Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 49

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 49)

’®£¤ ®­® ï¥âáï á« ¡® ¯®«­ë¬.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ’ ª ª ª ¯à®áâà ­á⢮ X à¥ä«¥ªá¨¢­®,â® ®­® ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨ ¨§®¬®àä­® ¯à®áâà ­áâ¢ã X ∗∗ = L(X ∗ , C), ª®â®à®¥ ï¥âáï ¯®«­ë¬ ®â­®á¨â¥«ì­® ®¯¥à â®à­®© ­®à¬ë ¯® ⥮६¥ 3.4.1. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯à®áâà ­á⢮ X ⮦¥ ï¥âáï ᨫ쭮 ¯®«­ë¬. ˆ§®¬¥âà¨ç¥áª¨© ¨§®¬®à䨧¬ ¬¥¦¤ã ¯à®áâà ­á⢠¬¨ X ¨ X ∗∗®áãé¥á⢫ï¥â ®â®¡à ¦¥­¨¥ F : X → X ∗∗ ¢¨¤ (F x)(f ) = f (x) ¤«ï¢á¥å x ∈ X ¨ f ∈ X ∗ .  áᬮâਬ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ X ¯à®¨§¢®«ì­ãî á« ¡® äã­¤ ¬¥­â «ì­ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 .

’®£¤ ¢á¨«ã ã⢥ত¥­¨ï 5.4.4 ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì «¨­¥©­ëå ®¯¥à â®à®¢∗∗∗ï¥âáï ¯®â®ç¥ç­® äã­¤ ¬¥­â «ì­®©{F xn }∞n=1 ⊂ L(X , C) = X∗¢ L(X , C). ’ ª ª ª «¨­¥©­ë¥ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠X ∗ == L(X, C) ¨ C ïîâáï ¯®«­ë¬¨, â® ¯® ⥮६¥ 3.4.4 ¯à®áâà ­á⢮L(X ∗ , C) = X ∗∗ ï¥âáï ¯®«­ë¬ ®â­®á¨â¥«ì­® ¯®â®ç¥ç­®© á室¨¬®áâ¨. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥­â Φ ∈ X ∗∗ , â ª®©, çâ® ¤«ï«î¡®£® f ∈ X ∗ ¢ë¯®«­¥­® ᮮ⭮襭¨¥ (F xn )(f ) = f (xn ) → Φ(f )¯à¨ n → ∞. ‚ ᨫã à¥ä«¥ªá¨¢­®á⨠¯à®áâà ­á⢠X áãé¥áâ¢ã¥â¢¥ªâ®à y ∈ X , â ª®©, çâ® á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ F y = Φ . ®í⮬ãΦ(f ) = (F y)(f ) = f (y) ¤«ï «î¡®£® f ∈ X ∗ .

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬ ᮮ⭮襭¨¥ f (xn ) → f (y) ¯à¨ n → ∞ ¤«ï «î¡®£® f ∈ X ∗ . ‚297ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 5.4.1 ¯®«ãç ¥¬, çâ®âॡ®¢ «®áì.τwxn →y¯à¨n → ∞,çâ® ¨ à ¨ ¬ ¥ à 5.4.2. à¨¢¥¤ñ¬ ¯à¨¬¥à ¡ ­ 客 ­¥à¥ä«¥ªá¨¢­®£®¯à®áâà ­á⢠, ª®â®à®¥ ­¥ ï¥âáï á« ¡® ¯®«­ë¬.  áᬮâਬ ¡ ­ 客® ¯à®áâà ­á⢮ c0 , ®¯¨á ­­®¥ ¢ ¯ à £à ä¥ 5.2. Š ª ¯®ª § ­® ¢ ã⢥ত¥­¨¨ 5.2.8, ¯à®áâà ­á⢮ c0 ­¥à¥ä«¥ªá¨¢­®. ®ª ¦¥¬,çâ® c0 ­¥ ï¥âáï á« ¡® ¯®«­ë¬.  áᬮâਬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì∞{xn }n=1⊂ c0 ¢¨¤ ½xn (k) =(−1)k , k ≤ n,0, k > n∀ n ∈ N.„«ï «î¡®£® ä㭪樮­ « f ∈ c∗0 áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ë© í«¥¬¥­âz ∈ `1 , â ª®©, çâ® ¤«ï «î¡®£® x ∈ c0 á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮f (x) =∞Xx(k)z(k).k=1’®£¤ ¤«ï «î¡ëå ­®¬¥à®¢ m, n ¢¨¤ m > n ¯®«ãç ¥¬ ᮮ⭮襭¨ï|f (xn ) − f (xm )| ≤mXk=n+1∞X|z(k)| ≤|z(k)| → 0¯à¨n → ∞.k=n+1‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì xn ï¥âáï á« ¡® äã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¢ c0 . à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ®­ á« ¡® á室¨âáï ¢ c0 ª í«¥¬¥­âãy ∈ c0 .

