Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 41

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 41)

®í⮬㠤«ï ¯à®¢¥àª¨à¥£ã«ïà­®á⨠µα ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¯®« £ ¥¬ F = G = ∅ | ®¤­®¢à¥¬¥­­®§ ¬ª­ãâë© ¨ ®âªàëâë© ¯à®¬¥¦ã⮪.„ «¥¥ áç¨â ¥¬,ç⮡¢ a < b. ’®£¤ ¤«ï ¢ë¡à ­­®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥âγ = γ(ε) ∈ 0, b−a, â ª®¥, çâ® ¯à¨ ¢á¥å t ∈ (b − γ, b) ¢ë¯®«­¥­®2­¥à ¢¥­á⢮ α(b − 0) − α(t) ≤ ε, ¯à¨ ¢á¥å t ∈ (a, a + γ) ¢ë¯®«­¥­®­¥à ¢¥­á⢮ α(t) − α(a + 0) ≤ ε. áᬮâਬ ¯à®¬¥¦ã⮪ (a, b]. Ž¯à¥¤¥«¨¬ § ¬ª­ãâë© ¯à®¬¥¦ã⮪ F = [a + γ, b] ⊂ (a, b] ¨ ®âªàëâë© ¯à®¬¥¦ã⮪ G = (a, b + δ) ⊃⊃ (a, b]. ’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢ë ­¥à ¢¥­á⢠µα (G) − µα (a, b] = α(b + δ − 0) − α(b + 0) ≤µα (a, b] − µα (F ) = α(a + γ − 0) − α(a + 0) ≤‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ॣã«ïà­®áâì ¬¥àë§ ­ .241µα¤«ï ¯à®¬¥¦ã⪠ε,ε.(a, b]¤®ª - áᬮâਬ ¯à®¬¥¦ã⮪ [a, b).

Ž¯à¥¤¥«¨¬ § ¬ª­ãâë© ¯à®¬¥¦ã⮪ F = [a, b − γ] ⊂ [a, b) ¨ ®âªàëâë© ¯à®¬¥¦ã⮪ G = (a − δ, b) ⊃⊃ [a, b). ’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢ë ­¥à ¢¥­á⢠µα (G) − µα [a, b) =µα [a, b) − µα (F ) =α(a − 0) − α(a − δ + 0)α(b − 0) − α(b − γ + 0)≤≤ε,ε.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ॣã«ïà­®áâì ¬¥àë µα ¤«ï ¯à®¬¥¦ã⪠[a, b) ¤®ª § ­ . áᬮâਬ ¯à®¬¥¦ã⮪ (a, b). Ž¯à¥¤¥«¨¬ § ¬ª­ãâë© ¯à®¬¥¦ã⮪ F = [a + γ, b − γ] ⊂ (a, b) ¨ ®âªàëâë© ¯à®¬¥¦ã⮪ G = (a, b).’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮µα (a, b) − µα (F ) = α(b − 0) − α(b − γ + 0) + α(a + γ − 0) − α(a + 0) ≤ 2ε.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ॣã«ïà­®áâì ¬¥àë µα ¤«ï ¯à®¬¥¦ã⪠(a, b) ¤®ª § ­ .’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®ª § ­ ॣã«ïà­®áâì ¬¥àë µα ¤«ï «î¡®£® ¯à®¬¥¦ã⪠.

