Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

. . , ak ¨ b0 , . . . , bk . Žç¥¢¨¤­®, çâ® ¤¥â¥à¬¨­ ­â ¬ âà¨æë K ¨¬¥¥â ¢¨¤det K =P (a0 , . . . , ak , b0 , . . . , bk )k,Π (ai + bj )i,j=0£¤¥ P | ¬­®£®ç«¥­ á⥯¥­¨ (k + 1)2 − (k + 1) = (k + 1)k. ’ ª ª ª¯à¨ ai = aj ᮢ¯ ¤ îâ i-ï ¨ j -ï áâப¨ ¬ âà¨æë K , ¯à¨ bi = bj119ᮢ¯ ¤ îâ i-© ¨ j -© á⮫¡æë ¬ âà¨æë K , â® ¢ íâ¨å á«ãç ïå det K = 0.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¬­®£®ç«¥­ P ¨¬¥¥â ¢¨¤³P (a0 , .

. . , ak , b0 , ldots, bk ) = QkΠ0≤i<j≤k´(ai − aj )(bi − bj ) .³´’ ª ª ª á⥯¥­ì ¬­®£®ç«¥­ Π(ai − aj )(bi − bj ) ª ª à § à ¢0≤i<j≤k­ (k + 1)k, â. ¥. ᮢ¯ ¤ ¥â á® á⥯¥­ìî ¬­®£®ç«¥­ P , â® Qk |ª®­áâ ­â , ­¥ § ¢¨áïé ï ®â à£ã¬¥­â®¢ a0 , . . . , ak ¨ b0 , . . . , bk . ˆ­¤ãªæ¨¥© ¯® k ∈ N ¬®¦­® ¯®ª § âì, çâ® Qk = 1 ¤«ï «î¡®£® k ∈ N.ˆá¯®«ì§ãï ¯®«ã祭­ë© ¢¨¤ ¤¥â¥à¬¨­ ­â ¬ âà¨æë Š®è¨, ¯®«ãç ¥¬µdet Γ(em , en0 , . . . , enk ) = det Γ(en0 , . .

. , enk )k1m − niΠ2m + 1 i=0 m + ni + 1¶2.‘«¥¤®¢ ⥫쭮,³´ρ em , Lin{en0 , . . . , enk } =k|m − ni |1=Π2m + 1 i=0 m + ni + 1=¯¯¯1 −k|m − n0 |Π(2m + 1)(m + n0 + 1) i=1 1 +¯m¯ni ¯m+1ni.®í⮬㠥᫨ ¤«ï «î¡®£® 楫®£® ç¨á« ³ k ≥ 0 ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­áâ´¢® m 6= nk , â® ¨¬¥¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮ ρ em , Lin{en , . . . , en } > 0, ᮮ⭮襭¨¥ ρ³´0kem , Lin{en0 , . . . , enk } → 0 ¯à¨ k → ∞ à ¢­®á¨«ì­®´ln ρ em , Lin{en0 , . . . , enk } → −∞ ¯à¨ k → ∞. ®«ãç ¥¬³³´ln ρ em , Lin{en0 , . . .

, enk } =¯¶¶µk µ ¯X¯|m − n0 |m+1m ¯¯¯= ln+ln ¯1 − ¯ − ln 1 +.(2m + 1)(m + n0 + 1) i=1nini’ ª ª ª ni → +∞ ¯à¨ i → ∞, ⮯¯¶µ¯m¯m+1ln ¯¯1 − ¯¯ − ln 1 +<0nini120¯à¨ ¢á¥å ¤®áâ â®ç­® ¡®«ìè¨å §­ 祭¨ïå i, ¯¯¶µ¯m ¯¯m+12m + 1¯ln ¯1 − ¯ − ln 1 +∼−ninini¯à¨ i → ∞. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯® ¯à¨§­ ªã áà ¢­¥­¨ï á室¨¬®á⨠§­ ª®¯®áâ®ï­­®£® ç¨á«®¢®£® àï¤ , à勞µ¶¶∞ µ ¯X¯m ¯¯m+1¯ln ¯1 − ¯ − ln 1 +ninii=1á室¨âáï ¨«¨ à á室¨âáï ®¤­®¢à¥¬¥­­® á à冷¬§®¬, âॡ㥬®¥ ᮮ⭮襭¨¥∞Pi=11ni. ’ ª¨¬ ®¡à -³´ln ρ em , Lin{en0 , .

