Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

à¨ í⮬ ¢ ᨫã à ¢¥­á⢠ àᥢ «ï¨¬¥¥¬vu∞uX|αn |2kAxk2 = u=³t¢ ´2¡n=1 π n − 1(f,f)nn2vu∞uX2|αn |22=u³ ¡´2 ≤t¢πn=1 π n − 12vu∞uX2t2|αn |2 = kxk2 .πn=1’ ª¨¬ ®¡à §®¬, á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ kAk ≤¥¬ ­¥à ¢¥­á⢠2π<°2 °° f1 °2kAe1 k222≥ kAk ≥= π= ,πke1 k2ke1 k2π141√12. „ «¥¥ ¨¬¥-â. ¥. ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮ kAk = π2 . à ¨ ¬ ¥ à 3.4.3. ãáâì äã­ªæ¨ï K: [0, 1] × [0, 1] → C ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭®©.

 áᬮâਬ «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A: C[0, 1] → C[0, 1]¢¨¤ Z1(Ax)(t) =K(t, τ )x(τ ) dτ∀ t ∈ [0, 1],∀ x ∈ C[0, 1].0‚ëç¨á«¨¬ ­®à¬ã ®¯¥à â®à A. „«ï «î¡®© ä㭪樨 x ∈ C[0, 1] ¨¬¥¥¬¯ 1¯¯Z¯¯¯¯kAxkc = max ¯ K(t, τ )x(τ ) dτ ¯¯ ≤t∈[0,1] ¯¯0Z1|K(t, τ )| |x(τ )| dτ ≤  max≤ maxt∈[0,1]Z1|K(t, τ )| dτ  kxkc .t∈[0,1]00R1‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï ç¨á« L = max |K(t, τ )| dτ á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥t∈[0,1] 0à ¢¥­á⢮ kAk ≤ L. „ «¥¥ ¢ ᨫ㠭¥¯à¥à뢭®á⨠­ ®â१ª¥ [0, 1]ä㭪樨t 7→R10|K(t, τ )| dτáãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«®t0 ∈ [0, 1],â ª®¥, çâ®R1¢ë¯®«­¥­® L = |K(t0 , τ )| dτ .

® ⥮६¥ ‚¥©¥àèâà áá ® à ¢­®0¬¥à­®¬ ¯à¨¡«¨¦¥­¨¨ ­¥¯à¥à뢭®© ­ ®â१ª¥ ä㭪樨 ¬­®£®ç«¥­®¬ ¯¤«ï «î¡®£® ε >¯ 0 áãé¥áâ¢ã¥â ¬­®£®ç«¥­ Pε : [0, 1] → C, â ª®©,çâ® ¯¯K(t0 , τ ) − Pε (τ )¯¯ ≤ ε ¤«ï ¢á¥å τ ∈ [0, 1]. Ž¯à¥¤¥«¨¬ ­¥¯à¥à뢭ãî äã­ªæ¨î ª®¬¯«¥ªá­®£® ¯¥à¥¬¥­­®£® sε : C → C ¢¨¤ sε (z) =z|z| ,|z| ≥ ε,zε|z| ≤ ε.,’®£¤ ¤«ï «î¡®£® z ∈ C ¢¨¤ |z| ≥ ε ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮ sε (z)z = |z|, ¯à¨ |z| ≤ ε ¨¬¥¥¬ ³á®®â­®è¥­¨¥sε (z)z = |z|ε ∈ [0, ε].  áᬮâਬ´äã­ªæ¨î xε (τ ) = sε Pε (τ ) , £¤¥ τ ∈ [0, 1].

