Лекции Дымарский 2 семестр (1187969), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Еслиf (R(s)) – знакопеременная функция, то КИПР – электрический заряд дуги слинейной плотностью зарядов f (R(s)).84Я. М. ДЫМАРСКИЙТеорема 7.5. (свойства криволинейного интеграла первого рода)1. КИПР НЕ зависит от направления обхода кривой (см. рис. ???):∫∫f ds =f dς, где ς = S − sgABgBA2. КИПР аддитивен: если точка C ∈ γ (см. рис. ???), то∫∫∫f ds =f ds +f ds.gABgACgCB3. КИПР по замкнутой кривой (т.е.
A = B) НЕ зависит от выбора начальной точки и направления обхода кривой (см. рис. ???):∫∫f dsf ds =∀C ∈ γ ,→^CAC]ACA4. КИПР линеен относительно подынтегральной функции:∫∫∫∀α, β ∈ R, ∀f, g ∈ C 0 (Ω) ,→(αf + βg)ds = α f ds + β gds.γγРис. ???Доказательство п. 1:∫∫ S s = S − ς ds = −dςf ds =f (R(s))ds = A(ς1 = S) B(ς2 = 0)gAB0∫∫0∫∫Sf (R(S − ς))dς =0f (R(S − ς))dς =S∫S=0f (R(S − ς))(−dς) = −Sγf (R1 (ς))dς =0gBAf dς,где R1 (ς) = R(S − ς) – натуральная параметризация кривой, задающая обходкривой от B к A. В доказательстве мы использовали требование к пределаминтегрирования в определении КИПР – от нуля до S.Доказательство п. 2.
Пусть точке C отвечает значение параметра S1 ∈(0, S). Воспользуемся аддитивностью определенного интеграла, а затем второйинтеграл преобразуем к стандартному виду:∫∫ S1∫ S s = S1 + ςds = dς=f ds =f ds +f ds = C(ς1 = 0) B(ς2 = S − S1 ) gAB0S1∫∫S10∫S−S1f ds +f dς =0∫gACf ds +gCBf ds.Свойство 3 – тривиальное следствие пп. 1 и 2 (докажите самостоятельно!).Свойство 4 – известное свойство определенного интеграла. Замечание 7.2. Свойство 1 означает, что КИПР берется НЕ по ориентированной дуге от точки A к точке B, а по дуге без ориентации. Поэтомупредпочитают обозначать дугу одним символом γ.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР85Применение натурального параметра в конкретных вычислениях явлениеисключительное.
Поэтому полезно иметь формулу для вычисления КИПР впроизвольной параметризации.Теорема 7.6. Пусть кривая γ задана в произвольной допустимой параметризации r(t), точки A(t1 ), B(t2 ) ∈ γ, причем t1 < t2 (т.е. параметризациясогласована с данной натуральной). Тогда КИПР вычисляется по формуле∫∫ t2f (r(t))|r′ (t)|dt.(7.9)f ds =γt1Если же t1 > t2 , то следует поменять пределы интегрирования местами:∫ t1∫f ds =f (r(t))|r′ (t)|dt.t2γДоказательство. Допустимость параметризации означает, что вектор-функция r ∈ C 1 и |r′ (t)| > 0.
Тогда натуральный параметр выражается через данный: s = s(t), где |s′ (t)| > 0. Если t1 < t2 , то s′ (t) = |r′ (t)| (теорема 1.14.4).Сделав замену в формуле (7.8), мы получим доказываемую формулу:∫ S∫ t2∫ t2f (R(s))ds =f (R(s(t)))|r′ (t)|dt =f (r(t))|r′ (t)|dt.0t1′t1′Если же t1 > t2 , то s (t) = −|r (t)|. В этом случае∫ S∫ t2∫′f (R(s))ds = −f (R(s(t)))|r (t)|dt =0t1t1f (r(t))|r′ (t)|dt. t2Замечание 7.3. В произвольной параметризации для КИПР сохраняетсяпринцип: нижний предел интегрирования меньше верхнего.Если в координатах вектор-функция r(t) = (x(t), y(t), z(t))T и s′ (t) > 0, тогдаформула (7.9) приобретает вид∫∫ t2√f ds =f (x(t), y(t), z(t)) (x′ (t))2 + (y ′ (t))2 + (z ′ (t))2 dt.γt1Если же кривая заданая явно, т.е.
