Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

„ «¥¥ ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, ç⮠ᥪ¢¥­æ¨ «ì­® ª®¬¯ ªâ­®¥ ¬­®¦¥á⢮ S ­¥ nï¥âá类¬¯ ªâ­ë¬.’®£¤ ¯o¯áãé¥áâ¢ã¥â ®âªàë⮥ ¯®ªàë⨥ P = Vα ¯ α ∈ A ¬­®¦¥á⢠S ,­¥ ¨¬¥î饥 ª®­¥ç­®£® ¯®¤¯®ªàëâ¨ï. ’ ª ª ª ¤«ï ª ¦¤®£® n ∈ N¬­®¦¥á⢮ S ¨¬¥¥â ª®­¥ç­ãî n1 -á¥âì, â® áãé¥áâ¢ã¥â â®çª zn ∈ S ,â ª ï, çâ® è à B (zn ) ­¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®ªàëâ ª®­¥ç­ë¬ ­ ¡®à®¬¬­®¦¥á⢠¨§ ᥬ¥©á⢠P. ‚ ᨫã ᥪ¢¥­æ¨ «ì­®© ª®¬¯ ªâ­®á⨠¬­®¦¥á⢠S ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {zn }∞n=1 ¨¬¥¥â á室ïéãîáï ¯®¤¯®á«¥,â.¥.áãé¥áâ¢ã¥ââ®çª z0 ∈ S , â ª ï, ç⮤®¢ ⥫쭮áâì {zn }∞m=1ρ(zn , z0 ) → 0 ¯à¨ m → ∞. ’ ª ª ª ᥬ¥©á⢮ P ï¥âáï ¯®ªàë⨥¬ ¬­®¦¥á⢠S , áãé¥áâ¢ã¥â ¨­¤¥ªá α0 ∈ A, ¯à¨ ª®â®à®¬ z0 ∈ Vα .’ ª ª ª ¬­®¦¥á⢮ Vα ï¥âáï τρ -®âªàëâë¬, â® áãé¥áâ¢ã¥â ε0 > 0,â ª®¥, çâ® Oε (z0 ) ⊂ Vα . ‘ãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à M0 , â ª®©, çâ® ¤«ï ¢á¥åm > M0 ¢ë¯®«­¥­ë ­¥à ¢¥­á⢠n1 < ε4 ¨ ρ(zn , z0 ) < ε4 . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® ­®¬¥à m > M0 ¨ â®çª¨ y ∈ B (zn ) ¯®«ãç ¥¬ρ(y, z0 ) ≤ ρ(y, zn ) + ρ(zn , z0 ) < ε2 .

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, B (zn ) ⊂⊂ Oε (z0 ) ⊂ Vα ¤«ï ¢á¥å m > M0 . ® ¯® ¯®áâ஥­¨î ­¨ ®¤¨­ è àB (zn ) ­¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®ªàëâ ª®­¥ç­ë¬ ­ ¡®à®¬ ¬­®¦¥á⢠ᥬ¥©á⢠P. ®«ã稫¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥.1nmm000000mm1nm0m01nmmm1nmm0m‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 2.2.2.

ãáâì § ¬ª­ã⮥ ¬­®¦¥á⢮ S ¨§ ¯®«­®£®¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠(X, ρ) ï¥âáï ¢¯®«­¥ ®£à ­¨ç¥­­ë¬.ˆ§ ã⢥ত¥­¨ï 1.4.1 á«¥¤ã¥â ¯®«­®â ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠(S, ρ). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯® ⥮६¥ 2.2.1 ¬­®¦¥á⢮ S ¡ã¤¥â ª®¬¯ ªâ­ë¬.83‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 2.2.3. ãáâì ¬­®¦¥á⢮ S ¨§ ¯®«­®£® ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠(X, ρ) ï¥âáï ¢¯®«­¥ ®£à ­¨ç¥­­ë¬. ’®£¤ § ¬ëª ­¨¥ [S]τ ¬­®¦¥á⢠S â ª¦¥ ï¥âáï ¢¯®«­¥ ®£à ­¨ç¥­­ë¬(íâ® ¯à®á⮥ á«¥¤á⢨¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï 2.2.1). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¬­®¦¥á⢮ [S]τ ï¥âáï ª®¬¯ ªâ®¬. ‚ ç áâ­®áâ¨, ®âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® «î¡ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¨§ ¬­®¦¥á⢠S ¨¬¥¥â ρ-äã­¤ ¬¥­â «ì­ã¤¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì.ρρ à ¨ ¬ ¥ à 2.2.1.

