Лекции Дымарский 2 семестр (1187969), страница 15
Текст из файла (страница 15)
(о непрерывности интеграла по верхнему пределу) Функция верхнего предела равномерно непрерывна на [a, b] (следовательно, непрерывна на [a, b]).Доказательство. Сразу заметим, что мы поменяли обозначения переменнойинтегрирования, иначе возникнет путаница.Из леммы 6.5 следует, что функция f ограничена: ∃C > 0 : ∀x ∈ [a, b] ,→|f (x)| < C. Поэтому ∀ε > 0 ∀x1 , x2 ∈ [a, b] : |x2 − x1 | < ε/C ,→∫ x2∫ x1|F (x2 ) − F (x1 )| = f (t)dt −f (t)dt =x0∫ ∫x2 f (t)dt 6 x1x0x2|f (t)|dt < C|x2 − x1 | < ε.x1(Мы учли случай x1 > x2 , поэтому сохранили внешний модуль.)Теорема 6.15.
(о производной интеграла по верхнему пределу) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда функция F дифференцируема на[a, b], причемF ′ (x) := f (x).(6.10)В концах отрезка производные F ′ (a), F ′ (b) понимаются как односторонние.Доказательство. Пусть точка x ∈ [a, b] фиксирована, а приращение ∆x ̸= 0такое, что x + ∆x ∈ [a, b]. Воспользуемся аддитивностью интеграла и равенством (6.8), взяв g(x) ≡ 1:(∫)∫ xx+∆x∆FF (x + ∆x) − F (x))1==f (t)dt −f (t)dt =∆x∆x∆xx0x01∆x∫x+∆xf (t)dt = f (ξ),xгде ξ нестрого между x и x + ∆x. В силу непрерывности f в точке x, получаем∆F= lim f (ξ) = f (x).
∆x→0 ∆x∆x→0∃F ′ (x) = limСледствие 6.6. (о первообразной подынтегральной функции) Пусть функция f непрерывна∫ xна [a, b]. Тогда для любой фиксированной точки x0 ∈ [a, b]функция F (x) = x0 f (t)dt является первообразной функции f (x) и справедливаформула для неопределенного интеграла:∫∫ xf (x)dx =f (t)dt + C.(6.11)x0Доказательство вытекает из определений первообразной и неопределенногоинтеграла, теоремы о структуре множества всех первообразных и формулы(6.10). Геометрический смысл формулы (6.10): на рис. 6.4 видно, что приращение ∆F равно приращению площади ∆S, которое состоит из площади72Я. М. ДЫМАРСКИЙпрямоугольника f (x) · ∆x и площади Str (∆x) криволинейного треугольника,т.е.∆F = ∆S = f (x) · ∆x + Str (∆x).В силу непрерывности функции f , верно: Str (∆x) ≈ (1/2)∆x · ∆f = o(∆x).Рис.
6.4Обсуждение 6.3. 1) При фиксированном x0 ∈ [a, b] формула (6.9) определяет линейный оператор∫ xF̂ : R[a, b] → C 0 [a, b], (F̂ (f ))(x) := F (x) =f (t)dtx0(см. замечание 6.3). Из теоремы 6.15 следует, что сужение этого оператора напространство непрерывных функций действует в пространство гладких функций:F̂ C 0 : C 0 [a, b] → C 1 [a, b].Можно сказать, что оператор F̂ “улучшает” свойства функций, на которыедействует, в отличие от оператора дифференцирования.2) Формула (9.1) является ключевой в МА: она устанавливает связь междупонятиями неопределенного и определенного интеграла.
Ее переформулировкой являетсяТеорема 6.16. (формула Ньютона-Лейбница; Исаак Ньютон 1642 – 1727)Первая формулировка: пусть Φ(x) – произвольная первообразная непрерывнойна [a, b] функции f (x), тогда∫ bbf (x)dx = Φ(b) − Φ(a) = Φ(x)a .(6.12)aВторая формулировка: пусть Φ(x) – непрерывно дифференцируемая на [a, b]функция, тогда∫ bΦ(b) − Φ(a) =Φ′ (x)dx.(6.13)aДоказательство.
