Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 52

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 52)

¥. ç¨á«®¢ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì f (zn )­¥ á室¨âáï ª f (z) ¯à¨ n → ∞. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâìzn ï¥âáï á« ¡® à á室ï饩áï ¨ ®¤­®¢à¥¬¥­­® á« ¡®* á室ï饩áï¢ ¯à®áâà ­á⢥ `∞ , çâ® ¨ ¤®ª §ë¢ ¥â ­¥à¥ä«¥ªá¨¢­®áâì í⮣® ¯à®áâà ­á⢠.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.5.3. ãáâì ¯à®áâà ­á⢮ X ï¥âáï ᥯ à ¡¥«ì­ë¬. „«ï «î¡®£® R > 0 à áᬮâਬ á« ¡ãî* ⮯®«®£¨î ­ è ॠBR∗ (0) ⊂ X ∗ , â. ¥. ᥬ¥©á⢮nτw∗ (R) =¯o¯∗U ∩ BR(0) ¯ U ∈ τw∗ .´³’®£¤ ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ BR∗ (0), τw (R) ï¥âáï ¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ¯à®áâà ­á⢮¬, â.

¥. ⮯®«®£¨ï τw (R) ¬¥âਧ㥬 .∗∗„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ’ ª ª ª ¯à®áâà ­á⢮ X ᥯ à ¡¥«ì­®,â® ­ ¥¤¨­¨ç­®© áä¥à¥ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ X áãé¥áâ¢ã¥â áçñâ­®¥ ¢áî¤ã¯«®â­®¥ ¬­®¦¥á⢮ A = {xn }∞n=1 ⊂ X , â. ¥. ¤«ï «î¡®£® n ∈ N ¨¬¥¥¬à ¢¥­á⢮ kxn k = 1, ¨ ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X ¢¨¤ kxk = 1¨ «î¡®£® ç¨á« ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à m = m(x, ε), â ª®©, çâ®∗kx − xm k ≤ ε. Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¤«ï «î¡ëå ä㭪樮­ «®¢ f, g ∈ BR(0)¢¥«¨ç¨­ãρ(f, g) =∞X¯¯¯¯2−n ¯f (xn ) − g(xn )¯ .n=1®ª ¦¥¬, çâ® äã­ªæ¨ï ρ ï¥âáï ¬¥âਪ®©³­ è ॠB´R∗ (0). ’ ª ª ªá¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ |f (xn ) − g(xn )| ≤ kf k + kgk kxn k ≤ 2R,â® 0 ≤ ρ(f, g) ≤ 2R ¤«ï ¢á¥å f, g ∈ BR∗ (0).

„ «¥¥, ¥á«¨ ρ(f, g) == 0, â® ¯®«ãç ¥¬ f (xn ) = g(xn ) ¤«ï ¢á¥å n ∈ N. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮,f (x) = g(x) ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ E = Lin{xn }∞n=1 . ’ ª ª ª ¬­®¦¥á⢮ E ï¥âáï ¢áî¤ã ¯«®â­ë¬ ¢ X , â® ¢ ᨫ㠭¥¯à¥à뢭®áâ¨ä㭪樮­ «®¢ f ¨ g ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮ f (x) = g(x) ¤«ï «î¡®£®¢¥ªâ®à x ∈ X , â. ¥. f = g.  ¢¥­á⢮ ρ(f, g) = ρ(g, f ) ®ç¥¢¨¤­®.„«ï «î¡ëå f, g, h ∈ BR∗ (0) ¨ «î¡®£® n ∈ N ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮|f (xn ) − g(xn )| ≤ |f (xn ) − h(xn )| + |h(xn ) − g(xn )|. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮,312¯®«ãç ¥¬ ρ(f, g) ≤ ρ(f, h) + ρ(g, h), â. ¥.

¤«ï ä㭪樨 ρ á¯à ¢¥¤«¨¢®­¥à ¢¥­á⢮ âà¥ã£®«ì­¨ª .ãáâì τρ∗ (R) | ¬¥âà¨ç¥áª ï ⮯®«®£¨ï ¢ BR∗ (0), ¯®à®¦¤ñ­­ ﬥâਪ®© ρ. ®ª ¦¥¬, çâ® á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ τw (R) = τρ∗ (R).‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¥¤¡ §ã ⮯®«®£¨¨ τw (R) ®¡à §ã¥â ᥬ¥©á⢮∗∗nσw∗ (R) =¯o¯∗V ∗ (x, f, ε) ∩ BR(0) ¯ x ∈ X, f ∈ X ∗ , ε > 0 .‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ª«î祭¨¥ τw (R) ⊂ τρ∗ (R) á«¥¤ã¥â ¨§ ¢ª«î祭¨ïσw (R) ⊂ τρ∗ (R). „®ª ¦¥¬ íâ® ¯®á«¥¤­¥¥ ¢ª«î祭¨¥.

