Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

’®£¤ kxk ≤ kuk + kvk < R1 + R2 , â. ¥.x ∈ OR +R (0). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, OR (0) + OR (0) ⊂ OR +R (0). …᫨¦¥ x ∈ OR +R (0), â® «¨¡® kxk < R1 ¨ ⮣¤ x ∈ OR (0) ⊂ OR (0) ++ OR (0), «¨¡® R1 ≤ kxk < R1 + R2 . ‚ ¯®á«¥¤­¥¬ á«ãç ¥ ¢®§ì¬ñ¬ç¨á«® L¡ ¢¨¤ kxk< L < R1 + R2 . ’®£¤ ¢¥ªâ®à RL x ∈ OR (0), ¢R¢¥ªâ®à 1 − L x ∈ OR (0), â ª ª ª1212121122112121112°¡° 1−à¨ í⮬¢ ° ¡R1°L x = 1−x=R1L xR1L¢¡+ 1−¡kxk < 1 −R1L¢R1L¢L = L − R1 < R2 .x ∈ OR1 (0) + OR2 (0).‘«¥¤®¢ ⥫쭮, OR (0) + OR (0) = OR +R (0). „®ª § ⥫ìá⢮ à ¢¥­á⢠BR (0) + BR (0) = BR +R (0) ¯à®¢®¤¨âáï ᮢ¥à襭­® ­ «®£¨ç­®.

„ «¥¥ ¢ ᨫ㠧 ¬¥ç ­¨ï 3.1.2 ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì­ëå ¢¥ªâ®à®¢ x1¨ x2 ¯®«ãç ¥¬11221122OR1 (x1 ) + OR2 (x2 ) = x1 + x2 + OR1 (0) + OR2 (0) == x1 + x2 + OR1 +R2 (0) = OR1 +R2 (x1 + x2 ),BR1 (x1 ) + BR2 (x2 ) = x1 + x2 + BR1 (0) + BR2 (0) == x1 + x2 + BR1 +R2 (0) = BR1 +R2 (x1 + x2 ).95‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 3.1.4. ãáâì (X, k·k) | «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥¯à®áâà ­á⢮, ¬­®¦¥á⢮ S ⊂ X . ’®£¤ ¤«ï § ¬ëª ­¨ï ¬­®¦¥á⢠Sá¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮\³[S] =´ \³´S + Oε (0) =S + Bε (0) .ε>0ε>0„¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® x ∈ [S] ¨ ¤«ï «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥ây ∈ S , â ª®©, çâ® kx − yk < ε, çâ® à ¢­®á¨«ì­® x ∈ y + Oε (0) ⊂ S ++ Oε (0).

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥ [S] ⊂ S + Oε (0) ¤«ï«î¡®£® ε > 0, çâ® ®§­ ç ¥â[S] ⊂\³´S + Oε (0) .ε>0„ «¥¥, â ª ª ª Oε (0) ⊂ Bε (0) ¤«ï «î¡®£® ε > 0, â® ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥´ \³´\³S + Oε (0) ⊂ε>0T ³´S + Bε (0) .ε>0 ª®­¥æ, ¥á«¨ z ∈S + Bε (0) , â® ¤«ï «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥âε>0¢¥ªâ®à y ∈ S , â ª®©, çâ® z ∈ y + Bε(0) , çâ® à ¢­®á¨«ì­® kz − yk ≤ ε.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, z ∈ [S], çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 3.1.5. ãáâì (X, k·k) | «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥¯à®áâà ­á⢮, ¬­®¦¥á⢠A, B ⊂ X , ᪠«ïà t 6= 0.

’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢ë ᮮ⭮襭¨ï [A] + [B] ⊂ [A + B] ¨ t[A] = [tA]. „¥©á⢨⥫쭮,¥á«¨ ¢¥ªâ®à x ∈ [A] + [B], â® ¯® § ¬¥ç ­¨î 3.1.4 ¤«ï «î¡®£® ε > 0¯®«ãç ¥¬ x ³∈ A + O (0) + B´ + O (0) = A + B + Oε (0). ‘«¥¤®¢ ⥫ìT­®, x ∈A + B + Oε (0) = [A + B]. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ë¯®«­¥­®ε>0¢ª«î祭¨¥ [A] + [B] ⊂ [A + B]. „ «¥¥ ­ 室¨¬ε2t[A] = tε2´ \³´\³A + Oε (0) =tA + O|t|ε (0) =ε>0ε>0=\³δ>0çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.96´tA + Oδ (0) = [tA],‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 3.1.6. ãáâì (X, k·k) | «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥¯à®áâà ­á⢮.