à¨¢¥¤ñ¬ ¯à¨¬¥à ­¥¯®«­®£® ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà ­á⢠¨ ¥£® § ¬ª­ã⮣® ¢¯®«­¥ ®£à ­¨ç¥­­®£® ­¥ª®¬¯ ªâ­®£®¯®¤¬­®¦¥á⢠.  áᬮâਬ ¬­®¦¥á⢮ `1 , á®áâ®ï饥 ¨§ ¢á¥å ç¨á«®¢ëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩ {x(k)}∞k=1 , 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãá«®¢¨î∞X|x(k)| < +∞.k=1Œ¥âਪã ρ ¢ `1 ®¯à¥¤¥«¨¬ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:vu∞ ³´2uXρ(x, y) = tx(k) − y(k)¤«ï ¢á¥åx, y ∈ `1 .k=1â® ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ ï¥âáï ­¥¯®«­ë¬. „¥©á⢨⥫쭮,¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 ⊂ `1 ¢¨¤ ½xn (k) =1k,0,k ≤ n,k>nï¥âáï ρ-äã­¤ ¬¥­â «ì­®©, â ª ª ª ¤«ï «î¡®£® ε > 0 ¯®«ãç ¥¬vu Xu ∞ρ(xn , xn+s ) < tk=n+1vu X¶ rµu ∞1111<t−=<εk2k−1 knk=n+1¤«ï ¢á¥å n > ε1 ¨ s ∈ N.

…᫨ ¯à¥¤¯®«®¦¨âì, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â z ∈∈ `1 , â ª®¥, çâ® ρ(xn , z) → 0 ¯à¨¯ n → ¯∞, â® ¯®«ã稬 ¤«ï «î¡®£®­®¬¥à k ¨ n > k ᮮ⭮襭¨¥ ¯z(k) − k1 ¯ ≤ ρ(z, xn ) → 0 ¯à¨ n → ∞.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, z(k) = k1 ¤«ï «î¡®£® k ∈ N, â. ¥. z 6∈ `1 . ®«ã稫¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®ª § ­ ­¥¯®«­®â ¬¥âà¨ç¥áª®£®¯à®áâà ­á⢠(`1 , ρ).284 áᬮâਬ ¬­®¦¥á⢮½S=¯¯x ∈ `1 ¯¯1|x(k)| ≤k¾∀k ∈ N.Œ¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (S, ρ) ­¥ ï¥âáï ¯®«­ë¬, â ª ª ª ᮤ¥à¦¨â 㪠§ ­­ãî ¢ëè¥ äã­¤ ¬¥­â «ì­®ãî à á室ïéãîáï ¢ (`1 , ρ), §­ ç¨â, ¨ ¢ (S, ρ) ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 .

