Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® ¯à®áâà ­á⢮ L(X, Y ) ï¥âáï ¯®«­ë¬ ®â­®á¨â¥«ì­® ¯®â®ç¥ç­®© á室¨¬®áâ¨, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®© ¯®â®ç¥ç­® äã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠{An }∞n=1 ⊂ L(X, Y ) áãé¥áâ¢ã¥â ¯®â®ç¥ç­ë© ¯à¥¤¥« A ∈ L(X, Y ).’ ¥ ® à ¥ ¬ 3.4.4. ãáâì (X, k · kX ) ¨ (Y, k · kY ) | ¯®«­ë¥ «¨­¥©­ë¥ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠. ’®£¤ ¯à®áâà ­á⢮ L(X, Y )ï¥âáï ¯®«­ë¬ ®â­®á¨â¥«ì­® ¯®â®ç¥ç­®© á室¨¬®áâ¨.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

 áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ãî ¯®â®ç¥ç­®äã­¤ ¬¥­â «ì­ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ®¯¥à â®à®¢{An }∞n=1 ⊂ L(X, Y ).’®£¤ ¢ ᨫ㠯®«­®âë ¯à®áâà ­á⢠Y ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {An (x)}∞n=1 ï¥âáï á室ï饩áï ¢ ¯à®áâà ­á⢥Y . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {An }∞n=1 ï¥âáï ¯®â®ç¥ç­® á室ï饩áï ª «¨­¥©­®¬ã ®¯¥à â®àã A: X → Y . ® ⥮६¥ 3.4.3¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¢ª«î祭¨¥ A ∈ L(X, Y ).

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯à®áâà ­á⢮L(XY ) ï¥âáï ¯®«­ë¬ ®â­®á¨â¥«ì­® ¯®â®ç¥ç­®© á室¨¬®áâ¨. à ¨ ¬ ¥ à 3.4.10. à¨¢¥¤ñ¬ ¯à¨¬¥à ­¥¯®«­®£® «¨­¥©­®£® ­®à¬¨à®¢ ­­®£® ¯à®áâà ­á⢠X ¨ ¡ ­ 客 ¯à®áâà ­á⢠Y , ¤«ï ª®â®àëå ¯à®áâà ­á⢮ L(X, Y ) ­¥ ï¥âáï ¯®«­ë¬ ®â­®á¨â¥«ì­® ¯®â®ç¥ç­®© á室¨¬®áâ¨. „«ï í⮣® à áᬮâਬ «¨­¥©­ë¥ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥¯à®áâà ­á⢠¨§ ¯à¨¬¥à 3.4.8.

Š ª ¯®ª § ­® ¢ ¯à¨¬¥à¥ 3.4.9, ®¯à¥¤¥«ñ­­ ï ¢ ¯à¨¬¥à¥ 3.4.8 ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì «¨­¥©­ëå ®£à ­¨ç¥­­ë宯¥à â®à®¢ {An }∞n=1 ⊂ L(X, Y ) ï¥âáï ¯®â®ç¥ç­® á室ï饩áï ª ­¥®£à ­¨ç¥­­®¬ã ®¯¥à â®àã A: X → Y . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ¯à®áâà ­á⢥ L(X, Y ) áãé¥áâ¢ã¥â ¯®â®ç¥ç­® äã­¤ ¬¥­â «ì­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ®¯¥à â®à®¢, ­¥ ¨¬¥îé ï ®£à ­¨ç¥­­®£® ¯®â®ç¥ç­®£® ¯à¥¤¥« .’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à®áâà ­á⢮ L(X, Y ) ­¥ ï¥âáï ¯®«­ë¬ ®â­®á¨â¥«ì­® ¯®â®ç¥ç­®© á室¨¬®áâ¨.‡ ¤ ç 3.4.2.  áᬮâਬ «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­-á⢮nCP [−π, π] =¯o¯x ∈ C[−π, π] ¯ x(−π) = x(π) ,­®à¬ ¢ ª®â®à®¬ â ª ï ¦¥, ª ª ¨ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ C[−π, π], â. ¥.

