Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 27

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

¥.πkAn k ≤ kzn k2 ≤ √ ,61π¯®áª®«ìªãk = 6 . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® ­®¬¥à n ¢ëk=1¯®«­¥­® An ∈ L(X, Y ). €­ «®£¨ç­® ¤«ï «î¡ëå n, m ∈ N ¢ë¯®«­¥­®á®®â­®è¥­¨¥22³kAn+m − An k = sup´|x(1)| kzn+m − zn k2 ≤ kzn+m − zn k2 .kxk1 =1Žâáî¤ ¯®«ãç ¥¬vvru n+mu n+mu X 1u X111ttkAn+m − An k ≤<− <<ε2kk−1 knk=n+1£k=n+1¤¯à¨ ¢á¥å n > N (ε) = ε1 + 1 ¨ ¯à¨ ¢á¥å m ∈ N.

ˆâ ª, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {An }∞n=1 ï¥âáï äã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¢ ¯à®áâà ­á⢥L(X, Y ). ® ¤«ï «î¡®£® x ∈ `1 ¢¨¤ x(1) 6= 0 ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâìAn (x) = x(1)zn ï¥âáï à á室ï饩áï ¢ ¯à®áâà ­á⢥ Y . ®í⮬㯮᫥¤®¢ ⥫쭮áâì ®¯¥à â®à®¢ {An }∞n=1 à á室¨âáï ¢ ¯à®áâà ­á⢥L(X, Y ). „¥©á⢨⥫쭮, ¥á«¨ ¡ë áãé¥á⢮¢ « ®¯¥à â®à A ∈ L(X, Y ),â ª®©, çâ® kAn − Ak → 0 ¯à¨ n → ∞, â® ¤«ï «î¡®£® x ∈ `1 ¡ë«®¡ë ¢ë¯®«­¥­® ᮮ⭮襭¨¥ kAn (x) − A(x)k2 ≤ kAn − Ak kxk1 → 0¯à¨ n → ∞, çâ® ­¥¢¥à­® ¤«ï «î¡®£® x ∈ `1 ¢¨¤ x(1) 6= 0. ’ ª¨¬®¡à §®¬, ¯à®áâà ­á⢮ L(X, Y ) ­¥¯®«­®¥.2‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 3.4.2.

ãáâì (X, k·kX ) | ­¥­ã«¥¢®¥ «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮, (Y, k · kY ) | ­¥¯®«­®¥ «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮. ’®£¤ «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ L(X, Y ) ⮦¥ ï¥âáï ­¥¯®«­ë¬. „®ª § ⥫ìá⢮ í⮣® ä ªâ ,149®á­®¢ ­­®¥ ­ ¯à¨¬¥­¥­¨¨ â¥®à¥¬ë • ­ | ­ å , ¡ã¤¥â ¯à®¢¥¤¥­®¯®§¤­¥¥ (á¬. á«¥¤á⢨¥ 5.1.3).“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 3.4.4.

ãáâì (X, k·kX ) ¨ (Y, k·kY ) | «¨­¥©­ë¥ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠, ¯à¨çñ¬ «¨­¥©­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ Xï¥âáï ª®­¥ç­®¬¥à­ë¬. ’®£¤ «î¡®© «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A: X →→ Y ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­ë¬, â. ¥. A ∈ L(X, Y ).„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ãáâì à §¬¥à­®áâì «¨­¥©­®£® ¯à®áâà ­á⢠X à ¢­ n, á¨á⥬ ¢¥ªâ®à®¢ e1 , . .

. , en ∈ X ®¡à §ã¥â ¡ §¨á¢ X . ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ë©­ ¡®à ᪠«ï஢ x1 , . . . , xn ∈ C, â ª®©, çâ® á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮nnPPx=xk ek . ‚¢¥¤ñ¬ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ X ­®à¬ã ¢¨¤ kxke =|xk |.k=1k=1® ⥮६¥ 3.1.1 íâ ­®à¬ íª¢¨¢ «¥­â­ ¨á室­®© ­®à¬¥ k·kX ¯à®áâà ­á⢠X . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, áãé¥áâ¢ã¥â ¯®«®¦¨â¥«ì­®¥ ç¨á«® L, â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮kxke ≤ LkxkX .noŽ¯à¥¤¥«¨¬ ç¨á«® M = max kA(e1 )kY , . . .

