Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 54

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 54)

z(t) dt = 1. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ z ∈ M . ®0ª ¦¥¬, çâ® ¤«ï «î¡®© ä㭪樨 x ∈ M ¢ë¯®«­¥­ë ᮮ⭮襭¨ïρ(0, M ) = 1 < kxkc . „«ï «î¡®£® x ∈ M ¨¬¥¥¬kxkc ≥R10¯1¯¯R¯|x(t)| dt ≥ ¯¯ x(t) dt¯¯ = 1,0â. ¥. á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ ρ(0, M ) ≥ 1. „«ï «î¡ëå ç¨á¥« ε ∈ (0, 1)¨ a ∈ (0, 1) ®¯à¥¤¥«¨¬ äã­ªæ¨î½xa,ε (t) = (1 + ε)¡R1ta,0 ≤ t ≤ a,1, a ≤ t ≤ 1.¢2ε’®£¤ xa,ε (t) dt = (1 + ε) 1 − a2 = 1 ¯à¨ a = 1+ε∈ (0, 1). ‘«¥¤®0¢ ⥫쭮, ¤«ï â ª®£® a ¯®«ãç ¥¬ ¢ª«î祭¨¥ xa,ε ∈ M ¨ à ¢¥­á⢮kxa,ε kc = 1 + ε, â. ¥.

¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ ρ(0, M ) ≤ 1 + ε. ’ ª¨¬®¡à §®¬, ¯à¨ ε → +0 ¯®«ãç ¥¬ 1 ≤ ρ(0, M ) ≤ 1, â. ¥. á¯à ¢¥¤«¨¢®à ¢¥­á⢮ ρ(0, M ) = 1. à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ¤«ï ­¥ª®â®à®© ä㭪樨x ∈ M ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ kxkc ≤ 1. ’ ª ª ª x(0) = 0, â® áãé¥áâ¢ã¥â δ ∈ (0, 1), â ª®¥, çâ® |x(t)| ≤ 12 ¯à¨ 0 ≤ t ≤ δ . ’®£¤ ¯®«ãç ¥¬1=R10x(t) dt ≤¤«ï «î¡®£® xâॡ®¢ «®áì.δ2+ 1 − δ = 1 − 2δ < 1 | ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,∈M¢ë¯®«­¥­® áâண®¥ ­¥à ¢¥­á⢮kxkc > 1,çâ® ¨5.6. ‘®¯àï¦ñ­­ë© ®¯¥à â®àŽ ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 5.6.1. ãáâì X, Y | «¨­¥©­ë¥ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠, «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A ∈ L(X, Y ).

Ž¯¥à â®àA∗ : Y ∗ → X ∗­ §ë¢ ¥âáï ᮯàï¦ñ­­ë¬ ª ®¯¥à â®àã A, ¥á«¨ ¤«ï ¢á¥åg ∈ Y ∗ ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ g(Ax) = (A∗ g)(x).323x ∈ X¨“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.6.1. ãáâì (X, k·kX ) ¨ (Y, k·kY ) | «¨­¥©­ë¥ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠, «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A ∈ L(X, Y ).’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ë© ᮯàï¦ñ­­ë© ®¯¥à â®à A∗ , ¯à¨çñ¬®­ ï¥âáï «¨­¥©­ë¬ ¨ ®£à ­¨ç¥­­ë¬, â.

¥. ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥A∗ ∈ L(Y ∗ , X ∗ ). à¨ í⮬ á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ kAk = kA∗ k.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. „«ï ¯à®¨§¢®«ì­®£® 䨪á¨à®¢ ­­®£® g ∈∈ Y ∗ à áᬮâਬ «¨­¥©­ë© ä㭪樮­ « Φg : X → C ¢¨¤ Φg (x) == g(Ax) ¤«ï «î¡®£® x ∈ X . ’ ª ª ª |Φg (x)| ≤ kgk kAk kxkX ¤«ï «î¡®£® x ∈ X , â® ¯®«ãç ¥¬ kΦg k ≤ kgk kAk. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ë¯®«­¥­®¢ª«î祭¨¥ Φg ∈ X ∗ . Ž¯à¥¤¥«¨¬ §­ 祭¨¥ ®¯¥à â®à A∗ : Y ∗ → X ∗¯® ä®à¬ã«¥ A∗ g = Φg . ’®£¤ ¤«ï «î¡ëå x ∈ X ¨ g ∈ Y ∗ ¢ë¯®«­¥­®à ¢¥­á⢮ (A∗ g)(x) = Φg (x) = g(Ax), â. ¥.

