Лекции Дымарский 2 семестр (1187969), страница 16
Текст из файла (страница 16)
7.1. Замечания 7.1. 1) Последняя формула (7.3) полезна в том случае, когдафигура обладает симметрией, которая приводит к упрощению подынтегрального выражения.∫b2) Если функция f знакопеременная, интеграл a f (x)dx в некоторых случаяхтрактуют, как ориентированную площадь криволинейной трапеции.Обсудим применение полярной системы координат.Определение 7.3.
Пусть в полярных координатах (ρ, φ) задана непрерывная кривая ρ = ρ(φ), φ ∈ [α, β], где ρ(φ) – непрерывная неотрицательнаяфункция. (По геометрической традиции функцию радиуса и ее значения обозначают, ради экономии записи, одной буквой.) Криволинейным секторомназывают часть плоскости, расположенную между крайними лучами и кривой(рис. 7.4):Sec := {(ρ, φ) : α 6 φ 6 β, 0 6 ρ 6 ρ(φ)}. ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР79Для произвольного разбиения P отрезка [α, β] рассмотрим два ступенчатых сектора – внутренний и объемлющий:G∗P =n∪{(ρ, φ) : φi−1 6 φ 6 φi , 0 6 ρ 6 mi }, mi =i=1G∗P=n∪{(ρ, φ) : φi−1 6 φ 6 φi , 0 6 ρ 6 Mi }, Mi =i=1minρ(φ), i = 1, .
. . , n;maxρ(φ), i = 1, . . . , n;xi−1 6x6xixi−1 6x6xiG∗P ⊂ Sec ⊂ G∗P .Из школьного курса известна площадь сектора. Поэтому мы можем записатьплощади ступенчатых секторов, которые совпадают с нижней и верхней суммами Дарбу функции h(φ) = ρ2 (φ):Sq(G∗P ) =1∑ 2m (φi − φi−1 ) = S∗P2 i=1 iSq(G∗P ) =1∑ 2M (φi − φi−1 ) = SP∗2 i=1 inn(()1 2ρ (φ) ,2)1 2ρ (φ) .2Естественно дать следующееОпределение 7.4. Площадью криволинейного сектора, порожденного непрерывной кривой ρ = ρ(φ), называют числоSq(Sec) :=12∫βρ2 (φ)dφ. (7.4)αФормула (7.4) полезна при вычислении площади ограниченной звезднойфигуры: фигуру Ω называют звездной относительно фиксированной точкиC, если для любой ее точки A ∈ Ω отрезок [CA] ⊂ Ω. Примеры: 1) выпуклаяфигура является звездной относительно любой своей точки; 2) две пересекающиеся прямые звездны только относительно точки пересечения; 3) круг,проколотый в произвольной внутренней точке, не является звездным по отношению к любой точке (докажите).
На рис. 7.1 и 7.6 изображены звездныефигуры.Обсуждение 7.1. Позже будет показано, что определения (7.1) и (7.4) –это частные случаи “жордановой меры” плоских фигур. Но уже сейчас полезноубедиться, что формулы (7.1) и (7.4) согласованы. Для этого достаточно проверить, что, вычисленная по формуле (7.4), площадь прямоугольника OACBс вершинами O(0.0), A(a, 0), C(a, b), B(0, b) равна ab.Задача 7.1. Рассмотрите прямоугольник OACB как криволинейный сектор Sec , у которого φ ∈ [0, π/2].
Проверьте, что его площадь Sq(Sec ) = ab.80Я. М. ДЫМАРСКИЙРис. 7.6.Розаρ = sin 3φРис. 7.5.Кардиоидаρ = 2(1 − cos φ)7.2. Длина дуги кривой. Пусть дана гладкая кривая, заданная векторфункцией r ∈ C 1 [a, b] с невырожденной производной |r′ (t)| > 0; пусть в координатах r(t) = (x(t), y(t), z(t))T . У нас имеется определение 1.14.13 длиныдуги кривой и доказана√теорема 1.14.4 о производной длины дуги по параметру: s′ (t) = |r′ (t)| = (x′ (t))2 + (y ′ (t))2 + (z ′ (t))2 > 0. Тогда из формулыНьютона-Лейбница сразу получаемТеорема 7.3. Длина кривой равна∫ b∫ b∫ b√s=s′ (t)dt =|r′ (t)|dt =(x′ (t))2 + (y ′ (t))2 + (z ′ (t))2 dt.aa(7.5)aПоскольку график гладкой функции f есть плоская кривая r(x) = (x, f (x))T ,то справедливоСледствие 7.1.