’®£¤ ¤«ï «î¡®£® k ∈ N à áᬮâਬ ä㭪樮­ « fk ∈ c∗0 ¢¨¤ fk (x) = x(k) ¤«ï «î¡®£® x ∈ c0 . ®«ãç ¥¬fk (xn ) = xn (k) → fk (y) = y(k)¯à¨n → ∞ ∀ k ∈ N.’ ª ª ª ¤«ï «î¡®£® k ∈ N ¨ «î¡®£® n > k ¨¬¥¥¬ xn (k) = (−1)k , ⮯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮ y(k) = (−1)k ¤«ï ¢á¥å k ∈ N. ® ⮣¤ y 6∈ c0 , â. ¥.¯®«ã稫¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á« ¡® äã­¤ ¬¥­â «ì­ ï ¢c0 ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì xn ­¥ ï¥âáï á« ¡® á室ï饩áï ¢ c0 , çâ® ¨âॡ®¢ «®áì.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.4.7. ãáâì ¬­®¦¥á⢮ S ⊂ X ∗ ®¡à §ã¥â ¢¯à®áâà ­á⢥ X ∗ ¯®«­ãî á¨á⥬ã. ’®£¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì{xn }∞n=1 ⊂ X298ï¥âáï á« ¡® á室ï饩áï ¢ X ª ¢¥ªâ®àã y ∈ X ⮣¤ ¨ ⮫쪮⮣¤ , ª®£¤ ®­ ï¥âáï ᨫ쭮 ®£à ­¨ç¥­­®© ¢ X , â. ¥.

áãé¥áâ¢ã¥âç¨á«® R > 0, â ª®¥, çâ® kxn k ≤ R ¤«ï ¢á¥å n ∈ N, ¨ ¤«ï «î¡®£®ä㭪樮­ « f ∈ S á¯à ¢¥¤«¨¢® ᮮ⭮襭¨¥ f (xn ) → f (y) ¯à¨ n →→ ∞.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ¥®¡å®¤¨¬®áâì ãá«®¢¨© á« ¡®© á室¨¬®á⨠¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠áà §ã á«¥¤ã¥â ¨§ ã⢥ত¥­¨© 5.4.1 ¨ 5.4.3.®ª ¦¥¬ ¤®áâ â®ç­®áâì. ’ ª ª ª «î¡®© ä㭪樮­ « g ∈ Lin S ï¥âáï ª®­¥ç­®© «¨­¥©­®© ª®¬¡¨­ 樥© ä㭪樮­ «®¢ ¨§ ¬­®¦¥á⢠S , â® á¯à ¢¥¤«¨¢® ᮮ⭮襭¨¥ g(xn ) → g(y) ¯à¨ n → ∞. ’ ª ª ª¬­®¦¥á⢮ Lin S ï¥âáï ¢áî¤ã ¯«®â­ë¬ ¢ X ∗ ¢ ᨫ㠯®«­®âë á¨á⥬ë S , â® ¤«ï «î¡®£® ä㭪樮­ « f ∈ X ∗ ¨ ç¨á« ε > 0 áãé¥áâε¢ã¥â ä㭪樮­ « g ∈ Lin S , â ª®©, çâ® kf − gk ≤ R+kyk. ‘ãé¥áâ¢ã¥â­®¬¥à N , â ª®©, çâ® ¤«ï ¢á¥å n ≥ N ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ |g(xn ) −− g(y)| ≤ ε. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® n ≥ N ¯®«ãç ¥¬|f (xn ) − f (y)| ≤ |f (xn ) − g(xn )| + |g(xn ) − g(y)| + |g(y) − f (y)| ≤³´³´ε≤ kf − gk kxn k + kyk + ε ≤R + kyk + ε = 2ε.R + kyk’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï «î¡®£® ä㭪樮­ « f ∈ X ∗ á¯à ¢¥¤«¨¢® ᮮ⭮襭¨¥ f (xn ) → f (y) ¯à¨ n → ∞, çâ® ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 5.4.1®§­ ç ¥â á« ¡ãî á室¨¬®áâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠xn ª ¢¥ªâ®àã y.‘ « ¥ ¤ á â ¢ ¨ ¥ 5.4.1.

