Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 34

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

ˆ§¬¥à¨¬ë¬ ¯à®áâà ­á⢮¬ ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì âனªã (X, M, µ), £¤¥ X | ¬­®¦¥á⢮, M | σ-ª®«ìæ® ¯®¤¬­®¦¥á⢠¨§ X , ¯à¨祬 ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ X ∈ M, µ: M → [0, +∞]| ¯®«­ ï áçñâ­®- ¤¤¨â¨¢­ ï äã­ªæ¨ï, ª®â®àãî ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì ¬¥à®©. ‹î¡®¥ ¬­®¦¥á⢮ E ∈ M ­ §®¢ñ¬ ¨§¬¥à¨¬ë¬, ¢¥«¨ç¨­ã µ(E)| ¬¥à®© ¬­®¦¥á⢠E .Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 4.2.2. ãáâì X | ­¥ª®â®à®¥ ¬­®¦¥á⢮, äã­ªæ¨ï f : X → R ∪ {±∞}. „«ï «î¡®£® í«¥¬¥­â a ∈ R ∪ {±∞} ®¯à¥¤¥«¨¬ ¬­®¦¥á⢠L< (f, a) = { x ∈ X | f (x) < a } ,L> (f, a) = { x ∈ X | f (x) > a } ,L≤ (f, a) = { x ∈ X | f (x) ≤ a } ,L≥ (f, a) = { x ∈ X | f (x) ≥ a } .‚¢¥¤ñ­­ë¥ ¬­®¦¥á⢠­ §®¢ñ¬ «¥¡¥£®¢ë¬¨ ¬­®¦¥á⢠¬¨ ä㭪樨 f .Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 4.2.3.

ãáâì (X, M, µ) | ¨§¬¥à¨¬®¥ ¯à®áâà ­á⢮. ”ã­ªæ¨î f : X → R ∪ {±∞} ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì ¨§¬¥à¨¬®©,¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ç¨á« a «¥¡¥£®¢® ¬­®¦¥á⢮ L< (f, a) ï¥âáï ¨§¬¥à¨¬ë¬, â. ¥. ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ L< (f, a) ∈ M.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.2.1. ãáâì (X, M, µ) | ¨§¬¥à¨¬®¥ ¯à®áâà ­á⢮, äã­ªæ¨ï f : X → R ∪ {±∞}. ’®£¤ á«¥¤ãî騥 ã⢥ত¥­¨ïíª¢¨¢ «¥­â­ë1) äã­ªæ¨ï f ï¥âáï ¨§¬¥à¨¬®©;2) ¤«ï «î¡®£® ç¨á« a ¢ë¯®«­¥­® L≥ (f, a) ∈ M;3) ¤«ï «î¡®£® ç¨á« a ¢ë¯®«­¥­® L> (f, a) ∈ M;4) ¤«ï «î¡®£® ç¨á« a ¢ë¯®«­¥­® L≤ (f, a) ∈ M.194„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ãáâì ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ 1.

„«ï «î¡®£®ç¨á« a ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î σ-ª®«ìæ ¯®«ãç ¥¬ L≥ (f, a) = X\L< (f, a) ∈∈ M, â ª ª ª X ∈ M. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ 2. …᫨¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ 2, â® ¤«ï «î¡®£® ç¨á« a ¯®«ãç ¥¬ L> (f, a) =∞¡¢S1L≥ f, a + m∈ M ª ª áçñâ­®¥ ®¡ê¥¤¨­¥­¨¥ ¬­®¦¥á⢠σ -ª®«ìæ m=1M. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ 3. …᫨ ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ 3,â® ¤«ï «î¡®£® ç¨á« a ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î σ-ª®«ìæ ¯®«ãç ¥¬ L≤ (f, a) == X\L> (f, a) ∈ M, â ª ª ª X ∈ M. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ 4.  ª®­¥æ, ¥á«¨ ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ 4, â® ¤«ï «î¡®£® ç¨á« a∞¢¡S1¯®«ãç ¥¬ L< (f, a) =L≤ f, a − m∈ M ª ª áçñâ­®¥ ®¡ê¥¤¨­¥m=1­¨¥ ¬­®¦¥á⢠σ-ª®«ìæ M. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ 1.‘ « ¥ ¤ á â ¢ ¨ ¥ 4.2.1. ãáâì (X, M, µ) | ¨§¬¥à¨¬®¥ ¯à®áâà ­á⢮, äã­ªæ¨ï f : X → R ∪ {±∞}.