„ «¥¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ॣã«ïà­®á⨠¬¥àë µα ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì­®£® ª«¥â®ç­®£® ¬­®¦¥á⢠¯à®¢®¤¨âáï ᮢ¥à襭­® ­ «®£¨ç­®á®®â¢¥âáâ¢ãî饬㠤®ª § ⥫ìáâ¢ã ¨§ ã⢥ত¥­¨ï 4.1.6.Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 4.5.2. σ-ª®«ìæ® µα -¨§¬¥à¨¬ëå ¯® ‹¥¡¥£ã¬­®¦¥á⢠M(µα ) ­ §ë¢ ¥âáï σ-ª®«ì殬 ¬­®¦¥áâ¢, ¨§¬¥à¨¬ëå ¯®‹¥¡¥£ã|‘⨫âì¥áã, ¢¥àå­ïï ¬¥à ‹¥¡¥£ µ∗α ­ M(µα ) ­ §ë¢ ¥âáﬥன ‹¥¡¥£ |‘⨫âì¥á .‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 4.5.2. …᫨ äã­ªæ¨ï α0 (x) = x ¤«ï «î¡®£® x ∈ R,â® ¬¥à µα ­ ª®«ìæ¥ E ï¥âáï ®¡ëç­®© ¬¥à®© µ ª«¥â®ç­®£® ¬­®¦¥á⢠, §­ 祭¨¥ ª®â®à®© ­ «î¡®¬ ¯à®¬¥¦ã⪥ à ¢­® ¤«¨­¥ í⮣®¯à®¬¥¦ã⪠.

’®£¤ M(µα ) = M(µ) ¨ µ∗α = µ∗ .000Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 4.5.3. ãáâì ¬­®¦¥á⢮ E∈ M(µα ), äã­ªf :RE → R ∪ {±∞} Rï¥âáï µα -¨§¬¥à¨¬®©. ˆ­â¥£à «ë ‹¥¡¥£ = f+ dµα ¨ I− = f− dµα ­ §ë¢ îâáï ¨­â¥£à « ¬¨ ‹¥¡¥£ |æ¨ïI+EE‘⨫âì¥á ­¥®âà¨æ ⥫ì­ëå ­ E µα -¨§¬¥à¨¬ëå ä㭪権 f+ ¨ f−ᮮ⢥âá⢥­­®. …᫨ ¢¥«¨ç¨­ë I+ ¨ I− ª®­¥ç­ë, â® äã­ªæ¨ï f ­ §ë¢ ¥âáï ¨­â¥£à¨à㥬®© ¯® ‹¥¡¥£ã|‘⨫âì¥áã­ ¬­®¦¥á⢥ E , R¥ñ ¨­â¥£à « ‹¥¡¥£ |‘⨫âì¥á à ¢¥­ f dµα = I+ − I− . Œ­®¦¥áâE¢® ¨­â¥£à¨à㥬ëå ¯® ‹¥¡¥£ã|‘⨫âì¥áã ­ ¬­®¦¥á⢥ E ä㭪権®¡®§­ 稬 Lα (E).242ˆ§¢¥áâ­®, çâ® ­¥ã¡ë¢ îé ï ­ R äã­ªæ¨ï α ¨¬¥¥â ­¥ ¡®«¥¥ áçñâ­®£® ç¨á« à §à뢮¢ ¯¥à¢®£® த . ãáâì {xm }∞m=1 ⊂ R | ¢á¥ à §àë¢ë ä㭪樨 α, ¯à¨çñ¬ xm 6= xk ¯à¨ ¢á¥å m 6= k. „«ï ®¯à¥¤¥«ñ­­®á⨡㤥¬ áç¨â âì, çâ® äã­ªæ¨ï α ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭®© á«¥¢ ­ R, â.

