Главная » Просмотр файлов » Лекции Дымарский 2 семестр

Лекции Дымарский 2 семестр (1187969)

Файл №1187969 Лекции Дымарский 2 семестр (Лекции Дымарский 2 семестр)Лекции Дымарский 2 семестр (1187969)2020-09-16СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Я. М. ДымарскийЛекции по математическому анализу, второй семестр§ 1. Точечно-векторное пространствоСейчас мы введем необходимые алгебраические и геометрические понятиядля построения многомерного анализа.1.1. Основные определения. В п. 1.14.1 мы ввели арифметическое n-мерное пространство, т.е. декартову степень Rn (n ∈ N).

Будем называть элементы x = (x1 , . . . , xn ) = (xi ) ∈ Rn точками, а упорядоченный набор чисел (xi ) –координатами точки.Через Vn обозначим n-мерное векторное=линейное пространство, элементы которого задаются упорядоченным набором из n чисел-координат, которые записаны столбцом: a = (a1 , . .

. , an )T . Согласно договоренности п.1.14.1, координаты точки записываем строкой, а координаты вектора – столбцом. Между Rn и Vn имеется каноническая биекция x = (x1 , . . . , xn ) ↔ x =(x1 , . . . , xn )T , которая ставит в соответствие точке ее радиус-вектор.Точечное пространство мы будем использовать для задания отображенийобщего вида, а векторное – для конструирования отображений специальноговида, прежде всего линейных и квадратичных. Напомним основные факты,относящиеся к пространству Vn .1) Все векторы образуют линейное пространство с операциями сложения и умножения на действительное число по правилам:a + b := (a1 + b1 , ..., an + bn ), αa := (αa1 , ..., αan ),т.е. “покоординатно”.

Введенные операции удовлетворяют всем аксиомам линейного пространства:1.2.3.4.5.6.7.8.коммутативность сложения;ассоциативность сложения;существование нулевого вектора: 0 = (0, ..., 0);существование противоположного вектора: −a = (−a1 , ..., −an );ассоциативность умножения на число;дистрибутивность умножения вектора на число по сложению чисел;дистрибутивность умножения вектора на число по сложению векторов;нейтральность умножения вектора на число 1.Задача 1.1.

. Самостоятельно расшифруйте, что подразумевают перечисленные аксиомы. (Указание: введенные операции “вдохновлены” операциямис координатами векторов в геометрическом трехмерном пространстве.)c⃝Я. М. Дымарский,20192Я. М. ДЫМАРСКИЙВекторы e1 = (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..., 0), ..., en = (0, ..., 0, 1) образуют базис линейного пространства; в этом базисе компоненты ai являются именнокоординатами вектора (вспомните определение базиса и координат из курсалинейной алгебры). Следовательно, данное пространство n-мерное.2) Для того, чтобы ввести в обращение метрические понятия, используетсяскалярное произведение векторов:a · b = ab := a1 b1 + ...

+ an bn .Очевидно, что выполнены аксиомы скалярного произведения:1. коммутативность: ab = ba;2. линейность по каждому сомножителю: (αa + βb)c = αac + βbc;3. положительная определенность: ∀a ,→ a2 := aa > 0; a2 = 0 ↔ a = 0.Линейное пространство вместе со скалярным произведением называется евклидовым. Напомним фундаментальноеЛемма 1.1. Неравенство Коши-Буняковского (Буняковский ВикторЯковлевич, 1804-1889): (ab)2 6 a2 · b2 . Знак равенства имеет место тольков случае коллинеарности векторов (т.е.

b = αa).Доказательство основано на положительной определенности скалярногопроизведения. Числовая функция f (t) := (ta + b)2 > 0 является квадратичнойпо t. Условие ее неотрицательности эквивалентно неположительности ее дискриминанта: D/4 = (ab)2 − a2 b2 6 0. Обнуление функции f возможно толькотогда, когда ∃t0 : t0 a + b = 0.

Следствие 1.1. Неравенство Коши-Буняковского в Rn имеет вид:)2( nnn∑∑∑b2k .ak bk6a2kk=1k=1k=1Скалярное произведение позволяет ввести “длину” вектора и угол междувекторами.Определение 1.1. Нормой (модулем) вектора называется неотрицательное число√√|a| := a2 = a21 + ... + a2n .