’®£¤ äã­ªæ¨ï g(x) = −f (x) ¤«ï«î¡®£® x ∈ X ï¥âáï ¨§¬¥à¨¬®©.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. „«ï «î¡®£® ç¨á« a ¯®«ãç ¥¬ L< (g, a) == L> (f, −a) ∈ M,çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.2.2. ãáâì (X, M, µ) | ¨§¬¥à¨¬®¥ ¯à®áâà ­á⢮. ãáâì § ¤ ­ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì fm : X → R ∪ {±∞} ¨§¬¥à¨¬ëå ¤«ï «î¡®£® ­®¬¥à m ä㭪権. ãáâìg(x) = sup fm (x),g̃(x) = inf fm (x),h(x) = lim fm (x),h̃(x) = lim fm (x)m∈Nm∈Nm→∞m→∞¤«ï «î¡®£® x ∈ X .

’®£¤ ä㭪樨 g, g̃, h, h̃: X → R∪{±∞} ïîâá﨧¬¥à¨¬ë¬¨.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. „«ï «î¡®£® ç¨á« a ¯®«ãç ¥¬ L≤ (g, a) =∞T¢ ᨫ㠧 ¬¥ç ­¨ï 4.1.3. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫãã⢥ত¥­¨ï4.2.1 ´äã­ªæ¨ï g ï¥âáï ¨§¬¥à¨¬®©. ’ ª ª ª g̃(x) =³= − sup − fm (x) ¤«ï «î¡®£® x ∈ X , â® ¯®«ãç ¥¬ ¨§¬¥à¨¬®áâìm∈Nä㭪樨 g̃ ¢ ᨫã á«¥¤á⢨ï 4.2.1. „«ï «î¡®£® x ∈ X ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î¢¥àå­¥£® ¯à¥¤¥« ¯®«ãç ¥¬ h(x) = lim sup fm (x) = inf sup fm (x).=m=1L≤ (fm , a) ∈ Mk→∞ m≥k195k∈N m≥k‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯® ¤®ª § ­­®¬ã ¢ë襳äã­ªæ¨ï´h ï¥âáï ¨§¬¥à¨¬®©.

 ª®­¥æ, â ª ª ª h̃(x) = − m→∞lim − fm (x) ¤«ï «î¡®£® x ∈ X ,â® ¯®«ãç ¥¬ ¨§¬¥à¨¬®áâì ä㭪樨 h̃ ¢ ᨫã á«¥¤á⢨ï 4.2.1.‘ « ¥ ¤ á â ¢ ¨ ¥ 4.2.2. ãáâì (X, M, µ) | ¨§¬¥à¨¬®¥ ¯à®áâà ­á⢮. ãáâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì fm : X → R∪{±∞} ¨§¬¥à¨¬ëå ¤«ï «î¡®£® ­®¬¥à m ä㭪権 â ª®¢ , çâ® ¤«ï «î¡®£® x ∈ X áãé¥áâ¢ã¥â¯à¥¤¥« m→∞lim fm (x) = g(x) ∈ R ∪ {±∞}. ’®£¤ äã­ªæ¨ï g: X → R ∪∪ {±∞} ï¥âáï ¨§¬¥à¨¬®©.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ’ ª ª ª ¤«ï «î¡®£® x ∈ X ¢ë¯®«­¥­®à ¢¥­á⢮ g(x) = m→∞lim fm (x) = lim fm (x) = lim fm (x), â® ¨§¬¥à¨m→∞m→∞¬®áâì g áà §ã á«¥¤ã¥â ¨§ ã⢥ত¥­¨ï 4.2.2.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.2.3. ãáâì (X, M, µ) | ¨§¬¥à¨¬®¥ ¯à®áâà ­á⢮, ¬­®¦¥á⢮ G ⊂ R2 ®âªàëâ®.

ãáâì ä㭪樨 f, g: X →→¯à¨çñ¬ ¤«ï «î¡®£® x ∈ X á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥³ R ¨§¬¥à¨¬ë,´f (x), g(x) ∈ G. ãáâì äã­ªæ¨ï F : G → R ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭®©­ G. ’®£¤ äã­ªæ¨ï h(x) = F¨§¬¥à¨¬®©.³´f (x), g(x)¤«ï ¢á¥å x ∈ X ï¥âáï„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. „«ï «î¡®£® a ∈ R à áᬮâਬ ¯à®®¡à §®âªàë⮣® «ãç (−∞, a) ⊂ R ¯® ¤¥©á⢨¥¬ ä㭪樨 F , â. ¥. ¬­®¦¥á⢮ F −1 (−∞, a) = { (u, v) ∈ G | F (u, v) < a }. ’ ª ª ª äã­ªæ¨ïF ­¥¯à¥à뢭 ­ ®âªàë⮬ ¬­®¦¥á⢥ G ⊂ R2 , â® ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 1.1.6 ¬­®¦¥á⢮ F −1 (−∞, a) ®âªàëâ® ¢ R2 . Š ª ¯®ª § ­® ¢ § ¬¥ç ­¨¨ 4.1.14, «î¡®¥ ®âªàë⮥ ¢ R2 ¬­®¦¥á⢮ ¯à¥¤áâ ¢¨¬® ¢ ¢¨¤¥áçñâ­®£® ®¡ê¥¤¨­¥­¨ï ®âªàëâëå ª«¥â®ª.

