Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

ãáâì äã­ªæ¨ï f : X → R ∪ {±∞}¨§¬¥à¨¬ , ¬­®¦¥á⢮ E ∈ M. ãáâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¨§¬¥à¨¬ëå∞SEm ¨ Em ∩ Ek = ∅ ¯à¨ ¢á¥å m 6=¬­®¦¥á⢠{Em }∞m=1 ¢¨¤ E =m=16= k , â ª®¢ , çâ® f ∈ L(Em ) ¤«ï «î¡®£® m. ãáâì ç¨á«®¢®© àï¤∞ RP|f | dµ á室¨âáï. ’®£¤ f ∈ L(E), ¯à¨çñ¬ ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮m=1 EmZ∞ ZXf dµ =f dµ,m=1EmE ¯®á«¥¤­¨© àï¤ á室¨âáï ¡á®«îâ­®.„ ® ª §R â ¥ « ì á âR¢ ®. ’ ª ª ª 0 ≤ f± ≤ |f |, â® ¤«ï «î¡®£® m¯®«ãç ¥¬f± dµ ≤Em|f | dµEm| ç«¥­ á室ï饣®áï àï¤ .

‘«¥¤®¢ -⥫쭮, ¯® ⥮६¥ 4.3.1 ¯®«ãç ¥¬Zf± dµ =∞ ZXf± dµ ≤m=1EmE∞ ZX|f | dµ < +∞.m=1Em’®£¤ ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 4.3.6 ¯®«ãç ¥¬ f ∈ L(E). à¨ í⮬ à ¢¥­áâ∞ RRP¢® f dµ =f dµ ¨ ¡á®«îâ­ ï á室¨¬®áâì ¯®á«¥¤­¥£® àï¤ Em=1 Emá«¥¤ã¥â ¨§ á«¥¤á⢨ï 4.3.3. à ¨ ¬ ¥ à 4.3.1. ãáâì M | σ-ª®«ìæ® ¨§¬¥à¨¬ëå ¯® ‹¥¡¥£ã¬­®¦¥á⢠­ R, ¯®áâ஥­­®¥ ­ ®á­®¢¥ ª®«ìæ ª«¥â®ç­ëå ¯®¤¬­®¦¥á⢠¨§ R. à¥¤ê¬ ¯à¨¬¥à ¬­®¦¥á⢠E ∈ M, ¥£® ¯à¥¤áâ ¢«¥∞S­¨ï ¢ ¢¨¤¥ E =Em , £¤¥ Em ∈ M ¤«ï «î¡®£® m ¨ Em ∩ Ek =m=1= ∅ ¯à¨ ¢á¥å m 6= k , ¨ ¨§¬¥à¨¬®© ä㭪樨 f : E → R, â ª®©, çâ®∞ RPf ∈ L(Em ) ¤«ï «î¡®£® m, àï¤f dµ á室¨âáï, ­® f 6∈ L(E).m=1 Emãáâì ¬­®¦¥á⢮E = (0, 1],«î¡®£® m ∈ N. ’®£¤ (0, 1] = ¬­®¦¥á⢮∞Sm=1Em³Em =¨ Em ∩ Ek112m+1 , 2m−1=∅i¤«ï¯à¨ ¢á¥å m 6=1< x ≤6 k . ”ã­ªæ¨ï f : (0, 1] → R ¨¬¥¥â ¢¨¤ f (x) = m ¯à¨ 2m+1=111≤ 2m ¨ f (x) = −m ¯à¨ 2m < x ≤ 2m−1 ¤«ï «î¡®£® m ∈ N.

