Лекции Дымарский 2 семестр (1187969)
Текст из файла
Я. М. ДымарскийЛекции по математическому анализу, второй семестр§ 1. Точечно-векторное пространствоСейчас мы введем необходимые алгебраические и геометрические понятиядля построения многомерного анализа.1.1. Основные определения. В п. 1.14.1 мы ввели арифметическое n-мерное пространство, т.е. декартову степень Rn (n ∈ N).
Будем называть элементы x = (x1 , . . . , xn ) = (xi ) ∈ Rn точками, а упорядоченный набор чисел (xi ) –координатами точки.Через Vn обозначим n-мерное векторное=линейное пространство, элементы которого задаются упорядоченным набором из n чисел-координат, которые записаны столбцом: a = (a1 , . .
. , an )T . Согласно договоренности п.1.14.1, координаты точки записываем строкой, а координаты вектора – столбцом. Между Rn и Vn имеется каноническая биекция x = (x1 , . . . , xn ) ↔ x =(x1 , . . . , xn )T , которая ставит в соответствие точке ее радиус-вектор.Точечное пространство мы будем использовать для задания отображенийобщего вида, а векторное – для конструирования отображений специальноговида, прежде всего линейных и квадратичных. Напомним основные факты,относящиеся к пространству Vn .1) Все векторы образуют линейное пространство с операциями сложения и умножения на действительное число по правилам:a + b := (a1 + b1 , ..., an + bn ), αa := (αa1 , ..., αan ),т.е. “покоординатно”.
Введенные операции удовлетворяют всем аксиомам линейного пространства:1.2.3.4.5.6.7.8.коммутативность сложения;ассоциативность сложения;существование нулевого вектора: 0 = (0, ..., 0);существование противоположного вектора: −a = (−a1 , ..., −an );ассоциативность умножения на число;дистрибутивность умножения вектора на число по сложению чисел;дистрибутивность умножения вектора на число по сложению векторов;нейтральность умножения вектора на число 1.Задача 1.1.
. Самостоятельно расшифруйте, что подразумевают перечисленные аксиомы. (Указание: введенные операции “вдохновлены” операциямис координатами векторов в геометрическом трехмерном пространстве.)c⃝Я. М. Дымарский,20192Я. М. ДЫМАРСКИЙВекторы e1 = (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..., 0), ..., en = (0, ..., 0, 1) образуют базис линейного пространства; в этом базисе компоненты ai являются именнокоординатами вектора (вспомните определение базиса и координат из курсалинейной алгебры). Следовательно, данное пространство n-мерное.2) Для того, чтобы ввести в обращение метрические понятия, используетсяскалярное произведение векторов:a · b = ab := a1 b1 + ...
+ an bn .Очевидно, что выполнены аксиомы скалярного произведения:1. коммутативность: ab = ba;2. линейность по каждому сомножителю: (αa + βb)c = αac + βbc;3. положительная определенность: ∀a ,→ a2 := aa > 0; a2 = 0 ↔ a = 0.Линейное пространство вместе со скалярным произведением называется евклидовым. Напомним фундаментальноеЛемма 1.1. Неравенство Коши-Буняковского (Буняковский ВикторЯковлевич, 1804-1889): (ab)2 6 a2 · b2 . Знак равенства имеет место тольков случае коллинеарности векторов (т.е.
b = αa).Доказательство основано на положительной определенности скалярногопроизведения. Числовая функция f (t) := (ta + b)2 > 0 является квадратичнойпо t. Условие ее неотрицательности эквивалентно неположительности ее дискриминанта: D/4 = (ab)2 − a2 b2 6 0. Обнуление функции f возможно толькотогда, когда ∃t0 : t0 a + b = 0.
Следствие 1.1. Неравенство Коши-Буняковского в Rn имеет вид:)2( nnn∑∑∑b2k .ak bk6a2kk=1k=1k=1Скалярное произведение позволяет ввести “длину” вектора и угол междувекторами.Определение 1.1. Нормой (модулем) вектора называется неотрицательное число√√|a| := a2 = a21 + ... + a2n .
Лемма 1.2. (свойства нормы) Для любых a, b ∈ Vn и α ∈ R верно:1. положительная определенность: |a| > 0, |a| = 0 ↔ a = 0;2. однородность |αa| = |α||a|;3. неравенство Коши-Буняковского: |ab| 6 |a||b|;4. неравенство треугольника: |a + b| 6 |a| + |b|.Задача 1.2. . Докажите лемму 1.2. Запишите неравенство неравенствотреугольника в координатах.Определение 1.2. Угол между ненулевыми векторами a и b определяетсяпо правилуabd. a,b := arccos|a| |b|ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР3Определение “эксплуатирует” геометрическое определение скалярного проdизведения ab = |a||b| cos a,b.
Оно корректно: в силу неравенства Коши,|ab|d| cos a,b| 66 1,|a| |b|следовательно угол определен для произвольных векторов a и b.3) Точечно-векторные операции позволяют использовать векторные операции для исследования отображений точечных пространств.Определение 1.3. Точечно-векторные операции:1. разность точек x(xi ) и y(yi ) – это вектор−−−→x − y := (xi − yi )T ;2. откладывание вектора от точки – это точкаx(xi ) + a(ai )T := y(xi + ai );3.
расстояние между точками√−−−→ρ(x, y) := |x − y| = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + . . . + (xn − yn )2 . (1.1)Замечание 1.1. Если y = x + a, то для радиус-векторов верно y = x + a.Из определения расстояния между точками и п. 4 леммы 1.2 вытекаетСледствие 1.2. (“аксиомы метрики”)1. положительная определенность: ∀x, y ,→ ρ(x, y) > 0, ρ(x, y) = 0 ↔x = y;2. симметричность: ρ(x, y) = ρ(y, x);3.
