Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 43

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 43)

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¥á«¨ zm → z¯à¨ m → ∞, â® m→∞lim p(zm ) ≤ p(z) + lim p(zm − z) = p(z). ’ ª ª ªm→∞¤«ï «î¡®£® x ∈ X áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì zm ∈ N , â ª ï,çâ® zm → x ¨ w(zm ) → v(x) ¯à¨ m → ∞, â® ¢ ᨫ㠭¥à ¢¥­á⢠w(zm ) ≤ p(zm ) ¯®«ãç ¥¬ v(x) = lim w(zm ) ≤ lim p(zm ) ≤ p(x).m→∞m→∞Žâáî¤ v(−x) ≤ p(−x), â. ¥.

v(x) ≥ −p(−x), çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.‘ « ¥ ¤ á â ¢ ¨ ¥ 5.1.1. ãáâì (X, k · kX ) | ª®¬¯«¥ªá­®¥ «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮, L ⊂ X | ¯®¤¯à®áâà ­á⢮. ãáâ쫨­¥©­ë© ä㭪樮­ « f : L → C ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭ë¬. ’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ­¥¯à¥àë¢­ë© «¨­¥©­ë© ä㭪樮­ « g: X → C, â ª®©, çâ®g(x) = f (x) ¤«ï ¢á¥å x ∈ L, ¨ á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ kgk = kf k.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. Ž¯à¥¤¥«¨¬ äã­ªæ¨î p: X → R ¢¨¤ p(x) = kf k kxkX¤«ï ¢á¥å x ∈ X .

’®£¤ äã­ªæ¨ï p ï¥âáï ¯®«ã ¤¤¨â¨¢­®© ¯®«®¦¨â¥«ì­® ®¤­®à®¤­®© ¨ M = sup |p(x)| = kf k < +∞.  áᬮâਬkxkX =1¢¥é¥á⢥­­®-«¨­¥©­ë© ä㭪樮­ « u: L → R ¢¨¤ u(x) = Re f (x)¤«ï «î¡®£® x ∈ L. ’®£¤ u(x) ≤ |f (x)| ≤ kf k kxkX = p(x) ¯à¨ ¢á¥å257x ∈ X.® ⥮६¥ 5.1.1 áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥é¥á⢥­­®-«¨­¥©­ë© ä㭪樮­ « v: X → R, â ª®©, çâ® v(x) = u(x) ¤«ï «î¡®£® x ∈ L, ¤«ï¢á¥å x ∈ X ¢ë¯®«­¥­ë ­¥à ¢¥­á⢠−p(−x) ≤ v(x) ≤ p(x).

â® ®§­ ç ¥â, çâ® |v(x)| ≤ kf k kxk ¯à¨ ¢á¥å x ∈ X . ‚¥é¥á⢥­­®-«¨­¥©­ë©ä㭪樮­ « v ¯®à®¦¤ ¥â «¨­¥©­ë© ä㭪樮­ « g: X → C ¢¨¤ g(x) = v(x) − iv(ix)¤«ï ¢á¥åx ∈ X . ’ ª ª ª ¤«ï «î¡®£® x ∈ L ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮f (x) = u(x) − iu(ix), â® g(x) = f (x) ¯à¨ x ∈ L. „ «¥¥ ¤«ï «î¡®£®x ∈ X § ¯¨è¥¬ ª®¬¯«¥ªá­®¥ ç¨á«® g(x) ¢ íªá¯®­¥­æ¨ «ì­®© ä®à¬¥g(x) = |g(x)|eiϕ(x) , £¤¥ ϕ(x) ∈ [0, 2π). ’®£¤ ¯®«ãç ¥¬ ᮮ⭮襭¨ï³´|g(x)| = g(x)e−iϕ(x) = g xe−iϕ(x) =³´³´³´= Re g xe−iϕ(x) = v xe−iϕ(x) ≤ p xe−iϕ(x) = kf k kxkX .‘«¥¤®¢ ⥫쭮, kgk ≤ kf k.

‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, á¯à ¢¥¤«¨¢® ®¡à â­®¥­¥à ¢¥­á⢮kf k =sup|f (x)| =x∈L: kxkX ≤1sup|g(x)| ≤x∈L: kxkX ≤1sup|g(x)| = kgk.x∈X: kxkX ≤1‘«¥¤®¢ ⥫쭮, kf k = kgk, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.‘ « ¥ ¤ á â ¢ ¨ ¥ 5.1.2. ãáâì (X, k·kX ) | ª®¬¯«¥ªá­®¥ «¨­¥©­®¥­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮. ’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢ë á«¥¤ãî騥 ã⢥ত¥­¨ï:1) ¥á«¨ L ⊂ X | § ¬ª­ã⮥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮, ¢¥ªâ®à x0 6∈ L, â®áãé¥áâ¢ã¥â ä㭪樮­ « f ∈ X ∗ , â ª®©, çâ® f (x) = 0 ¯à¨ ¢á¥å x ∈ L,f (x0 ) = 1, kf k = ρ(x1 ,L) ;2) ¤«ï «î¡®£® x0 6= 0 áãé¥áâ¢ã¥â ä㭪樮­ « f ∈ X ∗ , â ª®©, çâ®kf k = 1 ¨ f (x0 ) = kx0 kX ;3) ¥á«¨ ¤«ï ¢¥ªâ®à x0 ∈ X ¨ ¤«ï «î¡®£® ä㭪樮­ « f ∈ X ∗¢ë¯®«­¥­® f (x0 ) = 0, â® x0 = 0;4) ¤«ï «î¡®£® x ∈ X ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮0kxkX =supf ∈X ∗ : kf k=1258|f (x)|.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

1.  ¯®¤¯à®áâà ­á⢥M = L ⊕ { αx0 | α ∈ C }à áᬮâਬ «¨­¥©­ë© ä㭪樮­ « h: M¯à¨ ¢á¥å y ∈ L, α ∈ C. ˆ¬¥¥¬ à ¢¥­á⢮khk = supy∈Lα6=0→C¢¨¤ h(y + αx0 ) = α|α|111= sup==.ky + αx0 kXinf kz − x0 kXρ(x0 , L)z∈L kz + x0 kXz∈L‘«¥¤®¢ ⥫쭮, «¨­¥©­ë© ä㭪樮­ « h ï¥âáï ­¥¯à¥àë¢­ë¬ ­ M . ® á«¥¤á⢨î 5.1.1 áãé¥áâ¢ã¥â ä㭪樮­ « f ∈ X ∗ , â ª®©, çâ®f (x) = h(x) ¯à¨ ¢á¥å x ∈ M , ®âªã¤ , ¢ ç áâ­®áâ¨, á«¥¤ãîâ à ¢¥­á⢠f (y) = h(y) = 0 ¯à¨ ¢á¥å y ∈ L ¨ f (x0 ) = h(x0 ) = 1, â ª¦¥¢ë¯®«­¥­® ᮮ⭮襭¨¥ kf k = khk = ρ(x1,L) .2. ãáâì L = { 0 } | ­ã«¥¢®¥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ ¢ X .

’ ª ª ªx0 6= 0, â® x0 6∈ L. ’®£¤ ¢ ᨫã 1 áãé¥áâ¢ã¥â ä㭪樮­ « g ∈ X ∗ ,â ª®©, çâ® g(x0 ) = 1 ¨ kgk = kx 1k . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ä㭪樮­ «f (x) = kx0 kX g(x), x ∈ X , ï¥âáï ¨áª®¬ë¬.3. …᫨ ¯à¥¤¯®«®¦¨âì, çâ® x0 6= 0, â® ¢ ᨫã 2 áãé¥áâ¢ã¥â ä㭪樮­ « f ∈ X ∗ , â ª®©, çâ® f (x0 ) = kx0 kX 6= 0, çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨âãá«®¢¨î f (x0 ) = 0.4. …᫨ x = 0, â® f (x) = 0 ¤«ï «î¡®£® f ∈ X ∗ ¨ ¤®ª §ë¢ ¥¬®¥ à ¢¥­á⢮ ®ç¥¢¨¤­®.

…᫨ x 6= 0, â® ¤«ï «î¡®£® f ∈ X ∗ ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ |f (x)| ≤ kf k kxkX . Žâáî¤ ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮sup|f (x)| ≤ kxk. ’ ª ª ª ¢ ᨫã 2 áãé¥áâ¢ã¥â ä㭪樮­ «00 Xf ∈X ∗ : kf k=1∗g ∈ X , â ª®©, çâ® kgk = 1,g(x) = kxk, â® ¯®«ãç ¥¬¨ ¤«ï ¤ ­­®£®kxkX = g(x) = |g(x)| ≤supf ∈X ∗ : kf k=1x¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮|f (x)| ≤ kxkX ,çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.‘ « ¥ ¤ á â ¢ ¨ ¥ 5.1.3.