. . , enk } → −∞¯à¨ k → ∞ à ¢­®á¨«ì­® à á室¨¬®á⨠àï¤ á®®â­®è¥­¨ï∞Pi=11ni= +∞,∞Pi=11ni, â. ¥. ¢ë¯®«­¥­¨îçâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.‡ ¤ ç 3.3.2.  áᬮâਬ «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ C[0, 1], á®áâ®ï饥 ¨§ ¢á¥å ­¥¯à¥à뢭ëå ä㭪権 x: [0, 1] → C ᭮ମ© kxk = max |x(t)|. Ž¯à¥¤¥«¨¬ ä㭪樨t∈[0,1]e0 (t) = 1,en (t) = tn∀ t ∈ [0, 1]∀ n ∈ N.ãáâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {nk }∞k=0 á®á⮨⠨§ 楫ëå ­¥®âà¨æ ⥫ì­ëå ç¨á¥«, ï¥âáï áâண® ¢®§à áâ î饩, ¨ n0 = 0.

„®ª § âì, çâ®á¨á⥬ S = {en }∞k=0 ï¥âáï ¯®«­®© ¢ ¯à®áâà ­á⢥ C[0, 1] ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢® ᮮ⭮襭¨¥k∞X1= +∞.nkk=1 ¥ è ¥ ­ ¨ ¥. …᫨ á¨á⥬ S ¯®«­ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ C[0, 1], â® ¢á¨«ã ­¥à ¢¥­á⢠kxk2 ≤ kxkc ¤«ï ¢á¥å x ∈ C[0, 1] ¯®«ãç ¥¬ ¯®«­®âãá¨á⥬ë S ¨ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ CL2 [0, 1]. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫã १ã«ì∞P1â â § ¤ ç¨ 3.3.1 ¯®«ãç ¥¬ âॡ㥬®¥ ᮮ⭮襭¨¥n = +∞.k=1121k’¥¯¥àì ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮∞P∞Pk=11nk= +∞.1’®£¤ ¯® ¯à¨§­ ªã áà ¢­¥­¨ï ¯®«ãç ¥¬n −1 = +∞. ‘«¥¤®¢ k=2⥫쭮, á¨á⥬ G = {en −1 }∞k=1 ¯®«­ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ CL2 [0, 1].

’ ªª ª ¯® ⥮६¥ ‚¥©¥àèâà áá á¨á⥬ ¢á¥å á⥯¥­¥© E = {en }∞n=0¯®«­ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ C[0, 1], â® ¤«ï «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â ¬­®£®ç«¥­ Pε ∈ Lin E , â ª®©, çâ® á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮kkkx − Pε kc ≤ ε.„ «¥¥, ¢ ᨫ㠯®«­®âë á¨á⥬ë G ¢ ¯à®áâà ­á⢥ CL2 [0, 1] áãé¥áâ¢ã¥â ¬­®£®ç«¥­ Qε ∈ Lin G, â ª®©, çâ® ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮kPε0 − Qε k2 ≤ ε.RtŽ¯à¥¤¥«¨¬ ¬­®£®ç«¥­ Rε (t) = Pε (0) + Qε (τ ) dτ , £¤¥ t ∈ [0, 1].