Возьмем x0 = a. Из формулы (9.1) следует, что существует единственная постоянная C, для которой∫ xf (t)dt ≡ Φ(x) + C, x ∈ [a, b].aЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР73Чтобы найти C, возьмем x = a. Получим C = −Φ(a). Остается в тождествоподставить x = b. Обсуждение 6.4. Формула Ньютона-Лейбница:1) устанавливает связь между понятиями определенного интеграла инеопределенного (первообразной);2) выражает глобальное свойство функции f на отрезке через значения еепервообразной только на концах;3) мощный инструмент для нахождения и исследования определенногоинтеграла;4) в формулировке (6.13) имеет многочисленные обобщения, которые будутнами рассмотрены позже.Замечание 6.10.
Если функция f кусочно-непрерывна, ее интегрируют спомощью формулы (6.12) на каждом отрезке, внутри которого она непрерывна.При этом ее доопределяют каждый раз в концах отрезков по непрерывности.Замечание 6.11. Свойства функции f быть интегрируемой (т.е. существование определенного интеграла) и иметь первообразную (т.е. существованиенеопределенного интеграла) являются независимыми. Функция может обладать одним из этих свойств, не обладая другим (приведите примеры). Непрерывность функции f является достаточным условием для того, чтобы существовал и определенный интеграл, и неопределенный.
Откуда уже вытекаетсправедливость формулы Ньютона-Лейбница. Однако требование непрерывности подынтегральной функции не является необходимым. Имеет местоТеорема 6.17. Критерий применимости формулы Ньютона-Лейбница:формула (6.12) верна тогда и т.т., когда на отрезке [a, b] функция f и интегрируема, и имеет на нем первообразную.Доказательство. Очевидно, если формула (6.12) верна, то f и интегрируема, и имеет первообразную.
Докажем обратное утверждение: если функция Φдифференцируема, а ее производная Φ′ интегрируема, то формула (6.13) верна.Рассмотрим произвольное разбиение a = x0 < x1 < . . . < xn = b отрезка [a, b] ивоспользуемся формулой Лагранжа:Φ(b) − Φ(a) = (Φ(x1 ) − Φ(a)) + (Φ(x2 ) − Φ(x1 )) + . . . + (Φ(b) − Φ(xn−1 ) =Φ′ (ξ1 )∆x1 + Φ′ (ξ1 )∆x1 + . . . + Φ′ (ξn )∆xn ,где ξi ∈ (xi−1 , xi ) (i = 1, . . . , n). Нами получена интегральная сумма Риманадля функции Φ′ , т.е. Φ(b)−Φ(a) = SP,Ξ (Φ′ ), в которой (в силу интегрируемостифункции Φ′ ) можно перейти к пределу при стремлении мелкости p(P ) → 0. Врезультате получаем, что∫ bΦ(b) − Φ(a) = lim SP,Ξ (Φ′ ) =Φ′ (x)dx.p(P )→0aЗаметим, что все полученные интегральные суммы равны между собой и совпадают с интегралом.
Т.е., попутно мы показали, что в условиях теоремы прилюбом разбиении P существует такая подчиненная выборка Ξ, для которойинтегральная сумма Римана совпадает с интегралом. 74Я. М. ДЫМАРСКИЙЗадача 6.1. Приведите пример разрывной функции, для которой формула(6.12) верна.6.7. Замена переменной и интегрирование по частям.Теорема 6.18. (замена переменной в определенном интеграле) Пустьфункция φ непрерывно дифференцируема на отрезке [α, β] и на концах принимает значения φ(α) = a, φ(β) = b.