 214REm äã­ªæ¨ï f ï¥âáï ¯à®á⮩, ¨f dµ =Em³´³´111111= m 2m− 2m+1− 2m− 2(2m−1)= − 4m12 −1− m 2m−1= 2(2m+1)∞ R∞PP1| ç«¥­ á室ï饣®áï àï¤ , â. ¥. àï¤f dµ = −4m2 −1 ï-ª ¦¤®¬ ¬­®¦¥á⢥m=1 Emm=1¥âáï á室ï騬áï. Ž¤­ ª® ¯® ⥮६¥ 4.3.1 ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢠Rf+ dµ =ERf− dµ =Eâ. ¥. f∞ RPm=1 Em∞ RPm=1 Emf+ dµ =f− dµ =³∞Pmm=1∞P³mm=112m−12m−112m+1−12m´=´=∞Pm=1∞Pm=112(2m+1)= +∞,12(2m−1)= +∞,6∈ L(E).“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.3.16 (­¥à ¢¥­á⢮ —¥¡ë襢 ). ãáâì ¬­®¦¥á⢮ E ∈ M, ¨§¬¥à¨¬ ï äã­ªæ¨ï f : X → R ∪ {±∞} ¨­â¥£à¨à㥬 ¯® ‹¥¡¥£ã ­ E .

’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ¯®«®¦¨â¥«ì­®£® ç¨á« c á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮nµ¯o 1Z¯x ∈ E ¯ |f (x)| ≥ c ≤|f | dµ.cE„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¨§¬¥à¨¬ë¥ ¬­®¦¥á⢠nA=¯o¯x ∈ E ¯ |f (x)| ≥ c ,’®£¤ ¨¬¥¥¬ à ¢¥­á⢠A ∩ B⥮६¥ 4.3.1 ¯®«ãç ¥¬Z=∅Z|f | dµ =EnB=¨ A∪BZ|f | dµ +A|f | dµ ≥1c= E.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®ZB®âªã¤ áà §ã ¯®«ãç ¥¬ µ(A) ≤¯o¯x ∈ E ¯ |f (x)| < c .|f | dµ ≥ c µ(A),ARE|f | dµ,çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.‘ « ¥ ¤ á â ¢ ¨ ¥ 4.3.4. ãáâì ¨§¬¥à¨¬ ï äã­ªæ¨ïf : X → [0, +∞],Rf dµ = 0. ’®£¤ f (x) = 0¬­®¦¥á⢮ E ∈ M. ãáâìEx ∈ E.215¤«ï ¯®ç⨠¢á¥å„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¬­®¦¥á⢠¯o¯x ∈ E ¯ f (x) > 0,¯on¯1=x ∈ E ¯ f (x) ≥ m ,nAAm=m ∈ N.∞S’®£¤ ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ A =Am . ® ã⢥ত¥­¨î 4.3.16 ¤«ïm=1R«î¡®£® m ∈ N ¨¬¥¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮ µ(Am ) ≤ m f dµ = 0.

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, µ(A) ≤∞Pm=1Eµ(Am ) = 0,çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.3.17. ãáâì ¬­®¦¥á⢮ E ∈ M, ¨§¬¥à¨¬ ï äã­ªæ¨ï f : X → R ∪ {±∞} ¨­â¥£à¨à㥬 ¯® ‹¥¡¥£ã ­ E . ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â δε > 0, â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® ¨§¬¥¯à¨¬®£®¯ ¬­®¦¥á⢠A ⊂ E ¢¨¤ µ(A) ≤ δε ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮¯R¯¯ f dµ¯ ≤ ε.¯¯Aâ® ᢮©á⢮ ­ §ë¢ ¥âáï ¡á®«îâ­®© ­¥¯à¥à뢭®áâìî ¨­â¥£à « ‹¥¡¥£ .„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