Ÿá­®, çâ® xε ∈ C[0, 1] ª ª2142á㯥௮§¨æ¨ï ­¥¯à¥à뢭ëå ä㭪権. à¨ í⮬ á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ kxε kc ≤ 1, â ª ª ª |sε (z)| ≤ 1 ¤«ï «î¡®£® z ∈ C. ®«ãç ¥¬¯ 1¯¯Z¯¯¯kAk ≥ kAxε kc ≥ ¯¯ K(t0 , τ )xε (τ ) dτ ¯¯ ≥¯¯0¯ 1¯¯Z¯ Z1 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯≥ ¯¯ Pε (τ )xε (τ ) dτ ¯¯ − ¯K(t0 , τ ) − Pε (τ )¯ ¯xε (τ )¯ dτ ≥¯¯00¯ 1¯¯Z¯¯¯¯≥ ¯ Pε (τ )xε (τ ) dτ ¯¯ − ε.¯¯0Žæ¥­¨¬ á­¨§ã¦¥á⢮¯1¯¯R¯¯ç¨á«® ¯ Pε (τ )xε (τ ) dτ ¯¯. „«ï í⮣®0¯no¯Iε = τ ∈ [0, 1] ¯ |Pε (τ )| ≤ ε .®¯à¥¤¥«¨¬ ¬­®-’ ª ª ª Pε | ¬­®£®ç«¥­, â® ¬­®¦¥á⢮ Iε , ¥á«¨ ­¥ ¯ãáâ®, á®á⮨⨧ ª®­¥ç­®£® ­ ¡®à ¯à®¬¥¦ã⪮¢ ®â१ª [0, 1]. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®¬­®¦¥á⢠¬ Iε ¨ [0, 1]\Iε ¬®¦­® ¨­â¥£à¨à®¢ âì ¯® ¨¬ ­ã «î¡ãî­¥¯à¥à뢭ãî ­ ®â१ª¥ [0, 1] äã­ªæ¨î.

®«ãç ¥¬¯ 1¯ ¯¯¯Z¯ ¯ Z¯¯¯ Pε (τ )xε (τ ) dτ ¯ ≥ ¯¯¯¯ ¯¯¯ ¯0[0,1]\Iε¯¯ Z¯¯¯¯¯¯Pε (τ )xε (τ ) dτ ¯ − ¯Pε (τ )xε (τ )¯ dτ.¯¯ Iε’ ª ª ª ¤«ï «î¡®£® τ ∈ [0, 1]\Iε ¨¬¥¥¬ Pε (τ )xε (τ ) =«î¡®£® τ ∈ Iε ¨¬¥¥¬ Pε (τ )xε (τ ) ∈ [0, ε], â® ¯®«ãç ¥¬¯ 1¯¯Z¯¯¯¯ Pε (τ )xε (τ ) dτ ¯ ≥¯¯¯¯0=Z ¤«ï¯¯¯¯¯Pε (τ )¯ dτ − ε =[0,1]\IεZ1 ¯Z¯¯¯P(τ)dτ−¯ ε ¯0|Pε (τ )|,Z1 ¯¯¯¯¯¯¯¯P(τ)dτ−ε≥¯ ε ¯¯Pε (τ )¯ dτ − 2ε ≥0IεZ1≥0143¯¯¯¯¯K(t0 , τ )¯ dτ − 3ε = L − 3ε.Žª®­ç ⥫쭮 ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢠®âªã¤ ¯à¨ ε → +0 á«¥¤ã¥âL ≥ kAk ≥ kAxε kc ≥ L − 4ε,R1à ¢¥­á⢮ kAk = L = max |K(t, τ )| dτ .t∈[0,1] 0 à ¨ ¬ ¥ à 3.4.4. ãáâì äã­ªæ¨ï K: [0, 1] × [0, 1] → C ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭®©.  áᬮâਬ «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A: CL1 [0, 1] →→ CL1 [0, 1] ¢¨¤ Z1(Ax)(t) =K(t, τ )x(τ ) dτ∀ t ∈ [0, 1],∀ x ∈ CL1 [0, 1].0‚ëç¨á«¨¬ ­®à¬ã ®¯¥à â®à A.