„«ï «î¡®£® ç¨á« p > 1 ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 ⊂ `p á« ¡® á室¨âáï ¢ `p ª í«¥¬¥­âã y ∈ `p ⮣¤ ¨â®«ìª® ⮣¤ , ª®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® R > 0, â ª®¥, çâ® kxn kp ≤ R¤«ï ¢á¥å n ∈ N, ¨ xn (k) → y(k) ¯à¨ n → ∞ ¤«ï «î¡®£® k ∈ N.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ‚ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 5.2.4 ¨¬¥¥¬ à ¢¥­á⢮ `∗p = `q , £¤¥ p1 + 1q = 1. ˆ§®¬¥âà¨ç¥áª¨© ¨§®¬®à䨧¬ Φ: `∗p → `q¨¬¥¥â ¢¨¤: ¤«ï «î¡®£® ä㭪樮­ « f ∈ `∗p áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ë© í«¥¬¥­â Φ(f ) = z ∈ `q , â ª®©, çâ® kf k = kzkq , ¨ ¤«ï «î¡®£®∞Px ∈ `p á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ f (x) =x(k)z(k). ‚ ¯à®áâà ­á⢥ `qk=1áãé¥áâ¢ã¥â áçñâ­ë© ¡ §¨á E = {em }∞m=1 , £¤¥½em (k) =1, k = m,0, k =6 m.299„«ï «î¡®£®m ∈ N ®¯à¥¤¥«¨¬ ä㭪樮­ « fm = Φ −1 (em ), â.

¥.fm (x) = x(m) ¤«ï «î¡®£® x ∈ `p . ’ ª ª ª Φ ï¢«ï¥âáï ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ¨§®¬®à䨧¬®¬ ¬¥¦¤ã `∗p ¨ `q , â® á¨á⥬ ä㭪樮­ «®¢ S =∗= {fm }∞m=1 ®¡à §ã¥â ¡ §¨á ¢ ¯à®áâà ­á⢥ `p . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¨áâ¥∗¬ S ï¥âáï ¯®«­®© ¢ `p . ’®£¤ ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 5.4.7 ¯®«ãç ¥¬,çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 ⊂ `p á« ¡® á室¨âáï ¢ `p ª í«¥¬¥­âãy ∈ `p ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® R > 0, â ª®¥,çâ® kxn kp ≤ R ¤«ï ¢á¥å n ∈ N, ¨ fk (xn ) = xn (k) → fk (y) = y(k) ¯à¨n → ∞ ¤«ï «î¡®£® k ∈ N, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.‘ « ¥ ¤ á â ¢ ¨ ¥ 5.4.2. ®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâìá« ¡®á室¨âáï ¢ c0 ª í«¥¬¥­âã y ∈ c0 ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® R > 0, â ª®¥, çâ® kxn k∞ ≤ R ¤«ï ¢á¥å n ∈ N, ¨xn (k) → y(k) ¯à¨ n → ∞ ¤«ï «î¡®£® k ∈ N.{xn }∞n=1 ⊂ c0„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ‚ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 5.2.5 c∗0= `1 .

ˆ§®¬¥âà¨ç¥áª¨© ¨§®¬®à䨧¬ Φ: c∗0 → `1 ¨¬¥¥â ¢¨¤: ¤«ï «î¡®£® ä㭪樮­ « f ∈ c∗0 áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ë© í«¥¬¥­â Φ(f ) = z ∈ `1 , â ª®©,çâ® kf k = kzk1 , ¨ ¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥­â x ∈ c0 á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­áâ∞P¢® f (x) =x(k)z(k). ˆá¯®«ì§ãï áçñâ­ë© ¡ §¨á E = {em }∞m=1 ¢k=1¯à®áâà ­á⢥ `1 , ¤«ï «î¡®£® ­®¬¥à m ®¯à¥¤¥«¨¬ ä㭪樮­ « fm == Φ −1 (em ), â. ¥. fm (x) = x(m) ¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥­â x ∈ c0 . ’ ªª ª Φ ï¢«ï¥âáï ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ¨§®¬®à䨧¬®¬ ¬¥¦¤ã c∗0 ¨ `1 , â®á¨á⥬ ä㭪樮­ «®¢ S = {fm }∞m=1 ®¡à §ã¥â ¡ §¨á ¢ ¯à®áâà ­á⢥ c∗0 . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¨á⥬ S ï¥âáï ¯®«­®© ¢ c∗0 . ’®£¤ ¢ ᨫãã⢥ত¥­¨ï 5.4.7 ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 ⊂ c0á« ¡® á室¨âáï ¢ c0 ª í«¥¬¥­âã y ∈ c0 ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® R > 0, â ª®¥, çâ® kxn k∞ ≤ R ¤«ï ¢á¥å n ∈ N, ¨fk (xn ) = xn (k) → fk (y) = y(k) ¯à¨ n → ∞ ¤«ï «î¡®£® k ∈ N, çâ® ¨âॡ®¢ «®áì.‘ « ¥ ¤ á â ¢ ¨ ¥ 5.4.3.

