Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 31

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

Ÿá­®, ç⮠ᮢ®ªã¯­®áâì ª«¥â®ªonΠ̂m,k m=1,Mk=1,N®¡à §ã¥â à §¡¨¥­¨¥ ¬­®¦¥á⢠A. „«ï «î¡®£® m ∈ 1, M ¨¬¥¥¬ Πm =³´NNPSµ Π̂m,k , â ª¦¥ ¤«ï «î¡®£® k ∈ 1, KΠ̂m,k ¨ µ (Πm ) ==k=1k=1´´³MPΠ̃k =µ Π̂m,k . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®m=1m=1³´³ ´MM PNNPPPµ(A) =µ (Πm ) =µ Π̂m,k =µ Π̃k , çâ® ¨¨¬¥¥¬ Π̃k=«ãç ¥¬âॡ®¢ «®áì.MSΠ̂m,k¨µ³m=1m=1 k=1k=1“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.1.5. Ž¯à¥¤¥«ñ­­ ï ¬¥à ï¥âáï ª®­¥ç­®- ¤¤¨â¨¢­®©.µ: E → [0, +∞)„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ãáâì A, B ∈ E ¨ A∩ B = ∅.

ãáâì P =n oN| à §¡¨¥­¨¥| à §¡¨¥­¨¥ ¬­®¦¥á⢠A, P̃ = Π̃kk=1¬­®¦¥á⢠B . ’®£¤ ¢ ᨫã A∩B = ∅ ®¡ê¥¤¨­¥­¨¥ íâ¨å à §¡¨¥­¨© P∪∪ P̃ ï¥âáï à §¡¨¥­¨¥¬ ¬­®¦¥á⢠A∪B . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬³ ´MNPPà ¢¥­á⢮ µ(A ∪ B) =µ (Πm ) +µ Π̃k = µ(A) + µ(B), çâ® ¨m=1k=1âॡ®¢ «®áì.= {Πm }Mm=1177Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 4.1.6.

Œ¥à µ: E → [0, +∞) ­ §ë¢ ¥âáï ॣã«ïà­®©, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ¬­®¦¥á⢠A ∈ E ¨ «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â§ ¬ª­ã⮥ ¬­®¦¥á⢮ Fε ∈ E ¨ ®âªàë⮥ ¬­®¦¥á⢮ Gε ∈ E, â ª¨¥,çâ® Fε ⊂ A ⊂ Gε ¨ µ(A\Fε ) < ε, µ(Gε \A) < ε.‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 4.1.8. „«ï ª®­¥ç­®- ¤¤¨â¨¢­®© ¬¥àëµ: E → [0, +∞),¯à¨­¨¬ î饩 ⮫쪮 ª®­¥ç­ë¥ ­¥®âà¨æ ⥫ì­ë¥ §­ 祭¨ï, ᢮©á⢮ॣã«ïà­®á⨠¢ ᨫã ᢮©á⢠4 ã⢥ত¥­¨ï 4.1.1 íª¢¨¢ «¥­â­® ¤«ï¬­®¦¥á⢠Fε ⊂ A ⊂ Gε ­¥à ¢¥­á⢠¬ µ(A) < µ(Fε ) + ε, µ(Gε ) << µ(A) + ε.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.1.6.

Ž¯à¥¤¥«ñ­­ ï ¬¥à ï¥âáï ॣã«ïà­®©.µ: E → [0, +∞)„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ‘­ ç « ¯à®¢¥à¨¬ ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ ॣã«ïà­®á⨠¬¥àë µ ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì­®© ª«¥âª¨ Π , ®â¢¥ç î饩 ç¨á« ¬¨a1 , . . . , anb1 , . . . , bn ,£¤¥ ak ≤ bk ¯à¨ ¢á¥å k ∈ 1, n. ‡ 䨪á¨à㥬 ¯à®¨§¢®«ì­®¥ ε > 0. „«ï¯à®¨§¢®«ì­®£® ç¨á« δ > 0 ®¯à¥¤¥«¨¬ ®âªàëâãî ª«¥âªãG(δ) =©¯x ∈ Rn ¯ ak − δ < xk < bk + δ’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢ë ¢ª«î祭¨¥ Π⊂ G(δ)∀ k ∈ 1, nª.¨ ᮮ⭮襭¨¥nµ(G(δ)) = Π (bk − ak + 2δ) = µ(Π ) + O(δ) < µ(Π ) + εk=1¯à¨ ¤®áâ â®ç­® ¬ «®¬ δ = δ(ε). …᫨ µ(Π ) = 0, â® ¤«ï § ¬ª­ã⮣®¬­®¦¥á⢠F = ∅ ∈ R ¯®«ãç ¥¬ ¢ª«î祭¨¥ F ⊂ Π ¨ ­¥à ¢¥­á⢮µ(Π ) < µ(F ) + ε = ε. …᫨ ¦¥ µ(Π ) > 0, â® ak < bk ¤«ï ¢á¥å k ∈∈ 1, n.