kxkc == max |x(t)| ¤«ï «î¡®£® x ∈ CP [−π, π]. „®ª § âì, çâ® ®á­®¢­ ït∈[−π,π]156âਣ®­®¬¥âà¨ç¥áª ï á¨á⥬ S=©12,cos(nt), sin(nt)ª∞n=1ï¥âáï ¯®«­®© ¨ ­¥ ï¥âáï ¡ §¨á®¬ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ CP [−π, π].„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. „«ï «î¡®© ä㭪樨 x ∈ CP [−π, π] ¨ç¨á« N ∈ N ®¯à¥¤¥«¨¬ ¥ñ N -î á㬬㠔ãàì¥:³N´´a0 (x) X ³+SN (x) (t) =an (x) cos(nt) + bn (x) sin(nt) ,2n=1£¤¥ ª®íää¨æ¨¥­âë ”ãàì¥ ä㭪樨 x ¨¬¥îâ ¢¨¤a0 (x) =1πRπx(τ ) dτ, an (x) =−πbn (x) =1π1πRπx(τ ) cos(nτ ) dτ,−πRπx(τ ) sin(nτ ) dτ.−πŽ¯à¥¤¥«¨¬ N -î á㬬㠔¥©¥à FN (x) ä㭪樨 x ª ª á।­¥¥ à¨ä¬¥â¨ç¥áª®¥ ¯¥à¢ëå N á㬬 ”ãàì¥:FN (x) =S1 (x) + .

. . + SN (x)∈ Lin S.N® ⥮६¥ ”¥©¥à ¤«ï «î¡®© ä㭪樨 x ∈ CP [−π, π] á¯à ¢¥¤«¨¢®á®®â­®è¥­¨¥kx − FN (x)kc → 0 ¯à¨ N → ∞.³´‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ρ x, Lin S ≤ lim kx − FN (x)kc = 0, â. ¥. ¬­®¦¥áâN →∞¢® Lin S ï¥âáï ¢áî¤ã ¯«®â­ë¬ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ CP [−π, π].

’ ª¨¬®¡à §®¬, ¤®ª § ­ ¯®«­®â á¨á⥬ë S ¢ CP [−π, π].à¥¤¯®«®¦¨¬, à áá㦤 ï ®â ¯à®â¨¢­®£®, çâ® á¨á⥬ S ï¥âáï¡ §¨á®¬ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ CP [−π, π]. ’®£¤ ¤«ï ª ¦¤®© ä㭪樨 x ∈∈ CP [−π, π] áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ᪠«ï஢no∞α0 (x), αn (x), βn (x),n=1â ª ï, çâ® ¢ë¯®«­¥­® ᮮ⭮襭¨¥kx − σN (x)kc → 0157¯à¨N → ∞,³´N ³P´£¤¥ σN (x) (t) = α 2(x) +αn (x) cos(nt) + βn (x) sin(nt) . ’ ª ª ªn=1¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ä㭪権 σN (x) ∈ CP [−π, π] á室¨âáï à ¢­®¬¥à­® ­ ®â१ª¥ [−π, π] ª ä㭪樨 x, â® ¯®«ãç ¥¬0Zπ ³πα0 (x) = limN →∞−πZπ ³παn (x) = limN →∞−πZπ´σN (x) (τ ) dτ =x(τ ) dτ = πa0 (x),−π´σN (x) (τ ) cos(nτ ) dτ =Zπ=x(τ ) cos(nτ ) dτ = πan (x),−πZπ ³πβn (x) = limN →∞−π´σN (x) (τ ) sin(nτ ) dτ =Zπ=x(τ ) sin(nτ ) dτ = πbn (x).−π’ ª¨¬ ®¡à §®¬, σN (x) = SN (x) ¤«ï «î¡®£® N ∈ N.

