ |αk (x)| ≤ kxke ≤ C2 kxkX .

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, kαk k ≤ C2 , â. ¥.á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥ αk ∈ X ∗ .  áᬮâਬ á« ¡ãî ®ªà¥áâ­®áâì­ã«ï ¢¨¤ µ¶U0 =n\V0, αk ,k=1C1n.’®£¤ ¢ª«î祭¨¥ x ∈ U0 à ¢­®á¨«ì­® ¢ë¯®«­¥­¨î ­¥à ¢¥­áâ¢|αk (x)| <C1n¤«ï ¢á¥åk ∈ 1, n.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¥á«¨ x ∈ U0 , â® kxke < C1 ¨ ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ kxkX ≤ kxk< 1, â. ¥. x ∈ O1X (0). ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, á¯à ¢¥¤«¨¢®C¢ª«î祭¨¥ U0 ⊂ O1X (0), çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.e1“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.4.1. ®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¢¥ªâ®à®¢{xn }∞n=1 ⊂ Xτï¥âáï á« ¡® á室ï饩áï ª ¢¥ªâ®àã y ∈ X , â. ¥. xn →y ¯à¨ n →→ ∞, ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¤«ï «î¡®£® ä㭪樮­ « f ∈ X ∗¢ë¯®«­¥­® ᮮ⭮襭¨¥ f (xn ) → f (y) ¯à¨ n → ∞.w„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ãáâì xn¯à¨ n → ∞.

® § ¬¥ç ­¨î 5.4.2 «î¡®© ä㭪樮­ « f ∈ X ï¥âáï á« ¡® ­¥¯à¥à뢭ë¬.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 1.1.7 ä㭪樮­ « f ï¥âáïᥪ¢¥­æ¨ «ì­® ­¥¯à¥à뢭ë¬, â. ¥. ¯®«ãç ¥¬ ᮮ⭮襭¨¥ f (xn ) →→ f (y) ¯à¨ n → ∞.ãáâì ⥯¥àì ¤«ï «î¡®£® ä㭪樮­ « f ∈ X ∗ ¢ë¯®«­¥­® ᮮ⭮襭¨¥ f (xn ) → f (y) ¯à¨ n → ∞.  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ãîá« ¡ãî ®ªà¥áâ­®áâì U (y) ¢¥ªâ®à y. ® ®¯à¥¤¥«¥­¨î á« ¡®© ⮯®«®£¨¨ áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à M , ¢¥ªâ®àë {zm }Mm=1 ⊂ X , ä㭪樮­ «ë∗M⊂X¨¯®«®¦¨â¥«ì­ë¥ç¨á« {ε{fm }Mm }m=1 , â ª¨¥, çâ® á¯à m=1¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥τw→y∗y∈M\V (zm , fm , εm ) ⊂ U (y).m=1287„«ï «î¡®£®¨¬¥¥¬ n→∞lim fm (xn )|fm (y) − fm (zm )| < εm . Ž¯à¥¤¥«¨¬ ç¨á«®m ∈ 1, M³ε = minm∈1,M= fm (y)¨ ­¥à ¢¥­á⢮´εm − |fm (y) − fm (zm )| > 0.‘ãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à N , â ª®©, çâ® ¤«ï ¢á¥å n > N ¨ ¢á¥å m ∈ 1, M¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ |fm (xn )−fm (y)| < ε.

’®£¤ ¤«ï «î¡®£® n > N¯®«ãç ¥¬|fm (xn ) − fm (zm )| ≤ |fm (xn ) − fm (y)| + |fm (y) − fm (zm )| << ε + |fm (y) − fm (zm )| ≤ εm ∀ m ∈ 1, M .‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï ¢á¥å n > N ¯®«ãç ¥¬ ¢ª«î祭¨¥xn ∈M\V (zm , fm , εm ) ⊂ U (y),m=1τâ. ¥. xn →y ¯à¨ n → ∞, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.w“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.4.2. à¥¤¥« á« ¡® á室ï饩áï ¢ ¯à®áâà ­á⢥ X ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¥¤¨­á⢥­¥­.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ãáâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 ⊂ Xï¥âáï á« ¡® á室ï饩áï ª ¢¥ªâ®à ¬ y ¨ z .

