Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 50

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 50)

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥ S ∪ E ⊂ [S]á«.ᥪ¢. . ’¥¯¥àì à áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ë© í«¥¬¥­âz ∈ [S]á«.ᥪ¢. . ’®£¤ áãé¥áâ¢ãîâ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠­ âãà «ì­ëåτç¨á¥« mk ¨ nk , â ª¨¥, çâ® em +mk en →z ¯à¨ k → ∞. ’ ª ª ª á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ kem + mk en k2 ≥ mk − 1, â® ¯® á«¥¤á⢨î 5.4.1¯®«ãç ¥¬, çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ­ âãà «ì­ëå ç¨á¥« mk ®£à ­¨ç¥­ . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ®­ ᮤ¥à¦¨â áâ 樮­ à­ãî ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì mk = m0 . „ «¥¥, ¥á«¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì nk ®£à ­¨ç¥­ ,â® ®­ ᮤ¥à¦¨â áâ 樮­ à­ãî ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì nk = n0 , ¨¢ í⮬ á«ãç ¥ ¯®«ãç ¥¬ z = em + m0 en ∈ S .

…᫨ ¦¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì nk ­¥®£à ­¨ç¥­ , â® ®­ ᮤ¥à¦¨â ¡¥áª®­¥ç­® ¡®«ìèãîwwkkkkrrrs0r3010¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì nk → ∞ ¯à¨ s → ∞. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®τ«ãç ¥¬ ᮮ⭮襭¨ï em + mk en = em + m0 en →em ¯à¨s → ∞, â. ¥. z = em ∈ E . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®ª § ­® ¢ª«î祭¨¥[S]á«.ᥪ¢. ⊂ S ∪ E , â. ¥. á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ [S]á«.ᥪ¢. = S ∪ E .

’ ªτª ª em →0 ¯à¨ m → ∞, â® ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¢ª«î祭¨¥rswrskrskrs0krs00whi0 ∈ [S ∪ E]á«.ᥪ¢. = [S]á«.ᥪ¢..á«.ᥪ¢.Ž¤­ ª® 0 6∈ S ∪ E = [S]á«.ᥪ¢. . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®ª § ­® ­¥à ¢¥­á⢮hi[S]á«.ᥪ¢. 6= [S]á«.ᥪ¢.á«.ᥪ¢.,çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.4.8. ãáâì ᮯàï¦ñ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ X ∗ï¥âáï ᥯ à ¡¥«ì­ë¬. „«ï «î¡®£® R > 0 à áᬮâਬ á« ¡ãî ⮯®«®£¨î ­ è ॠBR (0) ⊂ X , â. ¥. ᥬ¥©á⢮nτw (R) =¯o¯U ∩ BR (0) ¯ U ∈ τw .³´’®£¤ ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ BR (0), τw (R) ï¥âáï ¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ¯à®áâà ­á⢮¬, â. ¥.

⮯®«®£¨ï τw (R) ¬¥âਧ㥬 .„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ’ ª ª ª ᮯàï¦ñ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮X∗᥯ à ¡¥«ì­®, â® ­ ¥¤¨­¨ç­®© áä¥à¥ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ X áãé¥áâ¢ã¥â∗áçñâ­®¥ ¢áî¤ã ¯«®â­®¥ ¬­®¦¥á⢮ F = {fn }∞n=1 ⊂ X , â. ¥. ¤«ï «î¡®£® n ∈ N ¨¬¥¥¬ à ¢¥­á⢮ kfn k = 1, ¨ ¤«ï «î¡®£® ä㭪樮­ « g ∈ X ∗ ¢¨¤ kgk = 1 ¨ «î¡®£® ç¨á« ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à m == m(g, ε), â ª®©, çâ® kg − fm k ≤ ε.

Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¤«ï «î¡ëå ¢¥ªâ®à®¢x, y ∈ BR (0) ¢¥«¨ç¨­ã∗ρ(x, y) =∞X¯¯¯¯2−n ¯fn (x − y)¯ .n=1®ª ¦¥¬, çâ® äã­ªæ¨ï ρ ï¥âáï ¬¥âਪ®© ­ è ॠBR (0). ’ ªª ª á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ |fn (x − y)| ≤ kfn k kx − yk ≤ 2R, â® 0 ≤≤ ρ(x, y) ≤ 2R ¤«ï ¢á¥å x, y ∈ BR (0). „ «¥¥, ¥á«¨ ρ(x, y) = 0, ⮯®«ãç ¥¬ fn (x − y) = 0 ¤«ï ¢á¥å n ∈ N.  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ë©302∗­¥­ã«¥¢®© ä㭪樮­ «g∈X°° . ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â° g°m ∈ N, â ª®¥, çâ® ° kgk − fm ° ≤ ε. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮,¯µ¯¶¯ g¯¯|g(x − y)| = kgk ¯− fm (x − y)¯¯ ≤ kgk2Rε → 0kgk¯à¨ε → +0.’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï «î¡®£® ä㭪樮­ « g ∈ X ∗ á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ g(x − y) = 0.