‘«¥¤®¢ ⥫쭮,¯à¥¤¯®«®¦¨¢ ¡ §¨á­®áâì á¨á⥬ë S ¢ ¯à®áâà ­á⢥ CP [−π, π], ¯®«ãç ¥¬, çâ® àï¤ ”ãàì¥ «î¡®© ä㭪樨 ¨§ CP [−π, π] á室¨âáï ª ­¥©à ¢­®¬¥à­® ­ ®â१ª¥ [−π, π]. Š ª ¨§¢¥áâ­®, ¤«ï «î¡®© ä㭪樨x ∈ CP [−π, π] ¨ «î¡®£® ­®¬¥à N á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮³Zπ´1SN (x) (t) =DN (τ − t)x(τ ) dτπ∀ t ∈ [−π, π],−π¡¢sin N + 21 τDN (τ ) =2 sin τ2£¤¥| ï¤à® „¨à¨å«¥. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, SNï¥âáï «¨­¥©­ë¬ ®¯¥à â®à®¬, ¤¥©áâ¢ãî騬 ¢ «¨­¥©­®¬ ­®à¬¨à®¢ ­­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ CP [−π, π], ¯à¨çñ¬ SN (x) → x ¯à¨ N → ∞ ¤«ï«î¡®© ä㭪樨 x ∈ CP [−π, π]. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì158«¨­¥©­ëå ®¯¥à â®à®¢ {SN }∞N =1 ¯®â®ç¥ç­® á室¨âáï ª ⮦¤¥á⢥­­®¬ã ®¯¥à â®àã ¢ ¯à®áâà ­á⢥ CP [−π, π].Ž¡®§­ 稬 ç¥à¥§ k·kC ®¯¥à â®à­ãî­®à¬ã³´ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ «¨­¥©­ëå ®£à ­¨ç¥­­ëå ®¯¥à â®à®¢ L C[−π, π] , ç¥à¥§ k·kCP | ®¯¥à ³´â®à­ãî ­®à¬ã ¢ ¯à®áâà ­á⢥ L CP [−π, π] .

 áᬮâਬ ®¯¥à â®àSN , ¤¥©áâ¢ãî騩 ¢ ¯à®áâà ­á⢥ C[−π, π]. ’®£¤ , ª ª ¯®ª § ­® ¢¯à¨¬¥à¥ 3.4.3, á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮1kSN kC = sup kSN (x)kc = maxt∈[−π,π] πx∈C[−π,π]kxkc ≤1Zπ ¯¯¯¯¯DN (τ − t)¯ dτ =−ππ−tZZπ ¯¯¯¯11¯¯¯¯= max¯DN (τ )¯ dτ =¯DN (τ )¯ dτ.πt∈[−π,π] π−π−t−π‚ ᨫ㠢ª«î祭¨ï CP [−π, π] ⊂ C[−π, π] á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮kSN kCP ≤ kSN kC . ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ¤«ï «î¡®£® ε ∈ (0, 1) áãé¥áâ¢ã¥â äã­ªæ¨ï xε ∈ C[−π, π], â ª ï, çâ® kxε kc ≤ 1 ¨kSN kC ≤ kSN (xε )kc + ε.Ž¯à¥¤¥«¨¬ äã­ªæ¨î yε ∈ CP [−π, π] á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:yε (t) =x(t), ε − π ≤ t ≤ π − ε,(π−t)εx(π − ε),π − ε ≤ t ≤ π,(π+t)εx(ε − π),−π ≤ t ≤ ε − π.’®£¤ kyε kc ≤ 1, ¨ á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮¡¢N + 124ε < (2N + 1)ε.kSN (xε ) − SN (yε )kc ≤π‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬kSN kCP ≤ kSN kC ≤ kSN (xε )kc + ε ≤≤ kSN (yε )kc + (2N + 2) ε ≤ kSN kCP + (2N + 2) ε.159¥à¥å®¤ï ª ¯à¥¤¥«ã ¯à¨ ε → +0, ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮kSN kCP = kSN kC .’ ª ª ª ¯à®áâà ­á⢮ CP [−π, π] ï¥âáï ¯®«­ë¬, â® ¯® ⥮६¥ 3.4.2 ­ å |˜â¥©­£ 㧠¯®«ãç ¥¬, çâ® sup kSN kCP < +∞.

‘ ¤à㣮©N ∈Náâ®à®­ë, ­¥¯®á।á⢥­­ë¬ ¢ëç¨á«¥­¨¥¬ ­ 室¨¬πkSN kCP¢ ¯¡¢Zπ ¯¯ ¡Zπsin N + 12 τ ¯2 sin N + 12 τdτ ==dτ ≥sin τ2τ00π (N + 21 )Z=0π (N + 12 )Z=12| sin ξ|dξ ≥ξπ (N + 12 )Z11 − cos(2ξ)dξ ∼ ln Nξ2 sin2 ξdξ =ξ¯à¨N → ∞.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¯à ¢¥¤«¨¢® ᮮ⭮襭¨¥sup kSN kCP ≥ lim kSN kCP = +∞.N ∈NN →∞®«ã稫¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®ª § ­®, çâ® á¨á⥬ S­¥ ï¥âáï ¡ §¨á®¬ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ CP [−π, π]. Žâáî¤ , ¢ ç áâ­®áâ¨,á«¥¤ã¥â, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â äã­ªæ¨ï x0 ∈ CP [−π, π], àï¤ ”ãàì¥ ª®â®à®©­¥ á室¨âáï ª ­¥© à ¢­®¬¥à­® ­ ®â१ª¥ [−π, π].Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 3.4.11. ãáâì (X, τ1 ) ¨ (Y, τ2 ) | ⮯®«®£¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà ­á⢠.

