Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

. , gn } ¨gn ∈ Lin{f1 , . . . , fn }, â® ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮Lin{g1 , . . . , gn } = Lin{f1 , . . . , fn }.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫ㠯®«­®âë á¨á⥬ë G ¨ ã⢥ত¥­¨ï 3.3.1 ¯®«ãç ¥¬ ¯®«­®âã á¨á⥬ë F . ® ⮣¤ ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 3.3.2 ¯®«ãç ¥¬ ¡ §¨á­®áâì á¨á⥬ë F ¢ ¯à®áâà ­á⢥ E.126“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 3.3.3. ãáâì H | £¨«ì¡¥à⮢® ¯à®áâà ­á⢮, á¨á⥬ F = {fn }∞n=1 ⊂ H á®á⮨⠨§ ­¥âਢ¨ «ì­ëå ¯®¯ à­®®à⮣®­ «ì­ëå ¢¥ªâ®à®¢.

‘¨á⥬ F ï¥âáï ¡ §¨á®¬ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ H ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ⮫쪮 âਢ¨ «ì­ë© ¢¥ªâ®à ®à⮣®­ «¥­ ¢á¥¬ ¢¥ªâ®à ¬ á¨á⥬ë F .„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ¥®¡å®¤¨¬®áâì ã⢥ত¥­¨ï áà §ã á«¥¤ã¥â ¨§ ã⢥ত¥­¨ï 3.3.2. „¥©á⢨⥫쭮, ¥á«¨ ¢¥ªâ®à x ∈ H ®à⮣®­ «¥­ ¢á¥¬ ¢¥ªâ®à ¬ ¡ §¨á­®© °á¨á⥬ë F , â. ¥. (x,° fn ) = 0 ¤«ï «î¡®£®°n ∈ N,NP°(x,f )°â® ¯®«ãç ¥¬ 0 = lim °°x −kxk = kxk,(f ,f ) fn ° = NlimN →∞→∞n=1â. ¥. x | ­ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ­¥®¡å®¤¨¬®á⨠¬ë ­¥ ¯®«ì§®¢ «¨áì ¯®«­®â®© ¯à®áâà ­á⢠H.®ª ¦¥¬ ¤®áâ â®ç­®áâì.

„«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ H ¢ ᨫ㠬¨­¨¬ «ì­®£® ᢮©á⢠¥£® ª®íää¨æ¨¥­â®¢ ”ãàì¥ ¯® ®à⮣®­ «ì­®©á¨á⥬¥ F ¨¬¥¥¬nnn°°2N°°X(x, fn )°°fn ° =°x −°°(f,f)n nn=1= kxk2 −N³´X|(x, fn )|2= ρ2 x, Lin{f1 , . . . , fN } ≥ 0.(fn , fn )n=1‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® N∈N¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮NX|(x, fn )|2≤ kxk2 .(f,f)nnn=1’®£¤ ¯® ⥮६¥ ‚¥©¥àèâà áá ® ¯à¥¤¥«¥ ­¥ã¡ë¢ î饩 ®£à ­¨ç¥­­®© ᢥàåã ç¨á«®¢®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¯à¨ N → ∞ ¯®«ãç ¥¬∞X|(x, fn )|2≤ kxk2(f,f)nnn=1(­¥à ¢¥­á⢮ ¥áᥫï).NP(x,f )‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®á«¥¤®¢ ⥫­®áâì SN (x) =(f ,f ) fn ç áâ¨ç­ëån=1á㬬 àï¤ ”ãàì¥ ¢¥ªâ®à x ¯® á¨á⥬¥ F ï¥âáï äã­¤ ¬¥­â «ì­®©¢ ¯à®áâà ­á⢥ H, â ª ª ª ¤«ï «î¡ëå N, M ∈ N ¨¬¥¥¬nnn∞NX+M°°2X|(x, fn )|2|(x, fn )|2°°(x)−S(x)=≤→0°SN°N +M(fn , fn )(fn , fn )n=N +1127n=N +1¯à¨N → ∞.