’®£0¤ á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥ Rε ∈ Lin S , ¢ ᨫã à ¢¥­á⢠Pε (t) == Pε (0) +Rt0Pε0 (τ ) dτ¯®«ãç ¥¬ ᮮ⭮襭¨ï¯ t¯¯Z ³´ ¯¯¯kPε − Rε kc = max ¯¯Pε0 (τ ) − Qε (τ ) dτ ¯¯ ≤t∈[0,1] ¯¯0Z1 ¯¯°°¯¯°°≤ ¯Pε0 (τ ) − Qε (τ )¯ dτ ≤ °Pε0 − Qε ° ≤ ε.20‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫ㠭¥à ¢¥­á⢠âà¥ã£®«ì­¨ª ¯®«ãç ¥¬ ®æ¥­ªãkx − Rε kc ≤ kx − Pε kc + kPε − Rε kc ≤ 2ε,â. ¥. á¨á⥬ S ¯®«­ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ C[0, 1], çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 3.3.3. ãáâì (X, k · k) | «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮. ‘çñâ­ ï á¨á⥬ F = {fn }∞n=1 ⊂ X ­ §ë¢ ¥âáï¡ §¨á®¬ ¢ X , ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® x ∈ X áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ᪠«ï஢ {αn (x)}∞n=1 , â ª ï, çâ® á¯à ¢¥¤«¨¢® ᮮ⭮襭¨¥°°N°°X°°lim °x −αn (x)fn ° = 0.N →∞ °°n=1122â® ᮮ⭮襭¨¥ ¡ã¤¥¬ ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î § ¯¨áë¢ âì ¢ ¢¨¤¥x=∞Xαn (x)fn .n=1 à ¨ ¬ ¥ à 3.3.2.

 áᬮâਬ ¯à®áâà ­á⢮ (`2 , k·k2 ), ®¯à¥¤¥«ñ­­®¥ ¢ ¯à¨¬¥à¥ 3.2.1. Ž¯à¥¤¥«¨¬ áçñâ­ãî á¨á⥬ã E = {en }∞n=1 ⊂ `2¢¨¤ ½en (k) =1, n = k,0, n =6 k∀ n ∈ N.®ª ¦¥¬, çâ® á¨á⥬ E ®¡à §ã¥â ¡ §¨á ¢«î¡®£® x ∈ `2 á¯à ¢¥¤«¨¢® ᮮ⭮襭¨¥`2 .v°°u XN°°Xu ∞°°x(n)en ° = t|x(n)|2 → 0°x −°°n=12„¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï¯à¨N → ∞.n=N +1‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¬®¦­® ®¯à¥¤¥«¨âì §­ 祭¨¥ αn (x) = x(n) ¤«ï «î¡®£® n ∈ N. ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ¥á«¨ ­¥ª®â®à ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì᪠«ï஢ {βn (x)}∞n=1 㤮¢«¥â¢®àï¥â ᮮ⭮襭¨î°°N°°X°°lim °x −βn (x)en ° = 0,N →∞ °°n=12â® ¤«ï «î¡®£® m ∈ N ¨ N> m ¯®«ãç ¥¬°°N¯¯ °°X¯¯ °°βn (x)en ° → 0¯x(m) − βm (x)¯ ≤ °x −°°n=1¯à¨N → ∞.2‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬ βm (x) = x(m) = αm (x) ¤«ï «î¡®£® m ∈∈ N. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®ª § ­®, çâ® ¤«ï «î¡®£® x ∈ `2 áãé¥áâ¢ã¥â¥¤¨­á⢥­­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ᪠«ï஢ αn (x) = x(n), n ∈ N,â ª ï, çâ®°°N°°X°°lim °x −αn (x)en ° = 0,N →∞ °°n=1çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.2‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 3.3.1.

ãáâì ¢ «¨­¥©­®¬ ­®à¬¨à®¢ ­­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ (X, k · k) áãé¥áâ¢ã¥â ¡ §¨á F = {fn }∞n=1 ⊂ X . ’®£¤ á¨á⥬ 123ï¥âáï ¯®«­®© ¢ X . „¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥­â x ∈ X¨¬¥¥¬°°FN°°X°°ρ (x, Lin F ) ≤ lim °x −αn (x)fn ° = 0,N →∞ °°n=1â. ¥. ¬­®¦¥á⢮ Lin F ¢áî¤ã ¯«®â­® ¢ X , çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.£¤¥ à ¨ ¬ ¥ à 3.3.3.  áᬮâਬ á¨á⥬ã á⥯¥­¥©e0 (t) = 1,en (t) = tn∀ t ∈ [0, 1]E = {en }∞n=0 ,∀ n ∈ N.C¨á⥬ E ï¥âáï ¯®«­®© ¢ ¯à®áâà ­á⢠å C[0, 1] ¨ CL2 [0, 1], ®¤­ ª® ®­ ­¥ ï¥âáï ¡ §¨á®¬ ¢ íâ¨å ¯à®áâà ­á⢠å.„¥©á⢨⥫쭮, ¯à¥¤¯®«®¦¨¢ ¡ §¨á­®áâì á¨á⥬ë E ¢ ¯à®áâà ­á⢥ C[0, 1], ¯®«ã稬, çâ® «î¡ ï ­¥¯à¥à뢭 ï ­ ®â१ª¥ [0, 1] äã­ªæ¨ï à ᪫ ¤ë¢ ¥âáï ¢ à ¢­®¬¥à­® á室ï騩áï ª ­¥© ­ ®â१ª¥ [0, 1]á⥯¥­­®© àï¤.