¥.¤«ï «î¡®£® x ∈ R ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ α(x − 0) = α(x). ’®£¤ ¤«ï«î¡®£® m ∈ N ®¯à¥¤¥«¨¬ λm = α(xm + 0) − α(xm ) > 0 | ᪠箪ä㭪樨 α ¢ â®çª¥ à §àë¢ xm . ‚롥६ â®çªã x0 6= xm ¤«ï «î¡®£®m ∈ N ¨ ®¯à¥¤¥«¨¬ ç¨á«® c0 = α(x0 ). ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® x > x0 ¨¬¥¥¬­¥à ¢¥­á⢮Xλm ≤ α(x) − α(x0 )m : x0 <xm <x¨ ¤«ï «î¡®£® x < x0 ¨¬¥¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮Xλm ≤ α(x0 ) − α(x).m : x≤xm <x0Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¤¢ ¬­®¦¥á⢠¨­¤¥ªá®¢J+ = { m ∈ N | x0 < xm },J− = { m ∈ N | x0 > xm }.Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¤¢¥ ä㭪樨½β(x) =½1, x > 0,0, x ≤ 0,γ(x) =1, x ≥ 0,0, x < 0.¥ã¡ë¢ îéãî äã­ªæ¨î α ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì ä㭪樥© ᪠窮¢, ¥á«¨¤«ï «î¡®£® x ∈ R á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮α(x) = c0 +XXλm β(x − xm ) +m∈J+(−λm )γ(xm − x).m∈J−’®£¤ §­ 祭¨¥ α(x) ¤«ï «î¡®£® x > x0 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï à ¢¥­á⢮¬Xα(x) = c0 +λm ,m : x0 <xm <x ¤«ï «î¡®£® x < x0 | à ¢¥­á⢮¬Xα(x) = c0 −m : x≤xm <x0243λm .„«ï «î¡®£® x > x0 ¯®«ãç ¥¬Xα(x − 0) = c0 + limδ→+0Xλm = c0 +λm = α(x),m : x0 <xm <xm : x0 <xm <x−δ¤«ï «î¡®£® x < x0 ¯®«ãç ¥¬Xα(x − 0) = c0 − limδ→+0Xλm = c0 −λm = α(x),m : x≤xm <x0m : x−δ≤xm <x0 ¤«ï x = x0 ¯®«ãç ¥¬Xα(x0 − 0) = c0 − limδ→+0λm =m : x0 −δ≤xm <x0X= c0 −λm = c0 = α(x0 ),m : x0 ≤xm <x0â.

¥. äã­ªæ¨ï ᪠窮¢ α ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭®© á«¥¢ ­ R. „ «¥¥¤«ï «î¡®£® x ≥ x0 ¢¨¤ x 6= xs ¯à¨ ¢á¥å s ∈ N ¯®«ãç ¥¬α(x + 0) = c0 + limδ→+0XXλm = c0 +λm = α(x),m : x0 <xm ≤xm : x0 <xm <x+δ ¤«ï x = xs > x0 ­ 室¨¬Xα(xs + 0) = c0 + limδ→+0λm =m : x0 <xm <xs +δX= c0 +λm = α(xs ) + λs .m : x0 <xm ≤xs€­ «®£¨ç­® ¤«ï «î¡®£® x < x0 ¢¨¤ x 6= xs ¯à¨ ¢á¥å s ∈ N ¯®«ãç ¥¬α(x + 0) = c0 − limδ→+0XXλm = c0 −λm = α(x),m : x<xm <x0m : x+δ≤xm <x0 ¤«ï x = xs < x0 ­ 室¨¬α(xs + 0) = c0 − limδ→+0Xλm =m : xs +δ≤xm <x0= c0 −Xm : xs <xm <x0244λm = α(xs ) + λs .’ ª¨¬ ®¡à §®¬, äã­ªæ¨ï α ­¥¯à¥à뢭 á¯à ¢ ¢ «î¡®© â®çª¥ x 6= xs¯à¨ ¢á¥å s, ¢ ª ¦¤®© â®çª¥ xs ®­ ¨¬¥¥â à §àë¢ á¯à ¢ ᮠ᪠窮¬,à ¢­ë¬ λs .„«ï ®¯à¥¤¥«ñ­­®© ¢ëè¥ ­¥¯à¥à뢭®© á«¥¢ ä㭪樨 ᪠窮¢ α®¯à¥¤¥«¨¬ ¢¨¤ σ-ª®«ìæ µα -¨§¬¥à¨¬ëå ¬­®¦¥á⢠M(µα ) ¨ §­ 祭¨ï¬¥àë ‹¥¡¥£ |‘⨫âì¥á µ∗α .