’®£¤ ¢ ᨫ㠯㭪â 3 á«¥¤á⢨ï 5.1.2 â¥®à¥¬ë• ­ | ­ å ¯®«ãç ¥¬ x − y = 0, â. ¥. x = y.  ¢¥­á⢮ ρ(x, y) == ρ(y, x) ®ç¥¢¨¤­®. „«ï «î¡ëå x, y, z ∈ BR (0) ¨ «î¡®£® n ∈ N ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮|fn (x − y)| = |fn (x − z) + fn (z − y)| ≤ |fn (x − z)| + |fn (z − y)|.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬ ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y), â. ¥. ¤«ï ä㭪樨ρ á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ âà¥ã£®«ì­¨ª .ãáâì τρ (R) | ¬¥âà¨ç¥áª ï ⮯®«®£¨ï ¢ BR (0), ¯®à®¦¤ñ­­ ﬥâਪ®© ρ. ®ª ¦¥¬, çâ® á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ τw (R) = τρ (R).‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¥¤¡ §ã ⮯®«®£¨¨ τw (R) ®¡à §ã¥â ᥬ¥©á⢮nσw (R) =¯o¯V (x, f, ε) ∩ BR (0) ¯ x ∈ X, f ∈ X ∗ , ε > 0 .‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ª«î祭¨¥ τw (R) ⊂ τρ (R) á«¥¤ã¥â ¨§ ¢ª«î祭¨ï„®ª ¦¥¬ íâ® ¯®á«¥¤­¥¥ ¢ª«î祭¨¥. ‡ 䨪á¨à㥬¯à®¨§¢®«ì­ë¥ ¢¥ªâ®à x ∈ X , ä㭪樮­ « f ∈ X ∗ ¨ ç¨á«® ε > 0.

…᫨ f = 0, â® V (x, f, ε) = X ¨ V (x, f, ε) ∩ BR (0) = BR (0) ∈ τρ (R), â. ¥.¢ í⮬ á«ãç ¥ ¤®ª §ë¢ âì ­¥ç¥£®. ®í⮬㠯ãáâì f 6= 0. Ž¯à¥¤¥«¨¬ä㭪樮­ « g = kff k ¨ ç¨á«® δ = kfε k . ’®£¤ ¯®«ãç ¥¬ V (x, f, ε) == V (x, g, δ).  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ë© ¢¥ªâ®à y ∈ V (x, g, δ) ∩ BR (0),â. ¥.

|g(y − x)| < δ ¨ kyk ≤ R. ‘ãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à m, â ª®©, çâ®kg − fm k < δ−|g(y−x)|. ãáâì ç¨á«® r = δ−|g(y−x)|> 0.  áᬮâਬ4R2¯à®¨§¢®«ì­ë© ¢¥ªâ®à z ∈ BR (0) ¢¨¤ ρ(y, z) < r. ’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢®­¥à ¢¥­á⢮ |fm (z − y)| < 2m r = δ−|g(y−x)|. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬2σw (R) ⊂ τρ (R).m+1|g(z − x)| ≤ |g(z − y)| + |g(y − x)| ≤≤ k(g − fm )(z − y)| + |fm (z − y)| + |g(y − x)| <δ + |g(y − x)|δ − |g(y − x)| δ + |g(y − x)|< kg − fm k2R +<+= δ,222303â. ¥.

¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ z ∈ V (x, g, δ) ∩ BR (0) = V (x, f, ε) ∩ BR (0).‘«¥¤®¢ ⥫쭮, «î¡®© ¢¥ªâ®à y ¬­®¦¥á⢠V (x, f, ε)∩BR (0) ï¥âá北® ρ-¢­ãâ७­¥© â®çª®©. ® ⮣¤ á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥V (x, f, ε) ∩ BR (0) ∈ τρ (R),çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.’¥¯¥àì ¤®ª ¦¥¬ ®¡à â­®¥ ¢ª«î祭¨¥ τρ (R) ⊂ τw (R). ’ ª ª ª ¡ §®© βρ (R) ¬¥âà¨ç¥áª®© ⮯®«®£¨¨ τρ (R) á«ã¦ â ρ-®âªàëâë¥ è à뢨¤ Orρ (x) =n¯o¯y ∈ BR (0) ¯ ρ(x, y) < r ,x ∈ BR (0),r > 0,â® ¤®áâ â®ç­® ¤®ª § âì ¢ª«î祭¨¥ βρ (R) ⊂ τw (R).

‡ 䨪á¨à㥬 ¢¥ªâ®à x ∈ BR (0) ¨ ç¨á«® r > 0.  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ë© ¢¥ªâ®à y ∈∈ Orρ (x), â. ¥. y ∈ BR (0) ¨ ρ(x, y) < r. ‘ãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à N , â ª®©,çâ® 2−N < r−ρ(x,y). ãáâìç¨á«® δ =¶r−ρ(x,y)> 0.  áᬮâਬ ¯à®¨§4R2µ¢®«ì­ë© ¢¥ªâ®à z ∈¯®«ãç ¥¬NTn=1V (y, fn , δ) ∩ BR (0) = U (y) ∈ τw (R).ρ(x, z) ≤ ρ(y, z)+ρ(x, y) ≤NX∞X2−n |fn (y −z)|+n=1’®£¤ 2−n 2R+ρ(x, y) <n=N +1r − ρ(x, y) r − ρ(x, y)++ ρ(x, y) = r.< δ + 2−N 2R + ρ(x, y) <22‘«¥¤®¢ ⥫쭮, z ∈ Orρ (x), â. ¥. á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥ U (y) ⊂ Orρ (x).®«ãç ¥¬Orρ (x) =[[{y} ⊂y∈Orρ (x)â. ¥.

á¯à ¢¥¤«¨¢® ᮮ⭮襭¨¥U (y) ⊂ Orρ (x),y∈Orρ (x)Orρ (x) =âॡ®¢ «®áì.Sy∈Orρ (x)U (y) ∈ τw (R),çâ® ¨‘ « ¥ ¤ á â ¢ ¨ ¥ 5.4.4. ãáâì ¯à®áâà ­á⢮ X ¡¥áª®­¥ç­®¬¥à­®, ¯à®áâà ­á⢮ X ∗ ᥯ à ¡¥«ì­®. ’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìτ­®áâì {xn }∞n=1 ⊂ X , â ª ï, çâ® kxn k = 1 ¤«ï ¢á¥å n ∈ N ¨ xn → 0¯à¨ n → ∞. ˆ­ë¬¨ á«®¢ ¬¨, ¢ ¯à®áâà ­á⢥ X áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¨§ ¥¤¨­¨ç­®© áä¥àë, á« ¡® á室ïé ïáï ª ­ã«î.w304„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. Š ª ¯®ª § ­®§ ¤ 稯n ¢ à¥è¥­¨¨o 5.4.1,á« ¡®¥ § ¬ëª ­¨¥ ¥¤¨­¨ç­®© áä¥àë S = x ∈ X ¯¯ kxk = 1 à ¢­®¥¤¨­¨ç­®¬ã è àã B1 (0), â.

¥. [S]τ = B1 (0). ’ ª ª ª S ⊂ B1 (0), á« ¡ ï ⮯®«®£¨ï ­ è ॠB1 (0) ¬¥âਧ㥬 ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 5.4.8,⮠ᮣ« á­® á«¥¤á⢨î 1.2.1 á« ¡®¥ § ¬ëª ­¨¥ áä¥àë S ᮢ¯ ¤ ¥â á¥ñ á« ¡ë¬ ᥪ¢¥­æ¨ «ì­ë¬ § ¬ëª ­¨¥¬. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®£®¢¥ªâ®à x ∈ B1 (0) áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 ⊂ S , á« τ¡® á室ïé ïáï ª x, â.