Длина дуги графика гладкой функции f равна∫ b√s(Gr(f )) =1 + (f ′ (x))2 dx.aПолезно знать формулу длины кривой, заданной в полярной системе координат (ρ, φ).Следствие 7.2. Пусть в полярной системе координат гладкая кривая задана непрерывно дифференцируемой функцией ρ = ρ(φ), φ ∈ [α, β]. Тогда еедлина вычисляется формулой∫ β√s=(ρ′ (φ))2 + ρ2 (φ) dφ.αДоказательство. Параметром кривой является угол φ.
По определениюполярной системыx(φ) = ρ(φ) cos φ ⇒ x′ (φ) = ρ′ (φ) cos φ − ρ(φ) sin φ;y(φ) = ρ(φ) sin φ ⇒ x′ (φ) = ρ′ (φ) sin φ + ρ(φ) cos φ.Подставляя в формулу (7.5), получаем ответ. ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР81Замечание 7.1. Если кривая кусочно-гладкая, то находим длину каждойгладкой дуги и складываем результаты, опираясь на аддитивность длины.7.3.
Объем тела вращения.Определение 7.5. Пусть f ∈ C 0 [a, b], f (x) > 0 – непрерывная неотрицательная функция. Телом вращения вокруг оси Ox, порожденным графикомGr(f ), называют подмножество пространства (см. рис. ???????)√R(f ) := {(x, y, z) ∈ R3 : a 6 x 6 b, y 2 + z 2 6 f (x)}. Для произвольного разбиения P отрезка [a, b] рассмотрим два цилиндрических ступенчатых тела – внутреннее и объемлющее:G∗P (f ) =n∪{(x, y, z) : xi−1 6 x 6 xi ,√y 2 + z 2 < mi },i=1G∗P (f ) =n∪{(x, y, z) : xi−1 6 x 6 xi ,√y 2 + z 2 < Mi };i=1G∗P ⊂ R ⊂ G∗P .Из школьного курса известен объем цилиндра. Поэтому мы можем записатьобъемы цилиндрических ступенчатых тел, которые совпадают с нижней и верхней суммами Дарбу:Sq(G∗P (f )) = πn∑m2i (xi − xi−1 ) = S∗P (πf 2 ),i=1Sq(G∗P (f )) = πn∑Mi2 (xi − xi−1 ) = SP∗ (πf 2 ).i=1Естественно дать следующееОпределение 7.6. Объемом тела вращения, порожденного графикомнепрерывной неотрицательной функции f , называют число∫bf 2 (x)dx.
V ol(R(f )) = πa7.4. Площадь поверхности вращения.Определение 7.7. Пусть f ∈ C 1 [a, b], f (x) > 0 – гладкая неотрицательнаяфункция. Поверхностью вращения вокруг оси Ox, порожденной графикомGr(f ), называют подмножество пространства (см. рис. ???)√SR(f ) := {(x, y, z) ∈ R3 : a 6 x 6 b, y 2 + z 2 = f (x)}.
82Я. М. ДЫМАРСКИЙРис. ???В отличие от определения площади плоской фигуры и объема тела вращения, для определения площади поверхности вращения применим определениеРимана, а не Дарбу. Для произвольного разбиения P отрезка [a, b] построимломанную, вписанную у график Gr(f ) (рис. ?????). Длина звена ломанной√∆si = (xi − xi−1 )2 + (f (xi ) − f (xi−1 ))2 .При вращении звена ломанной образуется боковая поверхность усеченного конуса, а вся ломанная порождает коническую ступенчатую поверхностьConP .
Из курса геометрии известно, что площадь поверхности усеченного конуса равна Sq(Con) = π(R1 + R2 )s, где R1 , R2 – радиусы оснований, s – длинаобразующей. Поэтому площадь конической ступенчатой поверхности ConPравнаn∑Sq(ConP ) = π(f (xi−1 ) + f (xi ))∆si .(7.6)i=1Определение 7.8. Площадью поверхности вращения, порожденной графиком гладкой функции, называют пределSq(R(f )) =lim Sq(ConP ),p(P )→0где p(P ) – мелкость разбиения P .Теорема 7.4.