„«ï «î¡®© ä㭪樨¨¬¥¥¬x ∈ CL1 [0, 1]¯¯¯Z1 ¯ Z1¯¯kAxk1 = ¯¯ K(t, τ )x(τ ) dτ ¯¯ dt ≤¯¯00|K(t, τ )| dt kxk1 .τ ∈[0,1]000Z1|K(t, τ )| dt ≤  max|x(τ )| dτ≤Z1Z1R1‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï ç¨á« L = max |K(t, τ )| dt á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥τ ∈[0,1] 0à ¢¥­á⢮ kAk ≤ L. ˆ§ ­¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪樨 K ¢ë⥪ ¥â ­¥¯à¥à뢭®áâì ä㭪樨 τ7→R10|K(t, τ )| dt ­ ®â१ª¥ [0, 1]. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮,R1áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® τ0 ∈ [0, 1], â ª®¥, çâ® L = |K(t, τ0 )| dt. ® ⥮६¥0Š ­â®à ­¥¯à¥à뢭 ï ­ ª®¬¯ ªâ¥ [0, 1] × [0, 1] äã­ªæ¨ï K ï¥âáïà ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭®© ­ ­ñ¬. ®í⮬㠤«ï «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â δ = δ(ε) > 0, â ª®¥, çâ® ¤«ï ¢á¥å τ ∈ [0,¯ 1] ¢¨¤ |τ − τ0 | ¯≤ δ ¨¤«ï ¢á¥å t ∈ [0, 1] á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ ¯¯K(t, τ ) − K(t, τ0 )¯¯ ≤ ε.Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¯à®¬¥¦ã⮪nIε =¯o¯τ ∈ [0, 1] ¯ |τ − τ0 | < δ(ε) . áᬮâਬ ­¥¯à¥à뢭ãî äã­ªæ¨î xε : [0, 1] → R, â ªãî, çâ® xε (τ ) =¯à¨ ¢á¥å τ ∈ [0, 1]\Iε , ¯à¨ ¢á¥å τ ∈ Iε ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮=0144xε (τ ) > 0.’®£¤ kxk1 =RIεxε (τ ) dτ > 0.®«ãç ¥¬¯¯¯Z1 ¯ Z¯¯¯kAxε k1 = ¯ K(t, τ )xε (τ ) dτ ¯¯ dt ≥¯¯0Iε¯¯¯Z1 Z ¯Z1 ¯ Z¯¯¯¯¯¯¯≥ ¯ K(t, τ0 )xε (τ ) dτ ¯ dt − dt ¯K(t, τ ) − K(t, τ0 )¯ |xε (τ )| dτ ≥¯¯00IεIε 1ZZZ³´≥  |K(t, τ0 )| dt  xε (τ ) dτ  − ε |xε (τ )| dτ = L − ε kxε k1 .0IεIε‘«¥¤®¢ ⥫쭮,≥ L − ε, ®âªã¤ R1kAk = L = max |K(t, τ )| dt.L ≥ kAk ≥¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮kAxε k1kxε k1¯à¨ε → +0τ ∈[0,1] 0 à ¨ ¬ ¥ à 3.4.5.

ãáâì äã­ªæ¨ï K: [0, 1] × [0, 1] → C ï¥âáï­¥¯à¥à뢭®©.  áᬮâਬ «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A: CL1 [0, 1] → C[0, 1]¢¨¤ Z1K(t, τ )x(τ ) dτ(Ax)(t) =∀ t ∈ [0, 1],∀ x ∈ CL1 [0, 1].0‚ëç¨á«¨¬ ­®à¬ã ®¯¥à â®à A. „«ï «î¡®© ä㭪樨¨¬¥¥¬x ∈ CL1 [0, 1]¯ 1¯¯Z¯¯¯kAxkc = max ¯¯ K(t, τ )x(τ ) dτ ¯¯ ≤t∈[0,1] ¯¯0µ≤¶ Z1µ¶max max |K(t, τ )||x(τ )| dτ =max |K(t, τ )| kxk1 .t∈[0,1] τ ∈[0,1]t,τ ∈[0,1]0‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï ç¨á« L = max |K(t, τ )| á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à t,τ ∈[0,1]¢¥­á⢮ kAk ≤ L. ‚ ᨫ㠭¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪樨 K áãé¥áâ¢ãîâç¨á« t0 , τ0 ∈ [0, 1], â ª¨¥, çâ® L = |K(t0 , τ0 )|, ¤«ï «î¡®£® ε > 0145áãé¥áâ¢ã¥â δ = δ(ε) > 0, â ª®¥,¯çâ® ¤«ï ¢á¥å τ ∈ [0,¯ 1] ¢¨¤ |τ − τ0 | ≤¯¯≤ δ á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ ¯K(t0 , τ ) − K(t0 , τ0 )¯ ≤ ε.