®¯¥à â®à A∗ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ®¯à¥¤¥«¥­¨î 5.6.1 ¨ ¯®í⮬ã ï¥âáï ᮯàï¦ñ­­ë¬ ª ®¯¥à â®àãA. …᫨ ­¥ª®â®àë© ®¯¥à â®à B: Y ∗ → X ∗ ï¥âáï ᮯàï¦ñ­­ë¬ ª®¯¥à â®àã A, â® ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 5.6.1 ¤«ï «î¡®£® g ∈ Y ∗ ¯®«ãç ¥¬à ¢¥­á⢮ Bg = Φg = A∗ g, â. ¥. B = A∗ . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ãáâ ­®¢«¥­ ¥¤¨­á⢥­­®áâì ᮯàï¦ñ­­®£® ®¯¥à â®à .

„«ï «î¡ëå ä㭪樮­ «®¢g1 , g2 ∈ Y ∗ ¨ ᪠«ï஢ α1 , α2 ∈ C ¯à¨ ª ¦¤®¬ x ∈ X ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮³´A∗ (α1 g1 + α2 g2 ) (x) == (α1 g1 + α2 g2 )(Ax) = α1 g1 (Ax) + α2 g2 (Ax) =³´= α1 A∗ (g1 ) + α2 A∗ (g2 ) (x),â. ¥. á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ A∗ (α1 g1 + α2 g2 ) = α1 A∗ (g1 ) + α2 A∗ (g2 ).‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ®¯¥à â®à A∗ ï¥âáï «¨­¥©­ë¬. „®ª § ­­®¥ ¢ëè¥ ¤«ï «î¡®£® ä㭪樮­ « g ∈ Y ∗ ­¥à ¢¥­á⢮ kA∗ gk = kΦg k ≤≤ kgk kAk ®§­ ç ¥â ®æ¥­ªã kA∗ k ≤ kAk, â. ¥.

«¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A∗ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­ë¬ ¨ á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥ A∗ ∈ L(Y ∗ , X ∗ ). C¤à㣮© áâ®à®­ë, ¢ ᨫã á«¥¤á⢨ï 5.1.2 ¤«ï «î¡®£® x ∈ X ¯®«ãç ¥¬¯¯¯¯¯¯¯¯kAxkY = sup ¯g(Ax)¯ = sup ¯(A∗ g)(x)¯ ≤g∈Y ∗ ,kgk=1g∈Y ∗ ,kgk=1≤ sup kA∗ gk kxkX = kA∗ k kxkX .g∈Y ∗ ,kgk=1‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮§®¬, ¤®ª § ­® à ¢¥­á⢮ kAk = kA∗ k.324kAk ≤ kA∗ k.’ ª¨¬ ®¡à -‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 5.6.1. ãáâì X, Y | «¨­¥©­ë¥ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥¯à®áâà ­á⢠, «¨­¥©­ë¥ ®¯¥à â®àë A, B ∈ L(X, Y ), ᪠«ïà α ∈ C.’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢ë à ¢¥­á⢠(A + B)∗ = A∗ + B ∗ ,(αA)∗ = αA∗ .„¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï «î¡ëå x ∈ X ¨ g ∈ Y ∗ ¯®«ãç ¥¬ ᮮ⭮襭¨ï³´³´(A + B)∗ g (x) = g (A + B)(x) = g(Ax) + g(Bx) =³´= (A∗ g)(x) + (B ∗ g)(x) = (A∗ + B ∗ )(g) (x),â.