„«ï «î¡®£® ¯®«®¦¨â¥«ì­®£® ç¨á« δ < min b −a®¯à¥¤¥«¨¬21≤k≤n§ ¬ª­ãâãî ª«¥âªãkF (δ) =©¯x ∈ Rn ¯ ak + δ ≤ xk ≤ bk − δk∀ k ∈ 1, nª.’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢ë ¢ª«î祭¨¥ F (δ) ⊂ Π ¨ ᮮ⭮襭¨¥nµ(F (δ)) = Π (bk − ak − 2δ) = µ(Π ) + O(δ) > µ(Π ) − εk=1178¯à¨ ¤®áâ â®ç­® ¬ «®¬ δ = δ(ε). ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®ª § ­ ॣã«ïà­®áâì ¬¥àë µ ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì­®© ª«¥âª¨ Π . ’¥¯¥àì à áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­®¥ ¬­®¦¥á⢮ A ∈ E. ãáâì ª®­¥ç­ ï ᮢ®ªã¯­®áâì ª«¥â®ªMS{Πm }MΠm ¨ Πm ∩m=1 ®¡à §ã¥â à §¡¨¥­¨¥ ¬­®¦¥á⢠A, â.

¥. A =m=1∩ Πk = ∅ ¯à¨ m 6= k . ‡ 䨪á¨à㥬 ¯à®¨§¢®«ì­® ç¨á«® ε > 0. Š ª¯®ª § ­® ¢ëè¥, ¤«ï ª ¦¤®© ª«¥âª¨ Πm áãé¥áâ¢ã¥â § ¬ª­ãâ ï ª«¥âª Fm ¨ ®âªàëâ ï ª«¥âª Gm , â ª¨¥, çâ® á¯à ¢¥¤«¨¢ë ¢ª«î祭¨ïεFm ⊂ Πm ⊂ Gm ¨ ­¥à ¢¥­á⢠µ(Πm ) < µ(Fm ) + M¨ µ(Gm ) << µ(Πm ) +MSεM. Ž¯à¥¤¥«¨¬ ª«¥â®ç­ë¥ ¬­®¦¥á⢠F=MSm=1Fm¨G=Œ­®¦¥á⢮ F ï¥âáï § ¬ª­ãâë¬ ª ª ª®­¥ç­®¥ ®¡ê¥¤¨­¥­¨¥ § ¬ª­ãâëå ¬­®¦¥áâ¢, ¬­®¦¥á⢮ G ï¥âáï ®âªàëâë¬ ª ª®¡ê¥¤¨­¥­¨¥ ®âªàëâëå ¬­®¦¥áâ¢. ’ ª ª ª ¯à¨ m 6= k ¢ë¯®«­¥­®MPΠm ∩ Πk = ∅ , â® ¨ Fm ∩ Fk = ∅.