„«ï «î¡ëå ç¨á¥« a ≤ b ¨¬¥¥¬ à ¢¥­á⢠µα [a, b] = α(b + 0) − α(a)P=λm =m : a≤xm ≤bµα [a, b) = α(b) − α(a)P=λm =m : a≤xm <bµα (a, b] = α(b + 0) − α(a + 0)P=λm =m : a<xm ≤bµα (a, b) = α(b) − α(a + 0)P=λm =m : a<xm <bPm : xm∈[a,b]Pm : xm∈[a,b)Pm : xm∈(a,b]Pm : xm∈(a,b)’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï «î¡®£® ç¨á«®¢®£® ¯à®¬¥¦ãâª à ¢¥­á⢮Xλm ,λm ,λm ,λm .á¯à ¢¥¤«¨¢®Iλm < +∞.µα (I) =m : xm ∈I’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ª«¥â®ç­®£® ¬­®¦¥á⢠A ∈ E ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮Xµα (A) =λm < +∞.m : xm ∈A’ ª ª ª ¤«ï «î¡®£® A ∈ E ¨¬¥¥¬ ¢ª«î祭¨¥â® á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮µ∗α³A\{xm }∞m=1ô=µ∗α (A)−X= µ∗α (A) −µ∗α![xmm : xm ∈Aµα (xm ) =m : xm ∈AA\{xm }∞m=1 ∈ M(µα ),X=Xλm −m : xm ∈Aλm = 0.m : xm ∈A‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® ¬­®¦¥á⢠A ∈ E ¬­®¦¥á⢮A\{xm }∞m=1 ∈ M0 (µα ).+∞S’ ª ª ª á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ R =[k, k + 1) ∈ M(µα ), â® ¯®k=−∞«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮µ∗α (R) =+∞Xµα [k, k + 1) =∞Xm=1k=−∞245λm =Xm : xm ∈Rλm .’ ª ª ª á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮+∞³´Xµ∗α [k, k + 1)\{xm }∞=0 = 0,m=1+∞Xµ∗α (R\{xm }∞m=1 ) =k=−∞k=−∞â® ¤«ï «î¡®£® ¬­®¦¥á⢠E ⊂ R ¨¬¥¥¬ ¢ª«î祭¨ï∞E\{xm }∞m=1 ⊂ R\{xm }m=1 ∈ M0 (µα ).‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫ㠧 ¬¥ç ­¨ï 4.1.12 ¯®«ãç ¥¬ ¢ª«î祭¨¥’ ª ª ª ¬­®¦¥á⢮E\{xm }∞m=1 ∈ M0 (µα ).Sxm ∈ M(µα ) ª ªm : xm ∈E­¥ ¡®«¥¥ 祬 áç¥â­®¥®¡ê¥¤¨­¥­¨¥ ®¤­®â®ç¥ç­ëå ¯à®¬¥¦ã⪮¢, â® ¯®«ãç ¥¬ ᮮ⭮襭¨¥³Ã´![E = E\{xm }∞m=1 ∪xm∈ M(µα ).m : xm ∈E‘«¥¤®¢ ⥫쭮, «î¡®¥ ¬­®¦¥á⢮¨ á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮µ∗α (E) =E ⊂ RnXï¥âáïµα -¨§¬¥à¨¬ë¬,λm .m : xm ∈E’®£¤ «î¡ ï äã­ªæ¨ï f : R → R∪{±∞} ï¥âáï µα -¨§¬¥à¨¬®©.