’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X ¨ ç¨á« R > 0 è àëOR (x) ¨ BR (x) ïîâáï ¢ë¯ãª«ë¬¨. „¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï «î¡ëåy, z ∈ OR (x) ¨ «î¡®£® t ∈ (0, 1) ¯®«ãç ¥¬ kty + (1 − t)z − xk = kt(y −− x) + (1 − t)(z − x)k ≤ tky − xk + (1 − t)kz − xk < tR + (1 − t)R == R, â. ¥. ty + (1 − t)z ∈ OR (x), çâ® ®§­ ç ¥â ¢ë¯ãª«®áâì ®âªàë⮣®è à OR (x). €­ «®£¨ç­® ¤«ï «î¡ëå y, z ∈ BR (x) ¨ «î¡®£® t ∈ (0, 1)¯®«ãç ¥¬ kty + (1 − t)z − xk = kt(y − x) + (1 − t)(z − x)k ≤ tky − xk ++ (1 − t)kz − xk ≤ tR + (1 − t)R = R, â. ¥. ty + (1 − t)z ∈ BR (x), çâ®®§­ ç ¥â ¢ë¯ãª«®áâì § ¬ª­ã⮣® è à BR (x).“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 3.1.1. ãáâì X | «¨­¥©­®¥ ¯à®áâà ­á⢮,¢ ª®â®à®¬ áãé¥áâ¢ã¥â äã­ªæ¨ï d: X → R, ¤«ï ª®â®à®© ¢ë¯®«­¥­ë᢮©á⢠1, ¯2, 3 ®¯à¥¤¥«¥­¨ï3.1.1 ­®à¬ë, ¨ ¯à¨ í⮬ ¬­®¦¥á⢮ S =no¯= x ∈ X ¯ d(x) < 1 ¢ë¯ãª«®.

’®£¤ äã­ªæ¨ï d ï¥âáï ­®à¬®©¢ X.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ’ॡã¥âáï ¯à®¢¥à¨âì ¤«ï ä㭪樨 d ­¥à ¢¥­á⢮ âà¥ã£®«ì­¨ª .  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ë¥ ¢¥ªâ®àë x, y ∈∈ X . ’®£¤ ¤«ï «î¡ëå ç¨á¥« a > d(x) ≥ 0 ¨ b > d(y) á¯à ¢¥¤«¨¢®¢ª«î祭¨¥ xa ∈ S ¨ yb ∈ S . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫ㠢ë¯ãª«®á⨠¬­®¦¥á⢠S ¤«ï «î¡®£® t ∈ [0, 1] ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ t xa +(1−t) yb ∈ S .ab‚®§ì¬ñ¬ t = a+b∈ (0, 1), ⮣¤ 1 − t = a+b¨ ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥x+y∈S,â.¥.d(x+y)<a+b.¥à¥å®¤ï¢¯®á«¥¤­¥¬ ­¥à ¢¥­á⢥a+bª ¯à¥¤¥«ã ¯à¨ a → d(x) + 0 ¨ b → d(y) + 0, ¯®«ã稬 ­¥à ¢¥­á⢮d(x + y) ≤ d(x) + d(y), çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì. à ¨ ¬ ¥ à 3.1.1.  áᬮâਬ ¤«ï «î¡®£®¯à®áâà ­á⢮ ç¨á«®¢ëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩(`p =p ∈ (0, 1)«¨­¥©­®¥¯)∞¯ X¯px: N → C ¯|x(k)| < +∞ .¯k=1Ž¯à¥¤¥«¨¬ äã­ªæ¨î dp : `p → R á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:Ãdp (x) =∞X! p1|x(k)|p∀ x ∈ `p .k=1Žç¥¢¨¤­®, çâ® äã­ªæ¨ï dp 㤮¢«¥â¢®àï¥ân ãá«®¢¨ï¬¯ 1, 2, 3 ®¯à¥¤¥o«¥­¨ï 3.1.1.