‡ 䨪á¨à㥬¯à®¨§¢®«ì­ë¥ ¢¥ªâ®à x ∈ X , ä㭪樮­ « f ∈ X ∗ ¨ ç¨á«® ε > 0.…᫨ x = 0, â® V ∗ (x, f, ε) = X ∗ ¨ V ∗ (x, f, ε) ∩ BR∗ (0) = BR∗ (0) ∈ τρ∗ (R),â. ¥. ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¤®ª §ë¢ âì ­¥ç¥£®. ®í⮬㠯ãáâì x 6= 0. Ž¯à¥x夥«¨¬ ¢¥ªâ®à y = kxk¨ ç¨á«® δ = kxk. ’®£¤ ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮V ∗ (x, f, ε) = V ∗ (y, f, δ).  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ë© ä㭪樮­ «∗∗∗g ∈ V ∗ (y, f, δ) ∩ BR(0),â. ¥.|g(y) − f (y)| < δ ¨ kgk ≤ R.

‘ãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à m, â ª®©, çâ®(y)|(y)|ky − xm k < δ−|g(y)−f. ãáâì ç¨á«® r = δ−|g(y)−f> 0.  áᬮâ4R2m+1∗ਬ ¯à®¨§¢®«ì­ë© ä㭪樮­ « h ∈ BR (0) ¢¨¤ ρ(g, h) < r. ’®£¤ (y)|. ‘«¥á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ |h(xm ) − g(xm )| < 2m r = δ−|g(y)−f2¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬|h(y) − f (y)| ≤ |h(y) − g(y)| + |g(y) − f (y)| ≤≤ k(h − g)(y − xm )| + |(h − g)(xm )| + |(g − f )(y)| <δ + |(g − f )(y)|δ − |(g − f )(y)| δ + |(g − f )(y)|< ky−xm k2R+<+= δ,222â. ¥. ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ h ∈ V ∗ (y, f, δ)∩BR∗ (0) = V ∗ (x, f, ε)∩BR∗ (0).‘«¥¤®¢ ⥫쭮, «î¡®© ä㭪樮­ « g ¨§ ¬­®¦¥á⢠V ∗ (x, f, ε)∩BR∗ (0)ï¥âáï ¥£® ρ-¢­ãâ७­¥© â®çª®©. ® ⮣¤ á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥∗V ∗ (x, f, ε) ∩ BR(0) ∈ τρ∗ (R), çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.’¥¯¥àì ¤®ª ¦¥¬ ®¡à â­®¥ ¢ª«î祭¨¥ τρ∗ (R) ⊂ τw (R).

’ ª ª ª¡ §®© βρ∗ (R) ¬¥âà¨ç¥áª®© ⮯®«®£¨¨ τρ∗ (R) á«ã¦ â ρ-®âªàëâë¥ è à뢨¤ ∗Orρ (f ) =n¯o¯∗g ∈ BR(0) ¯ ρ(f, g) < r ,∗f ∈ BR(0),r > 0,â® ¤®áâ â®ç­® ¤®ª § âì ¢ª«î祭¨¥ βρ∗ (R) ⊂ τw (R). ‡ 䨪á¨à㥬ä㭪樮­ « f ∈ BR∗ (0) ¨ ç¨á«® r > 0.  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ë©∗313ä㭪樮­ « g ∈ Orρ (f ), â. ¥. g ∈ BR∗ (0) ¨ ρ(f, g) < r. ‘ãé¥áâ¢ã¥â­®¬¥à N , â ª®©, çâ® 2−N < r−ρ(f,g). ãáâì ç¨á«® δ = r−ρ(f,g)> 0.4R2 áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ë© ä㭪樮­ «Ãh∈N\!V (xn , g, δ)∗∩ BR(0) = U ∗ (g) ∈ τw∗ (R).n=1’®£¤ ¯®«ãç ¥¬ρ(f, h) ≤ ρ(g, h) + ρ(f, g) ≤≤NX∞X2−n |(g − h)(xn )| +n=12−n 2R + ρ(f, g) <n=N +1r − ρ(f, g) r − ρ(f, g)++ ρ(f, g) = r.< δ + 2−N 2R + ρ(f, g) <22‘«¥¤®¢ ⥫쭮, h ∈⊂ Orρ (f ).