как график функции y = φ(x) (a 6 x 6 b),то∫∫ b√f ds =f (x, φ(x)) 1 + (φ′ (t))2 dt.γa7.6. Криволинейные интегралы второго рода. (КИВР). Пусть: γ =g – гладкая ориентированная кривая, заданная вектор-функцией R(s), заABвисящей от натурального параметра s, s ∈ [0, S]; ориентацию задает натуральный параметр s (об ориентации кривой см. замечание к определению 1.14.11).Пусть Ω ⊂ R3 – область, содержащая кривую γ; f : Ω → V3 – непрерывноевекторное поле. На рис. ??? изображено плоское векторное поле.
Поскольку→параметризация натуральная, вектор R′ (s) = −τ (s) есть единичный касательный вектор (см. следствие 1.14.1), направленный по ориентации кривой.86Я. М. ДЫМАРСКИЙОпределение 7.10. Криволинейным интегралом второго рода по дуg называется определенный интегралге AB∫gAB∫∫S(f, ds) =(f(R(s)), dR(s)) :=0S→(f(R(s)), −τ (s))ds. (7.10)0Рис. ???∫Замечания 7.4. 1) Первое обозначение ABg (f, ds) является символическим,в котором ds := dR(s) по определению.
Условие “нижний предел интегрирования меньше верхнего” является в определении КИВР принципиальным, как ив определении КИПР.2) Подынтегральная функция есть “дважды сложная”:(R ∋ s → R(s) →f(R(s))−→τ (s))→→ (f(R(s)), −τ (s)) ∈ R.3) КИВР по замкнутой кривой играет важную роль в теории функций комплексного переменного, дифференциальной геометрии и топологии, в теорииполя и многочисленных физических приложениях.
ЕгоHназывают циркуляцией векторного поля f по контуру γ и обозначают γ (f, ds).4) Для определения КИВР достаточно задать векторное поле f только накривой γ. Но в приложениях (например, в теории поля) кривая обычно подвергается возмущениям. Поэтому естественно потребовать существования векторного поля в некоторой области, содержащей данную кривую.Физическая интерпретация.
Если f – силовое поле, то КИВР – работапо перемещению материальной точки из A в B по кривой γ под воздействиемсилы f.Теорема 7.7. (свойства криволинейного интеграла второго рода)1. При изменении ориентации кривой КИВР меняет знак на противоположный:∫∫(f, ds) = −(f, ds);gABgBA2.
КИВР аддитивен: для любой точки C ∈ γ∫∫∫(f, ds) =(f, ds) +gABgACgCB(f, ds).3. КИВР по замкнутой кривой (т.е. A = B) НЕ зависит от выбора начальной точки при условии, что ориентация кривой не меняется (см.рис. ???). Другими словами: если для точек C(s1 ), D(s2 ) справедливо0 < s1 < s2 < S, то∫∫∀C ∈ γ ,→(f, ds) =(f, ds)^ACDA^CDACЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР874.
КИВР линеен относительно векторного поля: ∀α, β ∈ R, ∀f, g ∈ C 0 (Ω)справедливо∫∫∫(αf + βg, ds) = α(f, ds) + β(g, ds).gABgABgABРис. ???Доказательство п. 1. При изменении ориентации кривой в каждой точке→единичный касательный вектор −τ меняется на противоположный. Учитываяэто обстоятельство, получаем∫ s=S−ς(f(R(s)), dR(s)) = C(ς1 = S)gAB∫S− ∫ 0ds = −dς =(f(R(S − ς)), dR(S − ς)) =B(ς2 = 0) S−(f(R(S − ς)), −→τ (S − ς))dς = −0S−(f(R1 (ς)), →τ 1 (ς))dς =0∫−∫gBA(f(R1 (ς)), dR1 (ς)),где R1 (ς) = R(S−ς) – натуральная параметризация кривой с противоположной→ориентацией, а −τ 1 (ς) = R′1 (ς).Пункты 2-4 доказываются как в теореме Теперь мы обсудим различные способы обозначения КИВР в координатнойзаписи и его вычисление в произвольной параметризации.Пусть натуральная параметризация R(s) = (x(s), y(s), z(s))T .