 áᬮâਬ ¬­®¦¥á⢮ S = x ∈ `p ¯¯ dp (x) < 1 . ’ ª97ª ª 0 < p < 1, â® 1 − p1 < 0 ¨ ¢ë¯®«­¥­®­¥à ¢¥­á⢮ 21− < 1.³´‚롥६ ¯à®¨§¢®«ì­®¥ ç¨á«® δ ∈ 21− , 1 ¨ à áᬮâਬ ¤¢¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¨§ `p ¢¨¤ xδ = (δ, 0, 0, 0 .

. .) ¨ yδ = (0, δ, 0, 0, . . .). ’ ªª ª dp (xδ ) = dp (yδ ) = δ < 1,¡â® xδ ∈ S ¨¢yδ ∈ S . ® ¤«ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠zδ = 12 (xδ + yδ ) = 2δ , 2δ , 0, 0, . . . ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮1p1p¡¢1¡¢1dp (zδ ) = 21−p δ p p > 21−p 2p−1 p = 1.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, zδ 6∈ S , â. ¥. ¬­®¦¥á⢮ S ­¥ ï¥âáï ¢ë¯ãª«ë¬.®í⮬㠢 ᨫ㠧 ¬¥ç ­¨ï 3.1.6 äã­ªæ¨ï dp ­¥ ï¥âáï ­®à¬®© ¢«¨­¥©­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ `p ¤«ï «î¡®£® p ∈ (0, 1).Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 3.1.3. ãáâì X | «¨­¥©­®¥ ¯à®áâà ­á⢮.„¢¥ ­®à¬ë k · k1 ¨ k · k2 ¢ X ­ §ë¢ îâáï íª¢¨¢ «¥­â­ë¬¨, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ãîâ ¤¢ ¯®«®¦¨â¥«ì­ëå ç¨á« C1 ¨ C2 , â ª¨¥, çâ® ¤«ï «î¡®£®x ∈ X ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮C1 kxk1 ≤ kxk2 ≤ C2 kxk1 . à ¨ ¬ ¥ à 3.1.2.

 áᬮâਬ «¨­¥©­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ ç¨á«®¢ë寮᫥¤®¢ ⥫쭮á⥩(`1 =¯)∞¯ X¯x: N → C ¯|x(k)| < +∞¯k=1¨ ¢¢¥¤ñ¬ ¢ ­ñ¬ ¤¢¥ ­®à¬ëkxk1 =∞Ps|x(k)|k=1¨kxk2 =∞Pk=1|x(k)|2¤«ï «î¡®£® x° ∈ `1°. „«ï° «î¡®£®° ­¥âਢ¨ «ì­®£® x ∈ `1 á¯à ¢¥¤«¨¢®° x °° x °­¥à ¢¥­á⢮ ° kxk ° ≤ ° kxk ° = 1. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, kxk2 ≤ kxk1 ¤«ï21«î¡®£® x ∈ `1 . …᫨ ¯à¥¤¯®«®¦¨âì, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â C1 > 0, â ª®¥,çâ® ¤«ï ¢á¥å x ∈ `1 ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ C1 kxk1 ≤ kxk2 , â® ¤«ï¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠{xn }∞n=1 ⊂ `1 ¢¨¤ 11½xn (k) =1k,0,k ≤ n,k>n¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî饥 ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥:nX1π√ > kxn k2 ≥ C1 kxn k1 = C1→ +∞k6k=198¯à¨ n → ∞.