ãáâì (X, k · kX ) | ­¥âਢ¨ «ì­®¥ «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮, (Y, k · kY ) | ­¥¯®«­®¥ «¨­¥©­®¥­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮. ’®£¤ ¯à®áâà ­á⢮ L(X, Y ) ï¥âáï­¥¯®«­ë¬.259„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ‚ ᨫ㠭¥¯®«­®âë «¨­¥©­®£® ­®à¬¨à®¢ ­­®£® ¯à®áâà ­á⢠Y ¢ ­ñ¬ áãé¥áâ¢ã¥â äã­¤ ¬¥­â «ì­ ï à á室ïé ïáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {ym }∞m=1 . ® ãá«®¢¨î áãé¥áâ¢ã¥â ­¥âਢ¨ «ì­ë© ¢¥ªâ®à x0 ∈ X . ‚ ᨫ㠯㭪â 2 á«¥¤á⢨ï 5.1.2 áãé¥áâ¢ã¥â f ∈ X ∗ , â ª®©, çâ® kf k = 1 ¨ f (x0 ) = kx0 k. „«ï «î¡®£®m ∈ N ®¯à¥¤¥«¨¬ «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à Am : X → Y ¢¨¤ Am (x) = f (x)ym¤«ï «î¡®£®x ∈ X .

’®£¤ kAm k = kf k kym kY = kym kY < +∞, â. ¥.Am ∈ L(X, Y ), ¨ kAm − An k = kym − yn kY → 0 ¯à¨ m, n → ∞. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {Am }∞m=1 ⊂ L(X, Y ) ï¥âáï äã­¤ ¬¥­â «ì­®©. à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ®­ ï¥âáï á室ï饩áï ¢ L(X, Y ).’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à B ∈ L(X, Y ), â ª®©, çâ®kAm − Bk → 0¯à¨m → ∞.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬°°°°°°°B(x0 ) − kx0 kX ym °° B(x0 )°Y°°=° kx0 kX − ym ° ≤kxk0Y°°°°°°°B(x0 ) − Am (x0 )°°°Y=≤ °B − Am ° → 0 ¯à¨ m → ∞.kx0 kX’ ª¨¬ ®¡à §®¬, à á室ïé ïáï äã­¤ ¬¥­â «ì­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâìB(x ){ym }∞m=1 ®ª §ë¢ ¥âáï á室ï饩áï ¢ ¯à®áâà ­á⢥ Y ª ¢¥ªâ®àã kx k ,â.

¥. ¯®«ã稫¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥.00 X’ ¥ ® à ¥ ¬ 5.1.2 (®¡ ®â¤¥«¨¬®áâ¨). ãáâì (X, k·kX ) | ª®¬¯«¥ªá­®¥ «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮, A, B ⊂ X | ­¥¯ãáâ륢ë¯ãª«ë¥ ­¥¯¥à¥á¥ª î騥áï ¬­®¦¥á⢠. ’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢ë á«¥¤ãî騥 ã⢥ত¥­¨ï:1) ¥á«¨ ¬­®¦¥á⢮ A ®âªàëâ®, â® áãé¥áâ¢ãîâ ­¥âਢ¨ «ì­ë©ä㭪樮­ « f ∈ X ∗ ¨ ç¨á«® γ ∈ R, â ª¨¥, çâ® Re f (a) < γ ≤ Re f (b)¯à¨ ¢á¥å a ∈ A, b ∈ B . à¨ í⮬ £®¢®àïâ, çâ® ¬­®¦¥á⢠A ¨ B áâண®®â¤¥«¨¬ë;2) ¥á«¨ ¬­®¦¥á⢮ A ª®¬¯ ªâ­®, B | § ¬ª­ãâ®, â® áãé¥áâ¢ãîâ­¥âਢ¨ «ì­ë© ä㭪樮­ « f ∈ X ∗ ¨ ç¨á« γ1 , γ2 ∈ R, â ª¨¥, çâ®Re f (a) < γ1 < γ2 < Re f (b) ¯à¨ ¢á¥å a ∈ A, b ∈ B . à¨ í⮬ £®¢®àïâ,çâ® ¬­®¦¥á⢠A ¨ B ᨫ쭮 ®â¤¥«¨¬ë.260„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. 1.

