Лекции по функциональному анализу - Константинов (1187976), страница 35

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 35)

Œ­®¦¥á⢮{ x ∈ A | g(x) < a } ∈ M ª ª ¯®¤¬­®¦¥á⢮ ¬­®¦¥á⢠A ¬¥àë ­ã«ì¢ ᨫ㠯®«­®âë ¬¥àë µ. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, L< (g, a) ∈ M, â. ¥. äã­ªæ¨ïg ï¥âáï ¨§¬¥à¨¬®©.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.2.4. ãáâì (X, M, µ) | ¨§¬¥à¨¬®¥ ¯à®áâà ­á⢮. ’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢ë á«¥¤ãî騥 ᢮©á⢠:1) f ∼ f ¤«ï «î¡®© ¨§¬¥à¨¬®© ä㭪樨 f : X → R ∪ {±∞};2) f ∼ g à ¢­®á¨«ì­® g ∼ f ¤«ï ¨§¬¥à¨¬ëå ä㭪権 f, g: X →→ R ∪ {±∞};3) ¥á«¨ f ∼ g ¨ g ∼ h, â® f ∼ h ¤«ï ¨§¬¥à¨¬ëå ä㭪権f, g, h: X → R ∪ {±∞}.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ‘¢®©á⢠1 ¨ 2 ®ç¥¢¨¤­ë¬ ®¡à §®¬ á«¥¤ãîâ ¨§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï 4.2.4.

®ª ¦¥¬ ᢮©á⢮ 3. ãáâì ¨§¬¥à¨¬ë¥ä㭪樨 f, g, h â ª®¢ë, çâ® f ∼ g ¨ g ∼ h.  áᬮâਬ ¬­®¦¥á⢠A = { x ∈ X | f (x) 6= g(x) }, B = { x ∈ X | g(x) 6= h(x) } ¨ C == { x ∈ X | f (x) 6= h(x) }. ® ãá«®¢¨î µ(A) = µ(B) = 0. …᫨ x ∈ C ,â® «¨¡® f (x) 6= g(x), â. ¥. x ∈ A, «¨¡® f (x) = g(x), ¨ ⮣¤ x ∈ B .‘«¥¤®¢ ⥫쭮, C ⊂ A∪B ¨ µ(C) ≤ µ(A)+µ(B) = 0.

’ ª¨¬ ®¡à §®¬,f ∼ h, çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 4.2.5. ãáâì (X, M, µ) | ¨§¬¥à¨¬®¥ ¯à®áâà ­á⢮. ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® ­¥ª®â®à®¥ ᢮©á⢮ P ¢ë¯®«­¥­® ¯®ç⨢áî¤ã (¯. ¢.) ­ X , ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¬­®¦¥á⢮ A ∈ M, â ª®¥, ç⮵(X\A) = 0, ᢮©á⢮ P ¢ë¯®«­¥­® ¤«ï «î¡®£® x ∈ A.‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 4.2.3. ãáâì (X, M, µ) | ¨§¬¥à¨¬®¥ ¯à®áâà ­á⢮, ¨ § ¤ ­ë ¨§¬¥à¨¬ë¥ ä㭪樨 f, g: X → R ∪ {±∞}.

’®£¤ f ∼ g⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ f = g ¯. ¢. ­ X .2004.3. ˆ­â¥£à « ‹¥¡¥£ ‚ í⮬ ¯ à £à ä¥ à áᬠâਢ ¥¬ ¨§¬¥à¨¬®¥ ¯à®áâà ­á⢮ (X, M, µ).Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 4.3.1. ãáâìE ⊂½X | ¯à®¨§¢®«ì­®¥ ¬­®x ∈ E,¦¥á⢮. ”ã­ªæ¨ï δE : X → R ¢¨¤ δE (x) = 1,­ §ë¢ ¥âáï0, x 6= Eå à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®© ä㭪樥© ¬­®¦¥á⢠E .Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 4.3.2. ”ã­ªæ¨ï s: X → R ­ §ë¢ ¥âáï ¯à®á⮩, ¥á«¨ ®­ ¯à¨­¨¬ ¥â ª®­¥ç­®¥ ¬­®¦¥á⢮ §­ 祭¨©.‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 4.3.1.