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, 㪠§ ­­®£® ç¨á« C1 ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â, ¨­®à¬ë k · k1 ¨ k · k2 ­¥ ïîâáï íª¢¨¢ «¥­â­ë¬¨ ¢ `1 .’ ¥ ® à ¥ ¬ 3.1.1. ãáâì X | ª®­¥ç­®¬¥à­®¥ «¨­¥©­®¥ ¯à®áâà ­á⢮. ’®£¤ «î¡ë¥ ¤¢¥ ­®à¬ë ¢ X ïîâáï íª¢¨¢ «¥­â­ë¬¨.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

ãáâì à §¬¥à­®áâì X à ¢­ n ∈ N, ª®­¥ç­®¥ ᥬ¥©á⢮ ¢¥ªâ®à®¢ e1 , . . . , en ∈ X ®¡à §ã¥â ¡ §¨á ¢ X , â. ¥.¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ë© ­ ¡®à ª®¬nP¯«¥ªá­ëå ç¨á¥« x(1), . . . , x(n), â ª®©, çâ® x =x(k)ek . ‚¢¥¤ñ¬ ¢ Xk=1nP­®à¬ã kxke =|x(k)| (᢮©á⢠1|4 ®¯à¥¤¥«¥­¨ï 3.1.1, ®ç¥¢¨¤­®,k=1¢ë¯®«­¥­ë ¤«ï k · ke ). ®ª ¦¥¬, çâ® «î¡ ï ­®à¬ ¢ X íª¢¨¢ «¥­â­ ­®à¬¥ k · ke .

’®£¤ «î¡ë¥ ¤¢¥ ­®à¬ë ¢ X , íª¢¨¢ «¥­â­ë¥ ­®à¬¥ k · ke ,¡ã¤ãâ íª¢¨¢ «¥­â­ë ¨ ¤à㣠¤àã£ã.ˆâ ª, à áᬮâਬ ¢ X ­¥ª®â®àãî ­®à¬ã k · k. ‚ ᨫ㠭¥à ¢¥­á⢠âà¥ã£®«ì­¨ª ¤«ï «î¡®£® x ∈ X ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮°°nn°X° X°°kxk = °x(k)ek ° ≤|x(k)| kek k ≤°°k=1k=1¶Xµn|x(k)| = C2 kxke ,≤ max kek kk∈1,nk=1£¤¥ ¯®«®¦¨â¥«ì­®¥ ç¨á«® C2 = max kek k. à¥¤¯®«®¦¨¬, à áá㦤 ïk∈1,n®â ¯à®â¨¢­®£®, çâ® ­®à¬ë k·k ¨ k·ke ­¥ íª¢¨¢ «¥­â­ë, â.

¥. ¤«ï «î¡®£®ç¨á« R > 0 áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à xR ∈ X , â ª®©, çâ® kxR ke > RkxR k.’®£¤ ¤«ï «î¡®£® R > 0 ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ xR 6= 0. Ž¯à¥¤¥«¨¬¤«ï «î¡®£® ­®¬¥à N ¢¥ªâ®à yN = kxx ke. ’®£¤ ¢ë¯®«­¥­® ᮮ⭮襭¨¥ 1 = kyN ke > N kyN k, â. ¥. kyN k < N1 . ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ¤«ï«î¡®£® k ∈ 1, n ¨ «î¡®£® N ∈ N ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ |yN (k)| ≤≤ kyN ke = 1. ’®£¤ ¯® ⥮६¥ ®«ìæ ­®|‚¥©¥àèâà áá áãé¥áâ¢ã¥âáâண® ¢®§à áâ îé ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ­®¬¥à®¢ {Nm }∞m=1 , â ª ï,çâ® ç¨á«®¢ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {yN (k)}∞á室¨âáï¯à¨ª ¦¤®¬m=1k ∈ 1, n. Ž¡®§­ 稬 z(k) = lim yN (k) ¤«ï «î¡®£® k ∈ 1, n.

