Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬­®¦¥á⢮ O ­¥ ï¥âáï ®âªàëâë¬ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ Y ,çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.3.5. Ž¡à ⨬®áâì «¨­¥©­ëå ®¯¥à â®à®¢Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 3.5.1. ãáâì X, Y | «¨­¥©­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠, A: X → Y | «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à. Žâ®¡à ¦¥­¨¥ A−1¯à.

: Im A → X­ §ë¢ ¥âáï ¯à ¢ë¬ ®¡à â­ë¬ ®¯¥à â®à®¬ ¤«ï ®¯¥à â®à A´, ¥á«¨ ¤«ï³«î¡®£® ¢¥ªâ®à y ∈ Im A ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ A A−1(y)= y.¯à.164Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 3.5.2. ãáâì X, Y | «¨­¥©­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠, A: X → Y | «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à. Žâ®¡à ¦¥­¨¥ A−1«¥¢. : Im A → X­ §ë¢ ¥âáï «¥¢ë¬ ®¡à â­ë¬ ®¯¥à â®à®¬ ¤«ï ®¯¥à â®à ³´A, ¥á«¨ ¤«ï−1«î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ A«¥¢.

A(x) = x.‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 3.5.1. ãáâì X, Y | «¨­¥©­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠,| «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à. ’®£¤ ¯à ¢ë© ®¡à â­ë© ®¯¥à â®à ¤«ï ®¯¥à â®à A ¢á¥£¤ áãé¥áâ¢ã¥â, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ­¥ ï¥âá磻¨­á⢥­­ë¬ ¨ ¬®¦¥â ¡ëâì ­¥«¨­¥©­ë¬. „¥©á⢨⥫쭮, ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ®¡à § ®¯¥à â®à A ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à y ∈ Im A áãé¥áâ¢ã¥â¢¥ªâ®à x(y) ∈ X , â ª®©, çâ® A(x(y)) = y. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ®¯à¥¤¥«¨¢¤«ï «î¡®£® y ∈ Im A §­ 祭¨¥, A−1¯à. (y) = x(y), ¯®«ã稬 ¯à ¢ë© ®¡à â­ë© ®¯¥à â®à ¤«ï ®¯¥à â®à A. ®ª ¦¥¬ ­ ¯à¨¬¥à¥ ¢®§¬®¦­ãî­¥¥¤¨­á⢥­­®áâì ¨ ­¥«¨­¥©­®áâì ¯à ¢®£® ®¡à â­®£® ®¯¥à â®à .  áᬮâਬ «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A: R2 → R ¢¨¤ A(x1 , x2 ) = x1 .

’®£¤ Im A = R, ¤¢ à §«¨ç­ëå ®¯¥à â®à B: R → R2 ¨ C: R → R2 ¢¨¤ B(x1 ) = (x1 , 0) ¨ C(x1 ) = (x1 , x21 ) ïîâáï ¯à ¢ë¬¨ ®¡à â­ë¬¨ ¤«ï®¯¥à â®à A, ¯à¨ í⮬ ®¯¥à â®à C ï¥âáï ­¥«¨­¥©­ë¬.A: X → Y‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 3.5.2. ãáâì X, Y | «¨­¥©­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠,| «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à. ’®£¤ ¯à ¢ë© ®¡à â­ë© ®¯¥à â®à¤«ï ®¯¥à â®à A ¥¤¨­á⢥­¥­, ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à y ∈ Im A áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ë© ¢¥ªâ®à x(y) ∈ X , â ª®©, çâ®A(x(y)) = y , â.

¥. ¥á«¨ ®¯¥à â®à A ï¥âáï ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ç­ë¬®â®¡à ¦¥­¨¥¬ ¨§ ¯à®áâà ­á⢠X ­ Im A. â® ®ç¥¢¨¤­ë¬ ®¡à §®¬á«¥¤ã¥â ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¯à ¢®£® ®¡à â­®£® ®¯¥à â®à . à¨ í⮬ ¢§ ¨¬­ ï ®¤­®§­ ç­®áâì «¨­¥©­®£® ®¯¥à â®à A à ¢­®á¨«ì­ âਢ¨ «ì­®á⨠¥£® ï¤à . „¥©á⢨⥫쭮, ¥á«¨ ¢¥ªâ®à x ∈ Ker A, â® ¢ë¯®«­¥­ëà ¢¥­á⢠A(x) = 0 = A(0). ’®£¤ ¢ ᨫ㠢§ ¨¬­®© ®¤­®§­ ç­®á⨮¯¥à â®à A ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮ x = 0, â. ¥.

