Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

®«­®¥ «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ ­ §ë¢ ¥âáï ¡ ­ å®¢ë¬ ¯à®áâà ­á⢮¬.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 3.1.2. ‹¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (X, k · k) ï¥âáï ¡ ­ å®¢ë¬ â®£¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ «î¡®© ¡á®«îâ­® á室ï騩áï àï¤ ¨§ X á室¨âáï ¢ X , â. ¥. ¥á«¨ ¤«ï «î¡®©∞P¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠{xn }∞kxn k < +∞ áãé¥áâ¢ã¥ân=1 ⊂ X ¢¨¤ ¢¥ªâ®à y ∈ X , â ª®©, çâ®∞Pn=1n=1xn = y ,107â.

¥.°°N°P°° = 0.lim °x−yn°°N →∞n=1„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ãáâì ¯à®áâà ­á⢮ (X, k · k) ¡ ­ 客®. áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 ⊂ X ¢¨¤ ∞Pkxn k < +∞. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥àn=1L(ε), â ª®©, çâ® ¤«ï ¢á¥å N > L(ε) ¨ M ∈ N ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮NP+Mn=N +1NP=n=1kxn k < ε.xn’®£¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ç áâ¨ç­ëå á㬬SN =ï¥âáï äã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¢ X , â ª ª ªkSN +M° N +M°NX+M° X°°°xn ° ≤kxn k < ε− SN k = °°°n=N +1n=N +1¤«ï «î¡ëå N > L(ε) ¨ M ∈ N.

‚ ᨫ㠯®«­®âë ¯à®áâà ­á⢠(X, k·k)áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à y ∈ X , â ª®©, çâ® kSN − yk → 0 ¯à¨ N → ∞.∞P‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮xn = y .n=1Ž¡à â­®, ¯ãáâì «î¡®© ¡á®«îâ­® á室ï騩áï àï¤ ¨§ X á室¨âáï¢ X .  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ãî äã­¤ ¬¥­â «ì­ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {zn }∞n=1 ⊂ X . ’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â áâண® ¢®§à áâ îé ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ­®¬¥à®¢ {nm }∞m=1 , â ª ï, çâ® ¤«ï «î¡®£® k ≥ nm ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ kzk − zn k ≤ 2−m . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®£®­®¬¥à m á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ kzn −zn k ≤ 2−m . Ž¯à¥¤¥«¨¬= zn−¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xm }∞m=1 â ª, çâ® x1 = zn , xn∞P− zn ¤«ï «î¡®£® ­®¬¥à m.

’ ª ª ªkxn k ≤ kzn k + 1 < +∞,mm+1m1mm=1m+1mm+11°°M°P°°â® ¯® ãá«®¢¨î áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à y ∈ X , â ª®©, çâ® °xnm − y °°=m=1= kznM +1 − yk → 0 ¯à¨ M → ∞. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, äã­¤ ¬¥­â «ì­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {zn }∞n=1 ¨¬¥¥â á室ïéãîáï ¢ X ª ¢¥ªâ®àã y¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì.

Žâáî¤ áà §ã á«¥¤ã¥â, çâ® ¨ á ¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {zn }∞n=1 á室¨âáï ª ¢¥ªâ®àã y . „¥©á⢨⥫쭮, ¯® ­¥à ¢¥­áâ¢ã âà¥ã£®«ì­¨ª ¯®«ãç ¥¬ kzn − yk ≤ kzn − zn k + kzn − yk¤«ï «î¡ëå n, m ∈ N. ‚ ᨫã äã­¤ ¬¥­â «ì­®á⨠¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨{zn }∞n=1 á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ lim kzn − zn k = 0. ® ¯®áâ஥­¨îmn→∞m→∞mmlim kznm −yk = 0. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, lim kzn −yk ≤ n→∞lim kzn −znm k+m→∞+ lim kznm − yk = 0,m→∞n→∞çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.108m→∞3.2. ƒ¨«ì¡¥à⮢® ¯à®áâà ­á⢮Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 3.2.1. ãáâì X | ª®¬¯«¥ªá­®¥ «¨­¥©­®¥ ¯à®áâà ­á⢮. ‘ª «ïà­ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ ¢ X ­ §ë¢ ¥âáï ®â®¡à ¦¥­¨¥(·, ·): X × X → C, 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ᢮©á⢠¬1) ¤«ï «î¡®£® x ∈ X ç¨á«® (x, x) ∈ R ¨ ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮(x, x) ≥ 0;2) à ¢¥­á⢮ (x, x) = 0 à ¢­®á¨«ì­® x = 0;3) ¤«ï «î¡ëå x, y ∈ X ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ (x, y) = (y, x);4) ¤«ï «î¡ëå x, y, z ∈ X ¨ α, β ∈ C ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ (αx ++ βy, z) = α(x, z) + β(y, z).Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 3.2.2. ‹¨­¥©­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ á 䨪á¨à®¢ ­­ë¬ ¢ ­ñ¬ ᪠«ïà­ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ ­ §ë¢ ¥âáï ¥¢ª«¨¤®¢ë¬.“⢥ত¥­¨¥ p3.2.1.