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯® ⥮६¥ 2.2.1 ¬­®¦¥á⢮ S ­¥ ï¥âáï ª®¬¯ ªâ®¬ ¢ (`1 , ρ). ®ª ¦¥¬,çâ® ¬­®¦¥á⢮ S § ¬ª­ãâ® ¨ ¢¯®«­¥ ®£à ­¨ç¥­® ¢ (`1 , ρ). ãáâì z ∈ `1| â®çª ¯à¨ª®á­®¢¥­¨ï ¬­®¦¥á⢠S . ’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {zn }∞n=1 ⊂ S , â ª ï, çâ® ρ(z, zn ) → 0 ¯à¨ n → ∞. Žâáî¤ ¤«ï «î¡®£® k ∈ N ¯®«ãç ¥¬|z(k)| ≤ |zn (k)| + |z(k) − zn (k)| ≤11+ ρ(z, zn ) →kk¯à¨ n → ∞. ®í⮬ã |z(k)| ≤ k1 ¤«ï «î¡®£® k ∈ N, â. ¥. z ∈ S . ’ ª¨¬®¡à §®¬, ¬­®¦¥á⢮ S § ¬ª­ãâ®. „ «¥¥ ¤«ï «î¡®£® ε > 0 ®¯à¥¤¥«¨¬­®¬¥à N = N (ε), â ª®©, çâ®vu Xu ∞tk=N +11ε< .2k2 áᬮâਬ ¤«ï ¯®«®¦¨â¥«ì­®£® ç¨á« δ =√ε 62πà §¡¨¥­¨¥−1 = t0 < t1 < .

. . < tM = 1®â१ª [−1, 1] ¬¥«ª®á⨠¬¥­ìè¥ δ . ’ ª ª ª ¤«ï «î¡®© â®çª¨ x ∈ S¨ «î¡®£® k ∈ N ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ k x(k) ∈ [−1, 1], â® áãé¥áâ¢ã¥â nk ∈ 0, M , â ª®¥, çâ® ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ |k x(k) − tn | < δ .Ž¯à¥¤¥«¨¬ ª®­¥ç­®¥ ¬­®¦¥á⢮ Sε , á®áâ®ï饥 ¨§ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮át⥩ y = {y(k)}∞k=1 ¢¨¤ y(k) = 0 ¤«ï k > N ¨ y(k) = k ¤«ï k ∈ 1, N ,£¤¥ nk ∈ 0, M . Š®«¨ç¥á⢮ â®ç¥ª ¬­®¦¥á⢠Sε ­¥ ¯à¥¢ëè ¥â (M ++ 1)N . ® ¯®áâ஥­¨î Sε ⊂ S , ¯à¨ç¥¬ ¤«ï «î¡®£® x ∈ S áãé¥áâ¢ã¥ây ∈ Sε , â ª®©, çâ® ¤«ï «î¡®£® k ∈ 1, N ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ |x(k)−− y(k)| < kδ . ’®£¤ ¯®«ãç ¥¬knkvvuN ³∞´2 u³´2uXu Xρ(x, y) ≤ tx(k) − y(k) + tx(k) <k=1k=N +185vvuNu XuX 1u ∞1ε εt< δt+< + = ε.22kk2 2k=1’ ª¨¬ ®¡à §®¬, S ⊂Sy∈Sεk=N +1Bε (y), â.

¥. Sε | ª®­¥ç­ ï ε-á¥âì ¤«ï S . ‘«¥-¤®¢ ⥫쭮, ¬­®¦¥á⢮ S ï¥âáï ¢¯®«­¥ ®£à ­¨ç¥­­ë¬ ¢ (`1 , ρ).Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 2.2.2. ãáâì (T, ρ) | ª®¬¯ ªâ­®¥ ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮. Œ­®¦¥á⢮, á®áâ®ï饥 ¨§ ¢á¥å ­¥¯à¥à뢭ëå ­ T ¢¥é¥á⢥­­®§­ ç­ëå ä㭪権, ¬¥âਪ ¢ ª®â®à®¬ ®¯à¥¤¥«ï¥âáïä®à¬ã«®© d(x, y) = sup |x(t) − y(t)|, ¡ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì ¬¥âà¨ç¥áª¨¬t∈T¯à®áâà ­á⢮¬ C(T ).‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 2.2.4. ‹î¡ ï äã­ªæ¨ï ¨§ ¬­®¦¥á⢠C(T ) ®£à ­¨ç¥­ ­ T . „¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® x ∈ C(T ) áãé¥áâ¢ã¥â ¬ ªá¨¬¨§¨àãîé ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {tn }∞n=1 ⊂ T , â. ¥.sup |x(t)| = lim |x(tn )|.n→∞t∈T’ ª ª ª ¯® ⥮६¥ 2.2.1 ¬¥âà¨ç¥áª¨© ª®¬¯ ªâ T ï¥âáï ᥪ¢¥­æ¨ «ì­ë¬ ª®¬¯ ªâ®¬, â® ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {tn }∞n=1 ¨¬¥¥â á室ïéãîáï ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {tn }∞m=1 .