®«ãç ¥¬Orρ (f ) =Orρ (f ),[â. ¥. á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥[{g} ⊂g∈Orρ (f )U ∗ (g) ⊂U ∗ (g) ⊂ Orρ (f ),g∈Orρ (f )â. ¥. á¯à ¢¥¤«¨¢® ᮮ⭮襭¨¥ Orρ (f ) =âॡ®¢ «®áì.Sg∈Orρ (f )U ∗ (g) ∈ τw∗ (R),çâ® ¨“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.5.4. ãáâì «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®á∗âà ­á⢮ X ï¥âáï ¯®«­ë¬, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {fn }∞n=1 ⊂ X∗ï¥âáï á« ¡®* á室ï饩áï ª ä㭪樮­ «ã g ∈ X . ’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢ë ­¥à ¢¥­á⢠sup kfn k < +∞n∈N¨kgk ≤ lim kfn k.n→∞„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ’ ª ª ª ¤«ï «î¡®£® x ∈ X ç¨á«®¢ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {fn (x)}∞n=1 ï¥âáï á室ï饩áï ª ç¨á«ã g(x), â®®­ ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­®©. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, â ª ª ª ¯à®áâà ­á⢮X ¯®«­®, ¯® ⥮६¥ 3.4.2  ­ å |˜â¥©­£ 㧠¯®«ãç ¥¬ ®£à ­¨∗祭­®áâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠{fn }∞n=1 ¢ ¯à®áâà ­á⢥ L(X, C) = X ,â. ¥.

sup kfn k < +∞. „«ï «î¡®£® x ∈ X ¨¬¥¥¬ à ¢¥­á⢮ |g(x)| =n∈N= lim |fn (x)|. ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® x ∈ X ¢¨¤ kxk = 1 ¨ «î¡®£® ε > 0n→∞314áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à N , â ª®©, çâ® ¤«ï ¢á¥å n ≥ N ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ |g(x)| ≤ |fn (x)| + ε ≤ kfn k + ε. ¥à¥å®¤ï ¢ ¯à ¢®© ç á⨯®á«¥¤­¥£® ­¥à ¢¥­á⢠ª ­¨¦­¥¬ã ¯à¥¤¥«ã ¯à¨ n → ∞, ¯®«ãç ¥¬|g(x)| ≤ lim kfn k + ε. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® ε > 0 ¨¬¥¥¬n→∞kgk = sup |g(x)| ≤ lim kfn k + ε,n→∞kxk=1®âªã¤ ¯à¨ ε → +0 ¯®«ãç ¥¬ âॡ㥬®¥ ­¥à ¢¥­á⢮ kgk ≤lim kfn k.n→∞ à ¨ ¬ ¥ à 5.5.2. à¨¢¥¤ñ¬ ¯à¨¬¥à ­¥¯®«­®£® «¨­¥©­®£® ­®à¬¨à®¢ ­­®£® ¯à®áâà ­á⢠X ¨ á« ¡®* á室ï饩áï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠ä㭪樮­ «®¢ ¨§ X ∗ , ª®â®à ï ­¥ ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­®© ¢ X ∗ . áᬮâਬ ­¥¯®«­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (X, k · k) = (`1 , k · k∞ ) (á¬.

¯à¨¬¥à 1.4.4). „«ï «î¡®£® n ∈ N à áᬮâਬ ä㭪樮­ « fn : X → C¢¨¤ fn (x) =2nXx(k),x ∈ X.k=n+1’®£¤ ¤«ï «î¡®£® x ∈ X á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ |fn (x)| ≤ nkxk∞ ,â. ¥. kfn k ≤ n, ¤«ï ¢¥ªâ®à zn ∈ X ¢¨¤ ½zn (k) =1,0,n + 1 ≤ k ≤ 2n,1 ≤ k ≤ n ¨«¨ k > 2n¨¬¥¥¬ ᮮ⭮襭¨ï kzn k∞ = 1 ¨ kfn k ≥ |fn (zn )| = n. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮,∗â.