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, áãé¥áâ¢ã¥â¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ®âªàëâëå ª«¥â®ªΠm =©(u, v) ∈ R2 | am < u < bm , cm < v < dm∞Sª,â ª ï, çâ® F −1 (−∞, a) =Πm . ’®£¤ «¥¡¥£®¢® ¬­®¦¥á⢮ äã­ªm=1樨 h ¨¬¥¥â ¢¨¤L< (h, a) =∞ n[¯o¯x ∈ X ¯ (f (x), g(x)) ∈ Πm .m=1196’ ª ª ª ¤«ï «î¡®£® ­®¬¥à m á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮n¯o¯x ∈ X ¯ (f (x), g(x)) ∈ Πm == L> (f, am ) ∩ L< (f, bm ) ∩ L> (g, cm ) ∩ L< (g, dm ) ∈ M,â® ¬­®¦¥á⢮ L< (h, a) ∈ M ª ª áçñâ­®¥ ®¡ê¥¤¨­¥­¨¥ ¨§¬¥à¨¬ë嬭®¦¥áâ¢.

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, äã­ªæ¨ï h ï¥âáï ¨§¬¥à¨¬®©.‘ « ¥ ¤ á â ¢ ¨ ¥ 4.2.3. ãáâì (X, M, µ) | ¨§¬¥à¨¬®¥ ¯à®áâà ­á⢮, ä㭪樨 f, g: X → R ¨§¬¥à¨¬ë. ’®£¤ ä㭪樨 f + g, f − gf¨ f g ⮦¥ ïîâáï ¨§¬¥à¨¬ë¬¨. …᫨ g 6= 0 ­ X , â® äã­ªæ¨ïgï¥âáï ¨§¬¥à¨¬®©.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. „«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¨§¬¥à¨¬®á⨠ä㭪権 f +g, f −g ¨ f g ­ ¤® ¯à¨¬¥­¨âì ã⢥ত¥­¨¥ 4.2.3 ᮮ⢥âá⢥­­®¤«ï ä㭪権 F (u, v) = u + v, F (u, v) = u − v ¨ F (u, v) = uv ­ ¬­®f¦¥á⢥ G = R2 .

„«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¨§¬¥à¨¬®á⨠ä㭪樨 ¯à¨gãá«®¢¨¨ g 6= 0 ­ X ­ ¤® ¯à¨¬¥­¨âì ã⢥ত¥­¨¥4.2.3¤«ïä㭪樨©ªuF (u, v) = ­ ®âªàë⮬ ¬­®¦¥á⢥ G = (u, v) ∈ R2 | v 6= 0 .v à ¨ ¬ ¥ à 4.2.1. ®ª ¦¥¬, çâ® á㯥௮§¨æ¨ï f (g) ¨§¬¥à¨¬®©ä㭪樨 f á ­¥¯à¥à뢭®© ä㭪樥© g ¬®¦¥â ­¥ ¡ëâì ¨§¬¥à¨¬®©.ãáâì X = [0, 1], M | σ-ª®«ìæ® ¨§¬¥à¨¬ëå ¯® ‹¥¡¥£ã ¬­®¦¥á⢠®â१ª [0, 1], µ | ¬¥à ‹¥¡¥£ . ãáâì ª®¬¯ ªâ K ⊂ X | ª ­â®à®¢®¬­®¦¥á⢮ (á¬. [4, £«. 2, ¯. 2.44, á. 51] ¨«¨ [1, £«. II, § 2, á.