Площадь поверхности вращения, порожденная графиком гладкой неотрицательной функции f (x) > 0, существует и равна∫Sq(R(f )) = 2πbf (x)√1 + (f ′ (x))2 dx.(7.7)aДоказательство. По теореме Лагранжа f (xi ) − f (xi−1 ) = f ′ (ξi )∆xi , гдеξi ∈ (xi−1 , xi ). Поэтому формула (7.6) имеет видSq(ConP ) = πn∑√(f (xi−1 ) + f (xi )) 1 + (f ′ (ξi ))2 ∆xi .i=1Полученное выражение напоминает интегральную сумму для интеграла (7.7).Поэтому запишем эту сумму в видеSq(ConP ) = 2πn∑√f (ξi ) 1 + (f ′ (ξi ))2 ∆xi +i=1n∑√π(f (xi−1 ) + f (xi ) − 2f (ξi )) 1 + (f ′ (ξi ))2 ∆xi = Σ′ + Σ′′ .i=1В силу непрерывности производной f ′ (x), первая сумма Σ′ имеет пределоминтеграл (7.7). Покажем, что вторая сумма Σ′′ стремиться к нулю, когда мелкость стремиться к нулю. На отрезке [a, b] производная равномерно ограничена:ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР83∃Cb] ,→ |f ′ (x)| < C.
Поэтому равномерно на [a, b] верна оценка√ > 0 : ∀x ∈ [a,√′21 + (f (ξi )) < 1 + C 2 . Для первого сомножителя имеем|f (xi−1 ) + f (xi ) − 2f (ξi )| 6 |f (xi−1 ) − f (ξi )| + |f (xi ) − f (ξi )| 6|f ′ (θ1 )|∆xi + |f ′ (θ2 )|∆xi 6 2 C ∆xi 6 2 C p(P ), где θ1 ∈ (xi−1 , ξi ), θ2 ∈ (ξi , xi ).Получили оценку на вторую сумму ′′ √ Σ 6 2π C 1 + C 2 (b − a) p(P ) → 0 при p(P ) → 0. Замечания 7.2.
1) При нахождении объема тела вращения мы аппроксимировали его цилиндрами, при нахождении поверхности вращения аппроксимировали его же усеченными конусами. Вторая аппроксимация точнее первой.Можно показать, что для нахождения объемов уточнение ничего, кроме дополнительных вычислительных сложностей, не дает, а для нахождения площадейаппроксимация цилиндрами не пригодна.2) Если функция f кусочно-гладкая, то находим площадь поверхности вращения, порожденной каждой из гладких дуг графика, и складываем результаты, опираясь на аддитивность площади.7.5. Криволинейные интегралы первого рода. Криволинейные интегралы часто возникают в физических задачах. Они бывают первого и второгородов.g – гладкая кривая, заданная вектор-функОпределение 7.9. Пусть: γ = ABцией R(s), зависящей от натурального параметра s, s ∈ [0, S] (S > 0);A(0), B(S) ∈ γ – начальная и конечная точки кривой; Ω ⊂ R3 – область,содержащая кривую γ; f : Ω → R – непрерывная функция (т.е.
скалярноеполе на Ω). Криволинейным интегралом первого рода (КИПР) по дугеg называется определенный интегралγ = AB∫∫f ds =γgAB∫Sf (R(s))ds. f ds =(7.8)0Замечания 7.3. 1) Условие S > 0 является принципиальным в данномопределении. Т.е., КИПР – это определенный интеграл от сложной функцииf (R(s)), у которого нижний предел интегрирования всегда меньше верхнего.2) Для определения КИПР достаточно задать скалярное поле f только накривой γ. Но в приложениях (например, в вариационных и топологическихзадачах) кривая обычно подвергается “возмущениям”. Поэтому естественнопотребовать существования скалярного поля в некоторой области, содержащейданную кривую.∫Физическая интерпретация. Если f (R(s)) ≡ 1, то γ ds – длина дуги γ.∫Если f (R(s)) > 0, то γ f ds – масса дуги с линейной плотностью f (R(s)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