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, µ(F ) =µ(Fm ).m=1® ¯®áâ஥­¨î á¯à ¢¥¤«¨¢ë ¢ª«î祭¨ï F ⊂ A ⊂ G.  ª®­¥æ, ¯à¨¬¥­ïï á«¥¤á⢨¥ 4.1.1, ¯®«ãç ¥¬=m=1Gm .µ(G) ≤MXµ(Gm ) <m=1MXµ(A) =m=1çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.MXµ(Πm ) + ε = µ(A) + ε,m=1µ(Πm ) <MXµ(Fm ) + ε = µ(F ) + ε,m=1‚áî¤ã ¤ «¥¥ áç¨â ¥¬, çâ® ­ ¬ § ¤ ­® ­¥ª®â®à®¥ ª®«ìæ® E í«¥¬¥­â à­ëå ¬­®¦¥áâ¢, ᮤ¥à¦ 饥 ⮫쪮 ®£à ­¨ç¥­­ë¥ ¯®¤¬­®¦¥á⢠Rn , ¢ ª®â®à®¬ áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ®âªàëâëå ¬­®¦¥áâ¢∞Snn{Am }∞Am , ¨ § m=1 ⊂ E, ®¡à §ãîé¨å ¯®ªàë⨥ R , â.

¥. R =m=1¤ ­ ॣã«ïà­ ï ª®­¥ç­®- ¤¤¨â¨¢­ ï äã­ªæ¨ï µ: E → [0, +∞). …᫨­ ¬ ¯®­ ¤®¡¨âáï ª®­ªà¥â­ë© ¢¨¤ ª®«ìæ E, ª ª, ­ ¯à¨¬¥à, ¢¢¥¤ñ­­®¥ ¢ëè¥ ª®«ìæ® ª«¥â®ç­ëå ¬­®¦¥áâ¢, ¨ ï¢­ë© ¢¨¤ ä㭪樨 µ, ª ª,­ ¯à¨¬¥à, ¢¢¥¤ñ­­ ï ¢ëè¥ ¬¥à ª«¥â®ç­®£® ¬­®¦¥á⢠, â® íâ® ¡ã¤¥âá¯¥æ¨ «ì­® ®£®¢®à¥­®.  襩 楫ìî ï¥âáï ¯à®¤®«¦¥­¨¥ ä㭪樨 µ á ª®«ìæ í«¥¬¥­â à­ëå ¬­®¦¥á⢠E ¤® áçñâ­®- ¤¤¨â¨¢­®© ॣã«ïà­®© ä㭪樨 ­ ­¥ª®â®à®¬ σ-ª®«ìæ¥, ᮤ¥à¦ 饬 ª®«ìæ® E.179à¨¢®¤¨¬ ï ­¨¦¥ ª®­áâàãªæ¨ï ¯à®¤®«¦¥­¨ï ¬¥àë á ª®«ìæ ­ ᮤ¥à¦ 饥 ¥£® σ-ª®«ìæ® ­ §ë¢ ¥âáï «¥¡¥£®¢ë¬ ¯à®¤®«¦¥­¨¥¬ ¬¥àë.Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 4.1.7.

‚¥àå­¥© ¬¥à®© ¯à®¨§¢®«ì­®£® ¬­®¦¥∞Pµ(Am ), £¤¥ ­¨¦á⢠E ⊂ Rn ­ §ë¢ ¥âáï ¢¥«¨ç¨­ µ∗ (E) = infm=1­ïï £à ­ì ¡¥àñâáï ¯® ¢á¥¢®§¬®¦­ë¬ áçñâ­ë¬ ®âªàëâë¬ ¯®ªàëâ¨ï¬∞S{Am }∞Am , ¬­®¦¥á⢮ Am ∈ Em=1 ⊂ E ¬­®¦¥á⢠E , â. ¥. E ⊂m=1®âªàëâ® ¤«ï «î¡®£® ­®¬¥à m.Ÿá­®, çâ® ¤«ï «î¡®£® ¬­®¦¥á⢠E ⊂ Rn ¤«ï ¥£® ¢¥àå­¥© ¬¥àë¢ë¯®«­¥­® µ∗ (E) ∈ [0, +∞], ¯à¨çñ¬ ¤«ï ¬­®¦¥á⢠E1 ⊂ E2 ⊂ Rn¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ µ∗ (E1 ) ≤ µ∗ (E2 ), â ª ª ª ¢á类¥ ®âªàë⮥¯®ªàë⨥ í«¥¬¥­â à­ë¬¨ ¬­®¦¥á⢠¬¨ ¬­®¦¥á⢠E2 ï¥âáï ¨¯®ªàë⨥¬ ¬­®¦¥á⢠E1 .“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.1.7. „«ï «î¡®£® ¬­®¦¥á⢠¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ µ∗ (A) = µ(A).A∈Eá¯à -„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