„«ï «î¡®£® m ∈ N ®¯à¥¤¥«¨¬ ¨§¬¥à¨¬®¥¬­®¦¥á⢮nEm =¯o¯x ∈ E ¯ m − 1 ≤ |f (x)| < m .’®£¤ ¯à¨ ¢á¥å m 6= k á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮= ∅, ¨ ¢ ᨫ㵠Em∞∩ Ek ¶Sã⢥ত¥­¨ï 4.3.6 ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ µ E\Em = 0. ‚ ᨫãm=1⥮६ë 4.3.1 ¨ ã⢥ত¥­¨ï 4.3.13 ¯®«ãç ¥¬Z∞ ZX|f | dµ =|f | dµ.m=1EmE‡ 䨪á¨à㥬 ¯à®¨§¢®«ì­®¥ ε > 0. ’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â Nεçâ® á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮∞XZm=Nε +1E|f | dµ ≤m216ε.2∈ N,â ª®¥,Ž¯à¥¤¥«¨¬ ç¨á«® δε = 2Nε > 0. ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ¨§¬¥à¨¬®£® ¬­®¦¥á⢠A ⊂ E ¢¨¤ µ(A) ≤ δε ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­áâ¢ ε¯¯¯Z¯ ZZ∞X¯¯¯ f dµ¯ ≤ |f | dµ =¯¯¯¯m=1AA|f | dµ ≤A∩Em≤NεXZm=1A∩EmZ∞X|f | dµ +|f | dµ ≤m=Nε +1Em≤NεXNε µ(A ∩ Em ) +m=1εε≤ Nε µ(A) + ≤ ε,22çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.’ ¥ ® à ¥ ¬ 4.3.2 (.

‹¥¢¨, ® ¬®­®â®­­®© á室¨¬®áâ¨). ãáâ쬭®¦¥á⢮ E ∈ M, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {fm }∞m=1 ¨§¬¥à¨¬ëå ä㭪権 fm : X → R ∪ {±∞} â ª®¢ , çâ® 0 ≤ f1 (x) ≤ f2 (x) ≤ . . . ¤«ï¢á¥å x ∈ E . ãáâì äã­ªæ¨ï f : E → [0, +∞] ®¯à¥¤¥«ï¥âáïà ¢¥­á⢮¬RRf (x) = lim fm (x) ¤«ï ¢á¥å x ∈ E . ’®£¤ lim fm (x) dµ = f dµ.m→∞m→∞EE„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

‚ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 4.3.8 ¯®«ãç ¥¬Z0≤Zf1 dµ ≤Ef2 dµ ≤ . . .ER‘«¥¤®¢ ⥫쭮, áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¥¤¥« m→∞lim fm dµ = ` ∈ [0, +∞]. ’ ªEª ª­ ¬­®¦¥á⢥E¢ë¯®«­¥­®0≤f≤ f ¤«ï «î¡®£® m, â®mRRRfm dµ ≤ f dµ. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ` ≤ f dµ. „«ï «î¡®£® ç¨á« c ∈EEE∈ (0, 1) ¨ «î¡®© ¯à®á⮩ ¨§¬¥à¨¬®© ä㭪樨 s, â ª®©, çâ® 0 ≤ s ≤ f­ E , ®¯à¥¤¥«¨¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¨§¬¥à¨¬ëå ¬­®¦¥áâ¢:¯no¯Em = x ∈ E ¯ fm (x) ≥ cs(x) ,m ∈ N.’ ª ª ª ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {fm (x)}∞m=1 ï¥âáï ­¥ã¡ë¢ î饩 ¯à¨«î¡®¬ x ∈ E , â® ¯®«ãç ¥¬ ¢ª«î祭¨ï E1 ⊂ E2 ⊂ E3 ⊂ . . . ’ ªª ª ¤«ï «î¡®£® x ∈ E ¨¬¥¥¬ fm (x) → f (x) ¯à¨ m → ∞ ¨ f (x) ≥≥ s(x) ≥ cs(x), â® áãé¥áâ¢ã¥â m(x), çâ® ¯à¨ ¢á¥å m > m(x) ¢ë¯®«­¥­® f (x) ≥ fm (x) ≥ cs(x), â.