ãáâìs: X → R | ¯à®áâ ï äã­ªæ¨ï, | ¢á¥ ¥ñ à §«¨ç­ë¥ §­ 祭¨ï. „«ï ª ¦¤®£® k ∈ 1, m ®¯à¥¤¥«¨¬ ¬­®¦¥á⢮ Ek = { x ∈ X | s(x) = ck }. ’®£¤ ¤«ï «î¡®£®mPx ∈ X á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ s(x) =ck δE (x).c1 , . . . , cmk=1k“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.3.1. ãáâì c1 , . . . , cm | à §«¨ç­ë¥ ç¨á« , E1 , . . . , Ek | ¯®¯ à­® ­¥¯¥à¥á¥ª î騥áï ¬­®¦¥á⢠¨§ X . ’®£¤ mP¯à®áâ ï äã­ªæ¨ï s(x) =ck δE (x), x ∈ X , ¨§¬¥à¨¬ ⮣¤ ¨ ⮫ìk=1kª® ⮣¤ , ª®£¤ Ek ∈ M ¤«ï «î¡®£® k ∈ 1, m.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

ãáâì ¯à®áâ ï äã­ªæ¨ï s ¨§¬¥à¨¬ . ’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ­®¬¥à k ∈ 1, m ¯®«ãç ¥¬ Ek = L≤ (s, ck ) ∩ L≥ (s, ck ) ∈∈ M ¢ ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 4.2.1. Ž¡à â­®, ¯ãáâì ¬­®¦¥á⢮ Ek ¨§¬¥à¨¬® ¯à¨ ª ¦¤®¬ k ∈ 1, m. ’®£¤ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª ï äã­ªæ¨ï δE¨§¬¥à¨¬ , â ª ª ª ¤«ï «î¡®£® ç¨á« a ¨¬¥¥¬ ᮮ⭮襭¨¥kX,a > 1,X\Ek , 0 < a ≤ 1,L< (δEk , a) =∈ M.∅,a≤0‘«¥¤®¢ ⥫쭮, äã­ªæ¨ï s ¨§¬¥à¨¬ ¯® á«¥¤á⢨î 4.2.3 ª ª á㬬 ¨§¬¥à¨¬ëå ä㭪権.Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 4.3.3. „«ï ä㭪樨 f : X → R ∪ {±∞} ®¯à¥¤¥«¨¬ ¥ñ ¯®«®¦¨â¥«ì­ãî ¨ ®âà¨æ ⥫ì­ãî á®áâ ¢«ïî騥 | ᮮ⢥âá⢥­­® ä㭪樨 f+ = max{0, f } ¨ f− = max{0, −f }, â ª çâ®f = f+ − f− .201“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.3.2.

ãáâì äã­ªæ¨ï f : X → R∪{±∞} ï¥âáï ¨§¬¥à¨¬®©. ’®£¤ ä㭪樨 f+ ¨ f− â ª¦¥ ïîâáï ¨§¬¥à¨¬ë¬¨.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ‘à §ã á«¥¤ã¥â ¨§ ã⢥ত¥­¨ï 4.2.2.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.3.3. ãáâì äã­ªæ¨ï f : X → [0, +∞] ¨§-¬¥à¨¬ . ’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¬®­®â®­­® ¢®§à áâ îé ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¯à®áâëå ­¥®âà¨æ ⥫ì­ëå ¨§¬¥à¨¬ëå ä㭪権 {sm }∞m=1 , ¯®â®ç¥ç­® á室ïé ïáï ª ä㭪樨 f , â. ¥.