’ ª ª ª äã­ªæ¨ï µ ï¥âáï ॣã«ïà­®©, â® ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 4.1.6 ¤«ï ¤ ­­®£® ¬­®¦¥á⢠A ∈ E ¨ ¤«ï «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â ®âªàë⮥ ¬­®¦¥á⢮ G ∈ E, â ª®¥, çâ® A ⊂ G¨ µ(G) < µ(A) + ε. ® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 4.1.7 ¢¥àå­¥© ¬¥àë ¬­®¦¥á⢠A¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ µ∗ (A) ≤ µ(G). ®«ãç ¥¬ µ∗ (A) < µ(A) + ε, ¨¯®á«¥ ¯à¥¤¥«ì­®£® ¯¥à¥å®¤ ¯à¨ ε → +0 ¨¬¥¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮ µ∗ (A) ≤≤ µ(A). ‚ ᨫã ॣã«ïà­®á⨠ä㭪樨 µ ¤«ï ¬­®¦¥á⢠A ∈ E ¨¯à®¨§¢®«ì­®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â § ¬ª­ã⮥ ¬­®¦¥á⢮ F ∈ E, â ª®¥,çâ® F ⊂ A ¨ µ(A) < µ(F ) + ε.  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­®¥ áçñâ­®¥ ®âªàë⮥ ¯®ªàë⨥ P = {Am }∞m=1 ⊂ E ¬­®¦¥á⢠A. ’ ª ª ª F ⊂ A, â®P ï¥âáï ®âªàëâë¬ ¯®ªàë⨥¬ ¬­®¦¥á⢠F .

’ ª ª ª ¬­®¦¥á⢮F § ¬ª­ãâ® ¨ ®£à ­¨ç¥­® ¢ Rn (­ ¯®¬­¨¬, çâ® ª®«ìæ® E ᮤ¥à¦¨â⮫쪮 ®£à ­¨ç¥­­ë¥ ¬­®¦¥á⢠Rn ), â® F ï¥âáï ª®¬¯ ªâ®¬ ¢ Rn .‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ®âªàë⮥ ¯®ªàë⨥ P ª®¬¯ ªâ F ¨¬¥¥â ª®­¥ç­®¥NS¯®¤¯®ªàë⨥ {Am }NAm . ® ᢮©áâ¢ã ¯®«ã ¤¤¨â¨¢k=1 , â. ¥. F ⊂k=1­®á⨠ª®­¥ç­®- ¤¤¨â¨¢­®©ä㭪樨 µ (á¬. á«¥¤á⢨¥ 4.1.1) ¯®«ãç ¥¬µ¶kNSkNP∞P¥à¥å®¤ï ¢ ¯®á«¥¤­¥¬ ­¥à ¢¥­á⢥ ª â®ç­®© ­¨¦­¥© £à ­¨ ¯® ¢á¥¢®§¬®¦­ë¬ áçñâ­ë¬µ(F ) ≤ µk=1Amk≤k=1µ(Amk ) ≤180m=1µ(Am ).¯®ªàëâ¨ï¬ ¬­®¦¥á⢠A ®âªàëâ묨 í«¥¬¥­â à­ë¬¨ ¬­®¦¥á⢠¬¨,¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮ µ(F ) ≤ µ∗ (A). ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, µ(A) ≤ µ∗ (A)++ ε, ¨ ¯®á«¥ ¯à¥¤¥«ì­®£® ¯¥à¥å®¤ ¯à¨ ε → +0 ¨¬¥¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮µ(A) ≤ µ∗ (A). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, µ(A) = µ∗ (A), çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.1.8. ‚¥àå­ïï ¬¥à µ∗ ï¥âáï ¯®«ã ¤¤¨â¨¢­®© ­ ¬­®¦¥á⢥ ¢á¥å ¯®¤¬­®¦¥á⢠Rn , â.