Тогда единичный касательный вектор−→τ (s) = (x′ (s), y ′ (s), z ′ (s))T = (cos α1 (s), cos α2 (s), cos α3 (s))T ,где αi (s) (i = 1, 2, 3) – углы, образованные координатными осями с единичным→вектором −τ (s). Из определения дифференциала следует, чтоdR(s) = (cos α1 (s), cos α2 (s), cos α3 (s))ds = (dx(s), dy(s), dz(s)).Пусть векторное поле f(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)). Тогда∫∫(f, ds) =(P (s) cos α1 (s) + Q(s) cos α2 (s) + R(s) cos α3 (s))ds =gABgAB∫=gAB(P dx + Qdy + Rdz),где P (s) = P (x(s), y(s), z(s)) и аналогично определяются функции Q(s), R(s).Указанные способы записи КИВР носят геометрический (инвариантный) характер и удобны в теоретических исследованиях. Для конкретного вычисленияКИВР применяют задание кривой и векторного поля в произвольной параметризации.88Я.
М. ДЫМАРСКИЙТеорема 7.8. (о вычислении КИВР в произвольной параметризации) Пустьr(t) = (x(t), y(t), z(t)) (t ∈ [a, b]) – допустимая параметризация кривой γ, согласованная с ориентацией кривой. Тогда∫∫gABb(f, ds) =(f(r(t)), r′ (t))dt =a∫b(P (t)x′ (t) + Q(t)y ′ (t) + R(t)z ′ (t))dt,aгде P (t) = P (x(t), y(t), z(t)) и аналогично определяются функции Q(t), R(t).Доказательство. Поскольку параметризация допустимая, то существуетгладкая биекция s = s(t), для которой R(s(t)) ≡ r(t).
По правилу дифференцирования сложной функции R′ (s(t)) · s′ (t) = r′ (t). Поэтому, в силу правилазамены переменной в определенном интеграле и линейности скалярного произведения, получаем:∫S∫′(f(R(s)), R (s))ds =0b′′∫b(f(R(s(t))), R (s(t)))s (t)dt =a(f(r(t)), r′ (t))dt. aЕсли кривая плоская и задана как график функции y = φ(x), то получаемформулу∫∫ b(f, dR) =(P (x) + Q(x)φ′ (x))dx.gABaЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР89§ 8. Несобственный интегралОпределенный интеграл Римана, во-первых, определен на конечном отрезке[a, b], во-вторых, необходимым условием его существования является ограниченность интегрируемой функции (лемма ??). Несобственный интеграл (НИ)– это расширение понятия интеграла Римана и на неограниченный промежутокинтегрирования, и на функцию, которая неограничена в окрестности некоторых точек области интегрирования.
НИ возникают в физике при исследованиина бесконечности (например, удаление тяготеющих масс) или при неограниченном сближении (например, одноименных зарядов). Также НИ применяются вматематической статистике (распределение случайной величины).8.1. Определение несобственного интеграла.Определение 8.1. Пусть функция f : [a, b) → R, где b 6 +∞, интегрируема на любом подотрезке [a, b′ ] ⊂ [a, b]. Несобственным интегралом называют конечный предел∫ →b∫ b′f (x)dx := ′ limf (x)dx ∈ R. (8.1)ab →b−0a∫ b′Обсуждение 8.1. Функция F (b′ ) := a f (x)dx есть функция предела интегрирования. Она непрерывна в силу теоремы 6.14. Следовательно, существование НИ есть существование конечного одностороннего предела непрерывнойфункции F .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