¥. (A + B)∗ g = (A∗ + B ∗ )(g), çâ® ¢ ᨫ㠯ந§¢®«ì­®á⨠ä㭪樮­ « g ∈ Y ∗ ®§­ ç ¥â à ¢¥­á⢮ (A + B)∗ = A∗ + B ∗ . €­ «®£¨ç­®¤«ï «î¡ëå x ∈ X ¨ g ∈ Y ∗ ¯®«ãç ¥¬ ᮮ⭮襭¨ï³´³´³´(αA)∗ (g) (x) = g (αA)(x) = g α(Ax) =³´= αg(Ax) = α(A∗ g)(x) = (αA∗ )(g) (x),â. ¥. (αA)∗ g = α(A∗ g), çâ® ¢ ᨫ㠯ந§¢®«ì­®á⨠ä㭪樮­ « g ∈∈ Y ∗ ®§­ ç ¥â à ¢¥­á⢮ (αA)∗ = αA∗ .‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 5.6.2.

ãáâì X = Y = H | £¨«ì¡¥à⮢® ¯à®áâà ­á⢮, «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A ∈ L(H). ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¬®¦­® ¥áâ¥á⢥­­ë¬ ®¡à §®¬ ¨§¬¥­¨âì ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ᮯàï¦ñ­­®£® ®¯¥à â®à A∗ , ®â®¦¤¥á⢫ïï ¯à®áâà ­á⢠H ¨ H∗ ¯® ⥮६¥ 5.3.1 ¨áá |”à¥è¥. ‘®£« á­® í⮩ ⥮६¥ «î¡®© ä㭪樮­ « ¨§ H∗ ॠ«¨§ã¥âáï ¥¤¨­á⢥­­ë¬ ¢¥ªâ®à®¬ ¨§ H á ¯®¬®éìî ᪠«ïà­®£® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï. ®í⮬㠥áâ¥á⢥­­® ¯®« £ âì, ç⮠ᮯàï¦ñ­­ë© ®¯¥à â®à A∗¤¥©áâ¢ã¥â ¢ ¯à®áâà ­á⢥ H, ¨ ¤«ï «î¡ëå ¢¥ªâ®à®¢ x, y ∈ H ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ (Ax, y) = (x, A∗ y).

â® ᮮ⭮襭¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥â¥¤¨­á⢥­­ë© «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A∗ ∈ L(H), ¯à¨çñ¬ kAk = kA∗ k.„¥©á⢨⥫쭮, «î¡®© 䨪á¨à®¢ ­­ë© y ∈ H ®¯à¥¤¥«ï¥â «¨­¥©­ë©ä㭪樮­ « Φy : H → C ¢¨¤ Φy (x) = ³(Ax, y) ¤«ï´ «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ H. à¨ í⮬ |Φy (x)| ≤ kAxk kyk ≤ kAk kyk kxk. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® y ∈ H ¯®«ãç ¥¬ kΦy k ≤ kAk kyk, â.¥. á¯à ¢¥¤«¨¢®∗¢ª«î祭¨¥³´Φy ∈ H .

’®£¤ ¯® ⥮६¥ 5.3.1 ¨áá |”à¥è¥, Φy (x) == x, z(Φy ) ¤«ï ¢á¥å x, y ∈ H, £¤¥ z: H∗ → H | ®¯à¥¤¥«ñ­­ ï ¢ ⥮६¥ ¨áá |”à¥è¥ ᮯà殮­­®-«¨­¥©­ ï ¨§®¬¥âà¨ç¥áª ï ¡¨¥ªæ¨ï.325’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¯à¥¤¥«ñ­ ®¯¥à â®à A∗ : H → H ¢¨¤ A∗ y = z(Φy ).’ ª ª ª ¤«ï «î¡ëå ¢¥ªâ®à®¢ y, y1 , y2 ∈ H ¨ ᪠«ïà α ∈ C, ®ç¥¢¨¤­®,¢ë¯®«­¥­ë à ¢¥­á⢠Φy +y = Φy + Φy ¨ Φαy = αΦy , â® ¯®«ãç ¥¬1212∗A (y1 + y2 ) = z(Φy1 + Φy2 ) = z(Φy1 ) + z(Φy2 ) = A∗ y1 + A∗ y2 ,A∗ (αy) = z (αΦy ) = αz(Φy ) = αA∗ (y).‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ®¯¥à â®à A∗ ï¥âáï «¨­¥©­ë¬, ¤®ª § ­­®¥ ¢ë襤«ï «î¡®£® y ∈ H ­¥à ¢¥­á⢮ kA∗ yk = kz(Φy )k = kΦy k ≤ kAk kyk®§­ ç ¥â ­¥à ¢¥­á⢮ kA∗ k ≤ kAk, â.