Ker A = {0}. Ž¡à â­®,¥á«¨ ï¤à® ®¯¥à â®à A âਢ¨ «ì­®, ¤«ï ¢¥ªâ®à y ∈ Im A ¨¬¥îâá濫 ¢¥ªâ®à x ∈ X ¨ z ∈ X ¢¨¤ y = A(x) = A(z), â® A(x − z) = 0,â. ¥. x − z ∈ Ker A = {0}. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ x = z ,â. ¥. ®¯¥à â®à A ï¥âáï ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ç­ë¬.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 3.5.1. ãáâì X, Y | «¨­¥©­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠, A: X → Y | «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à. ’®£¤ «¥¢ë© ®¡à â­ë© ®¯¥à â®à¤«ï ®¯¥à â®à A áãé¥áâ¢ã¥â ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ï¤à® ®¯¥à â®à A âਢ¨ «ì­®, â. ¥. Ker A = {0}. à¨ í⮬ «¥¢ë© ®¡à â­ë©®¯¥à â®à ¥¤¨­á⢥­¥­ ¨ «¨­¥¥­.A: X → Y165„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ãáâì ®¯¥à â®à A ¨¬¥¥â «¥¢ë© ®¡à â­ë©®¯¥à â®à A−1«¥¢.

. ãáâì ¢¥ªâ®à x ∈ Ker A. ’ ª ª ª ­ã«¥¢®© ¢¥ªâ®àâ ª¦¥ ¯à¨­ ¤«¥¦¨â ï¤àã ®¯¥à â®à A, â® ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î «¥¢®£®®¡à â­®£® ®¯¥à â®à ¯®«ãç ¥¬−1−1x = A−1«¥¢. (A(x)) = A«¥¢. (0) = A«¥¢. (A(0)) = 0,â. ¥. x = 0. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, Ker A = 0. Ž¡à â­®, ¯ãáâì ï¤à® ®¯¥à â®à A âਢ¨ «ì­®.

’®£¤ , ª ª á«¥¤ã¥â ¨§ § ¬¥ç ­¨ï 3.5.2, ®¯¥à â®àA ï¥âáï ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ç­ë¬ ®â®¡à ¦¥­¨¥¬ ¯à®áâà ­á⢠X ­ Im A, â. ¥. ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à y ∈ Im A áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨­á⢥­­ë©¢¥ªâ®à x(y) ∈ X , â ª®©, çâ® A(x(y)) = y. Ž¯à¥¤¥«¨¬ ¤«ï «î¡®£®¢¥ªâ®à y ∈ Im A §­ 祭¨¥ A−1«¥¢. (y) = x(y). ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à z ∈ X ¯®«ãç ¥¬ A−1«¥¢. (A(z)) = x(A(z)) = z ¢ ᨫ㠢§ ¨¬­®©®¤­®§­ ç­®á⨠®¯¥à â®à A. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¯à¥¤¥«ñ­­ë© ®¯¥à â®à A−1«¥¢. ¤¥©á⢨⥫쭮 ï¥âáï «¥¢ë¬ ®¡à â­ë¬ ¤«ï ®¯¥à â®à A.

…᫨ ¯à¨ í⮬ áãé¥áâ¢ã¥â ¤à㣮© ®¯¥à â®à B: Im A → X ¢¨¤ B(A(x)) = x ¤«ï «î¡®£® x ∈ X , â® ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à y ∈ Im A−1¯®«ãç ¥¬ B(y) = B(A(x(y))) = x(y) = A−1«¥¢. (y), â. ¥. B = A«¥¢. . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, «¥¢ë© ®¡à â­ë© ®¯¥à â®à ¥¤¨­á⢥­¥­. ®ª ¦¥¬ «¨­¥©­®áâì «¥¢®£® ®¡à â­®£® ®¯¥à â®à . „«ï «î¡ëå ¢¥ªâ®à®¢ u, v ∈∈ Im A ¨ «î¡ëå ᪠«ï஢ α ¨ β ­ 室¨¬³´−1A−1(αu+βv)=AαA(x(u))+βA(x(v))=«¥¢.«¥¢.³´= A−1«¥¢. A(αx(u) + βx(v)) = αx(u) + βx(v) =−1= α A−1«¥¢. (u) + β A«¥¢. (v),çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 3.5.3. ãáâì X, Y | «¨­¥©­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠,| «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à á âਢ¨ «ì­ë¬ ï¤à®¬. ’®£¤ ¢ ᨫ㧠¬¥ç ­¨ï 3.5.2 ¨ ã⢥ত¥­¨ï 3.5.1 ®¯¥à â®à A ¨¬¥¥â ¥¤¨­á⢥­­ë©¯à ¢ë© ¨ «¥¢ë© ®¡à â­ë© ®¯¥à â®àë, ª®â®àë¥ á®¢¯ ¤ îâ. à¨ í⮬«¥¢ë©, §­ ç¨â, ¨ ¯à ¢ë© ®¡à â­ë© ®¯¥à â®à «¨­¥©­ë.A: X → YŽ ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 3.5.3.