, kA(en )kY .«î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X ¯®«ãç ¥¬kA(x)kY ≤nX’®£¤ ¤«ï|xk | kA(ek )kY ≤ M kxke ≤ M LkxkX ,k=1â. ¥. kAk ≤ M L. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, A ∈ L(X, Y ).Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 3.4.6. ãáâì (X, k · k) | «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮. ‹¨­¥©­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ ¯à®áâà ­á⢠X ¢ ¯®«¥áª «ï஢ C ­ §ë¢ ¥âáï «¨­¥©­ë¬ ä㭪樮­ «®¬. ‹¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ ®£à ­¨ç¥­­ëå ä㭪樮­ «®¢ L(X, C) ­ §ë¢ ¥âáï ¯à®áâà ­á⢮¬, ᮯàï¦ñ­­ë¬ ª ¯à®áâà ­áâ¢ã X , ¨ ®¡®§­ ç ¥âáï X ∗ . à ¨ ¬ ¥ à 3.4.7. à¨¢¥¤ñ¬ ¯à¨¬¥à «¨­¥©­®£® ­®à¬¨à®¢ ­­®£® ¯à®áâà ­á⢠(X, k · k) ¨ «¨­¥©­®£® ­¥®£à ­¨ç¥­­®£® ä㭪樮­ « f : X → C.

ãáâì ¯à®áâà ­á⢮ X = CL1 [0, 1] á®á⮨⠨§ ¢á¥å­¥¯à¥à뢭ëå ä㭪権 x: [0, 1] → C, ­®à¬ ¢ ª®â®à®¬ ¨¬¥¥â ¢¨¤kxkL1 =R10|x(t)| dt.ãáâì «¨­¥©­ë© ä㭪樮­ «150f: X → C¨¬¥¥â¢¨¤f (x) = x(0) ¤«ï «î¡®© ä㭪樨 x ∈ X . ®ª ¦¥¬, çâ® kf k == +∞, â. ¥. ä㭪樮­ « f ï¥âáï ­¥®£à ­¨ç¥­­ë¬.  áᬮâਬ¡¢¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâìxn (t) = 2n2 n1 − t£ 1 ¤ ­¥¯à¥à뢭ëå ä㭪権£ 1 ¢¨¤ ¤¤«ï ¢á¥å t ∈ 0, n ¨ xn (t) = 0 ¯à¨ t ∈ n , 1 . ’®£¤ ¯®«ãç ¥¬, çâ®kxn kL1 = 1, f (xn ) = 2n ¤«ï «î¡®£® n ∈ N. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç -¥¬kf k =sup|f (x)| ≥ |f (xn )| = 2n → +∞kxkL1 =1¯à¨n → ∞.Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 3.4.7. ãáâì (X, k · kX ) ¨ (Y, k · kY ) | «¨­¥©­ë¥ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠. ®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì «¨­¥©­ë宯¥à â®à®¢ {An }∞n=1 ⊂ L(X, Y ) ­ §ë¢ ¥âáï ¯®â®ç¥ç­® ®£à ­¨ç¥­­®©,¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {An (x)}∞n=1 ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­®© ¢ ¯à®áâà ­á⢥ Y , â.

¥. sup kAn (x)kY < +∞.n∈N’ ¥ ® à ¥ ¬ 3.4.2 ( ­ å, ˜â¥©­£ ã§).ãáâì (X, k · kX ) ¨(Y, k · kY ) | «¨­¥©­ë¥ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠, ¯à¨çñ¬ ¯à®áâà ­á⢮ (X, k · kX ) ï¥âáï ¯®«­ë¬. ãáâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì «¨­¥©­ëå ®¯¥à â®à®¢ {An }∞n=1 ⊂ L(X, Y ) ï¥âáï ¯®â®ç¥ç­® ®£à ­¨ç¥­­®©. ’®£¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {An }∞n=1 ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­®©¢ ¯à®áâà ­á⢥ L(X, Y ), â. ¥. sup kAn k < +∞.n∈N„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

 áᬮâਬ ¬­®¦¥á⢮F =\´³Y(0).A−1Bn1n∈N³¯´ no¯B1Y (0) = x ∈ X ¯ kAn (x)kY ≤ 1 | ¯à®®¡à § § ¬ª­ã-‡¤¥áì A−1n⮣® ¥¤¨­¨ç­®£® è à B1Y (0) ⊂ Y ¤«ï ®¯¥à â®à An . ’ ª ª ª ¤«ï«î¡®£® ­®¬¥à n ®¯¥à â®à An³ ï¥âáï´ ­¥¯à¥à뢭ë¬, â® ¯® ã⢥à¦−1Y¤¥­¨î 1.1.6 ¬­®¦¥á⢮ An B1 (0) ï¥âáï § ¬ª­ãâë¬ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ X . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¬­®¦¥á⢮ F ï¥âáï § ¬ª­ãâë¬ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ X ª ª ¯¥à¥á¥ç¥­¨¥ § ¬ª­ãâëå ¬­®¦¥áâ¢. „ «¥¥ ¯® ãá«®¢¨î¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X áãé¥áâ¢ã¥â ­ âãà «ì­®¥ ç¨á«® N (x), â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® ­®¬¥à n ¢ë¯®«­¥­®° ­¥à ¢¥­á⢮³´° kAn (x)kY ≤°°x≤ N (x). â® à ¢­®á¨«ì­® ­¥à ¢¥­áâ¢ã °An N (x) ° ≤ 1 ¤«ï «îY¡®£® n ∈ N, â.