Ž¯à¥¤¥«¨¬¯à®¬¥¦ã⮪nIε =¯o¯τ ∈ [0, 1] ¯ |τ − τ0 | < δ(ε) . áᬮâਬ ­¥¯à¥à뢭ãî äã­ªæ¨î xε : [0, 1] → R, â ªãî, çâ® xε (τ ) == 0 ¯à¨ ¢á¥å τ ∈ [0, 1]\IRε , ¯à¨ ¢á¥å τ ∈ Iε ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮xε (τ ) > 0. ’®£¤ kxk1 = xε (τ ) dτ > 0. ®«ãç ¥¬Iε¯¯ 1¯ ¯¯¯Z¯ ¯Z¯¯¯ ¯¯¯¯kAxε kc ≥ ¯ K(t0 , τ )xε (τ ) dτ ¯ = ¯ K(t0 , τ )xε (τ ) dτ ¯¯ ≥¯¯¯ ¯0Iε¯¯¯ Z ¯¯Z¯¯¯¯¯¯≥ ¯ K(t0 , τ0 )xε (τ ) dτ ¯¯ − ¯K(t0 , τ ) − K(t0 , τ0 )¯ |xε (τ )| dτ ≥¯¯IεIε³´≥ |K(t0 , τ0 )| − ε kxε k1 .k‘«¥¤®¢ ⥫쭮, L ≥ kAk ≥ kAx≥ L − ε, ®âªã¤ ¯à¨kx k¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮ kAk = L = max |K(t, τ )|.ε 1ε 1ε → +0t,τ ∈[0,1]Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 3.4.5.

ãáâì (X, k · kX ) ¨ (Y, k · kY ) | «¨­¥©­ë¥ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠. Œ­®¦¥á⢮ ¢á¥å «¨­¥©­ëå ®£à ­¨ç¥­­ëå ®¯¥à â®à®¢, ¤¥©áâ¢ãîé¨å ¨§ X ¢ Y , ®¡®§­ 稬 L(X, Y ).Œ­®¦¥á⢮ ¢á¥å «¨­¥©­ëå ®£à ­¨ç¥­­ëå ®¯¥à â®à®¢, ¤¥©áâ¢ãîé¨å¨§ X ¢ X , ®¡®§­ 稬 L(X).“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 3.4.3. ãáâì (X, k · kX ) ¨ (Y, k · kY ) | «¨­¥©­ë¥ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠. ’®£¤ ¬­®¦¥á⢮ L(X, Y ) ᮯ¥à â®à­®© ­®à¬®© ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï 3.4.4 ï¥âáï «¨­¥©­ë¬ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¬ ¯à®áâà ­á⢮¬.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ’ ª ª ª ¯® ã⢥ত¥­¨î 3.4.1 ®£à ­¨ç¥­­®áâì «¨­¥©­®£® ®¯¥à â®à à ¢­®á¨«ì­ ¥£® ­¥¯à¥à뢭®áâ¨, á㬬 «¨­¥©­ëå ­¥¯à¥à뢭ëå ®¯¥à â®à®¢ ¨ 㬭®¦¥­¨¥ «¨­¥©­®£®­¥¯à¥à뢭®£® ®¯¥à â®à ­ ᪠«ïà á®åà ­ïîâ ­¥¯à¥à뢭®áâì, ⮬­®¦¥á⢮ L(X, Y ) ï¥âáï «¨­¥©­ë¬ ¯à®áâà ­á⢮¬. ®ª ¦¥¬,146çâ® ®¯¥à â®à­ ï ­®à¬ ­ L(X, Y ) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ®¯à¥¤¥«¥­¨î 3.1.1­®à¬ë.