¤«ï «î¡®£® x ∈ X ¢ë¯®«­¥­ëà ¢¥­á⢮ m→∞lim sm (x) = f (x) ¨ ­¥à ¢¥­á⢮ sm (x) ≤ s` (x) ¯à¨ ¢á¥åm ≤ `.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. „«ï «î¡ëå m ∈ N ¨ k ∈ 1, m2m ®¯à¥¤¥«¨¬ ¯®¯ à­® ­¥¯¥à¥á¥ª î騥áï ¬­®¦¥á⢠Em,k=Fm=©¯x∈X ¯k−12m≤ f (x) <k2mª,{ x ∈ X | f (x) ≥ m } .’ ª ª ª äã­ªæ¨ï f ¨§¬¥à¨¬ , â® ¯® ã⢥ত¥­¨î 4.2.1 ¬­®¦¥á⢠¨ Fm ¨§¬¥à¨¬ë. ’®£¤ ¯à®áâ ï äã­ªæ¨ïEm,ksm (x) =mm2Xk=1k−1δEm,k (x) + mδFm (x)2m¨§¬¥à¨¬ . ®ª ¦¥¬, çâ® sm (x) ≤ sm+1 (x) ¤«ï ¢á¥å x ∈ X ¨ m ∈ N.„¥©á⢨⥫쭮, ¯ãáâì á­ ç « x ∈ Em,k ¯à¨ ­¥ª®â®à®¬ k ∈ 1, m2m .’®£¤ á¯à ¢¥¤«¨¢ë ­¥à ¢¥­á⢠22k−2 ≤ f (x) < 2 2k ¨ 2k ≤ m2m+1 .…᫨ ¢ë¯®«­¥­® 22k−2 ≤ f (x) < 22k−1 , â.

¥. x ∈ Em+1,2k−1 , â® ¯®«ãç ¥¬sm+1 (x) = 22k−2 = sm (x). …᫨ ¦¥ ¢ë¯®«­¥­® 22k−1 ≤ f (x) < 2 2k ,â. ¥. x ∈ Em+1,2k , â® ¯®«ãç ¥¬ sm+1 (x) = 22k−1 > k−1= sm (x). ãáâì2x ∈ Fm , â. ¥. f (x) ≥ m. …᫨ ¢ë¯®«­¥­® f (x) ≥ m + 1, â. ¥. x ∈ Fm+1 ,â® sm+1 (x) = m + 1 > sm (x). …᫨ ¢ë¯®«­¥­® m ≤ f (x) < m + 1, â®áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à k ¢¨¤ m2m+1 + 1 ≤ k ≤ (m + 1)2m+1 , â ª®©, ç⮢믮«­¥­ë ­¥à ¢¥­á⢠2k−1 ≤ f (x) < 2 k , â. ¥. x ∈ Em+1,k .

’®£¤ sm+1 (x) = 2k−1 ≥ m = sm (x). ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨ «î¡®¬ x ∈ X ¨«î¡ëå m ≤ ` á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ sm (x) ≤ s` (x).’¥¯¥àì ¯®ª ¦¥¬ ¯®â®ç¥ç­ãî á室¨¬®áâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠smª ä㭪樨 f . …᫨ f (x) < +∞, â® áãé¥áâ¢ã¥â ­®¬¥à m(x), â ª®©,m+1m+1m+1m+1m+1m+1m+1m+1m+1m+1202mm+1çâ® f (x) < m(x). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯à¨ ¢á¥å m > m(x) ¯®«ãç ¥¬ 0 ≤≤ f (x) − sm (x) ≤ 21 → 0 ¯à¨ m → ∞. …᫨ ¦¥ f (x) = +∞, â® ¤«ï«î¡®£® ­®¬¥à m ¨¬¥¥¬ x ∈ Fm ¨ sm (x) = m → +∞ = f (x), çâ® ¨âॡ®¢ «®áì.m‘ « ¥ ¤ á â ¢ ¨ ¥ 4.3.1. ãáâì äã­ªæ¨ï f : X → R∪{±∞} ï¥âáï ¨§¬¥à¨¬®©. ’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¯à®áâëå ¨§¬¥à¨¬ëå ä㭪権 {sm }∞m=1 , ¯®â®ç¥ç­® á室ïé ïáï ª ä㭪樨 f , â.