® ⮣¤ ¯® ⥮६¥ €¡¥«ï ¯®«ãç ¥¬ ¡¥áª®­¥ç­ã ¤ª®áâì «î¡®© ­¥¯à¥à뢭®© ä㭪樨 ­ ¨­â¥à¢ «¥ (0, 1), çâ®, ®ç¥¢¨¤­®, ­¥¢¥à­®.’¥¯¥àì ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® á¨á⥬ E ï¥âáï ¡ §¨á®¬ ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥ CL2 [0, 1]. ’®£¤ ¤«ï «î¡®© ­¥¯à¥à뢭®© ­ ®â१ª¥ [0, 1] ä㭪樨 x áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì᪠«ï஢ {αn (x)}∞n=0 , â ª ï, çâ®°°N°°X°°αn (x)en ° → 0°x −°°n=0¯à¨N → ∞.2Ž¯à¥¤¥«¨¬ äã­ªæ¨î z(t) =Rt0x(τ ) dτ , t ∈ [0, 1].®«ãç ¥¬¯ tð! ¯¯¯ZN°X¯¯°αn (x)= max ¯¯x(τ ) −αn (x)en (τ ) dτ ¯¯ ≤n+1 en+1 °°t∈[0,1] ¯¯n=0n=0c0¯¯°°1Z ¯NN¯°°XX¯¯°°≤ ¯x(τ ) −αn (x)en (τ )¯ dτ ≤ °x −αn (x)en ° → 0¯¯°°°N°X°°z −°0n=0n=02¯à¨ N → ∞.

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, äã­ªæ¨ï z à ᪫ ¤ë¢ ¥âáï ¢ à ¢­®¬¥à­® á室ï騩áï ª ­¥© ­ ®â१ª¥ [0, 1] á⥯¥­­®© àï¤. ® ⮣¤ 124¯® ⥮६¥ €¡¥«ï ¯®«ãç ¥¬ ¡¥áª®­¥ç­ãî £« ¤ª®áâì ä㭪樨 z ­ ¨­â¥à¢ «¥ (0, 1), çâ® ­¥¢¥à­® ¤«ï á«ãç ï ­¥¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ­¥¯à¥à뢭®© ä㭪樨 x.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 3.3.2. ãáâì E | ¥¢ª«¨¤®¢® ¯à®áâà ­á⢮, á¨á⥬ F = {fn }∞n=1 ⊂ E á®á⮨⠨§ ­¥âਢ¨ «ì­ëå ¯®¯ à­® ®à⮣®­ «ì­ëå ¢¥ªâ®à®¢ ¨ ï¥âáï ¯®«­®© ¢ E.

’®£¤ á¨á⥬ F ï¥âáï ¡ §¨á®¬ ¢ E, ¯à¨çñ¬ ¤«ï «î¡®£® x ∈ E á¯à ¢¥¤«¨¢ë à ¢¥­á⢠x=∞X(x, fn )fn ,(fn , fn )n=1kxk2 =∞X|(x, fn )|2(fn , fn )n=1(à ¢¥­á⢮  àᥢ «ï).„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ‚ ᨫ㠬¨­¨¬ «ì­®£® ᢮©á⢠ª®íää¨æ¨¥­â®¢ ”ãàì¥ ¯à®¨§¢®«ì­®£® ¢¥ªâ®à x ∈ E ¯® ®à⮣®­ «ì­®© á¨á⥬¥ F ¤«ï «î¡®£® N ∈ N ¡«¨¦ ©è¨¬ í«¥¬¥­â®¬ ¤«ï x ¢ ¯®¤¯à®áâà ­á⢥ Lin{f1 , . . . , fN } ï¥âáï ¥£® N -ï á㬬 ”ãàì¥:SN (x) =NX(x, fn )fn ,(fn , fn )n=1â. ¥. á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮³´ρ2 x, Lin{f1 , .