ãáâì X, Y | «¨­¥©­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠, A: X → Y | «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à. Ž¯¥à â®à A−1 : Im A → X ­ §ë¢ ¥âáï ®¡à â­ë¬ ¤«ï ®¯¥à â®à A, ¥á«¨ ®­ ï¥âáï ®¤­®¢à¥¬¥­­®«¥¢ë¬ ¨ ¯à ¢ë¬ ®¡à â­ë¬ ®¯¥à â®à®¬.166“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 3.5.2. ãáâì X, Y | «¨­¥©­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠, A: X → Y | «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à. ’®£¤ ®¡à â­ë© ®¯¥à â®à ¤«ï®¯¥à â®à A áãé¥áâ¢ã¥â ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ï¤à® ®¯¥à â®à A âਢ¨ «ì­®. à¨ í⮬ ®¡à â­ë© ®¯¥à â®à ¥¤¨­á⢥­¥­ ¨ «¨­¥¥­.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

‘à §ã á«¥¤ã¥â ¨§ ã⢥ত¥­¨ï 3.5.1 ¨§ ¬¥ç ­¨© 3.5.2, 3.5.3.Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 3.5.4. ãáâì (X, k · kX ) ¨ (Y, k · kY ) | «¨­¥©­ë¥ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠. ‹¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A: X → Y­ §ë¢ ¥âáï ­¥¯à¥à뢭® ®¡à ⨬ë¬, ¥á«¨ ®­ ¨¬¥¥â ­¥¯à¥àë¢­ë© ®¡à â­ë© ®¯¥à â®à, â. ¥. áãé¥áâ¢ã¥â ®¯¥à â®à A−1 ∈ L(Im A, X).“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 3.5.3. ãáâì (X, k·kX ) ¨ (Y, k·kY ) | «¨­¥©­ë¥ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠. ’®£¤ «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A: X →→ Y ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭® ®¡à â¨¬ë¬ â®£¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ®­ï¢«ï¥âáï ¢§ ¨¬­® ®¤­®§­ ç­ë¬ ®âªàëâë¬ ®â®¡à ¦¥­¨¥¬ ¨§ ¯à®áâà ­á⢠(X, k · kX ) ­ ¯à®áâà ­á⢮ (Im A, k · kY ).„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ‚ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 3.5.2 áãé¥á⢮¢ ­¨¥ «¨­¥©­®£® ®¡à â­®£® ®¯¥à â®à A−1 ã «¨­¥©­®£® ®¯¥à â®à Aà ¢­®á¨«ì­® ¢§ ¨¬­®© ®¤­®§­ ç­®á⨠®¯¥à â®à A.

‚ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 1.1.6 ­¥¯à¥à뢭®áâì ®¯¥à â®à A−1 à ¢­®á¨«ì­ ⮬ã, çâ® ¤«ï«î¡®£® k · kX -®âªàë⮣® ¬­®¦¥á⢠V ⊂ X ¥£® ¯à®®¡à §³A−1´−1(V ) ⊂ Im A¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ®¯¥à â®à A−1 ï¥âáï k·kY -®âªàëâë¬ ¢ ¯à®áâà ­á⢥ Im A. ‘¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮³A−1´−1n(V ) =³¯o¯y ∈ Im A ¯ A−1 (y) ∈ V=¯no¯= y ∈ Im A ¯ y ∈ A(V ) = A(V ).´−1‘«¥¤®¢ ⥫쭮, A−1(V ) = A(V ). ’®£¤ ®âªàëâ®áâì ¯à®®¡à § ¯à®¨§¢®«ì­®£® ®âªàë⮣® ¬­®¦¥á⢠V ⊂ X ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ®¡à â­®£® ®¯¥à â®à A−1 à ¢­®á¨«ì­ ®âªàëâ®á⨠¥£® ®¡à § A(V ) ⊂ Im A¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ ®¯¥à â®à A. ®á«¥¤­¥¥ ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 3.4.11 à ¢­®á¨«ì­® ®âªàëâ®á⨠®â®¡à ¦¥­¨ï A: X → Im A, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.167Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 3.5.5.