¥.¤«ï «î¡®£® x ∈ X ¢ë¯®«­¥­® à ¢¥­á⢮ m→∞lim sm (x) = f (x).„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ˆ§¬¥à¨¬ãî äã­ªæ¨î f ¢ ᨫ㠧 ¬¥ç ­¨ï 4.3.3 ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ¢¨¤¥ f = f+ − f− , £¤¥ ¨§¬¥à¨¬ë¥ ä㭪樨f+ , f− : X → [0, +∞]. ’®£¤ ¯® ã⢥ত¥­¨î 4.3.3 áãé¥áâ¢ãîâ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¨§¬¥à¨¬ëå ¯à®áâëå ä㭪権 sm,+ ¨ sm,− , ¯®â®ç¥ç­®á室ï騥áï ª f+ ¨ f− ᮮ⢥âá⢥­­®. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¨§¬¥à¨¬ëå ¯à®áâëå ä㭪権 sm = sm,+ − sm,− ï¥âáﯮâ®ç¥ç­® á室ï饩áï ª ä㭪樨 f .Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 4.3.4. ãáâì c1 , .

. . , cm | à §«¨ç­ë¥ ¯®«®¦¨â¥«ì­ë¥ ç¨á« , E1 , . . . , Ek | ¯®¯ à­® ­¥¯¥à¥á¥ª î騥áï ¨§¬¥à¨mPck δE (x) | ¯à®áâ ï ¨§¬¥¬ë¥ ¬­®¦¥á⢠¨§ X . ãáâì s(x) =k=1ਬ ï ­¥®âà¨æ â¥«ì­ ï äã­ªæ¨ï. „«ï «î¡®£® ¬­®¦¥á⢠E ∈ M¨­â¥£à «®¬ ‹¥¡¥£ ä㭪樨 s ¯® ¬­®¦¥áâ¢ã E ­ §ë¢ ¥âáï ¢¥«¨ç¨­ mPIE (s) =ck µ(Ek ∩ E) ∈ [0, +∞].kk=1Ž ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 4.3.5. ãáâì äã­ªæ¨ï f : X → [0, +∞] ï¥âáï ¨§¬¥à¨¬®©. „«ï «î¡®£® ¬­®¦¥á⢠E ∈ M ¨­â¥£à «®¬ ‹¥¡¥£ ä㭪樨 f ¯® ¬­®¦¥áâ¢ã E ­ §ë¢ ¥âáï ¢¥«¨ç¨­ Zf dµ = sup IE (s),E£¤¥ ¢¥àå­ïï £à ­ì ¡¥àñâáï ¯® ¢á¥¬ ¯à®áâë¬R¨§¬¥à¨¬ë¬ äã­ªæ¨ï¬s, â ª¨¬, çâ® 0 ≤ s ≤ f . Ÿá­®, çâ® ¢¥«¨ç¨­ f dµ ∈ [0, +∞].E‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 4.3.2.

„«ï ­¥®âà¨æ ⥫쭮© ¯à®á⮩ ¨§¬¥à¨¬®©ä㭪樨 s ¨ ¨§¬¥à¨¬®£® ¬­®¦¥á⢠E ∈ M ¢¥«¨ç¨­ IE (s) ­¥ § ¢¨á¨â ®â §­ 祭¨© ä㭪樨 s ­ ¬­®¦¥á⢥ X\E . ®í⮬㠤«ï «î¡®©203­¥®âà¨æ ⥫쭮© ¨§¬¥à¨¬®© ä㭪樨 f §­ 祭¨¥ ¥ñ ¨­â¥£à « ‹¥¡¥£ ¯® ¬­®¦¥áâ¢ã E à ¢­® â®ç­®© ¢¥àå­¥© £à ­¨ ¬­®¦¥á⢠ç¨á¥«IE (s) ¯® ¢á¥¬ ­¥®âà¨æ ⥫ì­ë¬ ¯à®áâë¬ ¨§¬¥à¨¬ë¬ äã­ªæ¨ï¬ s,â ª¨¬, çâ® s(x) ≤ f (x) ⮫쪮 ¤«ï ¢á¥å x ∈ E .“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.3.4.