Пусть функция f непрерывна на отрезкеφ([α, β]). Тогда∫ b∫ β′f (φ(t))φ (t)dt =f (x)dx.(6.14)αaДоказательство. Поскольку функция f непрерывна∫ x на φ([α, β]), у нее существует первообразная; например, функция F (x) = x0 f (t)dt верхнего предела интегрирования: F ′ (x) = f (x). Применим к f формулу Ньютона-Лейбница:∫bf (x)dx = F (b) − F (a) = F (φ(β)) − F (φ(α)).aС другой стороны, по правилу дифференцирования сложной функцииdF (φ(t)) = F ′ (φ(t))φ′ (t) = f (φ(t))φ′ (t).dtТ.е. функция F (φ(t)) – первообразная непрерывной функции f (φ(t))φ′ (t).Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница∫ βf (φ(t))φ′ (t)dt = F (φ(t))|βα = F (φ(α)) − F (φ(β)).
αЗамечания 6.1. 1) Не обязательно [a, b] = φ([α, β]); в общем случае [a, b] ⊂φ([α, β]) ⊂ Def (f ).2) Формулой (6.14) пользуются в обе стороны в зависимости от обстоятельств.3) В отличие от формулы замены переменной в неопределенном интеграле, вправой части формулы (6.14) не нужно возвращаться к переменной t, поскольку определенный интеграл – это число (и оно уже найдено!), а неопределенный– функция.4) Формулу (6.14) можно записать в терминах дифференциалов, используяинвариантность первого дифференциала:∫ β∫ bf (φ(t)) dφ(t) =f (x)dx.αaТеорема 6.19. (интегрирование по частям) Если функции u(x), v(x) непрерывно дифференцируемы на [a, b], то∫abb ∫u(x)v (x)dx = u(x)v(x) −′aabu′ (x)v(x)dx,(6.15)ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР75или в дифференциалах∫bb ∫u(x)dv(x) = u(x)v(x) −aabv(x)du(x).aДоказательство следует из правила дифференцирования произведения функций и формулы Ньютона-Лейбница:u(x)v ′ (x) = (u(x)v(x))′ − u′ (x)v(x) ⇒∫bu(x)v ′ (x)dx =a∫ba(u(x)v(x))′ dx −∫bab ∫u′ (x)v(x)dx = u(x)v(x) −abau′ (x)v(x)dx.
76Я. М. ДЫМАРСКИЙ§ 7. Геометрические и физическиеприложения определенного интегралаМы рассмотрим некоторые геометрические и физические понятия с применением определенного интеграла. Эти понятия в свое время стимулировалиразвитие математического анализа.
Наша цель – получить различные вычислительные формулы площадей, длин и объемов. (Для конкретных вычислений нужно выбирать ту формулу, которая лучше остальных подходит дляданной фигуры.) Сейчас мы не будем давать их строгое обоснование; это будет сделано позже, после изучения понятия меры.7.1. Площади плоских фигур.Определение 7.1. Пусть f ∈ C 0 [a, b], f (x) > 0 – непрерывная неотрицательная функция. Криволинейной трапецией называют часть плоскости,расположенную между осью Ox и графиком функции f (рис. 7.1):T (f ) := {(x, y) ∈ R2 : a 6 x 6 b, 0 6 y 6 f (x)}.Аналогично определяется криволинейная трапеция, расположенная между осьюOy и графиком функции x = g(y), где g(y) > 0. Рис. 7.1Рис.
7.2Для произвольного разбиения P отрезка [a, b] рассмотрим две ступенчатыефигуры – внутреннюю и объемлющую:G∗P (f ) =n∪{[xi−1 , xi ] × [0, mi ]}, mi =i=1G∗P (f ) =n∪{[xi−1 , xi ] × [0, Mi ]}, Mi =i=1minf (x), i = 1, . . . , n;maxf (x), i = 1, . . . , n;xi−1 6x6xixi−1 6x6xiG∗P ⊂ T ⊂ G∗P .Площади ступенчатых фигур совпадают с нижней и верхней суммами Дарбу:Sq(G∗P (f )) =n∑i=1mi · ∆xi = S∗P (f ), Sq(G∗P (f )) =n∑Mi · ∆xi = SP∗ (f )i=1(Sq от англ.
