Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

ãáâì ¬­®¦¥á⢮ S ⊂ C(T ) ï¥âá®«­¥ ®£à ­¨ç¥­­ë¬. ’®£¤ ¯® § ¬¥ç ­¨î 2.2.1 ¬­®¦¥á⢮ S ᮤ¥à¦¨âáï ¢ ­¥ª®â®à®¬ è ॠ¯à®áâà ­á⢠C(T ), â. ¥. áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«®r > 0 ¨ äã­ªæ¨ï z ∈ C(T ), â ª¨¥, çâ® S ⊂ Br (z). Ž¯à¥¤¥«¨¬R = r + sup |z(t)|.t∈T‚ ᨫ㠧 ¬¥ç ­¨ï 2.2.4 ¯®«ãç ¥¬ R < +∞. ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® x ∈ S­ 室¨¬sup |x(t)| ≤ d(x, z) + sup |z(t)| ≤ r + sup |z(t)| = R.t∈Tt∈Tt∈T‘«¥¤®¢ ⥫쭮, S ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­ë¬ ¢ C(T ). „ «¥¥ ¤«ï «î¡®£®áãé¥áâ¢ã¥â ª®­¥ç­ ï ε-á¥âì ¬­®¦¥á⢠S , â.

¥. áãé¥áâ¢ãîâNSä㭪樨 x1 , . . . , xN ∈ S , â ª¨¥, çâ® S ⊂Bε (xk ). ® ⥮६¥ 2.2.3ε > 0k=188Š ­â®à ª ¦¤ ï äã­ªæ¨ï xk à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭 ­ T , â. ¥. ¤«ïª ¦¤®£® k ∈ 1, N ­ ©¤ñâáï δk > 0, â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡ëå t, τ ∈ T ¢¨¤ ρ(t, τ ) ≤ δk ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ |xk (t) − xk (τ )| ≤ ε. Ž¯à¥¤¥«¨¬δ = min δk > 0.k∈1,N’ ª ª ª ¤«ï «î¡®© ä㭪樨 x ∈ S áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à k ∈ 1, N , â ª®©,çâ® d(x, xk ) ≤ ε, â® ¤«ï «î¡ëå t, τ ∈ T ¢¨¤ ρ(t, τ ) ≤ δ ­ 室¨¬|x(t) − x(τ )| ≤ |x(t) − xk (t)| + |x(τ ) − xk (τ )| + |xk (t) − xk (τ )| ≤≤ 2d(x, xk ) + ε ≤ 3ε.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¬­®¦¥á⢮ S ï¥âáï à ¢­®á⥯¥­­® ­¥¯à¥à뢭ë¬.ãáâì ⥯¥àì ¬­®¦¥á⢮ S ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­ë¬ ¢ C(T ) ¨ à ¢­®á⥯¥­­® ­¥¯à¥à뢭ë¬.

® ⥮६¥ 2.2.1 ¬¥âà¨ç¥áª¨© ª®¬¯ ªâ ï¥âáï ¢¯®«­¥ ®£à ­¨ç¥­­ë¬. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â ª®­¥ç­ ï δ(ε)-á¥âì ¬­®¦¥á⢠T ¢¨¤ t1 , . . . , tN ∈ T .  áᬮâਬ ®â®¡à ¦¥­¨¥ F : S → RN ¢¨¤ ³´F (x) = x(t1 ), . . . , x(tN ) ∈ RN¤«ï «î¡®© ä㭪樨 x ∈ S . ‚ ᨫ㠮£à ­¨ç¥­­®á⨠¬­®¦¥á⢠S ¢C(T ) áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® R > 0, â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡ëå x ∈ S ¨ t ∈ T¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ |x(t)| ≤ R.  áᬮâਬ à §¡¨¥­¨¥ ¢¥é¥á⢥­­®£® ®â१ª [−R, R] ¬¥«ª®á⨠¬¥­ìè¥ ε â®çª ¬¨−R = a1 < a2 < . .