¥. ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ä㭪樮­ «®¢ {fn }∞n=1 ⊂ X ­¥ï¢«ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­®© ¢ X ∗ . Ž¤­ ª® ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X =2nP|x(k)| → 0 ¯à¨ n → ∞ ¢ ᨫ㠪à¨â¥à¨ï= `1 ¯®«ãç ¥¬ |fn (x)| ≤kfn k = n,k=n+1∞PŠ®è¨ á室¨¬®á⨠ç¨á«®¢®£® àï¤ |x(k)|. ®í⮬㠯®á«¥¤®¢ ⥫ìk=1­®áâì ä㭪樮­ «®¢ fn á« ¡®* á室¨âáï ª ­ã«¥¢®¬ã ä㭪樮­ «ã ¢¯à®áâà ­á⢥ X ∗ .‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 5.5.6. ãáâì ¯à®áâà ­á⢮ X ¯®«­®¥ ¡¥áª®­¥ç­®¬¥à­®¥ ¨ ᥯ à ¡¥«ì­®¥.

ãáâì A = {xn }∞n=1 ⊂ X | áçñâ­®¥ ¢áî¤ã¯«®â­®¥ ­ ¥¤¨­¨ç­®© áä¥à¥ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ X ¬­®¦¥á⢮. ãáâìρ(f, g) =∞X¯¯¯¯2−n ¯f (xn ) − g(xn )¯n=1315∀ f, g ∈ X ∗| ¬¥âਪ ¢ X ∗ , ®¯à¥¤¥«ñ­­ ï ¢ ã⢥ত¥­¨¨ 5.5.3. ®ª ¦¥¬, ç⮢ ¯à®áâà ­á⢥ X ∗ áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì, á室ïé ïáï ¯®¬¥âਪ¥ ρ ª ­ã«¥¢®¬ã ä㭪樮­ «ã ¨ ­¥ ïîé ïáï á« ¡®* á室ï饩áï. „«ï «î¡®£® ­®¬¥à n à áᬮâਬ ª®­¥ç­®¬¥à­®¥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ Ln = Lin{x1 , .

. . , xn } ⊂ X . ’ ª ª ª ¯à®áâà ­á⢮ X ¡¥áª®­¥ç­®¬¥à­®, â® áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à zn ∈ X , â ª®©, çâ® zn 6∈ Ln . Š®­¥ç­®¬¥à­®¥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ Ln ï¥âáï § ¬ª­ãâë¬ ¢ X ¯® á«¥¤á⢨î 3.1.1. ’®£¤ ¢ ᨫ㠯㭪â 1 á«¥¤á⢨ï 5.1.2 â¥®à¥¬ë • ­ | ­ å áãé¥áâ¢ã¥â ­¥âਢ¨ «ì­ë© ä㭪樮­ « gn ∈ X ∗ , à ¢­ë©­ã«î ­ ¯®¤¯à®áâà ­á⢥ Ln , gn (zn ) = 1. Ž¯à¥¤¥«¨¬ ä㭪樮­ «fn = kgn k gn . ’®£¤ kfn k = n. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâìä㭪樮­ «®¢ fn ï¥âáï ­¥®£à ­¨ç¥­­®© ¯® ­®à¬¥ ¯à®áâà ­á⢠X ∗ . ®í⮬㠢 ᨫ㠯®«­®âë ¯à®áâà ­á⢠X ¨ ã⢥ত¥­¨ï 5.5.4¯®«ãç ¥¬, çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì fn ­¥ ï¥âáï á« ¡®* á室ï饩áï.

®ª ¦¥¬, çâ® ρ(fn , 0) → 0 ¯à¨ n → ∞. „¥©á⢨⥫쭮, â ª ª ª¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ä㭪樮­ « fn ¨¬¥¥¬ fn (xk ) = 0 ¤«ï ¢á¥å k ∈ 1, n,â® ¯®«ãç ¥¬nρ(fn , 0) =∞Xk=n+1∞¯¯Xn¯¯2−k ¯fn (xk )¯ ≤2−k n = n → 02¯à¨n → ∞,k=n+1çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì. â® § ¬¥ç ­¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® á室¨¬®áâì ¯®¬¥âਪ¥ ρ ­¥ à ¢­®á¨«ì­ á« ¡®©* á室¨¬®á⨠¡¥§ ãá«®¢¨ï ®£à ­¨ç¥­­®á⨠¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠ä㭪樮­ «®¢ ¯® ­®à¬¥ ᮯàï¦ñ­­®£®¯à®áâà ­á⢠X ∗ .Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 5.5.2. ®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ä㭪樮­ «®¢∗{fn }∞n=1 ⊂ X­ §ë¢ ¥âáï á« ¡®* äã­¤ ¬¥­â «ì­®©, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈∈ X ç¨á«®¢ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {fn (x)}∞n=1 ï¥âáï äã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¢ C. à®áâà ­á⢮ X ∗ ­ §ë¢ ¥âáï á« ¡®* ¯®«­ë¬, ¥á«¨ «î¡ ï á« ¡®* äã­¤ ¬¥­â «ì­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¨§ X ∗ ï¥âáïá« ¡®* á室ï饩áï.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.5.5.