ãáâì s | ¯à®áâ ï ­¥®âà¨æ â¥«ì­ ï¨§¬¥à¨¬ ï äã­ªæ¨ï.’®£¤ ¤«ï «î¡®£® ¬­®¦¥á⢠E ∈ M á¯à ¢¥¤R«¨¢® à ¢¥­á⢮ s dµ = IE (s).E„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. „«ï «î¡®© ¯à®á⮩ ¨§¬¥à¨¬®© ä㭪樨¢¨¤ 0 ≤ s̃R ≤ s ®ç¥¢¨¤­® ­¥à ¢¥­á⢮ IE (s̃) ≤ IE (s). ’®£¤ ¯®«ãç ¥¬ IE (s) ≤ s dµ = sup IE (s̃) ≤ IE (s), çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.s̃0≤s̃≤sEŽ ¯ à ¥ ¤ ¥ « ¥ ­ ¨ ¥ 4.3.6. ãáâì äã­ªæ¨ï f : X → R ∪ {±∞} ï¥âáïR¨§¬¥à¨¬®©, R¬­®¦¥á⢮ E ∈ M. …᫨ å®âï ¡ë ®¤¨­ ¨§ ¨­â¥£à «®¢ f+ dµ ¨«¨ f− dµ ª®­¥ç¥­, â® ¨­â¥£à «®¬ ‹¥¡¥£ ä㭪樨EEf ¯® ¬­®¦¥áâ¢ã E ­ §ë¢ ¥âáï ¢¥«¨ç¨­ ZZf dµ =E…᫨ ¢¥«¨ç¨­ RREZf+ dµ −Ef− dµ.Ef dµ ª®­¥ç­ (â. ¥. ª®­¥ç­ë ®¡ ¨­â¥£à « Ef+ dµ ¨­ §ë¢ ¥âáï ¨­â¥£à¨à㥬®© ¯® ‹¥¡¥£ã ­ ¬­®¦¥á⢥ E . ‘®¢®ªã¯­®áâì ¢á¥å ¨§¬¥à¨¬ëå ä㭪権, ¨­â¥£à¨à㥬ë寮 ‹¥¡¥£ã ­ ¬­®¦¥á⢥ E , ®¡®§­ 稬 L(E).Ef− dµ), â® äã­ªæ¨ï fR“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.3.5. ãáâì ¨§¬¥à¨¬ë¥ ä㭪樨 f, g: X →→ R ∪ {±∞} íª¢¨¢ «¥­â­ë ­ ¨§¬¥à¨¬®¬ ¬­®¦¥á⢥R E , â.

¥. µ{ x ∈∈ E | f (x) 6= g(x) } = 0. ’®£¤ ¨­â¥£à « ‹¥¡¥£ f dµ áãé¥áâ¢ã¥âER⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¨­â¥£à « ‹¥¡¥£ g dµ. …áE«¨ 㪠§ ­­ë¥ ¨­â¥£à «ë áãé¥áâ¢ãîâ, â® ®­¨ à ¢­ë. ‚ ç áâ­®áâ¨,¢ª«î祭¨¥ f ∈ L(E) à ¢­®á¨«ì­® g ∈ L(E).„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ª¢¨¢ «¥­â­®áâì ä㭪権 f ¨ g ­ ¬­®¦¥á⢥ E ¢«¥çñâ f+ ∼ g+ ¨ f− ∼ g− ­ E . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¤®ª §ë¢ ¥¬®¥ ã⢥ত¥­¨¥ ¡ã¤¥â ãáâ ­®¢«¥­®, ¥á«¨ ¤®ª § âì à ¢¥­á⢮ ¨­â¥£à «®¢ ‹¥¡¥£ ¯® ¬­®¦¥áâ¢ã E ¤¢ãå ­¥®âà¨æ ⥫ì­ëå ¨§¬¥à¨¬ëå204íª¢¨¢ «¥­â­ëå ­ E ä㭪権 f+ ¨ g+ . ãáâì ¬­®¦¥á⢮ E0 = { x ∈∈ E | f+ (x) 6= g+ (x) } ∈ M.