‚ ᨫ㠯®«­®âë ¯à®áâà ­á⢠H ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâìSN (x) á室¨âáï ¢ H ¯à¨ N → ∞ ª ­¥ª®â®à®¬ã ¢¥ªâ®àã z ∈ H. ’ ªª ª ¤«ï «î¡®£® m ∈ N ¨ N > m ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ (SN (x), fm ) == (x, fm ), â® ¯®«ãç ¥¬³´(x − z, fm ) = lim (x − SN (x), fm ) = lim (x, fm ) − (x, fm ) = 0.N →∞N →∞‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢¥ªâ®à x − z ®à⮣®­ «¥­ ¢á¥¬ ¢¥ªâ®à ¬ á¨á⥬ëF , ³ §­ ç¨â, ¯® ãá«®¢¨î­ã«¥¢ë¬.’ ª¨¬ ®¡à §®¬, x = z°°´ ï¥âáï¨ ρ x, Lin{f1 , . . . , fN } = °°x − SN (x)°° → 0 ¯à¨ N → ∞. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¨á⥬ F ï¥âáï ¯®«­®© ¢ ¯à®áâà ­á⢥ H.

®í⮬㠯®ã⢥ত¥­¨î 3.3.2 ¯®«ãç ¥¬ ¡ §¨á­®áâì á¨á⥬ë F ¢ £¨«ì¡¥à⮢®¬¯à®áâà ­á⢥ H.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 3.3.4. ‹î¡®¥ ¡¥áª®­¥ç­®¬¥à­®¥ ᥯ à ¡¥«ì­®¥ £¨«ì¡¥à⮢® ¯à®áâà ­á⢮ ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨ ¨§®¬®àä­® ¯à®áâà ­áâ¢ã `2 .„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ãáâì H | ¡¥áª®­¥ç­®¬¥à­®¥ ᥯ à ¡¥«ì­®¥ £¨«ì¡¥à⮢® ¯à®áâà ­á⢮, {gn }∞n=1 ⊂ H | ¥£® áçñâ­®¥¢áî¤ã ¯«®â­®¥ ¯®¤¬­®¦¥á⢮. Ž¯à¥¤¥«¨¬ áâண® ¢®§à áâ îéãî ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ­ âãà «ì­ëå ç¨á¥« {nk }∞k=1 á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:n1=minnk+1=minn¯o¯m ∈ N ¯ gm 6= 0 ,n¯o¯m > nk ¯ gm 6∈ Lin{gn1 , . .

. , gnk }∀ k ∈ N.®ª ¦¥¬, çâ® á¨á⥬ G = {gn }∞k=1 , á®áâ®ïé ï ¨§ «¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¢¥ªâ®à®¢, ï¥âáï ¯®«­®© ¢ H. „¥©á⢨⥫쭮, ¤«ï «î¡®£®x ∈ H ¨ «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à m, â ª®©, çâ® kx − gm k ≤ ε.’ ª ª ª ¤«ï «î¡®£® nk > m ¨¬¥¥¬ ¢ª«î祭¨¥ gm ∈ Lin{gn . . .

, gn },â® ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢠k1k³´ρ(x, Lin G) ≤ ρ x, Lin{gn1 . . . , gnk } ≤ kx − gm k ≤ ε.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¬­®¦¥á⢮ Lin G ï¥âáï ¢áî¤ã ¯«®â­ë¬ ¢ H, ç⮨ âॡ®¢ «®áì.128‚ ᨫ㠧 ¬¥ç ­¨ï 3.3.2, ¯®¤¢¥à£­ã¢ ¢¥ªâ®àë á¨á⥬ë G ¯à®æ¥¤ãॠ®à⮣®­ «¨§ 樨 ƒà ¬ |˜¬¨¤â , ¯®«ã稬 á¨á⥬㠯®¯ à­®®à⮣®­ «ì­ëå ¢¥ªâ®à®¢ F = {fn }∞n=1 , ª®â®à ï ®¡à §ã¥â ¢ ¯à®áâà ­á⢥ H ®à⮣®­ «ì­ë© ¡ §¨á.

® ã⢥ত¥­¨î 3.3.2 «î¡®© ¢¥ªâ®àx ∈ H ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ᢮¨¬ à冷¬ ”ãàì¥ ¯® ®à⮣®­ «ì­®© á¨á⥬¥F , ¥£® ª®íää¨æ¨¥­âë ”ãàì¥ ϕn (x) = √(x,f ) ®¡à §ãîâ ¯®á«¥¤®(f ,f )¢ ⥫쭮áâì ϕ(x) = {ϕn (x)}∞n=1 ¨§ ¯à®áâà ­á⢠`2 , â. ¥. ϕ(x) ∈ `2 .à¨ í⮬ ᮣ« á­® à ¢¥­áâ¢ã  àᥢ «ï kxk = kϕ(x)k2 . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¯à¥¤¥«¥­® «¨­¥©­®¥ ¨§®¬¥âà¨ç­®¥ (¨ ¯®â®¬ã ¨­ê¥ªâ¨¢­®¥)®â®¡à ¦¥­¨¥ ϕ: H → `2 .