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, áãé¥áâ¢ã¥â t0 ∈ T , â ª®¥, çâ® ρ(tn , t0 ) → 0 ¯à¨ m → ∞. ‚ ᨫ㠭¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪樨 x ¯®«ãç ¥¬ |x(tn ) − x(t0 )| → 0 ¯à¨ m → ∞. ’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮mmmsup |x(t)| = lim |x(tnm )| = |x(t0 )| < +∞.t∈Tm→∞’ ª¨¬ ®¡à §®¬, d(x, y) < +∞ ¤«ï «î¡ëå x, y ∈ C(T ). Žáâ «ì­ë¥á¢®©á⢠¬¥âਪ¨ (­¥®âà¨æ ⥫쭮áâì, ᨬ¬¥âà¨ï ¨ ­¥à ¢¥­á⢮ âà¥ã£®«ì­¨ª ), ®ç¥¢¨¤­®, ¢ë¯®«­¥­ë ¤«ï ä㭪樨 d.’ ¥ ® à ¥ ¬ 2.2.2. ãáâì (T, ρ) | ª®¬¯ ªâ­®¥ ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮.

’®£¤ ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ C(T ) ï¥âáï ¯®«­ë¬.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ãáâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì{xn }∞n=1 ⊂ C(K)86ï¥âáï d-äã­¤ ¬¥­â «ì­®©, â. ¥. ¤«ï «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â­®¬¥à N (ε), â ª®©, çâ® ¤«ï «î¡ëå m, n ≥ N (ε) ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ d(xn , xm ) < ε. ’ ª ª ª ¤«ï «î¡®£® t ∈ T ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ |xn (t) − xm (t)| ≤ d(xn , xm ), â® ç¨á«®¢ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì{xn (t)}∞n=1 ï¥âáï äã­¤ ¬¥­â «ì­®©. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫ㠪à¨â¥à¨ï Š®è¨ á室¨¬®á⨠ç¨á«®¢®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¤«ï «î¡®£®t ∈ T áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«®¢®© ¯à¥¤¥« lim xn (t) = z(t). ’ ª ª ª ¤«ïn→∞«î¡ëå ε > 0, t ∈ T ¨ «î¡ëå m, n ≥ N (ε) ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮|xn (t) − xm (t)| < ε, â®, ¯¥à¥©¤ï ¢ ­ñ¬ ª ¯à¥¤¥«ã ¯® m → ∞, ¯®«ã稬|xn (t) − z(t)| ≤ ε.

’ ª ª ª ¯®á«¥¤­¥¥ ­¥à ¢¥­á⢮ á¯à ¢¥¤«¨¢® ¤«ï«î¡®£® t ∈ T , â® ¨ sup |xn (t) − z(t)| ≤ ε ¤«ï «î¡®£® n ≥ N (ε). ‘«¥¤®t∈T¢ ⥫쭮, ¢ë¯®«­¥­® ᮮ⭮襭¨¥ d(xn , z) → 0 ¯à¨ n → ∞. Žáâ «®á쯮ª § âì, çâ® z ∈ C(T ), â. ¥. äã­ªæ¨ï z ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭®© ­ T .„«ï «î¡®£® t0 ∈ T ¨ «î¡®£® ε > 0 ¢ ᨫ㠭¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪樨xN (ε) ­ ¬­®¦¥á⢥ T áãé¥áâ¢ã¥â δ = δ(t0 , ε) > 0, â ª®¥, çâ® ¤«ï«î¡®£® t ∈ T ¢¨¤ ρ(t, t0 ) < δ á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮|xN (ε) (t) − xN (ε) (t0 )| < ε.’®£¤ ¤«ï «î¡®£® t ∈ T , ρ(t, t0 ) < δ , ¯®«ãç ¥¬|z(t) − z(t0 )| ≤ |z(t) − xN (ε) (t)| + |z(t0 ) − xN (ε) (t0 )|++|xN (ε) (t) − xN (ε) (t0 )| ≤ 3ε.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, äã­ªæ¨ï z ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭®© ¢ ¯à®¨§¢®«ì­®©â®çª¥ t0 ∈ T , çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.’ ¥ ® à ¥ ¬ 2.2.3 (Š ­â®à). ãáâì (T, ρ) | ª®¬¯ ªâ­®¥ ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮.