’®£¤ µ(E0 ) = 0. ’ ª ª ª ¤«ï «î¡®£®¬­®¦¥á⢠S ∈ M á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ µ(S) = µ(S\E0 ), â® ¤«ï«î¡®© ­¥®âà¨æ ⥫쭮© ¨§¬¥à¨¬®© ¯à®á⮩ ä㭪樨 s á¯à ¢¥¤«¨¢®à ¢¥­á⢮ IE (s) = IE\E (s). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮,0Zf+ dµ =Esup IE (s) =0≤s≤f+sup IE\E0 (s) =0≤s≤f+Z=sup IE\E0 (s) =0≤s≤g+sup IE (s) =0≤s≤g+g+ dµ,Eçâ® ¨ âॡ®¢ «®áì.“ â ¢ ¥ à ¦ ¤ ¥ ­ ¨ ¥ 4.3.6. ãáâì ¨§¬¥à¨¬ ï ä㭪樨 f : X →→ R ∪ {±∞} ¨­â¥£à¨à㥬 ¯® ‹¥¡¥£ã ­ ¬­®¦¥á⢥ E ∈ M. ’®£¤ äã­ªæ¨ï f ¯®ç⨠¢áî¤ã ª®­¥ç­ ­ ¬­®¦¥á⢥ E , â. ¥. ¢ë¯®«­¥­®à ¢¥­á⢮¯no¯µ x ∈ E ¯ |f (x)| = +∞ = 0.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.  áᬮâਬ ¬­®¦¥á⢠¯o¯x ∈ E ¯ |f (x)| = +∞ ,¯non¯=x ∈ E ¯ f (x) = +∞=x∈E¯non¯=x ∈ E ¯ f (x) = −∞=x∈EnE0E+E−=¯o¯¯ f+ (x) = +∞ ,¯o¯¯ f− (x) = +∞ .’®£¤ E0= E+ ∪ E− . à¥¤¯®«®¦¨¬, à áá㦤 ï ®â ¯à®â¨¢­®£®, ç⮵(E0 ) > 0.

’®£¤ ¢ë¯®«­¥­® ­¥à ¢¥­á⢮ | «¨¡® µ(E+ ) > 0, «¨¡®µ(E− ) > 0.‘­ ç « à áᬮâਬ á«ãç © µ(E+ ) > 0. „«ï «î¡®£® m ∈ N ®¯à¥-¤¥«¨¬ ­¥®âà¨æ ⥫ì­ãî ¨§¬¥à¨¬ãî ¯à®áâãî äã­ªæ¨îsm (x) = mδE+ (x)¤«ï «î¡®£®x ∈ X.’®£¤ ¤«ï «î¡®£® m á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ sm (x)¢á¥å x ∈ X . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢠Z+∞ >f+ dµ ≥ IE (sm ) = mµ(E+ ) → +∞E205≤ f+ (x)¯à¨ m → ∞,¤«ïâ. ¥. ¯®«ã稫¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥.’¥¯¥àì à áᬮâਬ á«ãç © µ(E− ) > 0. „«ï «î¡®£® m ∈ N ®¯à¥¤¥«¨¬ ­¥®âà¨æ ⥫ì­ãî ¨§¬¥à¨¬ãî ¯à®áâãî äã­ªæ¨î¤«ï «î¡®£®sm (x) = mδE− (x) ≤ f− (x)x ∈ X.’®£¤ ¤«ï «î¡®£® m á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ sm (x)¢á¥å x ∈ X . ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«ãç ¥¬ ­¥à ¢¥­á⢠Z+∞ >f− dµ ≥ IE (sm ) = mµ(E− ) → +∞≤ f− (x)¤«ï¯à¨ m → ∞,Eâ. ¥.

Характеристики

Список файлов лекций