Žáâ «®áì ¯®ª § âì, çâ® ®â®¡à ¦¥­¨¥ ϕ ï¥âáï áîàꥪ樥©, â. ¥. ϕ(H) = `2 . „«ï «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨z = {z(n)}∞n=1 ∈ `2 à áᬮâਬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¢¥ªâ®à®¢ ¯à®áânnnNP√ z(n) fn . ®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {SN }∞à ­á⢠H ¢¨¤ SN =N =1(f ,f )n=1ï¥âáï äã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¢ ¯à®áâà ­á⢥ H, â ª ª ª ¤«ï «î¡ëåN, M ∈ N ¨¬¥¥¬nkSN − SN +M k2 =NX+Mn|z(n)|2 ≤n=N +1∞X|z(n)|2 → 0¯à¨N → ∞.n=N +1‚ ᨫ㠯®«­®âë ¯à®áâà ­á⢠H áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à x ∈ H, â ª®©, ç⮯ਠN → ∞. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮kx − SN k → 0x=∞Xz(n)pfn .(fn , fn )n=1® ⮣¤ ϕn (x) = z(n) ¤«ï «î¡®£® n ∈ N, â.

¥. ϕ(x) = z , çâ® ¨âॡ®¢ «®áì.’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ®â®¡à ¦¥­¨¥ ϕ ãáâ ­ ¢«¨¢ ¥â ¨§®¬¥âà¨ç¥áª¨©¨§®¬®à䨧¬ ¯à®áâà ­á⢠H ¨ `2 . à ¨ ¬ ¥ à 3.3.4. ®áâந¬ ¯à¨¬¥à ­¥á¥¯ à ¡¥«ì­®£® £¨«ì¡¥à⮢ ¯à®áâà ­á⢠.  áᬮâਬ ¬­®¦¥á⢮ H ª®¬¯«¥ªá­®§­ ç­ëåä㭪権, ®¯à¥¤¥«ñ­­ëå ­ ®â१ª¥ [0, 1], ¯à¨­¨¬ îé¨å ­¥ ¡®«¥¥ç¥¬ áçñâ­®¥ ¬­®¦¥á⢮ ­¥âਢ¨ «ì­ëå §­ 祭¨©, ª®â®àë¥ ®¡à §ãî⪢ ¤à â¨ç¥áª¨ á室ï騩áï ç¨á«®¢®© àï¤. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬­®¦¥á⢮ H ¨¬¥¥â ¢¨¤129¯¯ ∃ ­¥ ¡®«¥¥ 祬 áçñâ­®¥ T (x) ⊂ [0, 1] :¯¯¯¯H = x: [0, 1] → C ¯ ∀ t 6∈ T (x) ¢ë¯®«­¥­® x(t) = 0 ¨¯¯ P¯|x(t)|2 < +∞¯ t∈T (x)Ÿá­®, çâ® ¬­®¦¥á⢮ H ï¥âáï «¨­¥©­ë¬ ¯à®áâà ­á⢮¬ ®â­®á¨â¥«ì­® ¯®â®ç¥ç­ëå ®¯¥à 権 á«®¦¥­¨ï ¨ 㬭®¦­¨ï ­ ᪠«ïà.‚¢¥¤ñ¬ ¢ H ᪠«ïà­®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥:X(x, y) =x(t)y(t)∀ x, y ∈ H.t∈T (x)∪T (y)“ª § ­­ë© àï¤ á室¨âáï ¡á®«îâ­®, â ª ª ª á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮X|x(t)y(t)| ≤s Xt∈T (x)∪T (y)|x(t)|2t∈T (x)s X|y(t)|2 < +∞.t∈T (y)®ª ¦¥¬, çâ® «¨­¥©­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ H á ­®à¬®© k · k, ¯®à®¦¤ñ­­®©¢¢¥¤ñ­­ë¬ ᪠«ïà­ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥¬, ï¥âáï ¯®«­ë¬.

 áᬮâਬ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ H ¯à®¨§¢®«ì­ãî äã­¤ ¬¥­â «ì­ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 . ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à N (ε),â ª®©, çâ® ¤«ï ¢á¥å n, m ≥ N (ε) ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ kxn − xm k ≤∞S≤ ε. Ž¯à¥¤¥«¨¬ ­¥ ¡®«¥¥ 祬 áçñâ­®¥ ¬­®¦¥á⢮ T =T (xn ).