ãáâì X | ¥¢ª«¨¤®¢® ¯à®áâà ­á⢮.’®£¤ ¢¥«¨ç¨­ ­®à¬ë ¢ X .kxk =(x, x), x ∈ X ,㤮¢«¥â¢®àï¥â ®¯à¥¤¥«¥­¨î„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. Ÿá­®, çâ® kxk ≥ 0 ¤«ï «î¡®£® x ∈ X , à ¢¥­á⢮ kxk = 0 à ¢­®á¨«ì­® (x, x) = 0, çâ® ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì à ¢­®á¨«ì­® x = 0 ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 3.2.1 ᪠«ïà­®£®„ «¥¥p ¯à®¨§¢¥¤¥­¨ï.p¤«ï «î¡®£® x ∈ X ¨ α ∈ C ¨¬¥¥¬ kαxk = (αx, αx) = αα(x, x) == |α| kxk.Žáâ «®áì ¤®ª § âì ­¥à ¢¥­á⢮ âà¥ã£®«ì­¨ª . à¥¦¤¥ ¢á¥£® § ¬¥â¨¬, çâ® ¤«ï «î¡ëå ¢¥ªâ®à®¢ x, y ∈ X á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮Š®è¨|ã­ïª®¢áª®£® |(x, y)| ≤ kxk kyk. „¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï «î¡®£®t ∈ R ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮0 ≤ (x − ty, x − ty) = kxk2 − 2t Re(x, y) + t2 kyk2 .‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮³Re(x, y)¯´2− kxk2 kyk2 ≤ 0,¯â.

¥. ¯¯ Re(x, y)¯¯ ≤ kxk kyk. …᫨ ¢ë¯¨á âì íªá¯®­¥­æ¨ «ì­æãî ä®à¬ãª®¬¯«¥ªá­®£® ç¨á« (x, y) = |(x, y)|eiϕ , â® ¯®«ãç ¥¬°°¡¢¡¢|(x, y)| = x, eiϕ y = Re x, eiϕ y ≤ kxk °eiϕ y ° = kxk kyk,109â. ¥. ­¥à ¢¥­á⢮ Š®è¨|ã­ïª®¢áª®£®. ’¥¯¥àì ¤«ï «î¡ëå x, y ∈ X¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮ âà¥ã£®«ì­¨ª kx + yk =pkxk2 + 2 Re(x, y) + kyk2 ≤p≤ kxk2 + 2kxk kyk + kyk2 = kxk + kyk.Ž¯à¥¤¥«¥p­ ¨ ¥ 3.2.3. ãáâì X | ¥¢ª«¨¤®¢® ¯à®áâà ­á⢮.”ã­ªæ¨î kxk = (x, x), £¤¥ x ∈ X , ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì ­®à¬®© ¢ X ,¯®à®¦¤ñ­­®© ᪠«ïà­ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥¬.

® 㬮«ç ­¨î ¢¥§¤¥ ¤ «¥¥¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® «î¡®¥ ¥¢ª«¨¤®¢® ¯à®áâà ­á⢮ ï¥âáï «¨­¥©­ë¬ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¬ ¯à®áâà ­á⢮¬ á ­®à¬®©, ¯®à®¦¤ñ­­®© ᪠«ïà­ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥¬.‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 3.2.1 (à ¢¥­á⢮ ¯ à ««¥«®£à ¬¬®¢). ãáâì X |¥¢ª«¨¤®¢® ¯à®áâà ­á⢮. ’®£¤ ¤«ï «î¡ëå ¢¥ªâ®à®¢ x, y ∈ X á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ ¯ à ««¥«®£à ¬¬®¢:kx − yk2 + kx + yk2 = 2kxk2 + 2kyk2 .„¥©á⢨⥫쭮, ¨¬¥¥¬ kx±yk2 = (x±y, x±y) = kxk2 +kyk2 ±2 Re(x, y),®âªã¤ áà §ã ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮ ¯ à ««¥«®£à ¬¬®¢.Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 3.2.4.