’ ªª ª ¬­®¦¥á⢮ E\{xm }m=1 ¨¬¥¥â ­ã«¥¢ãî ¬¥à㠋¥¡¥£ |‘⨫âì¥á ,â® ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 4.3.13 ¨ ⥮६ë 4.3.1 ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢠Zf+ dµα =Xm : xm ∈EEZf+ dµα  =xm=Xf+ (xm )µα (xm ) =m : xm∈EZf− dµα =EXm : xm ∈Ef+ (xm )λm ,m : xm∈EZXf− dµα  =xm=Xf− (xm )µα (xm ) =m : xm∈EXm : xm∈E246f− (xm )λm .’ ª¨¬ ®¡à §®¬,­¥à ¢¥­á⢮f ∈ Lα (E)⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¢ë¯®«­¥­®X|f (xm )|λm < +∞,m : xm ∈E¯à¨ í⮬ ¨­â¥£à « ‹¥¡¥£ |‘⨫âì¥á ®â ä㭪樨 f ¯® ¬­®¦¥áâ¢ãE à ¢¥­Zf dµα =Xf (xm )λm .m : xm ∈EEãáâì µ: E → [0, +∞) ®¡®§­ ç ¥â ®¡ëç­ãî ¬¥àã ª«¥â®ç­®£® ¬­®¦¥á⢠, §­ 祭¨¥ ª®â®à®© ­ «î¡®¬ ç¨á«®¢®¬ ¯à®¬¥¦ã⪥ à ¢­®¤«¨­¥ í⮣® ¯à®¬¥¦ã⪠.

„ «¥¥ ­ ¬ ¯®­ ¤®¡¨âáï á«¥¤ãî饥“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.5.2. ãáâì äã­ªæ¨ï f : [a, b] → R ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ­ ®â१ª¥ [a, b]. ’®£¤ ¥ñ ¯à®¨§¢®¤­ ï f 0 ï¥âáïµ-¨§¬¥à¨¬®© ä㭪樥© ­ [a, b]. …᫨ ¯à®¨§¢®¤­ ï f 0 ®£à ­¨ç¥­ ­ ®â१ª¥ [a, b], â® f 0 ∈ L(E) ¨ á¯à ¢¥¤«¨¢ ä®à¬ã« ìîâ®­ |‹¥©¡­¨æ :Zf 0 dµ = f (b) − f (a).[a,b]„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

 áᬮâਬ äã­ªæ¨î¢¨¤ ½g(x) =g: [a, b + 1] → Rf (x), x ∈ [a, b],f (b) + f 0 (b)(x − b), x ∈ [b, b + 1].’®£¤ äã­ªæ¨ï g ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ­ ®â१ª¥ [a, b + 1], ¯à¨çñ¬ ¤«ï«î¡®£® x ∈ [a, b] á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮³ ¡f 0 (x) = lim m g x +m→∞1m¢´− g(x) .„«ï «î¡®£® m ∈ N à áᬮâਬ äã­ªæ¨îµ µ¶¶1hm (x) = m g x +− g(x) ,m£¤¥ x ∈ [a, b]. ’®£¤ ¯à¨ ª ¦¤®¬ m ∈ N ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 4.2.3¨ á«¥¤á⢨ï 4.2.3 äã­ªæ¨ï hm ï¥âáï µ-¨§¬¥à¨¬®©. ’ ª ª ª ¤«ï247«î¡®£® x ∈ [a, b] ¨¬¥¥¬ ᮮ⭮襭¨¥ hm (x) → f 0 (x) ¯à¨ m → ∞, ⮢ ᨫã á«¥¤á⢨ï 4.2.2 ¯®«ãç ¥¬ µ-¨§¬¥à¨¬®áâì ä㭪樨 f 0 ­ [a, b].à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ¯à®¨§¢®¤­ ï f 0 ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­®© ­ ®â१ª¥ [a, b], â. ¥.

áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® M > 0, â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡®£®x ∈ [a, b] ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ |f 0 (x)| ≤ M . ’®£¤ ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 4.3.7 ¯®«ãç ¥¬, çâ® ä㭪樨 f 0 ¨ |f 0 | ïîâáï µ-¨­â¥£à¨à㥬묨 ¯® ‹¥¡¥£ã ­ ®â१ª¥ [a, b]. „«ï «î¡®£® x ∈ [a,m∈¡ b] ¨ «î¡®£®¢1∈ N ¯® ⥮६¥ ‹ £à ­¦ áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® ξm ∈ x, x + m, â ª®¥,çâ® hm (x) = g0 (ξm ). ’ ª ª ª ¯à¨ x ∈ [a, b] ¢ë¯®«­¥­® g0 (x) = f 0 (x), ¯à¨ x ∈ [b, b + 1] ¢ë¯®«­¥­® g0 (x) = f 0 (b), â® |g0 (x)| ≤ M ¤«ï «î¡®£®x ∈ [a, b + 1]. ® ⮣¤ ¤«ï «î¡®£® m ∈ N ¨ x ∈ [a, b] ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮ |hm (x)| ≤ M . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯® á«¥¤á⢨î 4.3.7 ⥮६닥¡¥£ ®¡ ®£à ­¨ç¥­­®© á室¨¬®á⨠¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮ZZ0f dµ = lim[a,b]® ⥮६¥ 4.3.6 ¤«ï «î¡®£®Rbhm dµ.m→∞[a,b]m ∈ N¨¬¥¥¬ à ¢¥­á⢮| ¨­â¥£à « ¨¬ ­ ®â ä㭪樨’®£¤ ¯®«ãç ¥¬=hm (x) dxa1b+ mZZbahm dµ =[a,b]¯® ®â१ªã[a, b].Zbg(x) dx − mhm (x) dx = mhmR1a+ mg(x) dx =a1b+ m1a+ mZ=mZg(x) dx − mbg(x) dx.a® ⥮६¥ ® á।­¥¬ ¤«ï ¨­â¥£à « ¨¬ ­ ®â ­¥¯à¥à뢭®©£¤ äã­ª1樨¤«ï«î¡®£®m∈Náãé¥áâ¢ãîâç¨á« y∈a,a+mm ¨ zm ∈£¤1∈ b, b + m , â ª¨¥, çâ® á¯à ¢¥¤«¨¢ë à ¢¥­á⢠1a+ m1b+ mZmZg(x) dx = g(ym ),mag(x) dx = g(zm ).b248’®£¤ ¯à¨ m → ∞ ¨¬¥¥¬ ym → a + 0 ¨­®, g(ym ) → g(a) = f (a) ¨ g(zm ) → g(b)ä®à¬ã«ã ìîâ®­ |‹¥©¡­¨æ :Zf 0 dµ = lim m1b+ mZg(x) dx − mm→∞[a,b]1a+ mZab³= limm→∞zm → b + 0, á«¥¤®¢ ⥫ì= f (b).

Žâáî¤ ¯®«ãç ¥¬g(x) dx =´g(zm ) − g(ym ) = f (b) − f (a). áᬮâਬ ­¥ã¡ë¢ îéãî äã­ªæ¨î α: R → R, ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬ãî ­ R, â. ¥. ¤«ï «î¡®£® x ∈ R áãé¥áâ¢ã¥â ¯à®¨§¢®¤­ ï α0 (x) ≥ 0.à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® äã­ªæ¨ï α0 ®£à ­¨ç¥­ ­ «î¡®¬ ®£à ­¨ç¥­­®¬¬­®¦¥á⢥ ¨§ R. ãáâì ¬­®¦¥á⢮ E ∈ MF (µ) ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­ë¬, â. ¥. áãé¥áâ¢ã¥â ®â१®ª [a, b] ⊃ E . ®ª ¦¥¬, çâ®R ¢ í⮬ á«ãç ¥¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ E ∈ MF (µα ), ¯à¨çñ¬ µ∗α (E) = α0 dµ.Eà¥¦¤¥ ¢á¥£® § ¬¥â¨¬, çâ® ¤«ï «î¡®£® ¯à®¬¥¦ã⪠I á ª®­æ ¬¨Ra ≤ b ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 4.5.2 ¨¬¥¥¬ µα (I) = α(b) − α(a) = α0 dµ.’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ¬­®¦¥á⢠R= α0 dµ.A ∈ EA¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮Iµα (A) = áᬮâਬ ⥯¥àì ®£à ­¨ç¥­­®¥ ¬­®¦¥á⢮ E ∈ MF (µ).