. . , fN } = kx − SN (x)k2 == (x, x) − (x, SN (x)) − (SN (x), x) + (SN (x), SN (x)) == kxk2 −NNNX(x, fn )(x, fn ) X (x, fn )(x, fn ) X (x, fn )(x, fn )−+=(fn , fn )(fn , fn )(fn , fn )n=1n=1n=1= kxk2 −NX|(x, fn )|2.(fn , fn )n=1’ ª ª ª ¢ ᨫ㠯®«­®âë á¨á⥬ë F ¨¬¥¥¬ ρ¯à¨ N → ∞, â® ¯®«ãç ¥¬ ᮮ⭮襭¨ïkx − SN (x)k → 0¨kxk2 −³´x, Lin{f1 , . . . , fN } → 0NX|(x, fn )|2→0(fn , fn )n=1125¯à¨N → ∞.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤®ª § ­ë âà¥¡ã¥¬ë¥ à ¢¥­á⢠∞X(x, fn )x=fn(fn , fn )n=1¨∞X|(x, fn )|2kxk =.(fn , fn )n=12à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ¤«ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠᪠«ï஢ {αn (x)}∞n=1 ¨¬¥∞P¥â ¬¥áâ® à ¢¥­á⢮ x =αn (x)fn . „«ï «î¡®£® N ∈ N ®¡®§­ 稬NPn=1’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢® ᮮ⭮襭¨¥ krN (x)k →→ 0 ¯à¨ N → ∞. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫ㠮à⮣®­ «ì­®áâ¨ í«¥¬¥­â®¢á¨á⥬ë F ¤«ï «î¡®£® m ∈ N ¨ N > m ¯®«ãç ¥¬(x, fm ) = αm (x)(fm , fm ) + (rN (x), fm ) → αm (x)(fm , fm ) ¯à¨ N → ∞,â ª ª ª |(rN (x), fm )| ≤ krN (x)k kfm k → 0 ¯à¨ N → ∞.

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, αm (x) = (f(x,f,f )) ¤«ï «î¡®£® m ∈ N. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® x ∈ E áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ᪠«ï஢αn (x) = (f(x,f,f )) (ª®íää¨æ¨¥­âë ”ãàì¥ ¢¥ªâ®à x ¯® ®à⮣®­ «ì­®©rN (x) = x −n=1αn (x)fn .mmmnnn∞Pá¨á⥬¥ F ), ¤«ï ª®â®à®© á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ x =αn (x)fn . ’ n=1ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®ª § ­ ¡ §¨á­®áâì á¨á⥬ë F ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥ E.‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 3.3.2. ãáâì ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥ E ¨¬¥¥âáï áçñâ­ ï ¯®«­ ï á¨á⥬ G = {gn }∞n=1 , á®áâ®ïé ï ¨§ «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¢¥ªâ®à®¢. ®¤¢¥à£ ï ¢¥ªâ®àë á¨á⥬ë G ¯à®æ¥¤ãॠ®à⮣®­ «¨§ 樨 ƒà ¬ |˜¬¨¤â , ¯®«ã稬 áçñâ­ãî á¨á⥬ã F = {fn }∞n=1 ,á®áâ®ïéãî ¨§ ­¥âਢ¨ «ì­ëå ¯®¯ à­® ®à⮣®­ «ì­ëå ¢¥ªâ®à®¢ ¢¨¤ f1 = g1 ,f2 = g 2 −(g2 , f1 )f1 ,(f1 , f1 )...fn = gn −n−1Xk=1(gn , fk )fk ,(fk , fk )...’ ª ª ª ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ¯à®æ¥¤ãàë ®à⮣®­ «¨§ 樨 ƒà ¬ |˜¬¨¤â ¤«ï «î¡®£® n ∈ N á¯à ¢¥¤«¨¢ë ¢ª«î祭¨ï fn ∈ Lin{g1 , . .

Характеристики

Список файлов лекций