…¢ª«¨¤®¢® ¯à®áâà ­á⢮, ¯®«­®¥ ®â­®á¨â¥«ì­® ­®à¬ë, ¯®à®¦¤ñ­­®© ᪠«ïà­ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥¬, ¡ã¤¥¬­ §ë¢ âì £¨«ì¡¥àâ®¢ë¬ ¯à®áâà ­á⢮¬. à ¨ ¬ ¥ à 3.2.1.  áᬮâਬ «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâ-à ­á⢮(`2 =¯)∞¯ X¯2x: N → C ¯|x(k)| < +∞ ,¯k=1­®à¬ ¢ ª®â®à®¬ § ¤ ­ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:vu∞uX|x(k)|2kxk2 = t∀ x ∈ `2 .k=1Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ `2 ᪠«ïà­®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥(x, y) =∞Xx(k)y(k)k=1110∀ x, y ∈ `2 .„«ï «î¡ëå x, y ∈ `2 ¨¬¥¥¬ ¯à¨ ª ¦¤®¬ k ∈ N ­¥à ¢¥­á⢮|x(k)y(k)| = |x(k)| |y(k)| ≤|x(k)|2 + |y(k)|2.2∞P‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯® ¯à¨§­ ªã áà ¢­¥­¨ï àï¤|x(k)y(k)| á室¨âáïk=1¤«ï «î¡ëå x, y ∈ `2 , â.

¥. ¢¥«¨ç¨­ (x, y) áãé¥áâ¢ã¥â ¨, ®ç¥¢¨¤­®,㤮¢«¥â¢®àï¥â ᢮©á⢠¬ 1|4 ®¯à¥¤¥«¥­¨ï 3.2.1. à¨ í⮬ â ª¦¥¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ (x, x) = kxk2 . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à®áâà ­á⢮(`2 , k · k2 ) ï¥âáï ¥¢ª«¨¤®¢ë¬. ®ª ¦¥¬, çâ® ®­® ï¥âáï ¯®«­ë¬.  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ãî äã­¤ ¬¥­â «ì­ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 ⊂ `2 , â. ¥.

¤«ï «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â N (ε) ∈ N,â ª®¥, çâ® ¤«ï ¢á¥å n, m ≥ N (ε) ¢ë¯®«­¥­® kxn − xm k2 ≤ ε. ’ ªª ª ¤«ï «î¡®£® k ∈ N ¨¬¥¥¬ |xn (k) − xm (k)| ≤ kxn − xm k2 , â® ¯®«ãç ¥¬, çâ® ç¨á«®¢ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn (k)}∞n=1 ï¥âáï äã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¢ C. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫ㠯®«­®âë C ¤«ï «î¡®£® k ∈ Náãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«®¢®© ¯à¥¤¥« n→∞lim xn (k) = z(k) ∈ C. ’ ª ª ª ¤«ï «î¡®£® M ∈ N ¨ ¯à®¨§¢®«ì­ëå n, m ≥ N (ε) á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮vuMuXt|xn (k) − xm (k)|2 ≤ kxn − xm k2 ≤ ε,k=1â®, ¯¥à¥å®¤ï ª ¯à¥¤¥«ã ¯® m → ∞, ¯®«ãç ¥¬vuMuXt|xn (k) − z(k)|2 = limm→∞k=1¥à¥å®¤ï ⥯¥àì ª ¯à¥¤¥«ã ¯® MvuMuXt|xn (k) − xm (k)|2 ≤ ε.k=1→ ∞,­ 室¨¬vuMuXkxn − zk2 = lim t|xn (k) − z(k)|2 ≤ εM →∞k=1¯à¨ ¢á¥å n ≥ N (ε).

Žâáî¤ , ¢ ç áâ­®áâ¨, ¨¬¥¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮vuMuXkzk2 = lim t|z(k)|2 ≤M →∞k=1111vvuMuMuXuX≤ lim t|xN (1) (k) − z(k)|2 + t|xN (1) (k)|2  ≤M →∞k=1k=1≤ 1 + kxN (1) k2 < +∞.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, z ∈ `2 ¨ kxn − zk2 → 0 ¯à¨ n → ∞. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,¤®ª § ­ ¯®«­®â ¯à®áâà ­á⢠(`2 , k · k2 ), â. ¥. ®­® ï¥âáï £¨«ì¡¥à⮢ë¬.Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 3.2.5. ãáâì (X, k · k) | «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮, ¬­®¦¥á⢮ S ⊂ X , ¢¥ªâ®à x ∈ X . ‚¥ªâ®à y ∈ S­ §ë¢ ¥âáï ¬¥âà¨ç¥áª®© ¯à®¥ªæ¨¥© ¢¥ªâ®à x ­ ¬­®¦¥á⢮ S , ¥á«¨á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ kx − yk = ρ(x, S) = inf kx − zk.z∈S’ ¥ ® à ¥ ¬ 3.2.1 (”. ¨áá, ® ¯à®¥ªæ¨¨).