‚ ᨫ㠧 ¬¥ç ­¨ï 3.4.1 ¤«ï «î¡®£® A ∈ L(X, Y ) ¢ë¯®«­¥­ë­¥à ¢¥­á⢠0 ≤ kAk < +∞.  ¢¥­á⢮ kAk = 0 ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 3.4.2 à ¢­®á¨«ì­® kA(x)kY = 0 ¤«ï «î¡®£® x ∈ X , â. ¥. A = 0| ­ã«¥¢®© ®¯¥à â®à. „«ï «î¡®£® ®¯¥à â®à A ∈ L(X, Y ) ¨ ᪠«ïà t ∈ C ­ 室¨¬ktAk = sup ktA(x)kY = sup |t| kA(x)kY =kxkX ≤1kxkX ≤1= |t| sup kA(x)kY = |t| kAk.kxkX ≤1 ª®­¥æ, ¤«ï «î¡ëå ®¯¥à â®à®¢ A, B ∈ L(X, Y ) ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮ âà¥ã£®«ì­¨ª kA + Bk = sup kA(x) + B(x)kY ≤kxkX ≤1³≤ sup´kA(x)kY + kB(x)kY≤kxkX ≤1≤ sup kA(x)kY + sup kB(x)kY = kAk + kBk.kxkX ≤1kxkX ≤1’ ¥ ® à ¥ ¬ 3.4.1.

ãáâì (X, k · kX ) | «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥¯à®áâà ­á⢮, (Y, k · kY ) | ¯®«­®¥ «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮. ’®£¤ «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ L(X, Y ) ï¥âáï ¯®«­ë¬.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ãî äã­¤ ¬¥­â «ì­ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì «¨­¥©­ëå ®¯¥à â®à®¢{An }∞n=1 ⊂ L(X, Y ).’ ª ª ª ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X ¨ ¯à®¨§¢®«ì­ëå ­®¬¥à®¢ n ¨ má¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ kAn (x)−Am (x)kY ≤ kAn −Am k kxkX , â® ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {An (x)}∞n=1 ï¥âáï äã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¢ ¯®«­®¬¯à®áâà ­á⢥ (Y, k · kY ). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ Xáãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à A(x) ∈ Y , â ª®©, çâ® kAn (x) − A(x)kY → 0 ¯à¨n → ∞.

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¯à¥¤¥«ñ­ ®¯¥à â®à A: X → Y . ’ ª ª ª ¤«ï«î¡ëå ¢¥ªâ®à®¢ x, y ∈ X ¨ ᪠«ï஢ α ¨ β ¢ë¯®«­¥­® ᮮ⭮襭¨¥kAn (αx + βy) − αA(x) − βA(y)kY ≤≤ |α| kAn (x) − A(x)k + |β| kAn (y) − A(y)kY → 0147¯à¨ n → ∞, â® ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮ A(αx + βy) = αA(x) + βA(y).‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ®¯¥à â®à A ï¥âáï «¨­¥©­ë¬. ”ã­¤ ¬¥­â «ì­ ﯮ᫥¤®¢ ⥫쭮áâì {An }∞n=1 ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­®© ¢ ¯à®áâà ­á⢥L(X, Y ), â. ¥. áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® R > 0, â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® ­®¬¥à n ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ kAn k ≤ R. „¥©á⢨⥫쭮, ¢ ᨫã äã­¤ ¬¥­â «ì­®á⨠¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠{An }∞n=1 áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à N (1),â ª®©, çâ® ¤«ï ¢á¥å n ≥ N (1) ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ kAn − AN (1) k ≤≤ 1, ª®â®à®¥ ¢«¥çñâ©­¥à ¢¥­á⢮ kAn kª≤ kAN (1) k + 1.