¥. ¤«ï «î¡®© ¯®á«¥n¤®¢ ⥫쭮áâ¨{Em }∞m=1 ⊂ R á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮µ ∞¶ ¬­®¦¥áâ¢∞SPµ∗Em ≤µ∗ (Em ).m=1m=1„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. …᫨ áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥àm0 , â ª®©, çâ®â® ¤®ª §ë¢ ¥¬®¥ ­¥à ¢¥­á⢮ ®ç¥¢¨¤­®. à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ¤«ï «î¡®£® ­®¬¥à m ¢ë¯®«­¥­® µ∗ (Em ) < +∞.

’®£¤ ¯®®¯à¥¤¥«¥­¨î ¢¥àå­¥© ¬¥àë ¤«ï «î¡®£® ç¨á« ε > 0 ¨ «î¡®£® ­®¬¥à m áãé¥áâ¢ã¥â áçñâ­®¥ ¯®ªàë⨥ ¬­®¦¥á⢠Em ®âªàëâ묨 í«¥¬¥­â à­ë¬¨ ¬­®¦¥á⢠¬¨ {Am,k }∞k=1 , â ª®¥, ç⮵∗ (Em0 ) = +∞,∞Xµ(Am,k ) ≤ µ∗ (Em ) +k=1ε.2m’®£¤ ®âªàëâë¥ í«¥¬¥­â à­ë¥ ¬­®¦¥á⢠{Am,k }∞m,k=1 ®¡à §ãîâ ¯®∞Sªàë⨥ ¬­®¦¥á⢠Em .

C«¥¤®¢ ⥫쭮,m=1Ã∗µ∞[m=1!Em≤∞Xµ(Am,k ) ≤∞Xµ∗ (Em ) + ε,m=1m,k=1®âªã¤ ¯à¥¤¥«ì­ë¬ ¯¥à¥å®¤®¬ ¯à¨à ¢¥­á⢮.ε → +0¯®«ãç ¥¬ âॡ㥬®¥ ­¥-Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 4.1.8. ‘¨¬¬¥âà¨ç¥áª®© à §­®áâìî ¤¢ãå ¬­®¦¥á⢠A, B ⊂ Rn ­ §ë¢ ¥âáï ¬­®¦¥á⢮ A 4 B = (A\B) ∪ (B\A).‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 4.1.9. ’ ª ª ª ¤«ï «î¡ëå ¬­®¦¥á⢠A, Bá¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ A\B = B \A (§¤¥áì A­¨¥ ¬­®¦¥á⢠A), â® A 4 B = Ac 4 B c .cccn= R \A⊂ Rn| ¤®¯®«­¥-“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.1.9. ‘¨¬¬¥âà¨ç¥áª ï à §­®áâì ¬­®¦¥á⢨§ Rn ®¡« ¤ ¥â á«¥¤ãî騬¨ ᢮©á⢠¬¨:1811) A 4 B = B 4 A ¨ A 4 A = ∅ ¤«ï «î¡ëå ¬­®¦¥á⢠A, B ⊂ Rn ;2) A 4 B ⊂ (A 4 C) ∪ (B 4 C) ¤«ï «î¡ëå ¬­®¦¥á⢠A, B, C ⊂ Rn ;3) (A1 ∪ A2 ) 4 (B1 ∪ B2 ) ⊂ (A1 4 B1 ) ∪ (A2 4 B2 ) ¤«ï «î¡ëå ¬­®¦¥á⢠A1 , A2 , B1 , B2 ⊂ Rn ;4) (A1 ∩ A2 ) 4 (B1 ∩ B2 ) ⊂ (A1 4 B1 ) ∪ (A2 4 B2 ) ¤«ï «î¡ëå ¬­®¦¥á⢠A1 , A2 , B1 , B2 ⊂ Rn ;5) (A1 \A2 ) 4 (B1 \B2 ) ⊂ (A1 4 B1 ) ∪ (A2 4 B2 ) ¤«ï «î¡ëå ¬­®¦¥á⢠A1 , A2 , B1 , B2 ⊂ Rn .„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