Žâ®¡à ¦¥­¨¥ f : X → Y ­ §ë¢ ¥âáï ®âªàëâë¬,¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® τ1 -®âªàë⮣® ¬­®¦¥á⢠V ¥£® ®¡à § f (V ) ï¥âáïτ2 -®âªàëâë¬.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 3.4.5. ãáâì (X, k · kX ) ¨ (Y, k · kY ) | «¨­¥©­ë¥ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠. ‹¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A: X →→ Y ï¥âáï ®âªàëâë¬ ®â®¡à ¦¥­¨¥¬ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ ,³ ª®£¤ ´Yáãé¥áâ¢ã¥â ¯®«®¦¨â¥«ì­®¥ ç¨á«® δ0 , â ª®¥, çâ® Oδ (0) ⊂ A O1X (0) .0„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

„®ª ¦¥¬ ­¥®¡å®¤¨¬®áâì. …᫨ «¨­¥©­ë©®¯¥à â®à A ï¥âáï ®âªàëâë¬ ®â®¡à ¦¥­¨¥¬, â® ®¡à § ®âªàë⮣®160è à O1X (0) ⊂ X ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ®¯¥à â®à A ï¥âáï³ ®âªàëâ무¢ ¯à®áâà ­á⢥ Y ¬­®¦¥á⢮¬. ’ ª ª ª 0 = A(0) ∈ A O1X (0) |®âªàë⮥ ¬­®¦¥á⢮, â® áãé¥áâ¢ã¥â δ0 > 0, â ª®¥, ç⮳´OδY0 (0) ⊂ A O1X (0) .„®ª ¦¥¬ ¤®áâ â®ç­®áâì.  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­®¥ ®âªàë⮥ ¬­®¦¥á⢮ V ⊂ X ¨ ¢¥ªâ®à y ∈ A(V ).

’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à x ∈ V ,â ª®©, çâ® y = A(x). ‚ ᨫ㠮âªàëâ®á⨠¬­®¦¥á⢠V áãé¥áâ¢ã¥âç¨á«® ε > 0, â ª®¥, çâ® OεX (x) = x + εO1X (0) ⊂ V . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮,á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥³´YA(V ) ⊃ A(x) + εA O1X (0) ⊃ y + εOδY0 (0) = Oεδ(y),0çâ® ®§­ ç ¥â ®âªàëâ®áâì ¬­®¦¥á⢠A(V ).’ ¥ ® à ¥ ¬ 3.4.5 ( ­ å, ®¡ ®âªàë⮬ ®â®¡à ¦¥­¨¨).ãáâì¨ (Y, k · kY ) | ¯®«­ë¥ «¨­¥©­ë¥ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠, «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A ∈ L(X, Y ) ï¥âáï áîàꥪ⨢­ë¬(â. ¥. A(X) = Y ). ’®£¤ ®¯¥à â®à A ï¥âáï ®âªàëâë¬ ®â®¡à ¦¥­¨¥¬.(X, k · kX )„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