. < aL = R.Ž¯à¥¤¥«¨¬ ª®­¥ç­®¥ ¬­®¦¥á⢮nA=¯o¯a = (ak1 , . . . , akN ) ∈ RN ¯ ks ∈ 1, L ∀ s ∈ 1, N .Š®«¨ç¥á⢮ í«¥¬¥­â®¢ ¬­®¦¥á⢠A ­¥ ¯à¥¢ëè ¥â LN . ‚¢¥¤ñ¬ ¢¯à®áâà ­á⢥ RN ¬¥âਪã ∆N (u, v) = max |us −vs | ¤«ï «î¡ëå ¢¥ªâ®s∈1,N஢ ³u, v ∈ RN´ . ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® x ∈ S áãé¥áâ¢ã¥â a ∈ A, â ª®©, çâ®∆N F (x), a ≤ ε. ‡ ­ã¬¥à㥬 ¢á¥ í«¥¬¥­âë ¬­®¦¥á⢠A, ¯®«ã稬noMA = a(m)m=1nI=. Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¬­®¦¥á⢮ ­®¬¥à®¢¯³´o¯m ∈ 1, M ¯ ∃ x ∈ S : ∆N F (x), a(m) ≤ ε .89‚롥६ ¤«ï «î¡®£® m ∈ I äã­ªæ¨î xm ∈ S , ¤«ï ª®â®à®© ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮³´∆N F (xm ), a(m) ≤ ε.’ ª ª ª ¤«ï «î¡®£® x ∈ S áãé¥áâ¢ã¥â m ∈ 1, M , â ª®©, çâ®´³∆N F (x), a(m) ≤ ε,â® ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ m ∈ I ¨ ­¥à ¢¥­á⢮³´∆N F (x), F (xm ) ≤ 2ε.’ ª ª ª ¤«ï «î¡®£® t ∈ T áãé¥áâ¢ã¥â k ∈ 1, N , â ª®©, çâ® ρ(t, tk ) ≤≤ δ(ε), â® ­ 室¨¬|x(t) − xm (t)| ≤ |x(t) − x(tk )| + |xm (t) − xm (tk )| + |x(tk ) − xm (tk )| ≤³´≤ 2ε + ∆N F (x), F (xm ) ≤ 4ε.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, d(x, xm ) ≤ 4ε, â.

¥. ¬­®¦¥á⢮ {xm }m∈Iª®­¥ç­®© 4ε-á¥âìî ¬­®¦¥á⢠S . ’¥®à¥¬ ¤®ª § ­ .⊂Sï¥âáï à ¨ ¬ ¥ à 2.2.2. ãáâì äã­ªæ¨ï f : [0, 1] × R → R ­¥¯à¥à뢭 ¨ã¤®¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î ‹¨¯è¨æ á ª®­á⠭⮩ L > 0 ¯® ¯¥à¥¬¥­­®©x ∈ R ¤«ï «î¡®£® t ∈ [0, 1], â. ¥.|f (t, x) − f (t, y)| ≤ L|x − y|∀ t ∈ [0, 1],∀ x, y ∈ R.ãáâì K ⊂ R | ®£à ­¨ç¥­­®¥ ¨ § ¬ª­ã⮥ ¬­®¦¥á⢮.

 áᬮâਬ¬­®¦¥á⢮ S ⊂ C[0, 1] ¢¨¤ nS=x ∈ C 1 [0, 1]¯¯¯dx(t)dt³´= f t, x(t)o∀ t ∈ [0, 1],x(0) ∈ K.‡¤¥áì C 1 [0, 1] | ¬­®¦¥á⢮ ­¥¯à¥à뢭® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬ëå ­ ®â१ª¥ [0, 1] ¢¥é¥á⢥­­®§­ ç­ëå ä㭪権. ®ª ¦¥¬, çâ® ¬­®¦¥á⢮S ï¥âáï ª®¬¯ ªâ®¬ ¢ C[0, 1]. ‚ ᨫ㠯®«­®âë ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠C[0, 1] ¤®áâ â®ç­® ¤®ª § âì § ¬ª­ãâ®áâì ¨ ¢¯®«­¥ ®£à ­¨ç¥­­®áâì S ¢ C[0, 1]. „«ï «î¡®£® x ∈ S ¨ «î¡®£® t ∈ [0, 1] á¯à ¢¥¤«¨¢®à ¢¥­á⢮Ztx(t) = x(0) +³´f τ, x(τ ) dτ.090’ ª ª ª ¬­®¦¥á⢮ K ⊂ R ®£à ­¨ç¥­®, â® áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® D > 0,â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® ç¨á« a ∈ K ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ |a| ≤ D.„ «¥¥, ¯®áª®«ìªã äã­ªæ¨ï t 7→ f (t, 0) ­¥¯à¥à뢭 ­ ®â१ª¥ [0, 1],â® sup |f (t, 0)| = M0 < +∞.