„«ïn=1«î¡®£® t ∈ T ¨ ¯à®¨§¢®«ì­ëå n, m ≥ N (ε) ¨¬¥¥¬|xn (t) − xm (t)| ≤sX|xn (τ ) − xm (τ )|2 = kxn − xm k ≤ ε.τ ∈T‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ç¨á«®¢ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn (t)}∞n=1 äã­¤ ¬¥­â «ì­ ¢ C ¤«ï «î¡®£® t ∈ T . …᫨ ¦¥ t 6∈ T , â® xn (t) = 0 ¤«ï «î¡®£®n ∈ N. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï «î¡®£® t ∈ [0, 1] áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«®¢®©¯à¥¤¥« z(t) = n→∞lim xn (t), ¯à¨çñ¬ ¤«ï «î¡®£® t 6∈ T ¯®«ãç ¥¬ z(t) == 0.

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ®¯à¥¤¥«¥­ äã­ªæ¨ï z: [0, 1] → C, ¤«ï ª®â®à®©T (z) = T , â. ¥. äã­ªæ¨ï z ∈ H. ®ª ¦¥¬, çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì xn130.á室¨âáï ¢ H ª ä㭪樨 z . ãáâì áçñâ­®¥ ¬­®¦¥á⢮ T = {ts }∞s=1 ,£¤¥ ts 6= tr ¯à¨ s 6= r. ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® M ∈ N ¨ n ≥ N (ε) ¯®«ãç ¥¬vuMuXt|xn (ts ) − z(ts )|2 = limm→∞s=1vuMuXt|xn (ts ) − xm (ts )|2 ≤s=1≤ lim kxn − xm k ≤ ε.m→∞‘«¥¤®¢ ⥫쭮,vuMuXkxn − zk = lim t|xn (ts ) − z(ts )|2 ≤ ε,M →∞s=1çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, «¨­¥©­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ H á ¢¢¥¤ñ­­ë¬ ᪠«ïà­ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥¬ ï¥âáï £¨«ì¡¥àâ®¢ë¬ ¯à®áâà ­á⢮¬.

®ª ¦¥¬, çâ® ®­® ­¥á¥¯ à ¡¥«ì­®. „«ï «î¡®£® t ∈ [0, 1]®¯à¥¤¥«¨¬ äã­ªæ¨î xt ∈ H ¢¨¤ ½xt (τ ) =1, t = τ,0, t =6 τ.’ ª¨¬ ®¡à §®¬, T (xt ) = {t} | ®¤­®â®ç¥ç­®¥ ¬­®¦¥á⢮.  áᬮâਬ¬­®¦¥á⢮¯noA0 =¯xt ¯ t ∈ [0, 1]⊂ H.Ÿá­®, çâ® ¬­®¦¥á⢮ A0 à ¢­®¬®é­® ®â१ªã [0, 1] ¨ ¯®í⮬ã ï¥âáï ­¥áçñâ­ë¬. ® ¤«ï «î¡ëå ¤¢ãå√¥£® à §«¨ç­ëå í«¥¬¥­â®¢ xt ¨xτ ¯à¨ t 6= τ ¯®«ãç ¥¬ kxt − xτ k = 2 = ε0 . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫãã⢥ত¥­¨ï 1.3.1 ¯®«ãç ¥¬ ­¥á¥¯ à ¡¥«ì­®áâì ¯®áâ஥­­®£® £¨«ì¡¥à⮢ ¯à®áâà ­á⢠H.3.4.