’ ª ª ª á¯à ¢¥¤«¨¢ë à ¢¥­á⢠[¡¢OnX (0) = Xn∈N¨ A(X) = Y , â® ¯®«ãç ¥¬ÃY =A[n∈N!OnX (0)=[³[ h ¡¡¢´¢inA O1X (0) ⊂n A O1X (0) ⊂ Y.n∈Nn∈N‘«¥¤®¢ ⥫쭮, á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮Y =[h ¡¢in A O1X (0) .n∈N’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ Y ¯à¥¤áâ ¢«¥­® ¢ ¢¨¤¥ áçñâ­®£®®¡ê¥¤¨­¥­¨ï § ¬ª­ãâëå ¬­®¦¥áâ¢. ’®£¤ ¯® ⥮६¥ 1.4.2 íà ®¤­®161¨§ íâ¨å § ¬ª­ãâëå ¬­®¦¥á⢠¨¬¥¥â ­¥¯ãáâãî ¢­ãâ७­®áâì. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à n0 , ¯®«®¦¨â¥«ì­®¥ ç¨á«®hδ0 ¨ ¢¥ªâ®à¡¢iu0 ∈ Y , â ª®©, çâ® ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ OδY (u0 ) ⊂ n0 A O1X (0) .h ¡¢iOrY0 (v0 ) ⊂ A O1X (0) .0ãáâì r0 =¨ v0 =Žâáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ®δ0n0u0n0, ⮣¤ ¯®«ãç ¥¬h ¡¢iOrY0 (−v0 ) = −OrY0 (v0 ) ⊂ − A O1X (0) =h ¡¢i h ¡¢i= A −O1X (0) = A O1X (0) .‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫ㠧 ¬¥ç ­¨ï 3.1.3 ­ 室¨¬OrY0 (0) = 21 OrY0 (v0 ) + 21 Or0 (−v0 ) ⊂12h ¡¢iA O1X (0) +12h ¡¢iA O1X (0) .’ ª ª ª ¯® § ¬¥ç ­¨î 3.1.5 ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮·¸ h ³´i1 h ¡ X ¢i1 ¡ X ¢A O1 (0) =A O1 (0) = A OX1 (0)222¨ á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ª«î祭¨¥h ³´i h ³´iA OX+ A OX⊂1 (0)1 (0)22h ³´³´i h ¡¢i⊂ A OX+ A OX= A O1X (0) ,1 (0)1 (0)22h ¡¢iâ® ®ª®­ç ⥫쭮 ¯®«ãç ¥¬ ¢ª«î祭¨¥ OrY (0) ⊂ A O1X (0) .

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, h¤«ï «î¡®£®i¯®«®¦¨â¥«ì­®£® ç¨á« ε ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥¢¡YOεr(0) ⊂ A OεX (0) .00h ¡¢¢i¡A O1X (0) ⊂ A O3X (0) .h ¡¢iy1 ∈ A O1X (0) . Ž¡®§­ 稬 ¤«ï®ª ¦¥¬, çâ® ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ë© ¢¥ªâ®à«î¡®£® ­®¬¥à n ç¨á«® εn = 21−n . ’®£¤ ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥h ¡¢iy1 ∈ A OεX1 (0) .à¥¤¯®«®¦¨¬, à áá㦤 ï ¯® ¨­¤ãªæ¨¨, çâ® ®¯à¥¤¥«ñ­ ¢¥ªâ®àh ¡¢iyn ∈ A OεXn (0) .162’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢® ᮮ⭮襭¨¥´³¢¡∅ 6= yn − OrY0 εn+1 (0) ∩ A OεXn (0) ⊂Ã⊂!h ³´i¡¢Xyn − A Oεn+1 (0)∩ A OεXn (0) .´ih ³‘«¥¤®¢ ⥫쭮, áãé¥áâ¢ãîâ ¢¥ªâ®à yn+1 ∈ A OεX (0) ¨ ¢¥ªâ®àxn ∈ OεX (0), â ª¨¥, çâ® ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ yn − yn+1 = A(xn ).

„«ïnP«î¡®£® ­®¬¥à n ®¯à¥¤¥«¨¬ ¢¥ªâ®à zn =xk . ’ ª ª ª ¤«ï «î¡ëåk=1­®¬¥à®¢ n ¨ m ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮n+1nkzn+m − zn kX ≤n+mXkxk kX ≤k=n+1∞X21−k = 21−n ,k=n+1â® ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {zn }∞n=1 ï¥âáï äã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¢ ¯®«­®¬¯à®áâà ­á⢥ X . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à z0 ∈ X , â ª®©,çâ® kzn − z0 kX → 0 ¯à¨ n → ∞. à¨ í⮬ ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮∞P21−k = 2 < 3, â. ¥. z0 ∈ O3X (0).