’®£¤ «î¡ ï äã­ªæ¨ï x ∈ C(T ) ï¥âáï à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭®© ­ T , â. ¥. ¤«ï «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â δ == δ(x, ε) > 0, â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡ëå t, τ ∈ T , â ª¨å, çâ® ρ(t, τ ) ≤ δ ,¢ë¯®«­¥­® |x(t) − x(τ )| ≤ ε.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

à¥¤¯®«®¦¨¬, à áá㦤 ï ®â ¯à®â¨¢­®£®, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â äã­ªæ¨ï x ∈ C(T ), ª®â®à ï ­¥ ï¥âáï à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥à뢭®© ­ T . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, áãé¥áâ¢ã¥â ε0 > 0, ¤«ï «î¡®£® n ∈ N áãé¥áâ¢ãîâ tn , τn ∈ T , â ª¨¥, çâ® ρ(tn , τn ) ≤≤ n1 ¨ |x(tn ) − x(τn )| > ε0 . ’ ª ª ª ¬¥âà¨ç¥áª¨© ª®¬¯ ªâ T ï¥âáï ᥪ¢¥­æ¨ «ì­ë¬ ª®¬¯ ªâ®¬, â® ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {tn }∞n=1 ⊂ T87¨¬¥¥â á室ïéãîáï ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {tn }∞m=1 . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, áãé¥áâ¢ã¥â t0 ∈ T , â ª®¥, çâ® ρ(tn , t0 ) → 0 ¯à¨ m → ∞. ’®£¤ ¯®«ãç ¥¬mmρ(τnm , t0 ) ≤ ρ(τnm , tnm ) + ρ(tnm , t0 ) ≤1nm+ ρ(tnm , t0 ) → 0¯à¨ m → ∞.

‚ ᨫ㠭¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪樨 x ­ 室¨¬0 < ε0 ≤ lim |x(tnm ) − x(τnm )| = |x(t0 ) − x(t0 )| = 0,m→∞â. ¥. ¯®«ã稫¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥.Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 2.2.3. ãáâì (T, ρ) | ª®¬¯ ªâ­®¥ ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮. Œ­®¦¥á⢮ S ⊂ C(T ) ­ §ë¢ ¥âáï à ¢­®á⥯¥­­®­¥¯à¥à뢭ë¬, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â δ = δ(ε) > 0, â ª®¥,çâ® ¤«ï «î¡ëå t, τ ∈ T , â ª¨å, çâ® ρ(t, τ ) ≤ δ , ¨ ¤«ï «î¡®£® x ∈ S¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ |x(t) − x(τ )| ≤ ε.’ ¥ ® à ¥ ¬ 2.2.4 (€à楫 |€áª®«¨). ãáâì (T, ρ) | ª®¬¯ ªâ­®¥ ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮. Œ­®¦¥á⢮ S ⊂ C(T ) ï¥âáï ¢¯®«­¥ ®£à ­¨ç¥­­ë¬ ¢ C(T ) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ S ®£à ­¨ç¥­® ¢C(T ) (â. ¥. áãé¥áâ¢ã¥â R > 0, â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® x ∈ S ¢ë¯®«­¥­®­¥à ¢¥­á⢮ sup |x(t)| ≤ R) ¨ S à ¢­®á⥯¥­­® ­¥¯à¥à뢭®.t∈T„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

Характеристики

Список файлов лекций