¥. á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥ Nx(x) ∈ F . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,151á¯à ¢¥¤«¨¢ë ¢ª«î祭¨ïSX ⊂SN ∈N(N F ) ⊂ X ,â. ¥. ¢ë¯®«­¥­® à -¢¥­á⢮ X =(N F ). ®«­®¥ ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ X ¯à¥¤N ∈Náâ ¢«¥­® ¢ ¢¨¤¥ áçñâ­®£® ®¡ê¥¤¨­¥­¨ï § ¬ª­ãâëå ¬­®¦¥áâ¢. ’®£¤ ¯® ⥮६¥ 1.4.2 íà å®âï ¡ë ®¤­® ¨§ íâ¨å ¬­®¦¥á⢠¤®«¦­® ¨¬¥âì­¥¯ãáâãî ¢­ãâ७­®áâì. ®í⮬ã áãé¥áâ¢ãîâ ­®¬¥à N0 , ¢¥ªâ®à z0 ∈∈ N0 F ¨ ¯®«®¦¨â¥«ì­®¥ ç¨á«® r0 , â ª¨¥, çâ® ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥Br (z0 ) ⊂ N0 F . ®á«¥¤­¥¥ ¢ª«î祭¨¥ à ¢­®á¨«ì­® ¢ª«î祭¨î01N0 Br0 (z0 )³= B Nr00z0N0´⊂ F.Ž¡®§­ 稬 δ0 = Nr ¨ x0 = Nz . ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X ¢¨¤ kxkX = 1 ¯®«ãç ¥¬ x0 + δ0 x ∈ Bδ (x0 ) ⊂ F , â.

¥. ¤«ï «î¡®£® ­®¬¥à n ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ kAn (x0 ) + δ0 An (x)kY ≤ 1. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮,00000kAn (x)kY ≤1 + kAn (x0 )kY1 + N (x0 )≤= L0 .δ0δ0’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï «î¡®£® ­®¬¥à n ¯®«ãç ¥¬kAn k = sup kAn (x)kY ≤ L0 ,kxkX =1çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì. à ¨ ¬ ¥ à 3.4.8. ®ª ¦¥¬, çâ® ¯®«­®â ¯à®áâà ­á⢠X ¢ ⥮६¥ 3.4.2  ­ å |˜â¥©­£ 㧠áãé¥á⢥­­ ¤«ï ®£à ­¨ç¥­­®á⨠¯®â®ç¥ç­® ®£à ­¨ç¥­­®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠«¨­¥©­ëå ­¥¯à¥à뢭ë宯¥à â®à®¢.

à¨¢¥¤ñ¬ ¯à¨¬¥à ­¥¯®«­®£® «¨­¥©­®£® ­®à¬¨à®¢ ­­®£® ¯à®áâà ­á⢠X , ¡ ­ 客 ¯à®áâà ­á⢠Y ¨ ¯®â®ç¥ç­® ®£à ­¨ç¥­­®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠®¯¥à â®à®¢ {An }∞n=1 ⊂ L(X, Y ), ª®â®à ïï¥âáï ­¥®£à ­¨ç¥­­®© ¢ ¯à®áâà ­á⢥ L(X, Y ) (â. ¥. ¢ë¯®«­¥­®sup kAn k = +∞).n∈Nãáâì (X, k · kX ) = (`1 , k · k2 ), (Y, k · kY ) = (`1 , k · k1 ) (á¬. ¯à¨¬¥à 3.4.6), ®¯¥à â®à An : X → Y ¨¬¥¥â ¢¨¤((An (x))(k) =x(k)√ ,k0,1521 ≤ k ≤ n,k > n.’®£¤ ¤«ï «î¡®£® x ∈ `1 ­ 室¨¬vvvu nu nu nnXXXXuuu|x(k)| t1t1√ ≤kAn (x)k1 =|x(k)|2 ≤ tkxk2 .kkkk=1k=1k=1k=1s‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮¤à㣮© áâ®à®­ë, ¤«ï xn ∈ `1 ¢¨¤ xn (k) = 0 ¯à¨ k > n ­ 室¨¬kAn (xn )k1 =kAn k ≤xn (k) =√1k¯à¨nP= Ln .‘1 ≤ k ≤ n¨k=11knX1= Ln kxn k2 .kk=1‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬Ln ≥ kAn k ≥kAn (xn )k1= Ln ,kxn k2â.