„ «¥¥ ¤«ï «î¡®£® ­®¬¥à kz0 kX ≤k=1n ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮A(zn ) =nXA(xk ) =k=1n ³X´yk − yk+1 = y1 − yn+1 .k=1’ ª ª ª á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮kyn kY ≤supkA(x)kY ≤ kAkεn → 0kxkX ≤εn¯à¨n → ∞, â® ¯®«ãç ¥¬ A(z0 ) = lim A(zn ) = y1 . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮,n→∞´³y1 ∈ A O3X (0) . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨¬¥¥¬ ᮮ⭮襭¨ïh ¡¢i¡¢OrY0 (0) ⊂ A O1X (0) ⊂ A O3X (0) ,¡¢â. ¥. ¤«ï ç¨á« δ0 = r3 ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ OδY (0) ⊂ A O1X (0) .‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 3.4.5 «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A ï¥âáï ®âªàëâë¬.00163 à ¨ ¬ ¥ à 3.4.11. à¨¢¥¤ñ¬ ¯à¨¬¥à ¯®«­®£® «¨­¥©­®£® ¯à®áâà ­á⢠(X, k·kX ), ­¥¯®«­®£® «¨­¥©­®£® ¯à®áâà ­á⢠(Y, k·kY ) ¨ «¨­¥©­®£® áîàꥪ⨢­®£® ®¯¥à â®à A ∈ L(X, Y ), ª®â®àë© ­¥ ï¥âáï®âªàëâë¬ ®â®¡à ¦¥­¨¥¬.

 áᬮâਬ ⥠¦¥ «¨­¥©­ë¥ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠, çâ® ¨ ¢ ¯à¨¬¥à¥ 3.4.6, â. ¥. (X, k · kX ) = (`1 , k · k1 ),(Y, k · kY ) = (`1 , k · k2 ). ãáâì A: X → Y | ⮦¤¥á⢥­­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥, â. ¥. Ax = x ¤«ï «î¡®£® x ∈ `1 . ’®£¤ , ª ª ¯®ª § ­® ¢ ¯à¨¬¥à¥ 3.1.2, ¤«ï «î¡®£® x ∈ `1 ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ kAxk` = kxk` ≤≤ kxk` , â. ¥.

kAk ≤ 1 (¨ ¤ ¦¥ kAk = 1, â ª ª ª ¤«ï í«¥¬¥­â e1 ∈ `1¢¨¤ e1 (1) = 1 ¨ e1 (k) = 0 ¤«ï k > 1 ¯®«ãç ¥¬ 1 ≥ kAk ≥ kA(e1 )k2 == 1). ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, A ∈ L(X, Y ). ‘îàꥪ⨢­®áâì ⮦¤¥á⢥­­®£®®¯¥à â®à A ®ç¥¢¨¤­ . ®ª ¦¥¬, çâ® ®¯¥à â®à A ­¥ ï¥âáï ®âªàëâë¬ ®â®¡à ¦¥­¨¥¬.  áᬮâਬ ®¡à § ®âªàë⮣® ¥¤¨­¨ç­®£® è à á 業â஬ ¢ ­ã«¥n¨§ ¯à®áâà ­á⢠Xo¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ®¯¥à â®à A.

â®¯¯¬­®¦¥á⢮ O = x ∈ `1 ¯ kxk1 < 1 . ®ª ¦¥¬, çâ® ¬­®¦¥á⢮ O ­¥ï¢«ï¥âáï ®âªàëâë¬ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ Y .  áᬮâਬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì1­®áâì {yn }∞n=1 ⊂ `1 ¢¨¤ yn (k) = k ¤«ï 1 ≤ k ≤ n ¨ yn (k) = 0 ¯à¨k > n. „«ï «î¡®£® í«¥¬¥­â x0 ∈ O ¨ «î¡®£® ¯®«®¦¨â¥«ì­®£® ç¨á« ε ®¯à¥¤¥«¨¬ xn,ε = x0 + εyn . ’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢ë ­¥à ¢¥­á⢠221kxn,ε −x0 k2 <επ√6¨kxn,ε k1 ≥ εnPk=11k −kx0 k1→ +∞¯à¨n → ∞.√‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® ç¨á« δ > 0 áãé¥áâ¢ã¥â ε = δ π 6 , â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® ­®¬¥à n ¢ë¯®«­¥­® ¢ª«î祭¨¥ xn,ε ∈ OδY (x0 ),­® ¯à¨ ¢á¥å ¤®áâ â®ç­® ¡®«ìè¨å n ∈ N ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ­¥à ¢¥­á⢮kxn,ε k1 > 1. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, xn,ε 6∈ O. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ­¨ ®¤­ â®çª ¬­®¦¥á⢠O ­¥ ï¥âáï ¢­ãâ७­¥© ¤«ï O ¢ ¯à®áâà ­á⢥ Y .

Характеристики

Список файлов лекций