’®£¤ ¤«ï «î¡®£® x ∈ S ¨ «î¡®£®t∈[0,1]t ∈ [0, 1]¯®«ãç ¥¬Zt|x(t)| ≤ D +Zt|f (τ, x(τ )) − f (τ, 0)| dτ +0|f (τ, 0)| dτ ≤0Zt≤ D + M0 + L|x(τ )| dτ.0‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫ㠫¥¬¬ë ƒà®­ã®«« 1 ¯®«ãç ¥¬ ¤«ï «î¡®£® t ∈∈ [0, 1] ­¥à ¢¥­á⢮|x(t)| ≤ (D + M0 ) exp(Lt) ≤ (D + M0 ) exp(L) = R.’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬­®¦¥á⢮ S ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­ë¬ ¢ ¯à®áâà ­á⢥C[0, 1].„ «¥¥, â ª ª ª äã­ªæ¨ï f ­¥¯à¥à뢭 , â®sup |f (t, x)| = MR < +∞.t∈[0,1]|x|≤R1  ¯®¬­¨¬ «¥¬¬ã ƒà®­ã®«« : ¥á«¨ ¤«ï ­¥¯à¥à뢭®© ­ ®â१ª¥ [0, 1] ¢¥é¥á⢥­­®§­ ç­®© ä㭪樨 z áãé¥áâ¢ãîâ ­¥®âà¨æ ⥫ì­ë¥ ç¨á« A ¨ B , â ª¨¥, çâ®Rtz(t) ≤ A + B z(τ ) dτ ¤«ï «î¡®£® t ∈ [0, 1], â® á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ z(t) ≤0≤ A exp(Bt) ¤«ï «î¡®£® t ∈ [0, 1].

„®ª ¦¥¬ «¥¬¬ã ƒà®­ã®«« . …᫨ B = 0, â®ã⢥ত­¨¥ «¥¬¬ë ®ç¥¢¨¤­®. ãáâì B > 0. ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® t ∈ [0, 1] ¨¬¥¥¬ZtZtZtz(ξ) dξ + Bexp(−Bτ )z(τ )dτ = exp(−Bt)00≥ exp(−Bt) Žâáî¤ ¯®«ãç ¥¬− A ≥ z(t) − A0 τZexp(−Bτ )  z(ξ) dξ  dτ ≥z(t) − A +B0Ztexp(−Bτ )(z(τ ) − A) dτ.01 − exp(−Bt) z(t) − A ≥ exp(−Bt) ,ABB¨ A exp(Bt) ≥ z(t), çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.91â.

¥. A exp(Bt) −’®£¤ ¤«ï «î¡®£® x ∈ S ¨ «î¡ëå t, τ ∈ [0, 1] ¯® ⥮६¥ ‹ £à ­¦ áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® ξ ¬¥¦¤ã t ¨ τ , â ª®¥, ç⮯¯¯ dx(ξ) ¯¯¯ |t − τ | = |f (ξ, x(ξ))| |t − τ | ≤ MR |t − τ |.|x(t) − x(τ )| = ¯dt ¯‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â δ(ε) = M ε+1 , â ª®¥,çâ® ¤«ï «î¡ëå t, τ ∈ [0, 1] ¢¨¤ |t − τ | ≤ δ(ε) ¨ «î¡®© ä㭪樨 x ∈ Sá¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ |x(t) − x(τ )| ≤ MR δ(ε) ≤ ε. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,¬­®¦¥á⢮ S ï¥âáï à ¢­®á⥯¥­­® ­¥¯à¥àë¢­ë¬ ¢ C[0, 1]. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯® ⥮६¥ 2.2.4 €à楫 |€áª®«¨ ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¬­®¦¥á⢮S ï¥âáï ¢¯®«­¥ ®£à ­¨ç¥­­ë¬ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ C[0, 1].„®ª ¦¥¬ § ¬ª­ãâ®áâì ¬­®¦¥á⢠S ¢ C[0, 1]. ãáâì äã­ªæ¨ï z ∈∈ C[0, 1] ï¥âáï â®çª®© ¯à¨ª®á­®¢¥­¨ï ¬­®¦¥á⢠S .