‘¢®©á⢮ 1 áà §ã á«¥¤ã¥â ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï 4.1.8. ‘¢®©á⢮ 2 á«¥¤ã¥â ¨§ ¢ª«î祭¨©A\B ⊂ (A\C) ∪ (C\B)¨B\A ⊂ (B\C) ∪ (C\A) ,â. ¥.A 4 B ⊂ (A\C) ∪ (C\B) ∪ (B\C) ∪ (C\A) = (A 4 C) ∪ (B 4 C) .‘¢®©á⢮ 3 á«¥¤ã¥â ¨§ ¢ª«î祭¨©(A1 ∪ A2 ) \ (B1 ∪ B2 ) ⊂ (A1 \B1 ) ∪ (A2 \B2 ) ,(B1 ∪ B2 ) \ (A1 ∪ A2 ) ⊂ (B1 \A1 ) ∪ (B2 \A2 ) ,â. ¥.(A1 ∪ A2 ) 4 (B1 ∪ B2 ) ⊂⊂ (A1 \B1 ) ∪ (A2 \B2 ) ∪ (B1 \A1 ) ∪ (B2 \A2 ) == (A1 4 B1 ) ∪ (A2 4 B2 ) .„ «¥¥, ¨á¯®«ì§ãï ¤®ª § ­­®¥ ᢮©á⢮ 3 ¨ § ¬¥ç ­¨¥ 4.1.9, ¯®«ãç ¥¬cc(A1 ∩ A2 ) 4 (B1 ∩ B2 ) = (A1 ∩ A2 ) 4 (B1 ∩ B2 ) == (Ac1 ∪ Ac2 ) 4 (B1c ∪ B2c ) ⊂ (Ac1 4 B1c ) ∪ (Ac2 4 B2c ) == (A1 4 B1 ) ∪ (A2 4 B2 ) ,â.

¥. ᢮©á⢮ 4 ¤®ª § ­®.  ª®­¥æ, ¨á¯®«ì§ãï à ¢¥­á⢮ A\B = A∩B c¤«ï «î¡ëå ¬­®¦¥á⢠A, B ⊂ Rn ¨ ¤®ª § ­­®¥ ᢮©á⢮ 4, ¯®«ãç ¥¬(A1 \A2 ) 4 (B1 \B2 ) = (A1 ∩ Ac2 ) 4 (B1 ∩ B2c ) ⊂⊂ (A1 4 B1 ) ∪ (Ac2 4 B2c ) = (A1 4 B1 ) ∪ (A2 4 B2 ) ,â. ¥. ᢮©á⢮ 5 ¤®ª § ­®.182Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 4.1.9.  ááâ®ï­¨¥¬ ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï ¬­®¦¥á⢠¬¨ A, B ⊂ Rn ­ §ë¢ ¥âáï ¢¥«¨ç¨­ d(A, B) = µ∗ (A 4 B). „«ïnn¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¬­®¦¥á⢠{Am }∞m=1 ⊂ R ¨ ¬­®¦¥á⢠B ⊂ R¡ã¤¥¬ ¯¨á âì Am → B ¯à¨ m → ∞, ¥á«¨ d(Am , B) → 0 ¯à¨ m → ∞.®ª ¦¥¬, çâ® ¢¢¥¤ñ­­ ï äã­ªæ¨ï d ®¡« ¤ ¥â ®á­®¢­ë¬¨ ᢮©á⢠¬¨ ¬¥âਪ¨ ­ ¬­®¦¥á⢥ ¢á¥å ¯®¤¬­®¦¥á⢠Rn .“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.1.10.  ááâ®ï­¨¥ d ®¡« ¤ ¥â á«¥¤ãî騬¨á¢®©á⢠¬¨:1) d(A, B) = d(B, A) ¨ d(A, A) = 0 ¤«ï ¢á¥å ¬­®¦¥á⢠A, B ⊂ Rn ;2) d(A, B) ≤ d(A, C) + d(B, C) ¤«ï ¢á¥å ¬­®¦¥á⢠A, B, C ⊂ Rn ;3) d(A1 ∪A2 , B1 ∪B2 ) ≤ d(A1 , B1 )+d(A2 , B2 ) ¤«ï «î¡ëå ¬­®¦¥áâ¢A1 , A2 , B1 , B2 ⊂ Rn ;4) d(A1 ∩A2 , B1 ∩B2 ) ≤ d(A1 , B1 )+d(A2 , B2 ) ¤«ï «î¡ëå ¬­®¦¥áâ¢A1 , A2 , B1 , B2 ⊂ Rn ;5) d(A1 \A2 , B1 \B2 ) ≤ d(A1 , B1 ) + d(A2 , B2 ) ¤«ï «î¡ëå ¬­®¦¥áâ¢A1 , A2 , B1 , B2 ⊂ Rn ;6) ¥á«¨ ¤«ï ¬­®¦¥áâ¢A, B ⊂ R¯n å®âï ¡ë ®¤­® ¨§ ç¨á¥« µ∗ (A) ¨«¨¯¯¯µ∗ (B) ª®­¥ç­®, â® ¯µ∗ (A) − µ∗ (B)¯ ≤ d(A, B).„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