неравенство треугольника: ∀x, y, z ,→ ρ(x, y) 6 ρ(x, z) + ρ(z, y).Пару пространств A := (Rn , Vn ), связанных указанными операциями, называют точечно-векторным или аффинным пространством.Напомним, прямым=декартовым произведением двух точечных пространств мы называем точечное пространство всевозможных упорядоченныхпар:Rn × Rm := {(x, y)} = {(x1 , ..., xn , y1 , ..., ym )} ∼= Rn+m ,где знак ∼= означает каноническую биекцию. Для произвольных подмножествX ⊂ Rn , Y ⊂ Rm определено прямое произведениеX × Y = {(x, y) : x ∈ X ∧ y ∈ Y } ⊂ Rn × Rm .Для соответствующих векторных пространств определена конструкция прямой суммы:Vn ⊕ Vm ∼= Vn+m , ∀x ∈ Vn , ∀y ∈ Vm ,→ (x, y) ∈ Vn ⊕ Vm ,4Я.
М. ДЫМАРСКИЙа все операции с векторами выполняются “покоординатно”, т.е.α(a, b) + β(c, d) := (αa + βc, αb + βd),(a, b) · (c, d) := a · c + b · d.В силу определения (1.1), получаем формулу расстояния между точками впрямом произведении:√−−−→−−−→ρ((x, y), (u, v)) = |x − u|2 + |y − v|2 .Для двух аффинных пространств определим конструкцию прямой суммыA1 ⊕ A2 = (Rn , Vn ) ⊕ (Rm , Vm ) := (Rn × Rm , Vn ⊕ Vm ).1.2. Типы точек и подмножеств.
Обзор. Здесь мы изучим возможноерасположение точек относительного выделенного подмножества и типы подмножеств. Оказывается, понятие окрестности, которым мы уже применяли напрямой, приводит к многочисленным характеристикам и связям между точками и подмножествами.Определение 1.4. (двух типов окрестностей)1.
Шаровой ε-окрестностью (ε > 0) точки x0 ∈ Rn называется подмножествоUε (x0 ) := {x ∈ Rn : ρ(x, x0 ) < ε}.Шаровую ε-окрестность мы будем называть просто “окрестностью”.2. Проколотой шаровой ε-окрестностью (ε > 0) точки x0 ∈ Rn называется подмножество◦U ε (x0 ) := {x ∈ Rn : 0 < ρ(x, x0 ) < ε}.
Если n = 1, то определения совпадают с введенными ранее. Если n = 2(n = 3), то ε-окрестность называют открытым кругом (шаром) с центром вточке x0 и радиусом ε. Название открытый n-мерный шар используют дляUε (x0 ) в общем случае, а (n − 1)-мерной сферой с центром в точке x0 ирадиусом ε называют подмножествоS n−1 (x0 ) := {x ∈ Rn : ρ(x, x0 ) = ε}.Замечание 1.2. .
Наряду с шаровыми применяют и другие типы окрестностей. Например, открытые прямоугольные параллелепипедыΠn := (a1 , b1 ) × (a2 , b2 ) × . . . × (an , bn ) ⊂ Rn .Пусть X ⊂ Rn . Обозначим через X C (от “complement”) дополнение к X вR : X C = {x ∈ Rn : x ∈/ X}. Очевидно, что (X C )C = X.nОпределение 1.5. (некоторых типов точек относительно подмножества)Точка x0 ∈ Rn называется по отношению к подмножеству XЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР51.
внутренней, если x0 принадлежит X вместе с некоторой окрестностью:∃ε > 0 : Uε (x0 ) ⊂ X;2. изолированной, если она принадлежит X, и существует ее проколотаяокрестность, не пересекающаяся с X:◦◦x0 ∈ X ∧ ∃U ε (x0 ) : U ε (x0 ) ∩ X = ∅;3. предельной, если в любой ее окрестности находятся точки из X, отличные от x0 ⇔ в любой ее проколотой окрестности находятся точкииз X:◦∀ε > 0 : U ε (x0 ) ∩ X ̸= ∅;4. граничной, если в любой ее окрестности находятся как точки из X, таки точки из дополнения X C :∀ε > 0 : Uε (x0 ) ∩ X ̸= ∅ ∧ Uε (x0 ) ∩ X C ̸= ∅.
Задача 1.3. На плоскости изобразите (по возможности) множество, задаваемое уравнениями, неравенствами и координатами его точек:}∪√{}∪{X = 0 < x2 + y 2 < 1y = 1 − x2 , x ∈ [−1, 1){} {∞}∞∪ ∪ 1∪1( , 3) .( , 2) ∪ {(0, 2)}kkk=1k=1Какие точки по отношению ко множествам X и X C являются: 1) внутренними,2) изолированными, 3) предельными, 4) граничными?Обсуждение 1.1. Одна и та же точка может одновременно принадлежатьк разным типам. Так, внутренняя точка всегда предельная, изолированная– всегда граничная (докажите). Внутренние и изолированные точки принадлежат множеству X (по определению); предельные и граничные точки могутпринадлежать как X, так и дополнению X C . В результате между введенными понятиями возникают многочисленные логические связи, из которых мыобсудим только важнейшие.Лемма 1.3.
(о принадлежности предельных и граничных точек) Если точка x0 ∈ X, то:1. она является предельной только в том случае, когда она не являетсяизолированной;2. она является граничной только в том случае, когда она не являетсявнутренней.Задача 1.4. Докажите лемму 1.3.Различные типы точек порождают различные типы подмножеств пространства. Особо мы выделяем следующие:6Я.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