ãáâì (X, k · kX ) ¨ (Y, k · kY ) | «¨­¥©­ë¥ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠. ‹¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A: X →→ Y ­ §ë¢ ¥âáï ®£à ­¨ç¥­­ë¬ á­¨§ã, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® L >> 0, â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮kA(x)kY ≥ LkxkX .“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 3.5.4. ãáâì (X, k · kX ) ¨ (Y, k · kY ) | «¨­¥©­ë¥ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠. ‹¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A: X →→ Y ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭® ®¡à â¨¬ë¬ â®£¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ®­ ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­ë¬ á­¨§ã.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

ãáâì «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A ï¥âáï­¥¯à¥à뢭® ®¡à ⨬ë¬, â. ¥. áãé¥áâ¢ã¥â ®¯¥à â®à A−1 ∈ L(Im A, X).‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X ¯®«ãç ¥¬°°°°kxkX = °A−1 (A(x))°X ≤ °A−1 ° kA(x)kY ,â. ¥. ç¨á«® L = kA1 k > 0 ï¥âáï ¨áª®¬ë¬ ¤«ï ®£à ­¨ç¥­­®áâ¨á­¨§ã ®¯¥à â®à A.ãáâì «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­ë¬ á­¨§ã, â.

¥.áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® L > 0, â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à x ∈ X ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ kA(x)kY ≥ LkxkX . …᫨ ¢¥ªâ®à x ∈ Ker A, ⮯®«ãç ¥¬ A(x) = 0 ¨ 0 = kA(x)kY ≥ LkxkX . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, x = 0,â. ¥. á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ Ker A = {0}. ’®£¤ ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 3.5.2 «¨­¥©­ë© ®¡à â­ë© ®¯¥à â®à A−1 : Im A → X áãé¥áâ¢ã¥â.à¨ í⮬ ¢ ᨫ㠮£à ­¨ç¥­­®á⨠᭨§ã ®¯¥à â®à A ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à y ∈ Im A ¯®«ãç ¥¬−1° ¡ −1 ¢°°A A (y) °kykYY≤=.XLL°°®á«¥¤­¥¥ ­¥à ¢¥­á⢮ ®§­ ç ¥â, çâ® °A−1 ° ≤ L1 , â.

¥.¢ª«î祭¨¥ A−1 ∈ L(Im A, X), çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.° −1 °°A (y)°á¯à ¢¥¤«¨¢®“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 3.5.5. ãáâì (X, k · kX ) | ¡ ­ 客® ¯à®áâà ­á⢮, (Y, k · kY ) | «¨­¥©­®¥ ­®à¬¨à®¢ ­­®¥ ¯à®áâà ­á⢮, ®¯¥à â®à A ∈ L(X, Y ) ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭® ®¡à ⨬ë¬. ’®£¤ Im Aï¥âáï § ¬ª­ãâë¬ ¯®¤¯à®áâà ­á⢮¬ ¢ Y .„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ‚ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 3.5.4 ®¯¥à â®à A ï¥âáï ®£à ­¨ç¥­­ë¬ á­¨§ã, â. ¥. áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® L > 0, â ª®¥, çâ®168¤«ï «î¡®£® x ∈ X . ãáâì ¢¥ªâ®à y ∈ [Im A]. ’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì {xn }∞n=1 ⊂ X , â ª ï, çâ® ¢ë¯®«­¥­®á®®â­®è¥­¨¥ kA(xn ) − ykY → 0 ¯à¨ n → ∞. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬ kxn − xm kX ≤ L1 kA(xn ) − A(xm )kY → 0 ¯à¨ n, m → ∞.

’ ª¨¬®¡à §®¬, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì xn ï¥âáï äã­¤ ¬¥­â «ì­®© ¢ ¯®«­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ X . ®í⮬ã áãé¥áâ¢ã¥â ¢¥ªâ®à z ∈ X , â ª®©, çâ®kxn − zkX → 0 ¯à¨ n → ∞. ’ ª ª ª ®¯¥à â®à A ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭ë¬, â® kA(xn ) − A(z)kY → 0 ¯à¨ n → ∞. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬kA(z) − ykY = 0, â. ¥. y = A(z), çâ® ®§­ ç ¥â ¢ª«î祭¨¥ y ∈ Im A.’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®¤¯à®áâà ­á⢮ Im A ï¥âáï § ¬ª­ãâë¬.kA(x)kY ≥ LkxkX’ ¥ ® à ¥ ¬ 3.5.1 ( ­ å, ®¡ ®¡à â­®¬ ®¯¥à â®à¥).ãáâì(X, k · kX ) ¨ (Y, k · kY ) | ¡ ­ å®¢ë ¯à®áâà ­á⢠, «¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à A ∈ L(X, Y ). ‘ãé¥áâ¢ã¥â ®¡à â­ë© ®¯¥à â®à A−1 ∈ L(Y, X)⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ Ker A = 0 ¨ Im A = Y .„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