square=площадь). При стремлении мелкости разбиения к нулюсуммы Дарбу непрерывной функции f , неограниченно сближаясь, стремятся кее интегралу. Поэтому естественно дать следующееЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР77Определение 7.2. Площадью криволинейной трапеции, порожденнойграфиком непрерывной неотрицательной функции f , называют число∫ bSq(T (f )) :=f (x)dx.(7.1)aЕсли криволинейная трапеция образована графикомнеотрицательной функ∫dции x = g(y), то ее площадь равна Sq(T (g)) = c g(y)dy. Мы рассмотрим плоские множества (в теории площадей их традиционно называют “фигурами”), которые представляют собой конечное объединение криволинейных трапеций, попарно не пересекающихся по внутренним точкам, рис.7.2.
Примем пока на веру, что для площадей таких фигур справедливы:1. принцип аддитивности: площадь объединения двух криволинейныхтрапеций без общих внутренних точек равна сумме площадей;2. принцип равновеликости: площади двух равных фигур равны (двефигуры равны, если одна из них есть образ другой при некотором движении плоскости, рис. 7.3).Рис. 7.3Рис. 7.4Рассмотрим фигуруT (g, f ) := {(x, y) ∈ R2 : a 6 x 6 b, g(x) 6 y 6 f (x)},заключенную между двумя графиками (рис. 7.1).Теорема 7.1. Пусть f, g : [a, b] → R – непрерывные функции, причем g(x) 6f (x) на [a, b].
Тогда площадь фигуры T (g, f ) равна:∫ bSq(T (g, f )) =(f (x) − g(x))dx.(7.2)aДоказательство. Возьмем такое положительное C > 0, чтобы g(x) > 0.ТогдаSq(T (g, f )) = Sq(T (g + C, f + C)) = Sq(T (f + C)) − Sq(T (g + C)) =∫ b∫ b∫ b(f (x) + C)dx −(g(x) + C)dx =(f (x) − g(x))dx. aaaФормула (7.2) позволяет, например, найти площадь фигуры Ω, ограниченнойзамкнутой кусочно-гладкой кривой γ, которая задана вектор-функциейr : [a, a + T ] → R2 , r(t) := (x(t), y(t))T , (x(a), y(a)) = (x(a + T ), y(a + T )),78Я. М. ДЫМАРСКИЙгде функции x(t), y(t) – кусочно гладкие и x′2 (t) + y ′2 (t) > 0 в каждой точке гладкости. Пусть, по традиции, кривая ориентирована против часовойстрелки, т.е.
в точке гладкости область Ω остается слева от касательной прямой l(u) = r(t) + r′ (t)u, если смотреть по направлению вектора r′ (t), рис. 7.1.Теорема 7.2. Площадь∫ a+T∫′Sq(Ω) =x(t)y (t)dt = −a12a+Ty(t)x′ (t)dt =a(∫a+T)(x(t)y ′ (t) − y(t)x′ (t))dt .(7.3)aДоказательство теоремы для случая, когда фигура Ω = T (g, f ), осуществляется с помощью замены переменных (рис. 7.1):g : y(t) = g(x(t)), dx = x′ (t)dt, t ∈ [a, t1 ]; BCg : dx = 0 · dt, t ∈ [t1 , t2 ];ABg : y(t) = f (x(t)), dx = x′ (t)dt, t ∈ [t3 , t2 ]; DAg : dx = 0 · dt, t ∈ [t3 , a + T ].CDПолучаем, учитывая ориентацию кривой:∫ bSq(Ω) = Sq(T (g, f )) = −(g(x) − f (x))dx =a(∫t1−∫′t2g(x(t))x (t)dt +a(∫∫y(t) · 0 dt −′t3∫a+Ty(t)x (t)dt +a′y(t)x (t)dtt2∫′)a+Ty(t) · 0 dtf (x(t))x (t)dt +t1t2t2=t3)∫a+T=−y(t)x′ (t)dt.aВ общем случае фигуру разрезаем на конечное количество криволинейных трапеций и применяем принцип аддитивности; при этом интегрирование по внутренним дугам осуществляется дважды с противоположными знаками – в результате интегралы по внутренним дугам исчезают, рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