’®£¤ m→∞NNmm¢¥ªâ®àz=⥫쭮áâ¨nPz(k)ekk=1{yNm }∞m=1 ,ï¥âáï ¯à¥¤¥«®¬ ¯® ­®à¬¥â ª ª ªkyNm − zke =99nPk=1k · ke¯®á«¥¤®¢ -|yNm (k) − z(k)| → 0¯à¨ m → ∞. â®, ¢ ç áâ­®áâ¨, ®§­ ç ¥â, çâ® kzke = m→∞lim kyN ke == 1. ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, á¯à ¢¥¤«¨¢® á«¥¤ãî饥 ᮮ⭮襭¨¥: kyN −− zk ≤ C2 kyN − zke → 0 ¯à¨ m → ∞. ’®£¤ ¢ ᨫ㠭¥à ¢¥­á⢠kyN k < N1 ¯®«ãç ¥¬ kzk = lim kyN k = 0. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, z = 0,m→∞â. ¥.

z(k) = 0 ¤«ï «î¡®£® k ∈ 1, n. ® íâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â à ¢¥­áânP|z(k)| = 1. ®«ã祭­®¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¤®ª §ë¢ ¥â áã¢ã kzke =k=1é¥á⢮¢ ­¨¥ ç¨á« C1 > 0, â ª®£®, çâ® ¤«ï ¢á¥å x ∈ X á¯à ¢¥¤«¨¢®­¥à ¢¥­á⢮ C1 kxke ≤ kxk, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.mmmmmm‘ « ¥ ¤ á â ¢ ¨ ¥ 3.1.1. ãáâì (X, k · k) | «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮, L ⊂ X | ª®­¥ç­®¬¥à­®¥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮. ’®£¤ «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (L, k · k) ï¥âáï ¯®«­ë¬, «î¡®¥ § ¬ª­ã⮥ ®£à ­¨ç¥­­®¥ ¯®¤¬­®¦¥á⢮ L ï¥âáï ª®¬¯ ªâ®¬.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

ãáâì L | n-¬¥à­®¥ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ X , e1 , . . . , en ∈ L | ¡ §¨á ¢ L, â. ¥. ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ L áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ë© ­ ¡®à ª®¬¯«¥ªá­ëå ç¨á¥« x(1), . . . , x(n), â ª®©, çâ®nnPPx=x(k)ek . ‚¢¥¤ñ¬ ¢ L ­®à¬ã kxke =|x(k)|. ® ⥮६¥ 3.1.1k=1k=1­®à¬ë k·ke ¨ k·k íª¢¨¢ «¥­â­ë ¢ L, â. ¥. áãé¥áâ¢ãîâ ¯®«®¦¨â¥«ì­ë¥ç¨á« C1 ¨ C2 , â ª¨¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® x ∈ L ¢ë¯®«­¥­ë ­¥à ¢¥­á⢠C1 kxke ≤ kxk ≤ C2 kxke . ãáâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xm }∞m=1 ⊂ Lï¥âáï äã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¯® ­®à¬¥ k · k.

’®£¤ ®­ ï¥âáï äã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¨ ¯® ­®à¬¥ k · ke , â ª ª ª ¤«ï ¢á¥å m, s ∈ N ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ kxm − xs ke ≤ C1 kxm − xs k. ’ ª ª ª ¤«ï «î¡®£®­®¬¥à k ∈ 1, n ¨ ¤«ï ¢á¥å m, s ∈ N ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ |xm (k) −− xs (k)| ≤ kxm − xs ke , â® ç¨á«®¢ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xm (k)}∞k=1ï¥âáï äã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¤«ï «î¡®£® k ∈ 1, n. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®ªà¨â¥à¨î Š®è¨ á室¨¬®á⨠ç¨á«®¢®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¤«ï «î¡®£® ­®¬¥à k ∈ 1, n áãé¥áâ¢ã¥â m→∞lim xm (k) = z(k). Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¢¥ªâ®à1z =nPk=1nPz(k)ek ∈ L.’®£¤ ¯®«ãç ¥¬kxm − zk ≤ C2 kxm − zke =¯à¨ m → ∞, â. ¥. ¯®«­®â «¨­¥©­®£®­®à¬¨à®¢ ­­®£® ¯à®áâà ­á⢠(L, k · k) ¤®ª § ­ . áᬮâਬ ®£à ­¨ç¥­­®¥ ¨ § ¬ª­ã⮥ ¢ «¨­¥©­®¬ ­®à¬¨à®¢ ­­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ (L, k · k) ¬­®¦¥á⢮ S ⊂ L.