¥. x ∈ Em . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¯à ¢¥¤∞S«¨¢® à ¢¥­á⢮ E =Em . ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ­®¬¥à m ¯®«ãç ¥¬m=1217RRfm dµ ≥ cs dµ. ® ⥮६¥ 4.3.1 ¨ ã⢥ত¥­¨î 4.1.2EEmRRR Em¯®«ãç ¥¬, çâ® lims dµ = s dµ. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ` ≥ c s dµ. ¥fm dµ ≥Rm→∞EmEEà¥å®¤ïR ª ¯à¥¤¥«ã ¢ ¯®á«¥¤­¥¬ ­¥à ¢¥­á⢥ ¯à¨ c → 1 − 0, ¯®«ãç ¥¬` ≥ s dµ = IE (s). ’®£¤ ¢ ᨫ㠯ந§¢®«ì­®á⨠¯à®á⮩ ä㭪樨 sE¯®«ãç ¥¬ ` ≥sup IE (s) =0≤s≤fREf dµ,çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.’ ¥ ® à ¥ ¬ 4.3.3 («¨­¥©­®áâì ¨­â¥£à « ‹¥¡¥£ ). ãáâì ¨§¬¥à¨¬ë¥ ä㭪樨 f, g: X → R ¨­â¥£à¨àã¥¬ë ¯® ‹¥¡¥£ã ­ ¬­®¦¥á⢥E ∈ M.

ãáâìäã­ªæ¨ïh =RRR f + g . ’®£¤ h ∈ L(E) ¨ á¯à ¢¥¤«¨¢®à ¢¥­á⢮ h dµ = f dµ + g dµ.EEE„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.  áᬮâਬ á­ ç « á«ãç ©, ª®£¤ f≥¨ g ≥ 0 ­ ¬­®¦¥á⢥ E . …᫨ f ¨ g | ¯à®áâë¥ ä㭪樨, â® ¯®®¯à¥¤¥«¥­¨î 4.3.4 áà §ã ¯®«ãç ¥¬ âॡ㥬®¥ à ¢¥­á⢮≥0ZZ(f + g) dµ = IE (f + g) = IE (f ) + IE (g) =EZf dµ +Eg dµ.E„«ï ¯à®¨§¢®«ì­ëå ­¥®âà¨æ ⥫ì­ëå ­ E ä㭪権 f ¨ g ¢ ᨫãã⢥ত¥­¨ï 4.3.3 áãé¥áâ¢ãîâ ­¥ã¡ë¢ î騥 ¯® m ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠s̃m ¨ ŝm ­¥®âà¨æ ⥫ì­ëå ¯à®áâëå ¨§¬¥à¨¬ëå ä㭪権, â ª¨å, çâ® ¤«ï «î¡®£® x ∈ E ¢ë¯®«­¥­ë à ¢¥­á⢠lim s̃m (x) = f (x),m→∞lim ŝm (x) = g(x).m→∞’®£¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì s̃m + ŝm ï¥âáï ­¥ã¡ë¢ î饩 ¯® m ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâìî ¯à®áâëå ­¥®âà¨æ ⥫ì­ëå ¨§¬¥à¨¬ëå ä㭪権,¯®â®ç¥ç­® á室ï饩áï ­ ¬­®¦¥á⢥ E ª ä㭪樨 h = f + g.

’®£¤ ¯® ⥮६¥ 4.3.2 ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢠Zh dµ = lim (s̃m + ŝm ) dµ =m→∞EZEZ= limZs̃m dµ + limm→∞ŝm dµ =m→∞EE218ZZf dµ +Eg dµ.EŽâáî¤ , ¢ ç áâ­®áâ¨, á«¥¤ã¥â ­¥à ¢¥­áâ¢®ç ¥¬ ¢ª«î祭¨¥ h ∈ L(E).’¥¯¥àì à áᬮâਬ á«ãç ©, ª®£¤ fŽ¯à¥¤¥«¨¬ ¤¢ ¨§¬¥à¨¬ëå ¬­®¦¥á⢠nA=¯o¯x ∈ E ¯ h(x) ≥ 0 ,≥0nB=REh dµ < +∞,â. ¥. ¯®«ã-¨ g ≤ 0 ­ ¬­®¦¥á⢥ E .¯o¯x ∈ E ¯ h(x) < 0 .’®£¤ A ∩ B = ∅ ¨ A ∪ B = E .  ¬­®¦¥á⢥ A ä㭪樨 h, f ¨(−g) ïîâáï ­¥®âà¨æ ⥫ì­ë¬¨ ¨ f = h + (−g). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮,ª ª ¡ë«® ¯®ª § ­® ¢ ¯¥à¢®¬ á«ãç ¥, á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ZZf dµ =Aâ.