’®£¤ ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 4.1.10 áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ª«¥â®ç­ëå∗¬­®¦¥á⢠{Am }∞m=1 ⊂ E, â ª ï, çâ® d(Am , E) = µ (Am 4 E) → 0¯à¨ m → ∞. ’ ª ª ª ¬­®¦¥á⢮ E ®£à ­¨ç¥­®, â® áãé¥áâ¢ã¥â ®â१®ª [a, b] ⊃ E . ’®£¤ ¤«ï ¬­®¦¥á⢠Bm = Am ∩ [a, b] ∈ E ¯®«ãç ¥¬ Bm 4 E ⊂ Am 4 E . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, d(Bm , E) = µ∗ (Bm 4 E) ≤≤ µ∗ (Am 4 E) = d(Am , E) → 0 ¯à¨ m → ∞. ‚ ᨫã ॣã«ïà­®á⨠¬¥àë ‹¥¡¥£ µ∗ ­ M(µ)¬­®¦¥á⢮ Gm ⊃³ áãé¥áâ¢ã¥â ®âªàë⮥´1∗⊃ (Bm 4 E), â ª®¥, çâ® µ Gm \(Bm 4 E) ≤ m . ’ ª ª ª ¢ë¯®«­¥­®¢ª«î祭¨¥ Bm 4 E ⊂ [a, b], â® ¤«ï ¬­®¦¥á⢠Hm = Gm ∩ [a, b] ⊃⊃ (Bm 4 E) ¢¥à­®¢ª«î祭¨¥³´ Hm \(B³ m 4 E) ⊂ Gm´\(Bm 4 E) ¨ ­¥∗∗à ¢¥­á⢮ µ Hm \(Bm 4 E) ≤ µ Gm \(Bm 4 E) ≤ m1 . Žâªàë⮥¬­®¦¥á⢮ Gm ⊂ R ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ áçñâ­®£® ®¡ê¥¤¨­¥­¨ï¯®¯ à­® ­¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ®âªàëâëå (¡ëâì ¬®¦¥â, ¯ãáâëå) ¨­â¥à∞S¢ «®¢ Im,k , k ∈ N, â.

¥. Gm =Im,k , Im,k ∩ Im,s = ∅ ¯à¨ k 6= s. ’ ªk=1249ª ª ¤«ï «î¡®£® k ∈ N ¨¬¥¥¬ Im,k ∩ [a, b] ∈ E, â®Z³´µα Im,k ∩ [a, b] =α0 dµ.Im,k ∩[a,b]’®£¤ ¢ ᨫã ⥮६ë 4.3.1µ∗α (Hm ) =∞XZ∞³´ Xµα Im,k ∩ [a, b] =k=1α0 dµ =k=1Im,k ∩[a,b]Z0=α dµ ≤Ã!0sup α (x) µ∗ (Hm ).x∈[a,b]Hm’ ª ª ª³´1+ d(Bm , E) → 0µ∗ (Hm ) = µ∗ Hm \(Bm 4 E) + µ∗ (Bm 4 E) ≤m¯à¨ m → ∞, â® á¯à ¢¥¤«¨¢® ᮮ⭮襭¨¥ µ∗α (Bm 4 E) ≤ µ∗α (Hm ) →→ 0 ¯à¨ m → ∞. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬ âॡ㥬®¥R ¢ª«î祭¨¥E ∈ MF (µα ) ¨ à ¢¥­á⢮ µ∗α (E) = lim µα (Bm ) = limα0 dµ.

Характеристики

Список файлов лекций