¥. xn → x ¯à¨ n → ∞. ‚ ç áâ­®á⨠íâ® ¢¥à­®¤«ï x = 0.ww‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 5.4.7. ‡ ¬¥â¨¬, ç⮠᥯ à ¡¥«ì­®áâì ᮯàï¦ñ­­®£® ¯à®áâà ­á⢠X ∗ áãé¥á⢥­­ ¤«ï ¬¥âਧ㥬®á⨠᫠¡®© ⮯®«®£¨¨ ¢ X ­ è à å. „¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï ¯à®áâà ­á⢠`1 ¥£® ᮯàï¦ñ­­®¥ `∗1 = `∞ ­¥á¥¯ à ¡¥«ì­®. ‚ ᨫã ⥮६ë 5.4.1 ˜ãà á« ¡ ï¨ á¨«ì­ ï á室¨¬®á⨠¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¢ `1 íª¢¨¢ «¥­â­ë. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¥¤¨­¨ç­ ï áä¥à S ¢ `1 ï¥âáï ᨫ쭮 ¨ ¯®í⮬ã á« ¡® ᥪ¢¥­æ¨ «ì­® § ¬ª­ãâë¬ ¬­®¦¥á⢮¬. Ž¤­ ª® ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 5.4.1 áä¥à S ­¥ ï¥âáï ⮯®«®£¨ç¥áª¨ á« ¡® § ¬ª­ãâ묬­®¦¥á⢮¬ ¢ ¡¥áª®­¥ç­®¬¥à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ `1 .

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢á¨«ã á«¥¤á⢨ï 1.2.1 ¯®«ãç ¥¬ ­¥¬¥âਧ㥬®áâì á« ¡®© ⮯®«®£¨¨ ¢`1 ­ ¥¤¨­¨ç­®¬ è à¥.‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 5.4.8. ãáâì ¯à®áâà ­á⢮ X ¡¥áª®­¥ç­®¬¥à­®, ∗¯à®áâà ­á⢮ X ∗ ᥯ à ¡¥«ì­®. ãáâì F = {fn }∞n=1 ⊂ X | áçñâ­®¥∗¢áî¤ã ¯«®â­®¥ ­ ¥¤¨­¨ç­®© áä¥à¥ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ X ¬­®¦¥á⢮.ãáâìρ(x, y) =∞X¯¯¯¯2−n ¯fn (x − y)¯∀ x, y ∈ Xn=1| ¬¥âਪ ¢ X , ®¯à¥¤¥«ñ­­ ï ¢ ã⢥ত¥­¨¨ 5.4.8.

®ª ¦¥¬, çâ® ¢¯à®áâà ­á⢥ X áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì, á室ïé ïáï ¯® ¬¥âਪ¥ ρ ª ­ã«¥¢®¬ã ¢¥ªâ®àã ¨ ­¥ ïîé ïáï á室ï饩áï á« ¡®. Š ª¯®ª § ­® ¢ § ¬¥ç ­¨¨ 5.4.3, ¤«ï «î¡®£® ­®¬¥à n áãé¥áâ¢ã¥â ª®nT­¥ç­®¬¥à­®¥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ Ln ⊂ X , â ª®¥, çâ®Ker fk ⊕ Ln =k=1= X . ’ ª ª ª ¯à®áâà ­á⢮ X ¡¥áª®­¥ç­®¬¥à­®, â® ¯®¤¯à®áâà ­áânT¢®Ker fk ­¥âਢ¨ «ì­®. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à xn ∈k=1∈nTk=1Ker fk , â ª®©, çâ® kxn k = n.

®«ã稫¨ ­¥®£à ­¨ç¥­­ãî ¯® ­®à-305¬¥ ¯à®áâà ­á⢠X ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¢¥ªâ®à®¢ xn , ª®â®à ï ¯®í⮬㠭¥ ï¥âáï á« ¡® á室ï饩áï ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 5.4.3. ®ª ¦¥¬, çâ® ρ(xn , 0) → 0 ¯à¨ n → ∞. „¥©á⢨⥫쭮, â ª ª ª ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ¢¥ªâ®à xn ¨¬¥¥¬ fk (xn ) = 0 ¤«ï ¢á¥å k ∈ 1, n, â® ¯®«ãç ¥¬ρ(xn , 0) =∞Xk=n+1∞¯¯Xn¯¯2−k ¯fk (xn )¯ ≤2−k n = n → 02¯à¨n → ∞,k=n+1çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì. â® § ¬¥ç ­¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® á室¨¬®áâì ¯®¬¥âਪ¥ ρ ­¥ à ¢­®á¨«ì­ á« ¡®© á室¨¬®á⨠¡¥§ ãá«®¢¨ï ®£à ­¨ç¥­­®á⨠¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¯® ­®à¬¥ ¯à®áâà ­á⢠X .5.5.

Характеристики

Список файлов лекций