¥. ¢ë¯®«­¥­® kAn k = Ln → +∞ ¯à¨ n → ∞. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ®¯¥à â®à®¢ An ∈ L(X, Y ) ï¥âáï ­¥®£à ­¨ç¥­­®© ¢¯à®áâà ­á⢥ L(X, Y ). ’¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥ ®­ ï¥âáï ¯®â®ç¥ç­® ®£à ­¨ç¥­­®©, â ª ª ª ¤«ï «î¡®£® x ∈ `1 ¨ «î¡®£® ­®¬¥à n ¨¬¥¥¬kAn (x)k1 =nnX|x(k)| X√ ≤|x(k)| ≤ kxk1 ,kk=1k=1â. ¥. ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ sup kAn (x)k1 ≤ kxk1 < +∞.n∈NŽ ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 3.4.8. ãáâì (X, k · kX ) ¨ (Y, k · kY ) | «¨­¥©­ë¥ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠. ®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì «¨­¥©­ëå ®¯¥à â®à®¢ {An }∞n=1 ¢¨¤ An : X → Y ­ §ë¢ ¥âáï ¯®â®ç¥ç­®á室ï饩áï, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì{An (x)}∞n=1 ï¥âáï á室ï饩áï ¢ ¯à®áâà ­á⢥ Y .‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 3.4.3.

ãáâì (X, k · kX ) ¨ (Y, k · kY ) | «¨­¥©­ë¥­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì «¨­¥©­ëå ®¯¥à â®à®¢ {An }∞n=1 ï¥âáï ¯®â®ç¥ç­® á室ï饩áï. ’®£¤ ¤«ï «î¡®£®¢¥ªâ®à x ∈ X áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à A(x) = n→∞lim An (x) ∈ Y . ’ ª¨¬153®¡à §®¬, ®¯à¥¤¥«¥­® ®â®¡à ¦¥­¨¥ A: X → Y , ª®â®à®¥ ï¥âáï «¨­¥©­ë¬ ®¯¥à â®à®¬. „¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï «î¡ëå ¢¥ªâ®à®¢ x, y ∈ X ¨áª «ï஢ α ¨ β ­ 室¨¬³A(αx + βy) = limn→∞´αAn (x) + βAn (y) == α lim An (x) + β lim An (y) = αA(x) + βA(y).n→∞n→∞“ª § ­­ë© «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì ¯®â®ç¥ç­ë¬ ¯à¥¤¥«®¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠«¨­¥©­ëå ®¯¥à â®à®¢ {An }∞n=1 .’ ¥ ® à ¥ ¬ 3.4.3. ãáâì (X, k · kX ) ¨ (Y, k · kY ) | «¨­¥©­ë¥­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠, ¯à¨çñ¬ (X, k · kX ) ï¥âáï ¯®«­ë¬.ãáâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì «¨­¥©­ëå ®¯¥à â®à®¢ {An }∞n=1 ⊂ L(X, Y )ï¥âáï ¯®â®ç¥ç­® á室ï饩áï.

’®£¤ ¥ñ ¯®â®ç¥ç­ë© ¯à¥¤¥« A ï¥âáï «¨­¥©­ë¬ ®£à ­¨ç¥­­ë¬ ®¯¥à â®à®¬, â. ¥. ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ A ∈ L(X, Y ). à¨ í⮬ á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮kAk ≤ lim kAn k.n→∞„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ® ãá«®¢¨î ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {An (x)}∞n=1 ï¥âáï á室ï饩áï ¢ ¯à®áâà ­á⢥ Y .