¥. A∗ ∈ L(H). ’ ª¦¥ ¯®«ãç ¥¬®æ¥­ªã¯¯¯¯¯¯¯¯kA∗ yk = sup ¯(x, A∗ y)¯ = sup ¯(Ax, y)¯ ≤ sup kAxk kyk = kAk kyk,kxk=1kxk=1kxk=1â. ¥. kA∗ k ≤ kAk. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤®ª § ­® à ¢¥­á⢮ kAk = kA∗ k.‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨ â ª®¬ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ ®¯¥à 樨 ᮯà殮­¨ï «¨­¥©­®£® ®£à ­¨ç¥­­®£® ®¯¥à â®à ¢ £¨«ì¡¥à⮢®¬ ¯à®áâà ­á⢥ ®­ áâ ­®¢¨âáï ᮯàï¦ñ­­®-«¨­¥©­®©. „¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï «î¡ëå ®¯¥à â®à®¢ A, B ∈ L(H) ¨ «î¡®£® ᪠«ïà α ∈ C ¯à¨ ¢á¥å x, y ∈ H ¨¬¥¥¬à ¢¥­á⢠³´ ³´x, (A + B)∗ (y) = (A + B)x, y =³´= (Ax, y) + (Bx, y) = x, (A∗ + B ∗ )y ,³´³´ ³´x, (αA)∗ y = α(Ax, y) = α x, A∗ y = x, αA∗ y ,®âªã¤ ¯®«ãç ¥¬(A + B)∗ = A∗ + B ∗ ,(αA)∗ = αA∗ .Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 5.6.2.

ãáâì X | «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥¯à®áâà ­á⢮, L ⊂ X ¨ N ⊂ X ∗ | ¯®¤¯à®áâà ­á⢠. à ¢ë¬ ­­ã«ïâ®à®¬ ¯®¤¯à®áâà ­á⢠L ­ §ë¢ ¥âáï ¬­®¦¥á⢮L⊥ =n¯¯f ∈ X ∗ ¯ f (x) = 0o∀x∈L.‹¥¢ë¬ ­­ã«ïâ®à®¬ ¯®¤¯à®áâà ­á⢠N ­ §ë¢ ¥âáï ¬­®¦¥á⢮⊥nN=¯¯x ∈ X ¯ f (x) = 0326o∀f ∈N.‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 5.6.3. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¯à ¢ë© ­­ã«ïâ®à ¯®¤¯à®áâà ­á⢠L ⊂ X ï¥âáï § ¬ª­ãâë¬ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮¬ ¢ X ∗ , «¥¢ë© ­­ã«ïâ®à ¯®¤¯à®áâà ­á⢠N ⊂ X ∗ ï¥âáï § ¬ª­ãâë¬ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮¬ ¢ X . „¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï «î¡ëå ä㭪樮­ «®¢ f, g ∈∈ L⊥ ¨ «î¡ëå ᪠«ï஢ α, β ∈ C ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ L ¯®«ãç ¥¬ (αf + βg)(x) = αf (x) + βg(x) = 0, â ª ª ª f (x) = g(x) = 0.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, αf + βg ∈ L⊥ . …᫨ ä㭪樮­ « f ∈ X ∗ ï¥âáïâ®çª®© ¯à¨ª®á­®¢¥­¨ï ¬­®¦¥á⢠L⊥ , â® áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì⊥­®áâì {fm }∞m=1 ⊂ L , â ª ï, çâ® kf − fm k → 0 ¯à¨ m → ∞.