…᫨ áãé¥áâ¢ã¥â ®¡à â­ë© ®¯¥à â®à A−1 ,®¯à¥¤¥«ñ­­ë© ­ ¢áñ¬ ¯à®áâà ­á⢥ Y , â® ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ®¡à â­®£® ®¯¥à â®à áà §ã ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮ Im A = Y , ¯® ã⢥ত¥­¨î 3.5.2 ­ 室¨¬ Ker A = {0}.ãáâì ⥯¥àì ã «¨­¥©­®£® ®£à ­¨ç¥­­®£® ®¯¥à â®à A ¨¬¥¥¬ à ¢¥­á⢠Ker A = {0} ¨ Im A = Y . ’®£¤ ¯® ⥮६¥ 3.4.5  ­ å ®¡®âªàë⮬ ®â®¡à ¦¥­¨¨ ®¯¥à â®à A ï¥âáï ®âªàëâë¬ ®â®¡à ¦¥­¨¥¬ ¨§ ¯à®áâà ­á⢠X ­ ¯à®áâà ­á⢮ Y . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫãã⢥ত¥­¨ï 3.5.3 ®¯¥à â®à A ­¥¯à¥à뢭® ®¡à ⨬, â. ¥. áãé¥áâ¢ã¥â®¡à â­ë© ®¯¥à â®à A−1 ∈ L(Y, X), çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì. à ¨ ¬ ¥ à 3.5.1. à¨¢¥¤ñ¬ ¯à¨¬¥à ¯®«­®£® «¨­¥©­®£® ¯à®áâà ­á⢠(X, k · kX ), ­¥¯®«­®£® «¨­¥©­®£® ¯à®áâà ­á⢠(Y, k · kY ) ¨«¨­¥©­®£® áîàꥪ⨢­®£® ®¯¥à â®à A ∈ L(X, Y ) á âਢ¨ «ì­ë¬ï¤à®¬, ®¡à â­ë© ®¯¥à â®à ª ª®â®à®¬ã ­¥ ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭ë¬. áᬮâਬ ⥠¦¥ «¨­¥©­ë¥ ­®à¬¨à®¢ ­­ë¥ ¯à®áâà ­á⢠¨ â®â ¦¥«¨­¥©­ë© ®¯¥à â®à, çâ® ¨ ¢ ¯à¨¬¥à¥ 3.4.11, â.

¥. (X, k·kX ) = (`1 , k·k1 ),(Y, k · kY ) = (`1 , k · k2 ), A: X → Y | ⮦¤¥á⢥­­ë© ®¯¥à â®à. Žç¥¢¨¤­®, çâ® Ker A = {0} ¨ Im A = `1 = Y . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ®¡à â­ë©®¯¥à â®à A−1 : Y → X áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ⮦¥ ï¥âáï ⮦¤¥á⢥­­ë¬,â. ¥.

A−1 (y) = y ¤«ï «î¡®£® y ∈ `1 . Š ª ¯®ª § ­® ¢ ¯à¨¬¥à¥ 3.4.11,®¯¥à â®à A ï¥âáï ­¥¯à¥àë¢­ë¬ ¨ ­¥ ï¥âáï ®âªàëâë¬ ®â®¡à ¦¥­¨¥¬. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 3.5.3 ®¯¥à â®à A−1 ­¥ï¢«ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭ë¬, â. ¥. A−1 6∈ L(Y, X).169‡ ¤ ç 3.5.1. ãáâì X | «¨­¥©­®¥ ¯à®áâà ­á⢮, k · k∗ ¨| ¤¢¥ ­®à¬ë ¢ X . ãáâì ¯à®áâà ­á⢠(X, k · k∗ ) ¨ (X, k · k∗∗ )ïîâáï ¯®«­ë¬¨, ¨ áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® L > 0, â ª®¥, çâ® kxk∗ ≤≤ Lkxk∗∗ ¤«ï ¢á¥å x ∈ X . „®ª § âì, çâ® ­®à¬ë k · k∗ ¨ k · k∗∗ íª¢¨¢ «¥­â­ë ¢ X . ¥ è ¥ ­ ¨ ¥.

Характеристики

Список файлов лекций