‹¨­¥©­ë¥ ®¯¥à â®àëŽ ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 3.4.1. ãáâì X ¨ Y | «¨­¥©­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠. ‹¨­¥©­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ A: X → Y ­ §ë¢ ¥âáï «¨­¥©­ë¬ ®¯¥à â®à®¬.131Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 3.4.2. ãáâì X ¨ Y | «¨­¥©­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠, A: X → Y | «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à. Ÿ¤à®¬ ®¯¥à â®à A ­ §ë¢ ¥âáﯮ¤¯à®áâà ­á⢮ ¨§ X ¢¨¤ nKer A =¯o¯x ∈ X ¯ A(x) = 0 .Ž¡à §®¬, ¨«¨ ¬­®¦¥á⢮¬ §­ 祭¨©, ®¯¥à â®à ¯à®áâà ­á⢮ ¨§ Y ¢¨¤ :nIm A =A­ §ë¢ ¥âáï ¯®¤-¯o¯A(x) ¯ x ∈ X .Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 3.4.3. ãáâì (X, k · kX ) ¨ (Y, k · kY ) | «¨­¥©­ë¥ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠. ‹¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A: X → Y­ §ë¢ ¥âáï ®£à ­¨ç¥­­ë¬, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ®£à ­¨ç¥­­®£® ¬­®¦¥á⢠S ⊂ X ¥£® ®¡à § A(S) ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­ë¬ ¢ Y .“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 3.4.1. ãáâì (X, k · kX ) ¨ (Y, k · kY ) | «¨­¥©­ë¥ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠, «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A: X → Y .’®£¤ á«¥¤ãî騥 ᢮©áâ¢ íª¢¨¢ «¥­â­ë:1) ®¯¥à â®à A ï¥âáï ­¥¯à¥àë¢­ë¬ ¢ X ;2) ®¯¥à â®à A ï¥âáï ­¥¯à¥àë¢­ë¬ ¢ ­ã«¥;3) ®¯¥à â®à A ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­ë¬;¡ X ¢Y4) áãé¥áâ¢ã¥ân R > 0, ¯â ª®¥, çâ® A Bo1 (0) ⊂ BR (0).‡¤¥áì BrX (x) = z ∈ X ¯¯ kz − xkX ≤ r ¤«ï ¢¥ªâ®à x ∈ X ¨ ç¨á« r ≥ 0.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

Žç¥¢¨¤­®, çâ® ¨§ ãá«®¢¨ï 1 á«¥¤ã¥â ãá«®¢¨¥ 2. …᫨ ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ 2, â® áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® δ > 0, â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® x ∈ X ¢¨¤ kxkX < δ ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ kA(x)kY < 1. „«ï «î¡®£® ®£à ­¨ç¥­­®£® ¬­®¦¥á⢠S ⊂ X áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® M > 0, â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ S ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ kxkX °≤ M . °’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈°°∈ S ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢮ ° Mδ+1 x° ≤ MM+1 δ < δ .

‘«¥¤®¢ ⥫쭮,° ³´°°°°A Mδ+1 x °X< 1,çâ® ®§­ ç ¥â ­¥à ¢¥­á⢮ kA(x)kY ≤ Mδ+1 . ®Yí⮬㠬­®¦¥á⢮ A(S) ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­ë¬ ¢ Y . „ «¥¥ ¨§ ãá«®¢¨ï 3, ®ç¥¢¨¤­®, á«¥¤ã¥â ãá«®¢¨¥ 4. ãáâì ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ 4. ’®£¤ ε¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X ¨ ç¨á« ε > 0 áãé¥áâ¢ã¥â δ = R+1> 0,132â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡®£®y ∈ X ¢¨¤ ky − xkX < δ á¯à ¢¥¤«¨° ¡ ¢¥ªâ®à ¢°° ≤ R, â.

¥. kA(y) − A(x)kY ≤ R ε < ε.¢® ­¥à ¢¥­á⢮ °A y−xδR+1Y‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ®¯¥à â®à A ï¥âáï ­¥¯à¥àë¢­ë¬ ¢ ¯à®¨§¢®«ì­®©â®çª¥ x ∈ X , çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 3.4.4. ãáâì (X, k · kX ) ¨ (Y, k · kY ) | «¨­¥©­ë¥ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠. ®à¬®© «¨­¥©­®£® ®¯¥à â®à A: X → Y ­ §ë¢ ¥âáï ¢¥«¨ç¨­ kAk = sup kA(x)kY .kxkX ≤1‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 3.4.1. ‚ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 3.4.1 ­¥à ¢¥­á⢮kAk < +∞à ¢­®á¨«ì­® ®£à ­¨ç¥­­®á⨠«¨­¥©­®£® ®¯¥à â®à A.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 3.4.2. ãáâì (X, k·kX ) ¨ (Y, k·kY ) | «¨­¥©­ë¥ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠, A: X → Y | «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à.’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢ë à ¢¥­á⢠kAk = supx6=0kA(x)kY= sup kA(x)kY =kxkXkxkX =1¯no¯= inf L > 0 ¯ kA(x)kY ≤ LkxkX ∀ x ∈ X .„ ® ª °§ â ¥°« ì á â ¢ ®.

Характеристики

Список файлов лекций