’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ L ¯®«ãç ¥¬ ᮮ⭮襭¨ï|f (x)| = |(f − fm )(x)| ≤ kf − fm k kxk → 0¯à¨m → ∞,â. ¥. f (x) = 0. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥ f ∈ L⊥ , çâ®®§­ ç ¥â § ¬ª­ãâ®áâì ¯®¤¯à®áâà ­á⢠L⊥ .€­ «®£¨ç­® ¤«ï «î¡ëå ¢¥ªâ®à®¢ x, y ∈ ⊥ N ¨ «î¡ëå ᪠«ï஢α, β ∈ C ¤«ï «î¡®£® ä㭪樮­ « f ∈ N ¯®«ãç ¥¬ f (αx + βy) == αf (x) + βf (y) = 0, â ª ª ª f (x) = f (y) = 0. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, αx ++ βy ∈ ⊥ N .

…᫨ ¢¥ªâ®à x ∈ X ï¥âáï â®çª®© ¯à¨ª®á­®¢¥­¨ï¯®¤¯à®áâà ­á⢠⊥ N , â® áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xm }∞m=1 ⊂⊂ ⊥ N , â ª ï, çâ® kx − xm k → 0 ¯à¨ m → ∞. ’®£¤ ¤«ï «î¡®£®ä㭪樮­ « f ∈ N ¯®«ãç ¥¬ ᮮ⭮襭¨ï|f (x)| = |f (x − xm )| ≤ kf k kx − xm k → 0¯à¨m → ∞,â. ¥. x ∈ ⊥ N . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥®§­ ç ¥â § ¬ª­ãâ®áâì ¯®¤¯à®áâà ­á⢠⊥ N .x∈⊥N,ç⮓ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.6.2.

ãáâì X | «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥¯à®áâà ­á⢮, L ⊂ X ¨ N«¨¢ë ᮮ⭮襭¨ï⊥¯à¨ í⮬ à ¢¥­á⢮à¥ä«¥ªá¨¢­®.⊂ X∗| ¯®¤¯à®áâà ­á⢠. ’®£¤ á¯à ¢¥¤-¡¢L⊥ = [L],¡⊥ ¢ ⊥N= [N ]¡⊥ ¢ ⊥N⊃ [N ],¨¬¥¥â ¬¥áâ®, ¥á«¨ ¯à®áâà ­á⢮ X„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. „«ï «î¡ëå¨ f ∈ L⊥ á¯à ¢¥¤«¨¢®¡ à ¢¥­á⢮f (x) ¡= 0.¢ ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ x ∈¢∈ ⊥ L⊥ , â. ¥. L ⊂ ⊥ L⊥ . ’ ª ª ª ¢ ᨫ㠧 ¬¥ç ­¨ï 5.6.3 ¬­®¦¥á⢮327x ∈ L¡¢¡¢§ ¬ª­ãâ®, â® ¯®«ãç ¥¬ ¢ª«î祭¨¥[L] ⊂ ⊥ L⊥ . à¥¤¯®«®¢¡¦¨¬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à x ∈ ⊥ L⊥ \[L]. ’®£¤ ¢ ᨫ㠯㭪â 1á«¥¤á⢨ï 5.1.2 áãé¥áâ¢ã¥â ä㭪樮­ « f ∈ X ∗ , â ª®©, çâ® f (z) == 0 ¤«ï ¢á¥å z ∈ [L], f (x) = 1.