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ç¨á«® R = max kA1 k, . . . , kAN (1) k + 1 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨îkAn k ≤ R ¤«ï ¢á¥å n ∈ N. ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X ¯®«ãç ¥¬á®®â­®è¥­¨ïkA(x)kY = lim kAn (x)kY ≤ lim kAn k kxkX ≤ RkxkX .n→∞n→∞‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ kAk ≤ R, â. ¥. «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­ë¬. ‚ ᨫã äã­¤ ¬¥­â «ì­®á⨠¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠{An }∞n=1 ¤«ï «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à N (ε),â ª®©, çâ® ¤«ï ¢á¥å ­®¬¥à®¢ n, m ≥ N (ε) ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮kAn − Am k ≤ ε. ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X ¢¨¤ kxkX ≤ 1¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢠kAn (x) − Am (x)kY ≤ kAn − Am k ≤ ε¯à¨ ¢á¥å n, m ≥ N (ε).

¥à¥å®¤ï §¤¥áì ª ¯à¥¤¥«ã ¯à¨ m → ∞, ¯®«ãç ¥¬kAn (x) − A(x)kY = lim kAn (x) − Am (x)kY ≤ εm→∞¤«ï ¢á¥å n ≥ N (ε). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® n ≥ N (ε) ¢ë¯®«­¥­® ᮮ⭮襭¨¥ kAn − Ak = sup kAn (x) − A(x)kY ≤ ε. ’ ª¨¬kxkX ≤1®¡à §®¬, ¯à®¨§¢®«ì­ ï äã­¤ ¬¥­â «ì­ ï ¢ L(X, Y ) ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {An }∞n=1 á室¨âáï ª ®¯¥à â®àã A ∈ L(X, Y ), â.

¥. ¯à®áâà ­á⢮L(X, Y ) ï¥âáï ¯®«­ë¬. à ¨ ¬ ¥ à 3.4.6. à¨¢¥¤ñ¬ ¯à¨¬¥à «¨­¥©­®£® ­®à¬¨à®¢ ­­®£® ¯à®áâà ­á⢠(X, k · kX ) ¨ ­¥¯®«­®£® «¨­¥©­®£® ­®à¬¨à®¢ ­­®£®¯à®áâà ­á⢠(Y, k·kY ), ¤«ï ª®â®àëå ¯à®áâà ­á⢮ «¨­¥©­ëå ®£à ­¨ç¥­­ëå ®¯¥à â®à®¢ L(X, Y ) ï¥âáï ­¥¯®«­ë¬. ‚ «¨­¥©­®¬ ¯à®áâà ­á⢥¯()`1 =x: N → C¯¯¯¯∞Xk=1148|x(k)| < +∞¢¢¥¤ñ¬ ¤¢¥ ­®à¬ë kxk1 =∞Ps|x(k)|k=1¨ kxk2 =∞Pk=1|x(k)|2 .’®£¤ «¨-­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (X, k · kX ) = (`1 , k · k1 ) ¯®«­®¥, ¯à®áâà ­á⢮ (Y, k · kY ) = (`1 , k · k2 ) | ­¥¯®«­®¥. ®á«¥¤®¢ ⥫ì1­®áâì {zn }∞n=1 ⊂ `1 ¢¨¤ zn (k) = k ¯à¨ k ≤ n ¨ zn (k) = 0 ¯à¨ k > nï¥âáï k · k2 -äã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¨ à á室ï饩áï ¢ ¯à®áâà ­á⢥ Y .Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ®¯¥à â®à®¢ An : X → Y ¢¨¤ An (x) = x(1)zn∀ n ∈ N.’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ­®¬¥à n ­ 室¨¬kAn (x)k2 = |x(1)| kzn k2 ≤ kxk1 kzn k2 ,∞Pâ.

Характеристики

Список файлов лекций