ãáâì H | £¨«ì¡¥à⮢® ¯à®áâà ­á⢮, S ⊂ H | ¢ë¯ãª«®¥ § ¬ª­ã⮥ ¬­®¦¥á⢮. ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® x ∈ H áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ë© ¢¥ªâ®à y ∈ S , ª®â®àë©ï¢«ï¥âáï ¬¥âà¨ç¥áª®© ¯à®¥ªæ¨¥© ¢¥ªâ®à x ­ ¬­®¦¥á⢮ S .„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ® ®¯à¥¤¥«¥­¨î à ááâ®ï­¨ï ®â â®çª¨ ¤®¬­®¦¥á⢠¨¬¥¥¬ ρ(x, S) = inf kx − zk. ’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¬¨­¨¬¨§¨z∈Sàãîé ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {zm }∞m=1 ⊂ S , â. ¥.ρ(x, S) = lim kx − zm k.m→∞®ª ¦¥¬, çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì zm ï¥âáï äã­¤ ¬¥­â «ì­®©.ˆá¯®«ì§ãï à ¢¥­á⢮ ¯ à ««¥«®£à ¬¬®¢, ¨¬¥¥¬kzm − zn k2 = k(zm − x) − (zn − x)k2 == 2kzm − xk2 + 2kzn − xk2 − kzm + zn − 2xk2 .‚ ᨫ㠢ë¯ãª«®á⨠¬­®¦¥á⢠S ¯®«ãç ¥¬ ¢ª«î祭¨¥‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¨¬¥¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮zm +zn2∈ S.°°2° zm + zn°2°kzm + zn − 2xk = 4 °− x°° ≥ 4ρ (x, S).22’®£¤ ¯®«ãç ¥¬kzm −zn k2 ≤ 2kzm −xk2 +2kzn −xk2 −4ρ2 (x, S) → 0112¯à¨m, n → ∞.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, äã­¤ ¬¥­â «ì­®áâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠zm ãáâ ­®¢«¥­ .

‚ ᨫ㠯®«­®âë ¯à®áâà ­á⢠H áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à y ∈ H,â ª®©, çâ® kzm − yk → 0 ¯à¨ m → ∞. ’ ª ª ª ¬­®¦¥á⢮ S § ¬ª­ãâ®, â® ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ y ∈ S . à¨ í⮬ ¢ ᨫ㠭¥à ¢¥­á⢠âà¥ã£®«ì­¨ª ¨¬¥¥¬¯¯¯¯¯kx − yk − kx − zm k¯ ≤ ky − zm k → 0¯à¨m, n → ∞.®í⮬ã kx−yk = m→∞lim kx−zm k = ρ(x, S), â. ¥. y ∈ S | ¬¥âà¨ç¥áª ï¯à®¥ªæ¨ï ¢¥ªâ®à x ­ ¬­®¦¥á⢮ S .®ª ¦¥¬ ¥¤¨­á⢥­­®áâì ¬¥âà¨ç¥áª®© ¯à®¥ªæ¨¨ ¢¥ªâ®à x ­ ¬­®¦¥á⢮ S . à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® áãé¥áâ¢ãîâ ¤¢ ¢¥ªâ®à y, z ∈ S ¢¨¤ kx − yk = kx − zk = ρ(x, S). ’®£¤ , ¯à¨¬¥­ïï à ¢¥­á⢮ ¯ à ««¥«®£à ¬¬®¢, ¨¬¥¥¬ky − zk2 = k(y − x) − (z − x)k2 = 2ky − xk2 + 2kz − xk2 − ky + z − 2xk2 .‚ ᨫ㠢ë¯ãª«®á⨠¬­®¦¥á⢠’®£¤ ¨¬¥¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮S¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥y+z2∈ S.°°2°y + z°° ≥ 4ρ2 (x, S).ky + z − 2xk2 = 4 °−x° 2°‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬ky − zk2 ≤ 2ky − xk2 + 2kz − xk2 − 4ρ2 (x, S) = 0,â.

Характеристики

Список файлов лекций