ãáâì ¯à®áâà ­á⢮ X ï¥âáï ¯®«­ë¬. ’®£¤ ¯à®áâà ­á⢮ X ∗ ï¥âáï á« ¡®* ¯®«­ë¬.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® á« ¡ ï* á室¨¬®áâì ¨ á« ¡ ï* äã­¤ ¬¥­â «ì­®áâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠ä㭪樮­ «®¢ ¨§ ¯à®316áâà ­á⢠X ∗ = L(X, C) ï¥âáï ¯®â®ç¥ç­®© á室¨¬®áâìî ¨ ¯®â®ç¥ç­®© äã­¤ ¬¥­â «ì­®áâìî í⮩ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠«¨­¥©­ëå®£à ­¨ç¥­­ëå ®¯¥à â®à®¢, ¤¥©áâ¢ãîé¨å ¨§ X ¢ C. ‚ ᨫ㠯®«­®âë ¯à®áâà ­á⢠X ¨ C ¯® ⥮६¥ 3.4.4 ¯à®áâà ­á⢮ L(X, C) = X ∗ï¥âáï ¯®«­ë¬ ®â­®á¨â¥«ì­® ¯®â®ç¥ç­®© á室¨¬®áâ¨, â.

¥. á« ¡®*¯®«­ë¬. à ¨ ¬ ¥ à 5.5.3. à¨¢¥¤ñ¬ ¯à¨¬¥à ­¥¯®«­®£® ¯à®áâà ­á⢠X ,¤«ï ª®â®à®£® ¯à®áâà ­á⢮ X ∗ ­¥ ï¥âáï á« ¡®* ¯®«­ë¬.  áᬮâਬ ­¥¯®«­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (X, k · k) = (`1 , k · k∞ ) (á¬. ¯à¨¬¥à 1.4.4).„«ï «î¡®£® n ∈ N à áᬮâਬ ä㭪樮­ « fn : X → C ¢¨¤ fn (x) =nXx(k),x ∈ X.k=1’ ª ª ª ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X = `1 ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮¨¬¥¥¬ kfn k ≤ n. ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ¤«ï ¢¥ªâ®à |fn (x)| ≤ nkxk∞ , â®zn ∈ X = `1 ¢¨¤ ½zn (k) =1, 1 ≤ k ≤ n,0, k > n¨¬¥¥¬ kzn k∞ = 1 ¨ kfn k ≥ |fn (zn )| = n. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, kfn k = n.∗®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ä㭪樮­ «®¢ {fn }∞n=1 ⊂ X ï¥âáï á« ¡®*äã­¤ ¬¥­â «ì­®©, â ª ª ª ¤«ï «î¡®£® x ∈ X = `1 ¨ «î¡ëå ­®¬¥à®¢m, n ¨¬¥¥¬|fn (x) − fn+m (x)| ≤n+mXk=n+1∞X|x(k)| ≤|x(k)| → 0¯à¨n → ∞.k=n+1∞Px(k) =à¨ í⮬ ¤«ï «î¡®£® x ∈ X = `1 áãé¥áâ¢ã¥â n→∞lim fn (x) =k=1= g(x).

®ª ¦¥¬, çâ® ä㭪樮­ « g: X → C ­¥ ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­ë¬, â. ¥. g 6∈ X ∗ . „¥©á⢨⥫쭮, á¯à ¢¥¤«¨¢ë ᮮ⭮襭¨ï kgk ≥≥ |g(zn )| = n → ∞, â. ¥. ¨¬¥¥â ¬¥áâ® à ¢¥­á⢮ kgk = +∞. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á« ¡®* äã­¤ ¬¥­â «ì­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ®£à ­¨ç¥­­ëåä㭪樮­ «®¢ fn ­¥ ï¥âáï á« ¡®* á室ï饩áï ¢ ¯à®áâà ­á⢥ X ∗ .’ ¥ ® à ¥ ¬ 5.5.1 ( ­ å, €« ®£«ã). ãáâì ¯à®áâà ­á⢮ X ï¥âáï ᥯ à ¡¥«ì­ë¬. ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® R > 0 è à BR∗ (0) ⊂ X ∗ï¥âáï á« ¡®* ª®¬¯ ªâ­ë¬.317„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

Характеристики

Список файлов лекций