’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 ⊂ S , â ª ï, çâ®Rsup |z(t) − xn (t)| → 0t∈[0,1]¯à¨ n → ∞. ‚ ç áâ­®áâ¨, |z(0)−xn (0)| → 0 ¯à¨ n → ∞. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ç¨á«® z(0) ï¥âáï â®çª®© ¯à¨ª®á­®¢¥­¨ï § ¬ª­ã⮣® ç¨á«®¢®£®¬­®¦¥á⢠K , â. ¥. z(0) ∈ K . „ «¥¥ ¤«ï «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à N (ε), â ª®©, çâ® ¤«ï «î¡ëå m, n > N (ε) ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮sup |xn (t) − xm (t)| ≤ ε.t∈[0,1]’ ª ª ª ¤«ï «î¡®£® t ∈ [0, 1] ¨ «î¡ëå n, m > N­¥à ¢¥­á⢮³εL+1´á¯à ¢¥¤«¨¢®¯¯¯ dxn (t) dxm (t) ¯¯¯¯ dt − dt ¯ ≤ |f (t, xn (t)) − f (t, xm (t))| ≤≤ L|xn (t) − xm (t)| ≤ L sup |xn (t) − xm (t)| ≤ ε,t∈[0,1]© dx ª∞â® ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì dt n=1 ⊂ C[0, 1] ï¥âáï äã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¢ C[0, 1]. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫ㠯®«­®âë ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠C[0, 1] (á¬. ⥮६ã 2.2.2) áãé¥áâ¢ã¥â äã­ªæ¨ï w ∈ C[0, 1],â ª ï, çâ®n¯¯¯ dxn (t)¯¯sup ¯− w(t)¯¯ → 0dtt∈[0,1]92¯à¨n → ∞.Ž¯à¥¤¥«¨¬ ­¥¯à¥à뢭® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬ãî ­ ®â१ª¥æ¨î y(t) = z(0) +Rt0w(τ ) dτ .[0, 1]äã­ª-’®£¤ ¯®«ãç ¥¬¯´ ¯¯¯Rt ³ dxn (τ )¯sup |xn (t) − y(t)| ≤ sup ¯xn (0) − z(0) +− w(τ ) dτ ¯¯ ≤dtt∈[0,1]t∈[0,1]0¯¯¯¯ n (t)− w(t)¯ → 0≤ |xn (0) − z(0)| + sup ¯ dxdtt∈[0,1]¯à¨n → ∞.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, y(t) = z(t) ¤«ï «î¡®£® t ∈ [0, 1], â.

¥. äã­ªæ¨ï zï¥âáï ­¥¯à¥à뢭® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®©, ¨ ¤«ï «î¡®£® t ∈ [0, 1]á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮dz(t)dxn (t)= w(t) = lim= lim f (t, xn (t)) = f (t, z(t)).n→∞n→∞dtdt’ ª¨¬ ®¡à §®¬, á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥ z ∈ S , â. ¥. ¬­®¦¥á⢮ï¥âáï § ¬ª­ãâë¬ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ C[0, 1].93Sƒ« ¢ 3‹¨­¥©­ë¥ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠¨ «¨­¥©­ë¥ ®¯¥à â®àë3.1. ‹¨­¥©­ë¥ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 3.1.1. ãáâì X | ª®¬¯«¥ªá­®¥ «¨­¥©­®¥ ¯à®áâà ­á⢮. ”ã­ªæ¨ï k · k: X → R ­ §ë¢ ¥âáï ­®à¬®© ¢ X , ¥á«¨ ¢ë¯®«­¥­ë á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï:1) kxk ≥ 0 ¤«ï «î¡®£® x ∈ X ;2) kxk = 0 ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ x = 0 (â. ¥. x ï¥âáï­ã«¥¢ë¬ í«¥¬¥­â®¬ «¨­¥©­®£® ¯à®áâà ­á⢠X );3) ktxk = |t| kxk ¤«ï «î¡ëå x ∈ X ¨ t ∈ C;4) kx + yk ≤ kxk + kyk ¤«ï ¢á¥å x, y ∈ X (­¥à ¢¥­á⢮ âà¥ã£®«ì­¨ª ).‹¨­¥©­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ á 䨪á¨à®¢ ­­®© ¢ ­ñ¬ ­®à¬®© ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì «¨­¥©­ë¬ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¬ ¯à®áâà ­á⢮¬.‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 3.1.1.