63]). ’®£¤ ®âªàë⮥ ¬­®¦¥á⢮ G = X\K ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© áçñâ­®¥ ®¡ê¥¤¨­¥­¨¥ ¯®¯ à­® ­¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ¨­â¥à¢ «®¢ Im á㬬 à­®© ¤«¨­ë∞∞SP1, â. ¥. G =Im , µ(G) =µ(Im ) = 1. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, µ(K) =m=1m=1= 1 − µ(G) = 0. Ž¡®§­ 稬 ç¥à¥§ `: [0, 1] → [0, 1] ª ­â®à®¢ã «¥áâ­¨æã(á¬. [1, £«. VI, § 4, á. 341]), ¯à¥¤áâ ¢«ïîéãî ᮡ®© ­¥¯à¥à뢭ãî ­ ®â१ª¥ [0, 1] ­¥ã¡ë¢ îéãî äã­ªæ¨î, â ªãî, çâ® `(0) = 0, `(1) = 1,¨ ¯®áâ®ï­­ãî ­ ª ¦¤®¬ ¨­â¥à¢ «¥ Im , â. ¥. ¤«ï «î¡®£® ­®¬¥à máãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® cm ∈ (0, 1), â ª®¥, çâ® `(x) = cm ¤«ï «î¡®£® x ∈∈ Im .

 áᬮâਬ äã­ªæ¨î h(x) = 21 (`(x) + x) ¤«ï x ∈ [0, 1]. ’®£¤ äã­ªæ¨ï h áâண® ¢®§à á⠥⠭ ®â१ª¥ [0, 1], h(0) = 0, h(1) = 1.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, áãé¥áâ¢ã¥â ®¡à â­ ï ­¥¯à¥à뢭 ï áâண® ¢®§à áâ îé ï äã­ªæ¨ï h−1 : [0, 1] → [0, 1].  áᬮâਬ ®¡à § ¬­®¦¥á⢠G197∞S¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ä㭪樨 h. ˆ¬¥¥¬ h(G) =h(Im ). à¨ í⮬ ¢m=1ᨫ㠭¥¯à¥à뢭®á⨠¨ áâண®£® ¢®§à áâ ­¨ï ä㭪樨 h ¤«ï «î¡®£®­®¬¥à m ¬­®¦¥á⢮ h(Im ) ï¥âáï ®âªàëâë¬ ¨­â¥à¢ «®¬ ¨ h(Im )∩∞P∩ h(Ik ) = ∅ ¯à¨ m 6= k .

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, µ(h(G)) =µ(h(Im )) ==∞Pm=1∞¢Pµ 2 (cm + Im ) =¡1m=1m=112 µ(Im )=12 µ(G)=12. ’®£¤ ¬­®¦¥á⢮¨ µ(h(K)) = 1 − µ(h(G)) = 21 . ®í⮬㠢ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 4.1.12 ¬­®¦¥á⢮ ¯®«®¦¨â¥«ì­®© ¬¥àë h(K) ᮤ¥à¦¨â ­¥¨§¬¥à¨¬®¥ ¯® ‹¥¡¥£ã ¯®¤¬­®¦¥á⢮ S , â. ¥. S ⊂ h(K) ¨S 6∈ M. ® ¢ ᨫ㠯®«­®âë ¬¥àë ‹¥¡¥£ (á¬. § ¬¥ç ­¨ï 4.1.12 ¨4.1.13) ¬­®¦¥á⢮ E = h−1 (S) ⊂ K ï¥âáï ¨§¬¥à¨¬ë¬ ¯® ‹¥¡¥£ãª ª ¯®¤¬­®¦¥á⢮ ª ­â®à®¢ ¬­®¦¥á⢠K ¬¥àë ­ã«ì. Ž¯à¥¤¥«¨¬¨§¬¥à¨¬ãî äã­ªæ¨î f : [0, 1] → [0, 1] ¢¨¤ f (x) = 0 ¯à¨ x ∈ E ¨f (x) = 1 ¯à¨ x ∈ [0, 1]\E . Ÿá­®, çâ® äã­ªæ¨ï f ¨§¬¥à¨¬ , â ª ª ª¤«ï «î¡®£® ç¨á« a ¯®«ãç ¥¬h(K) = [0, 1]\h(G) ∈ M X, a > 1,E, 0 < a ≤ 1,L< (f, a) =∈ M.∅, a ≤ 0ãáâì ­¥¯à¥à뢭 ï äã­ªæ¨ï g = h−1 .

’®£¤ äã­ªæ¨ï f (g): [0, 1] →→ [0, 1] ï¥âáï ­¥¨§¬¥à¨¬®©, â ª ª ª ¥ñ «¥¡¥£®¢® ¬­®¦¥á⢮L< (f (g), 1) =©¯ªx ∈ [0, 1] ¯ h−1 (x) ∈ E == { x ∈ [0, 1] | x ∈ h(E) = S } = S 6∈ M,â. ¥. ­¥¨§¬¥à¨¬®.Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 4.2.4. ãáâì (X, M, µ) | ¨§¬¥à¨¬®¥ ¯à®áâà ­á⢮. ˆ§¬¥à¨¬ë¥ ä㭪樨 f, g: X → R ∪ {±∞} ­ §®¢ñ¬ íª¢¨¢ «¥­â­ë¬¨, ¥á«¨ ®­¨ ®â«¨ç îâáï ­ ¬­®¦¥á⢥ ¬¥àë ­ã«ì, â.