¥.RZh dµ +Ah dµ =ARf dµ +AZ(−g) dµ =ARg dµAZh dµ −A¨h ∈ L(A).g dµ,A ¬­®¦¥á⢥Bäã­ª-樨 (−h), f ¨ (−g) ïîâáï ­¥®âà¨æ ⥫ì­ë¬¨ ¨ (−g) = f + (−h).‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ª ª ¡ë«® ¯®ª § ­® ¢ ¯¥à¢®¬ á«ãç ¥, á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ZZZZ−â. ¥.g dµ =BRR(−g) dµ =Bf dµ +BR(−h) dµ,B(−h) dµ = − f dµ − g dµ ¨ (−h) ∈ L(B). ’®£¤ h ∈ L(B)BRR BR¨ h dµ = − (−h) dµ = f dµ + g dµ. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯® ã⢥à¦BBBBR¤¥­¨î 4.3.15 ¯®«ãç ¥¬ ¢ª«î祭¨¥ h ∈ L(E) ¨ à ¢¥­á⢮ h dµ =ERRRR= h dµ + h dµ = f dµ + g dµ.RABBEE‚ ®¡é¥¬ á«ãç ¥, ¬­®¦¥á⢮ E ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ¢¨¤¥ ®¡ê¥¤¨­¥­¨ïç¥âëàñå ¯®¯ à­® ­¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ¨§¬¥à¨¬ëå ¬­®¦¥á⢠Ek , k ∈∈ 1, 4, ­ ª ¦¤®¬ ¨§ ª®â®àëå ä㭪樨 f ¨ g á®åà ­ïîâ §­ ª. ’®£¤ ,ª ª ¡ë«® ¯®ª § ­® ¢ ¯¥à¢®¬ ¨ ¢â®à®¬ á«ãç ïå, R¤«ï ª ¦¤®£®k ∈R∈ 1, 4 ¯®«ãç ¥¬ ¢ª«î祭¨¥ h ∈ L(Ek ) ¨ à ¢¥­á⢮ h dµ = f dµ +EkREkg dµ.

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯® ã⢥ত¥­¨î 4.3.15 ¯®«ãç ¥¬ ¢ª«î祭¨¥EkRRRh ∈ L(E) ¨ âॡ㥬®¥ à ¢¥­á⢮ h dµ = f dµ + g dµ.E219EE‘ « ¥ ¤ á â ¢ ¨ ¥ 4.3.5. ãáâì ¬­®¦¥á⢮ E ∈ M, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {fm }∞m=1 ¨§¬¥à¨¬ëå ä㭪権 fm : X → R ∪ {±∞} â ª®¢ ,çâ® f1 (x) ≤ f2 (x) ≤ . . . ¤«ï ¯®ç⨠¢á¥å x ∈ E , ¯à¨çñ¬ fm ∈ L(E) ¤«ï«î¡®£® m ∈ N. ãáâì äã­ªæ¨ï f : E → R ∪ {±∞} ®¯à¥¤¥«ï¥âáï à ¢¥­á⢮¬ f (x) = m→∞lim fm (x) ¤«ï ¯®ç⨠¢á¥å x ∈ E . ãáâì áãé¥áâ¢ã¥âRç¨á«® M , â ª®¥, çâ® fm dµ ≤ M ¤«ï ¢á¥å m ∈ N. ’®£¤ f ∈ L(E) ¨limm→∞Rfm (x) dµ =EREEf dµ.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. „«ï «î¡®£® ­®¬¥à m ®¯à¥¤¥«¨¬ ¨§¬¥-ਬ®¥ ¬­®¦¥á⢮nFm =¯o¯x ∈ E ¯ |fm (x)| = +∞ .‚ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 4.3.6 µ(Fm ) = 0. ãáâì/nF0 = E¯o¯x ∈ E ¯ ∃ lim fm (x) = f (x) .m→∞µ∞S¶® ãá«®¢¨î µ(F0 ) = 0.

Характеристики

Список файлов лекций