„®ª ¦¥¬, çâ® S ï= C2|xm (k) − z(k)| → 0k=1100¥âáï ª®¬¯ ªâ®¬ ¢ (L, k · k). ® ⥮६¥ 2.2.1 ¤«ï í⮣® ¤®áâ â®ç­®¤®ª § âì ᥪ¢¥­æ¨ «ì­ãî ª®¬¯ ªâ­®áâì S .  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xm }∞m=1 ⊂ S . ‚ ᨫ㠮£à ­¨ç¥­­®á⨠S ,áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® R > 0, â ª®¥, çâ® kxk ≤ R ¤«ï «î¡®£® x ∈ S .‘«¥¤®¢ ⥫쭮, kxke ≤ CR ¤«ï «î¡®£® x ∈ S . ’®£¤ ¤«ï «î¡®£®­®¬¥à k ∈ 1, n ¨ «î¡®£® m ∈ N ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮ |xm (k)| ≤≤ kxm ke ≤ CR .

® ⥮६¥ ®«ìæ ­®|‚¥©¥àèâà áá áãé¥áâ¢ã¥âáâண® ¢®§à áâ îé ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ­®¬¥à®¢ {ms }∞s=1 , â ª ï,çâ® ç¨á«®¢ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xm (k)}∞s=1 ï¥âáï á室ï饩áï¤«ï «î¡®£® ­®¬¥à k ∈ 1, n. Ž¡®§­ 稬 z(k) = s→∞lim xm (k) ¨ ®¯à¥11ss¤¥«¨¬ ¢¥ªâ®àz =nPnPk=1z(k)ek ∈ L.®«ãç ¥¬kxms − zk ≤ C2 kxms −¯à¨ s → ∞. ‚ ᨫ㠧 ¬ª­ãâ®á⨬­®¦¥á⢠S â ª¦¥ ¯®«ãç ¥¬ z ∈ S . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ᥪ¢¥­æ¨ «ì­ 类¬¯ ªâ­®áâì S ¤®ª § ­ .− zke = C2k=1|xms (k) − z(k)| → 0‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 3.1.7. ãáâì X | n-¬¥à­®¥ «¨­¥©­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ á ¡ §¨á®¬ e1 , .

. . , en . ãáâì ­¥¯ãá⮥ ¢ë¯ãª«®¥ ¬­®¦¥á⢮ S ï¥âáï ®âªàëâë¬ ¨ ®£à ­¨ç¥­­ë¬ ¢ á¬ëá«¥ ­®à¬ë k · ke , ¨ ¤«ï «î¡®£®ª®¬¯«¥ªá­®£® ᪠«ïà α ¢¨¤ |α| = 1 ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ αS = S .’®£¤ ¢X­®à¬ k · k, â ª ï, çâ® ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮¯ áãé¥áâ¢ã¥âno¯x ∈ X ¯ kxk < 1 = S .à¥¦¤¥ ¢á¥£® § ¬¥â¨¬, çâ® ­ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à ¨§ X ᮤ¥à¦¨âáï ¢ S .„¥©á⢨⥫쭮, ¯® ãá«®¢¨î ¤«ï x ∈ S ¢ë¯®«­¥­® (−x) ∈ S .

‘«¥¤®¢ ∈ S.⥫쭮, ¢ ᨫ㠢ë¯ãª«®á⨠¬­®¦¥á⢠S ¯®«ãç ¥¬ 0 = x2 + (−x)2Ž¯à¥¤¥«¨¬ äã­ªæ¨î Œ¨­ª®¢áª®£® ¬­®¦¥á⢠S á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:¯©ªµS (x) = inft>0 ¯xt∈S∀ x ∈ X.’ ª ª ª ¬­®¦¥á⢮ S ®âªàëâ® ¯® ­®à¬¥ k · ke ¨ 0 ∈ S , â® áãé¥áâ¢ã¥â ε0 > 0, â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® x ∈ X ¢¨¤ kxke < ε0 ¢ë¯®«­¥­®¢ª«î祭¨¥ x ∈ S°. ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X ¨ «î¡®£® t >°° x ° < ε0 , â. ¥. x ∈ S . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®£®> kxk¯®«ãç ¥¬εttx ∈ X ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮ µS (x) ≤ kxkε .

Характеристики

Список файлов лекций