‡ 䨪á¨à㥬 ¢¥ªâ®àë a0 ∈ A, b0 ∈ B¨ ®¯à¥¤¥«¨¬ x0 = b0 − a0 . ’ ª ª ª A ∩ B = ∅, â® x0 6= 0. Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¬­®¦¥á⢮ C = A − B + x0 | ®âªàë⮥ (¢ ᨫ㠮âªàëâ®á⨠A),¢ë¯ãª«®¥ (¢ ᨫ㠢ë¯ãª«®á⨠A ¨ B ), ᮤ¥à¦ 饥 ­®«ì. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® R > 0, â ª®¥, çâ® BR (0) ⊂ C .  áᬮâਬäã­ªæ¨î Œ¨­ª®¢áª®£® ¬­®¦¥á⢠C :µC (x) = inf©¯t>0 ¯xt∈Cª∀ x ∈ X.’®£¤ ¤«ï «î¡®£® x ∈ X ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ µC (x) ≤„«ï «î¡®£® x ∈ X ¨ λ > 0 ¯®«ãç ¥¬µC (λx) = inf©¯t>0 ¯λxt∈Cª= inf©¯λτ > 0 ¯xτ∈CªkxkXR.= λµC (x).…᫨ ¦¥ λ = 0, â® ®ç¥¢¨¤­ë á«¥¤ãî騥 à ¢¥­á⢠:µC (0x) = µC (0) = 0 = 0µC (x).’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®ª § ­ ¯®«®¦¨â¥«ì­ ï ®¤­®à®¤­®áâì ä㭪樨 µC .„ «¥¥ § ¬¥â¨¬, çâ® ¤«ï «î¡®£® x ∈ X ¨ «î¡®£® ç¨á« t > µC (x)¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ xt ∈ C .

„¥©á⢨⥫쭮, ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ­¨¦­¥© £à ­¨ ¤«ï «î¡®£® t > µC (x) áãé¥áâ¢ã¥â ¯®«®¦¨â¥«ì­®¥ τt < t,â ª®¥, çâ® τx ∈ C¡ . ’ ª ¢ª ª ¬­®¦¥á⢮ C ¢ë¯ãª«® ¨ ᮤ¥à¦¨â ­®«ì,â® τt C = τt C + 1 − τt 0 ⊂ C . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, xt = τt τx ∈ τt C ⊂ C .’®£¤ ¤«ï «î¡ëå ¢¥ªâ®à®¢ x, y ∈ X ¨ «î¡ëå ç¨á¥« α > µC (x) ¨β > µC (y) ¯®«ãç ¥¬ ¢ª«î祭¨ï αx ∈ C ¨ βy ∈ C . ‚ ᨫ㠢ë¯ãª«®áâ¨x+yβ yα x¬­®¦¥á⢠C ¯®«ãç ¥¬ α+β= α+βα + α+β β ∈ C . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮,µC (x + y) ≤ α + β . ¥à¥å®¤ï ¢ ¯®á«¥¤­¥¬ ­¥à ¢¥­á⢥ ª ¯à¥¤¥«ã ¯à¨α → µC (x) + 0 ¨ β → µC (y) + 0, ¯®«ã稬 ᢮©á⢮ ¯®«ã ¤¤¨â¨¢­®á⨵C (x + y) ≤ µC (x) + µC (y).’ ª ª ª 0 6∈ A − B , â® x0 6∈ C . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, µC (x0 ) ≥ 1.  ¢¥é¥á⢥­­®-«¨­¥©­®¬ ¯®¤¯à®áâà ­á⢥ Lin{x0 } = { tx0 | t ∈ R }®¯à¥¤¥«¨¬ ¢¥é¥á⢥­­®-«¨­¥©­ë© ä㭪樮­ « u(tx0 ) = t, t ∈ R.…᫨ t ≥ 0, â® ¯®«ãç ¥¬ u(tx0 ) = t ≤ tµC (x0 ) = µC (tx0 ).