ãáâì (X, k·k) | «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥¯à®áâà ­á⢮. ’®£¤ äã­ªæ¨ï ρ(x, y) = kx − yk ¤«ï «î¡ëå x, y ∈∈ X ï¥âáï ¬¥âਪ®© ­ X . „¥©á⢨⥫쭮, ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 3.1.1¯®«ãç ¥¬ ρ(x, y) ≥ 0 ¨ ρ(x, y) = 0, ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ x − y = 0, çâ®à ¢­®á¨«ì­® x = y, ρ(y, x) = ky − xk = k(−1)(x − y)k = | − 1| kx − yk == ρ(x, y), ¨ ­ ª®­¥æ, ¤«ï ρ á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ âà¥ã£®«ì­¨ª ρ(x, y) = k(x − z) + (z − y)k ≤ kx − zk + kz − yk = ρ(x, z) + ρ(y, z) ¤«ï«î¡ëå x, y, z ∈ X . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì «¨­¥©­®¥­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (X, k · k) ª ª ¬¥âà¨ç¥áª®¥ á 㪠§ ­­®©¬¥âਪ®© ρ.Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 3.1.2.

ãáâì X | «¨­¥©­®¥ ¯à®áâà ­á⢮,¬­®¦¥á⢠A, B ⊂ X , t ∈ C. ’®£¤ á㬬®© Œ¨­ª®¢áª®£® ¬­®¦¥áâ¢A ¨ B ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì ¬­®¦¥á⢮nA+B =¯o¯a + b ¯ a ∈ A, b ∈ B , ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ ¬­®¦¥á⢠A ­ ᪠«ïà t ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì ¬­®¦¥á⢮ntA =¯o¯ta ¯ a ∈ A .94‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 3.1.2. ãáâì (X, k · k) | «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮, ¢¥ªâ®à x ∈ X , ç¨á«® R > 0.

’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢ëà ¢¥­á⢠OR (x) = x + R O1 (0) ¨ BR (x) = x + R B1 (0). „¥©á⢨⥫쭮, ¢¥ªâ®à y ∈ OR (x) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ky − xk < R, çâ®à ¢­®á¨«ì­® y = x + R y−xR ∈ x + R O1 (0). €­ «®£¨ç­® ¢¥ªâ®à y ∈∈ BR (x) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ky − xk ≤ R, çâ® à ¢­®á¨«ì­®y = x + R y−xR ∈ x + R B1 (0).‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 3.1.3. ãáâì (X, k·k) | «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥¯à®áâà ­á⢮, ¢¥ªâ®àë x1 ∈ X ¨ x2 ∈ X , ç¨á« R1 > 0 ¨ R2 > 0.’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢ë à ¢¥­á⢠OR1 (x1 ) + OR2 (x2 ) =BR1 (x1 ) + BR2 (x2 ) =OR1 +R2 (x1 + x2 ),BR1 +R2 (x1 + x2 ).„¥©á⢨⥫쭮, ¤®ª ¦¥¬ á­ ç « íâ¨ à ¢¥­á⢠¤«ï x1 = x2 = 0.…᫨ x ∈ OR (0) + OR (0), â® áãé¥áâ¢ãîâ ¢¥ªâ®àë u ∈ OR (0) ¨ v ∈∈ OR (0), â ª¨¥, çâ® x = u + v .

Характеристики

Список файлов лекций