® ⮣¤ ¯®«ãç ¥¬, çâ® f ∈ L⊥ ,çâ® ¢«¥çñâ à ¢¥­á⢮ f (x) = 0, â. ¥. ¯®«ã稫¨¯à®â¨¢®à¥ç¨¥. ’ ª¨¬¡ ¢®¡à §®¬, ¤®ª § ­® à ¢¥­á⢮ [L] = ⊥ L⊥ .„«ï «î¡ëå f ∈ N ¨ x ∈ ⊥ N á¯à ¢¥¤«¨¢®¡¢à ¢¥­á⢮ f (x)¡ =¢ 0.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ f ∈ ¡⊥ N ¢⊥ , â. ¥. N ⊂ ⊥ N ⊥ .’ ª ª ª ¢ ᨫ㠧 ¬¥ç ­¨ï¡5.6.3¢ ¬­®¦¥á⢮ ⊥ N ⊥ § ¬ª­ãâ®, â® ¯®«ãç ¥¬ ¢ª«î祭¨¥ [N ] ⊂ ⊥ N ⊥ .

„ «¥¥ áç¨â ¥¬, çâ® ¯à®áâà ­á⢮X ï¥âáïà¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ä㭪模 à¥ä«¥ªá¨¢­ë¬.¢®­ « f ∈ ⊥ N ⊥ \[N ]. ’®£¤ ¢ ᨫ㠯㭪â 1 á«¥¤á⢨ï 5.1.2 áãé¥áâ¢ã¥â ä㭪樮­ « Φ ∈ X ∗∗ , â ª®©, çâ® Φ(g) = 0 ¤«ï ¢á¥å g ∈ [N ], Φ(f ) = 1. ‚ ᨫã à¥ä«¥ªá¨¢­®á⨠¯à®áâà ­á⢠X ¤«ï ä㭪樮­ « Φ ∈ X ∗∗ áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à x ∈ X , â ª®©, çâ® Φ = F x, â. ¥. Φ(g) == (F x)(g) = g(x) ¤«ï ¢á¥å g ∈ X ∗ .

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬ g(x) = 0¤«ï ¢á¥å g ∈ [N ]. â® ®§­ ç ¥â ¢ª«î祭¨¥ x ∈ ⊥ N . ® ⮣¤ ᮮ⭮襭¨¥ 0 = f (x) = (F x)(f ) = Φ(f ) ¯à®â¨¢®à¥ç¨â¡¢ à ¢¥­áâ¢ã Φ(f ) = 1.’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®ª § ­® à ¢¥­á⢮ [N ] = ⊥ N ⊥ .⊥L⊥ à ¨ ¬ ¥ à 5.6.1. ®ª ¦¥¬, çâ® ¢ á«ãç ¥ ­¥à¥ä«¥ªá¨¢­®£® ¯à®áâà ­á⢠X ¬®¦¥â ®ª § âìáï, çâ® ¤«ï¯®¤¯à®áâà ­á⢠N¡ ­¥ª®â®à®£®¢¨¬¥¥â ¬¥áâ® ­¥à ¢¥­á⢮ [N ] 6= ⊥ N ⊥ .  áᬮâਬ ¯à®áâà ­á⢮X = c0 , ⮣¤ X ∗ = `1 .

ãáâì ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ N ⊂ `1 ¨¬¥¥â ¢¨¤(N=x ∈ `1¯)∞¯ X¯x(m) = 0 .¯¯m=1Žç¥¢¨¤­®, çâ® N | ᮡá⢥­­®¥ § ¬ª­ã⮥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ ¢ `1 ,â. ¥. [N ] = N 6= `1 .  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ë© ¢¥ªâ®à z ∈ ⊥ N ⊂ c0 .„«ï «î¡ëå à §«¨ç­ëå ­®¬¥à®¢ m, n ∈ N ®¯à¥¤¥«¨¬ ¢¥ªâ®à x ∈ N¢¨¤ x = em − en . ’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮0=∞Xz(k)x(k) = z(m) − z(n).k=1‘«¥¤®¢ ⥫쭮, z | áâ 樮­ à­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¨§ c0 , â. ¥. z| ­ã«¥¢ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì.¡ ’ ª¨¬¢ ®¡à §®¬, ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ ⊥ N = {0}. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ⊥ N ⊥ = `1 6= N = [N ], çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.328’ ¥ ® à ¥ ¬ 5.6.1 (”।£®«ì¬). ãáâì X, Y | «¨­¥©­ë¥ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠, «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A ∈ L(X, Y ).

Характеристики

Список файлов лекций