‘¢®©á⢮ 1 áà §ã á«¥¤ã¥â ¨§ ¯¥à¢®£® ᢮©á⢠ã⢥ত¥­¨ï 4.1.9 ¨ à ¢¥­á⢠µ∗ (∅) = µ(∅) = 0, ª®â®à®¥ á«¥¤ã¥â¨§ ã⢥ত¥­¨ï 4.1.7 ¨ ¢ª«î祭¨ï ∅ ∈ E. ‘¢®©á⢠2|5 á«¥¤ãî⨧ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ᢮©á⢠2|5 ã⢥ত¥­¨ï 4.1.9 ¨ ¯®«ã ¤¤¨â¨¢­®á⨠¢¥àå­¥© ¬¥àë (á¬. ã⢥ত¥­¨¥ 4.1.8). „«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠᢮©á⢠6 à áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ë¥ ¬­®¦¥á⢠A, B ⊂ Rn , ¯à¨çñ¬ µ∗ (B) < +∞. ¥§ ®£à ­¨ç¥­¨ï ®¡é­®á⨠¬®¦­® áç¨â âì, ç⮵∗ (B) ≤ µ∗ (A). ’®£¤ ¯® ᢮©áâ¢ã 2 (­¥à ¢¥­á⢮ âà¥ã£®«ì­¨ª ¤«ïà ááâ®ï­¨ï d) ¯®«ãç ¥¬µ∗ (A) = d(A, ∅) ≤ d(A, B) + d(B, ∅) = d(A, B) + µ∗ (B).‘«¥¤®¢ ⥫쭮,¯¯¯ ∗¯¯µ (A) − µ∗ (B)¯ = µ∗ (A) − µ∗ (B) ≤ d(A, B),çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 4.1.10.  ááâ®ï­¨¥ d, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ­¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¢á¥¬ ᢮©á⢠¬ ¬¥âਪ¨ ­ ¬­®¦¥á⢥ ¢á¥å ¯®¤¬­®¦¥á⢠Rn ,183â ª ª ª ®­® ¬®¦¥â ¯à¨­¨¬ âì §­ 祭¨¥ +∞ ¨ ¡ëâì à ¢­ë¬ ­ã«î ­ ¯ à¥ à §­ëå ¬­®¦¥áâ¢.ãáâì E | ª®«ìæ® ª«¥â®ç­ëå ¬­®¦¥áâ¢, µ | ¬¥à ª«¥â®ç­®£® ¬­®¦¥á⢠.

’®£¤ d(Rn , ∅) = µ∗ (Rn ) = +∞, â ª ª ª ¤«ï «î¡®©ª«¥âª¨ Π ⊂ Rn ¢ë¯®«­¥­® µ∗ (Rn ) ≥ µ∗ (Π ) = µ(Π ), ç¨á«® µ(Π )¬®¦¥â ¡ëâì ᪮«ì 㣮¤­® ¢¥«¨ª®.n„ «¥¥, ¥á«¨ E = {x(m)}∞| áçñâ­®¥ ¬­®¦¥á⢮, â®m=1 ⊂ R∗µ (E) = 0. „¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® ç¨á« ε > 0 ¨ «î¡®£® ­®¬¥à m à áᬮâਬ ®âªàëâãî ª«¥âªã(Πm =¯√n¯2−m ε¯x ∈ R ¯ |xk − xk (m)| <¯2n)∀ k ∈ 1, n.’®£¤ ¤«ï «î¡®£® m ¯®«ãç ¥¬ x(m) ∈ Πm ¨ µ(Πm ) = 2ε .

Характеристики

Список файлов лекций