’®£¤ ¯® ã⢥ত¥­¨î 5.4.1 ¤«ï «î¡®£® ä㭪樮­ « f ∈ X ∗ ¨¬¥¥¬ à ¢¥­á⢠f (y) == lim f (xn ) = f (z). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, f (y −z) = 0 ¤«ï «î¡®£® f ∈ X ∗ .n→∞’®£¤ ¯® ¯ã­ªâã 3 á«¥¤á⢨ï 5.1.2 â¥®à¥¬ë • ­ | ­ å ¯®«ãç ¥¬y − z = 0, â. ¥. y = z , çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì. à ¨ ¬ ¥ à 5.4.1. à¨¢¥¤ñ¬ ¯à¨¬¥à á« ¡® á室ï饩áï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨, ­¥ á室ï饩áï ᨫ쭮. ‚ £¨«ì¡¥à⮢®¬ ¯à®áâà ­á⢥(`2 , k·k2 ) à áᬮâਬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¡ §¨á­ëå ¢¥ªâ®à®¢ {en }∞n=1 ,£¤¥½en (k) =1, k = n,0, k =6 n.√’ ª ª ª ¤«ï «î¡ëå m 6= n ¨¬¥¥¬ kem − en k2 = 2, â® ¤ ­­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ­¥ ï¥âáï k·k2 -äã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¨, §­ ç¨â, ­¥ ï¥âáï ᨫ쭮 á室ï饩áï ¢ ¯à®áâà ­á⢥ `2 . ® ⥮६¥ 5.3.1 ¨áá |”à¥è¥, ¤«ï «î¡®£® ä㭪樮­ « f ∈ (`2 )∗ áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ë©288∞P¢¥ªâ®à z ∈ `2 , â ª®©, çâ® f (x) = (x, z) =x(k)z(k) ¤«ï «î¡®£® x ∈k=1∈ `2 . ’®£¤ ¯®«ãç ¥¬f (en ) = (en , z) = z(n) → 0 = f (0)¯à¨n → ∞.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, en → 0 ¯à¨ n → ∞.τw“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.4.3.

ãáâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì{xn }∞n=1 ⊂ Xá« ¡® á室¨âáï ª ¢¥ªâ®àã x ∈ X . ’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮sup kxn k < +∞,n∈Nâ. ¥. ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­®© ¯® ­®à¬¥¯à®áâà ­á⢠X (ᨫ쭮 ®£à ­¨ç¥­ ), ¨ á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮kxk ≤ lim kxn k.n→∞„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.  áᬮâਬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì «¨­¥©∗∗¢¨¤ ­ëå ä㭪樮­ «®¢ {Φn }∞n=1 ⊂ XΦn (f ) = f (xn ) ∀ f ∈ X ∗ ,∀ n ∈ N.‚ ᨫ㠯㭪â 4 á«¥¤á⢨ï 5.1.2 â¥®à¥¬ë • ­ | ­ å ¨¬¥¥¬kΦn k =supf ∈X ∗ : kf k=1® ãá«®¢¨î ¤«ï «î¡®£® f∈ X∗|f (xn )| = kxn k.áãé¥áâ¢ã¥âlim Φn (f ) = lim f (xn ) = f (x).n→∞n→∞® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 3.4.6 ᮯàï¦ñ­­®£® ¯à®áâà ­á⢠¨¬¥¥¬ à ¢¥­á⢮X ∗∗ = L(X ∗ , C), ¯à®áâà ­á⢮ X ∗ = L(X, C) ï¥âáï ¯®«­ë¬¯® ⥮६¥ 3.4.1 ¢ ᨫ㠯®«­®âë ª®¬¯«¥ªá­®© ¯«®áª®á⨠C.

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì «¨­¥©­ëå ­¥¯à¥à뢭ëå ®¯¥à â®à®¢Φn : X ∗ → C ï¥âáï ¯®â®ç¥ç­® á室ï饩áï ¨, §­ ç¨â, ¯®â®ç¥ç­®®£à ­¨ç¥­­®© ¢ L(X ∗ , C). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯® ⥮६¥ 3.4.2  ­ å |˜â¥©­£ 㧠®­ ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­®© ¯® ­®à¬¥ ¯à®áâà ­á⢠X ∗∗ ,â. ¥. sup kΦn k = sup kxn k < +∞, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.n∈Nn∈N289„«ï «î¡®£® ä㭪樮­ « f ∈ X ∗ ¨ ­®¬¥à n á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ |f (xn )| ≤ kf k kxn k, ¯¥à¥å®¤ï ¢ ª®â®à®¬ ª ­¨¦­¥¬ã ¯à¥¤¥«ã¯® n → ∞ ¯®«ãç ¥¬|f (x)| = lim |f (xn )| = lim |f (xn )| ≤ kf k lim kxn k.n→∞n→∞n→∞‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫ㠯㭪â 4 á«¥¤á⢨ï 5.1.2 â¥®à¥¬ë • ­ | ­ å ¯®«ãç ¥¬kxk =sup|f (x)| ≤f ∈X ∗ : kf k=1supf ∈X ∗ : kf k=1µ¶kf k lim kxn k = lim kxn k.n→∞n→∞‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 5.4.5.

Характеристики

Список файлов лекций