¥.µ{ x ∈ X | f (x) 6= g(x) } = 0.ª¢¨¢ «¥­â­ë¥ ¨§¬¥à¨¬ë¥ ä㭪樨 f ¨ g ¡ã¤¥¬ ®¡®§­ ç âì f∼ g.‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 4.2.1. ãáâì (X, M, µ) | ¨§¬¥à¨¬®¥ ¯à®áâà ­á⢮, ¨ § ¤ ­ë ¨§¬¥à¨¬ë¥ ä㭪樨 f, g: X → R ∪ {±∞} . ’®£¤ ¬­®¦¥á⢮ E = { x ∈ X | f (x) 6= g(x) } ∈ M. „®ª ¦¥¬ íâ®. Ž¯à¥¤¥«¨¬198¬­®¦¥á⢮½X0 =¯¾¯ −∞ < f (x) < +∞¯x∈X ¯=−∞ < g(x) < +∞∞ ½[=x∈Xm=1¯¾¯ −m < f (x) < m¯∈ M.¯ −m < g(x) < m áᬮâਬ ¬­®¦¥á⢠E0E1E2E3E4====={ x ∈ X0{x∈X{x∈X{x∈X{x∈X|||||f (x) − g(x) 6= 0 },f (x) = −∞, g(x) > −∞ },f (x) = +∞, g(x) < +∞ },f (x) > −∞, g(x) = −∞ },f (x) < +∞, g(x) = +∞ }.’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ E = E0 ∪ E1 ∪ E2 ∪ E3 ∪ E4 .

”㭪樨f, g: X0 → R ïîâáï ¨§¬¥à¨¬ë¬¨, â ª ª ª ¤«ï «î¡®£® ç¨á« a¨¬¥¥¬ ¨§¬¥à¨¬®áâì «¥¡¥£®¢ëå ¬­®¦¥áâ¢{ x ∈ X0 | f (x) < a } ={ x ∈ X0 | g(x) < a } =X0 ∩ L< (f, a) ∈ M,X0 ∩ L< (g, a) ∈ M.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯® á«¥¤á⢨î 4.2.3 ¯®«ãç ¥¬ ¨§¬¥à¨¬®áâì ä㭪樨(f − g): X0 → R. ’®£¤ ¬­®¦¥á⢮ E0 = { x ∈ X0 | f (x) − g(x) << 0 } ∪ { x ∈ X0 | f (x) − g(x) > 0 } ∈ M.

„ «¥¥ ¨¬¥¥¬ ᮮ⭮襭¨ï·E1=m=1·E2==m=1¸ · ∞¸∞TSL> (f, m) ∩L< (g, m) ∈ M,m=1¸ · ∞¸∞STL> (f, −m) ∩L< (g, −m) ∈ M,m=1·E4¸ · ∞¸SL< (f, −m) ∩L> (g, −m) ∈ M,m=1·E3∞T=m=1¸ · ∞¸∞STL< (f, m) ∩L> (g, m) ∈ M.m=1m=1‘«¥¤®¢ ⥫쭮, E ∈ M, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 4.2.2. ãáâì (X, M, µ) | ¨§¬¥à¨¬®¥ ¯à®áâà ­á⢮, äã­ªæ¨ï f : X → R ∪ {±∞} ¨§¬¥à¨¬ . ’®£¤ ¨§¬¥­¥­¨¥ ä㭪樨199­ ¬­®¦¥á⢥ ¬¥àë ­ã«ì ¤ ñâ ¨§¬¥à¨¬ãî äã­ªæ¨î, ¥áâ¥á⢥­­®,íª¢¨¢ «¥­â­ãî f .„¥©á⢨⥫쭮, ¯ãáâì ¬­®¦¥á⢮ A ∈ M ¨¬¥¥â ¬¥àã ­ã«ì, äã­ªæ¨ï g: X → R ∪ {±∞} â ª®¢ , çâ® g(x) = f (x) ¤«ï ¢á¥å x ∈ X\A.’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ç¨á« a ¯®«ãç ¥¬f³´L< (g, a) = L< (f, a)\A ∪ { x ∈ A | g(x) < a } .‚ ᨫ㠨§¬¥à¨¬®á⨠ä㭪樨 f ¨¬¥¥¬ L< (f, a)\A ∈ M.

Характеристики

Список файлов лекций