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ®­ ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­®© ¢ ¯à®áâà ­á⢥Y . ’®£¤ ¯® ⥮६¥ 3.4.2  ­ å |˜â¥©­£ 㧠¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ쮯¥à â®à®¢ {An }∞n=1 ®£à ­¨ç¥­ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ L(X, Y ). ®í⮬ãáãé¥áâ¢ã¥â ¯®«®¦¨â¥«ì­®¥ ç¨á«® L, â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® ­®¬¥à n¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ kAn k ≤ L. ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X¨ «î¡®£® n ∈ N ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢠kA(x)kY ≤ kA(x) − An (x)kY + kAn (x)kY ≤ kA(x) − An (x)kY + LkxkX .¥à¥å®¤ï ¢ ¯®á«¥¤­¥¬ ­¥à ¢¥­á⢥ ª ¯à¥¤¥«ã ¯à¨ n → ∞, ¯®«ãç ¥¬kA(x)k ≤ Lkxk ¤«ï «î¡®£® x ∈ X . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, kAk ≤ L, çâ®®§­ ç ¥â ¢ª«î祭¨¥ A ∈ L(X, Y ). „ «¥¥ ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X¨ «î¡®£® ­®¬¥à n ¨¬¥¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮kA(x)kY ≤ kA(x) − An (x)kY + kAn k kxkX ,¯¥à¥å®¤ï ¢ ª®â®à®¬ ª ­¨¦­¥¬ã ¯à¥¤¥«ã ¯® n → ∞, ¯®«ãç ¥¬kA(x)kY ≤ lim kA(x) − An (x)kY + lim kAn k kxkX =n→∞n→∞¶µ= lim kAn k kxkX .n→∞154‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮âॡ®¢ «®áì.kAk ≤ lim kAn k,n→∞çâ® ¨ à ¨ ¬ ¥ à 3.4.9. ®ª ¦¥¬, çâ® ¯®«­®â ¯à®áâà ­á⢠X ¢ ⥮६¥ 3.4.3 áãé¥á⢥­­ ¤«ï ®£à ­¨ç¥­­®á⨠¯®â®ç¥ç­®£® ¯à¥¤¥« ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠«¨­¥©­ëå ­¥¯à¥à뢭ëå ®¯¥à â®à®¢.

à¨¢¥¤ñ¬¯à¨¬¥à ­¥¯®«­®£® «¨­¥©­®£® ­®à¬¨à®¢ ­­®£® ¯à®áâà ­á⢠X , ¡ ­ 客 ¯à®áâà ­á⢠Y ¨ ¯®â®ç¥ç­® á室ï饩áï ª ­¥®£à ­¨ç¥­­®¬ã«¨­¥©­®¬ã ®¯¥à â®àã A ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠®¯¥à â®à®¢ {An }∞n=1 ⊂⊂ L(X, Y ). „«ï í⮣® à áᬮâਬ «¨­¥©­ë¥ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ­¥¯à¥à뢭ëå «¨­¥©­ëå ®¯¥à â®à®¢¨§ ¯à¨¬¥à 3.4.8. Ž¯à¥¤¥«¨¬ «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A: X → Y ¢¨¤ √(A(x))(k) = x(k)¤«ï «î¡®£® k ∈ N ¨ «î¡®£® x ∈ `1 .

’®£¤ ¤«ï «î¡®k£® x ∈ `1 ¯®«ãç ¥¬kA(x) − An (x)k1 =∞∞XX|x(k)|√ ≤|x(k)| → 0kk=n+1k=n+1¯à¨n → ∞.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ®¯¥à â®à A ï¥âáï ¯®â®ç¥ç­ë¬ ¯à¥¤¥«®¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠­¥¯à¥à뢭ëå ®¯¥à â®à®¢ {An }∞n=1 . ®ª ¦¥¬, çâ® ®¯¥à â®à A ï¥âáï ­¥®£à ­¨ç¥­­ë¬, â. ¥. kAk = +∞. „¥©á⢨⥫쭮,à áᬮâਬ ¤«ï «î¡®£® ­®¬¥à n í«¥¬¥­â xn ∈ `1 ¢¨¤ xn (k) = √1k¯à¨ 1 ≤ k ≤ n ¨ xn (k) = 0 ¯à¨ k > n. ’®£¤ ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢠vu nnXX11 u kxn k2 .kA(xn )k1 == tkkk=1k=1‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ­ 室¨¬vu nuX 1kA(xn )k1kAk ≥=t→ +∞kxn k2k¯à¨n → ∞.k=1Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 3.4.9. ãáâì (X, k · kX ) ¨ (Y, k · kY ) | «¨­¥©­ë¥ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠. ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {An }∞n=1 ⊂ L(X, Y ) ï¥âáï ¯®â®ç¥ç­® äã­¤ ¬¥­â «ì­®©, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {An (x)}∞n=1ï¥âáï äã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¢ ¯à®áâà ­á⢥ Y .155Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 3.4.10. ãáâì (X, k · kX ) ¨ (Y, k · kY ) | «¨­¥©­ë¥ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠.

Характеристики

Список файлов лекций