…᫨ ¦¥t < 0, â® u(tx0 ) = t < 0 ≤ µC (tx0 ). ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï «î¡®£® x ∈∈ Lin{x0 } ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ u(x) ≤ µC (x). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®â¥®à¥¬¥ 5.1.1 áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥é¥á⢥­­®-«¨­¥©­ë© ä㭪樮­ « v: X →→ R, â ª®©, çâ® v(x) = u(x) ¤«ï ¢á¥å x ∈ Lin{x0 } ¨ v(x) ≤ µC (x) ¯à¨¢á¥å x ∈ X . Žâáî¤ , ¢ ç áâ­®áâ¨, á«¥¤ã¥â ­¥à ¢¥­á⢮ |v(x)| ≤ kxkR¤«ï ¢á¥å x ∈ X , â. ¥. ä㭪樮­ « v ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭ë¬. ’ ªtttttttX261ª ª ¬­®¦¥á⢮ C ®âªàëâ®, â® ¤«ï «î¡®£® x ∈ C ¨¬¥¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮µC (x) < 1. ’ ª ª ª v(x0 ) = u(x0 ) = 1, â® ¤«ï «î¡ëå ¢¥ªâ®à®¢ a ∈ A,b ∈ B ¯®«ãç ¥¬v(a) − v(b) + 1 = v(a − b + x0 ) ≤ µC (a − b + x0 ) < 1.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, v(a) < v(b) ¯à¨ ¢á¥å a ∈ A, b ∈ B . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,¢ë¯ãª«ë¥ ¬­®¦¥á⢠v(A) ¨ v(B) ­¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï, ¬­®¦¥á⢮ v(A)ï¥âáï ®âªàëâë¬ ¢ ᨫ㠮âªàëâ®á⨠¬­®¦¥á⢠A.

„¥©á⢨⥫쭮,¤«ï «î¡®£® a ∈ A áãé¥áâ¢ã¥â δ > 0, â ª®¥, çâ® a + tx0 ∈ A ¯à¨ ¢á¥åt ∈ (−δ, δ). ’ ª ª ª v(a + tx0 ) = v(a) + t, â® ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¨­â¥à¢ «(v(a) − δ, v(a) + δ) ⊂ v(A). ‚®§ì¬ñ¬ γ = sup v(A). ’®£¤ v(a) < γ ≤≤ v(b) ¯à¨ ¢á¥å a ∈ A, b ∈ B . Žáâ «®áì à áᬮâà¥âì ä㭪樮­ «f ∈ X ∗ , â ª®©, çâ® Re f = v , â. ¥. f (x) = v(x) − iv(ix) ¯à¨ ¢á¥å x ∈∈ X . ’®£¤ ¤«ï ¢á¥å a ∈ A ¨ b ∈ B ¯®«ãç ¥¬ âà¥¡ã¥¬ë¥ ­¥à ¢¥­á⢠Re f (a) < γ ≤ Re f (b).2. ‚ ᨫ㠧 ¬ª­ãâ®á⨠¬­®¦¥á⢠B ¨ à ¢¥­á⢠A ∩ B = ∅ ¤«ï«î¡®£® x ∈ A áãé¥áâ¢ã¥â ε(x) > 0, â ª®¥,çâ® O¯ 2ε(x) (x)o∩ B = ∅.n’ ª ª ª ᥬ¥©á⢮ ®âªàëâëå è ஢ Oε(x) (x) ¯¯ x ∈ A ®¡à §ã¥â®âªàë⮥¯®ªàë⨥ª®¬¯ ªâ A, â® áãé¥áâ¢ã¥â ª®­¥ç­®¥ ¯®¤¯®ªàënoN. ãáâì δ = min ε(xn ).  áᬮâਬ ®âªàë⮥⨥ Oε(x ) (xn )1≤n≤Nn=1¢ë¯ãª«®¥ ¬­®¦¥á⢮ A0 = A + Oδ (0). ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à a ∈ A0 áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à x ∈ A, â ª®©, çâ® a ∈ Oδ (x).

’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à n ∈ 1, N , â ª®©, çâ® x ∈ Oε(x ) (xn ). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮,¯®«ãç ¥¬ ¢ª«î祭¨¥ a ∈ Oδ+ε(x ) (xn ) ⊂ O2ε(x ) (xn ) ⊂ B c . ®í⮬ãA0 ∩ B = ∅. ’®£¤ ¢ ᨫ㠯㭪â 1 áãé¥áâ¢ã¥â ä㭪樮­ « f ∈ X ∗ ¨ç¨á«® γ ∈ R, â ª¨¥, çâ® Re f (a) < γ ≤ Re f (b) ¯à¨ ¢á¥å a ∈ A0 , b ∈ B .‚ ᨫ㠪®¬¯ ªâ­®á⨠¬­®¦¥á⢠A ¨ ­¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪樮­ « f¯®«ãç ¥¬, çâ® Re f (A) | ª®¬¯ ªâ­®¥ ¯®¤¬­®¦¥á⢮ ®âªàë⮣® ¬­®¦¥á⢠Re f (A0 ). ’®£¤ max Re f (A) < γ , â. ¥. áãé¥áâ¢ãîâ ç¨á« γ1¨ γ2 ¢¨¤ max Re f (A) < γ1 < γ2 < γ . ®í⮬㠤«ï «î¡ëå a ∈ A ¨b ∈ B ¨¬¥¥¬ ­¥à ¢¥­á⢠Re f (a) < γ1 < γ2 < Re f (b), çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.nnnn à ¨ ¬ ¥ à 5.1.1. ãáâì (X, k · kX ) | ª®¬¯«¥ªá­®¥ «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮, A, B ⊂ X | ­¥¯ãáâë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ­¥¯¥à¥á¥ª î騥áï ¬­®¦¥á⢠.