®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâìá« ¡®á室¨âáï ¢ c ª í«¥¬¥­âã y ∈ c ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ áãé¥áâ¢ã¥âç¨á«® R > 0, â ª®¥, çâ® kxn k∞ ≤ R ¤«ï ¢á¥å n ∈ N, ¨ xn (k) → y(k),xn (∞) → y(∞) ¯à¨ n → ∞ ¤«ï «î¡®£® k ∈ N.{xn }∞n=1 ⊂ c„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ‚ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 5.2.6 á¯à ¢¥¤«¨¢®à ¢¥­á⢮ c∗ = `1 . ˆ§®¬¥âà¨ç¥áª¨© ¨§®¬®à䨧¬ Φ: c∗ → `1 ¨¬¥¥â¢¨¤: ¤«ï «î¡®£® ä㭪樮­ « f ∈ c∗ áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ë© í«¥¬¥­â Φ(f ) = z ∈ `1 , â ª®©, çâ® kf k = kzk1 , ¨ ¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥­â 300∞Pá¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ f (x) = x(∞)z(1) + x(k)z(k + 1). ˆák=1¯®«ì§ãï áçñâ­ë© ¡ §¨á E = {em }∞m=1 ¢ ¯à®áâà ­á⢥ `1 , ¤«ï «î¡®£®­®¬¥à m ®¯à¥¤¥«¨¬ ä㭪樮­ « fm = Φ −1 (em ), â. ¥.

f1 (x) = x(∞)¨ fm+1 (x) = x(m) ¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥­â x ∈ c. ’ ª ª ª Φ ï¢«ï¥âá﨧®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ¨§®¬®à䨧¬®¬ ¬¥¦¤ã c∗ ¨ `1 , â® á¨á⥬ ä㭪樮∗­ «®¢ S = {fm }∞m=1 ®¡à §ã¥â ¡ §¨á ¢ ¯à®áâà ­á⢥ c . ‘«¥¤®¢ ⥫ì∗­®, á¨á⥬ S ï¥âáï ¯®«­®© ¢ c . ’®£¤ ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 5.4.7¯®«ãç ¥¬, çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 ⊂ c á« ¡® á室¨âáï ¢ c ªí«¥¬¥­âã y ∈ c ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® R > 0,â ª®¥, çâ® kxn k∞ ≤ R ¤«ï ¢á¥å n ∈ N, ¨ á¯à ¢¥¤«¨¢ë ᮮ⭮襭¨ïf1 (xn ) = xn (∞) → f1 (y) = y(∞), fk+1 (xn ) = xn (k) → fk+1 (y) = y(k)¯à¨ n → ∞ ¤«ï «î¡®£® k ∈ N, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.x∈c à ¨ ¬ ¥ à 5.4.3.

®ª ¦¥¬, çâ® á« ¡ ï ⮯®«®£¨ï ¢ ¯à®áâà ­á⢥ `2 ­¥¬¥âਧ㥬 . „«ï í⮣® ¯à¥¤ê¬ ¬­®¦¥á⢮ S ⊂ `2 , ¯¥à¢®¥á« ¡®¥ ᥪ¢¥­æ¨ «ì­®¥ § ¬ëª ­¨¥ ª®â®à®£® ­¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á® ¢â®àë¬.’ ª ª ª ¢ á«ãç ¥ ¬¥âà¨ç¥áª®© ⮯®«®£¨¨ ᥪ¢¥­æ¨ «ì­®¥ § ¬ëª ­¨¥«î¡®£® ¬­®¦¥á⢠ᮢ¯ ¤ ¥â á ¥£® ⮯®«®£¨ç¥áª¨¬ § ¬ëª ­¨¥¬, â®­ «¨ç¨¥ ¢ `2 â ª®£® ¬­®¦¥á⢠S áà §ã ¯à¨¢®¤¨â ª ­¥¬¥âਧ㥬®áâ¨á« ¡®© ⮯®«®£¨¨ ¢ `2 . à¨¬¥à â ª®£® ¬­®¦¥á⢠¯à¨­ ¤«¥¦¨â ä®­¥©¬ ­ã (á¬. [2, ç. I, £«.

3, á. 100, ã¯à. 9]).  áᬮâਬ ¢ `2 áçñâ­ë©¡ §¨á E = {em }∞m=1 . ’ ª ª ª ¤«ï «î¡®£® m ∈ N ¨¬¥¥¬ kem k2 = 1 ¨em (k) = 0 ¯à¨ m > k , â® ¯® á«¥¤á⢨î 5.4.1 ¯®«ãç ¥¬, çâ® em á« ¡®á室¨âáï ª ­ã«î ¢ `2 ¯à¨ m → ∞. Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¬­®¦¥á⢮nS=¯o¯em + men ¯ m, n ∈ N .τ’ ª ª ª ¤«ï «î¡®£® m ∈ N ¨¬¥¥¬ em + men →em ¯à¨ n → ∞,â® ¯®«ãç ¥¬ em ∈ [S]á«.ᥪ¢. .

Характеристики

Список файлов лекций