Œ®¦¥â ®ª § âìáï, çâ® ¬­®¦¥á⢠A ¨ B­¥®â¤¥«¨¬ë, â. ¥. ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â ­¥âਢ¨ «ì­®£® ä㭪樮­ « f ∈∈ X ∗ , â ª®£®, çâ® Re f (a) ≤ Re f (b) ¯à¨ ¢á¥å a ∈ A, b ∈ B . ãáâì262| ¬­®¦¥á⢮, á®áâ®ï饥 ¨§ ¢á¥å ª®¬¯«¥ªá­®§­ ç­ëå­¥¯à¥à뢭ëå ­ ®â१ª¥ [0, 1] ä㭪権, ­®à¬ ¢ ª®â®à®¬ ®¯à¥¤¥«ïX = CL1 [0, 1]¥âáï ᮮ⭮襭¨¥¬ kxk1 =nA=R10|x(t)| dt. áᬮâਬ ¬­®¦¥á⢠¯o¯x ∈ CL1 [0, 1] ¯ x(0) = 1 ,B = { 0 }.’®£¤ A, B | ¢ë¯ãª«ë¥ ­¥¯¥à¥á¥ª î騥áï ¬­®¦¥á⢠, ¯à¨çñ¬ A¢áî¤ã ¯«®â­® ¢ CL1 [0, 1]. à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ­¥âਢ¨ «ì­ë© ä㭪樮­ « f ∈ X ∗ , â ª®©, çâ® Re f (a) ≤ Re f (0) = 0 ¯à¨¢á¥å a ∈ A. „«ï «î¡®£® x ∈ CL1 [0, 1] áãé¥áâ¢ãîâ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠an ∈ A ¨ bn ∈ A, â ª¨¥, çâ® kx − an k1 → 0 ¨ kx + bn k1 → 0 ¯à¨n → ∞. ’®£¤ Re f (x) = lim Re f (an ) ≤ 0,n→∞³´− Re f (x) = Re f (−x) = lim Re f (bn ) ≤ 0.n→∞‘«¥¤®¢ ⥫쭮, Re f (x) = 0 ¤«ï «î¡®£® x ∈ X .

® ⮣¤ ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮ f (x) = Re f (x) − i Re f (ix) = 0 ¯à¨ ¢á¥å x ∈ X , ç⮯à®â¨¢®à¥ç¨â ­¥âਢ¨ «ì­®á⨠ä㭪樮­ « f .“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 5.1.1. ãáâì (X, k · kX ) | ª®¬¯«¥ªá­®¥ «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮. ’®£¤ «¨­¥©­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥F : X → X ∗∗ ¢¨¤ (F x)(f ) = f (x) ¤«ï «î¡®£® x ∈ X ¨ f ∈ X ∗ ®áãé¥á⢫ï¥â ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨© ¨§®¬®à䨧¬ ¨§ X ­ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮Im F ⊂ X ∗∗ , â. ¥. F ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ç­® ®â®¡à ¦ ¥â X ­ Im F ¨kF xk = kxkX ¤«ï «î¡®£® x ∈ X .„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. …᫨ ¤«ï ¢¥ªâ®à®¢ x, y ∈ X ¢ë¯®«­¥­®à ¢¥­á⢮ F x = F y, â® ¤«ï «î¡®£® f ∈ X ∗ ¯®«ãç ¥¬ f (x) = f (y).‘«¥¤®¢ ⥫쭮, f (x − y) = 0 ¤«ï «î¡®£® f ∈ X ∗ . ’®£¤ ¢ ᨫ㠯㭪â 3 á«¥¤á⢨ï 5.1.2 ¯®«ãç ¥¬ x − y = 0, â.

Характеристики

Список файлов лекций