Лемма 1.2. (свойства нормы) Для любых a, b ∈ Vn и α ∈ R верно:1. положительная определенность: |a| > 0, |a| = 0 ↔ a = 0;2. однородность |αa| = |α||a|;3. неравенство Коши-Буняковского: |ab| 6 |a||b|;4. неравенство треугольника: |a + b| 6 |a| + |b|.Задача 1.2. . Докажите лемму 1.2. Запишите неравенство неравенствотреугольника в координатах.Определение 1.2. Угол между ненулевыми векторами a и b определяетсяпо правилуabd. a,b := arccos|a| |b|ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР3Определение “эксплуатирует” геометрическое определение скалярного проdизведения ab = |a||b| cos a,b.

Оно корректно: в силу неравенства Коши,|ab|d| cos a,b| 66 1,|a| |b|следовательно угол определен для произвольных векторов a и b.3) Точечно-векторные операции позволяют использовать векторные операции для исследования отображений точечных пространств.Определение 1.3. Точечно-векторные операции:1. разность точек x(xi ) и y(yi ) – это вектор−−−→x − y := (xi − yi )T ;2. откладывание вектора от точки – это точкаx(xi ) + a(ai )T := y(xi + ai );3.

расстояние между точками√−−−→ρ(x, y) := |x − y| = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + . . . + (xn − yn )2 . (1.1)Замечание 1.1. Если y = x + a, то для радиус-векторов верно y = x + a.Из определения расстояния между точками и п. 4 леммы 1.2 вытекаетСледствие 1.2. (“аксиомы метрики”)1. положительная определенность: ∀x, y ,→ ρ(x, y) > 0, ρ(x, y) = 0 ↔x = y;2. симметричность: ρ(x, y) = ρ(y, x);3.

неравенство треугольника: ∀x, y, z ,→ ρ(x, y) 6 ρ(x, z) + ρ(z, y).Пару пространств A := (Rn , Vn ), связанных указанными операциями, называют точечно-векторным или аффинным пространством.Напомним, прямым=декартовым произведением двух точечных пространств мы называем точечное пространство всевозможных упорядоченныхпар:Rn × Rm := {(x, y)} = {(x1 , ..., xn , y1 , ..., ym )} ∼= Rn+m ,где знак ∼= означает каноническую биекцию. Для произвольных подмножествX ⊂ Rn , Y ⊂ Rm определено прямое произведениеX × Y = {(x, y) : x ∈ X ∧ y ∈ Y } ⊂ Rn × Rm .Для соответствующих векторных пространств определена конструкция прямой суммы:Vn ⊕ Vm ∼= Vn+m , ∀x ∈ Vn , ∀y ∈ Vm ,→ (x, y) ∈ Vn ⊕ Vm ,4Я.

М. ДЫМАРСКИЙа все операции с векторами выполняются “покоординатно”, т.е.α(a, b) + β(c, d) := (αa + βc, αb + βd),(a, b) · (c, d) := a · c + b · d.В силу определения (1.1), получаем формулу расстояния между точками впрямом произведении:√−−−→−−−→ρ((x, y), (u, v)) = |x − u|2 + |y − v|2 .Для двух аффинных пространств определим конструкцию прямой суммыA1 ⊕ A2 = (Rn , Vn ) ⊕ (Rm , Vm ) := (Rn × Rm , Vn ⊕ Vm ).1.2. Типы точек и подмножеств.

Обзор. Здесь мы изучим возможноерасположение точек относительного выделенного подмножества и типы подмножеств. Оказывается, понятие окрестности, которым мы уже применяли напрямой, приводит к многочисленным характеристикам и связям между точками и подмножествами.Определение 1.4. (двух типов окрестностей)1.

Шаровой ε-окрестностью (ε > 0) точки x0 ∈ Rn называется подмножествоUε (x0 ) := {x ∈ Rn : ρ(x, x0 ) < ε}.Шаровую ε-окрестность мы будем называть просто “окрестностью”.2. Проколотой шаровой ε-окрестностью (ε > 0) точки x0 ∈ Rn называется подмножество◦U ε (x0 ) := {x ∈ Rn : 0 < ρ(x, x0 ) < ε}.

Если n = 1, то определения совпадают с введенными ранее. Если n = 2(n = 3), то ε-окрестность называют открытым кругом (шаром) с центром вточке x0 и радиусом ε. Название открытый n-мерный шар используют дляUε (x0 ) в общем случае, а (n − 1)-мерной сферой с центром в точке x0 ирадиусом ε называют подмножествоS n−1 (x0 ) := {x ∈ Rn : ρ(x, x0 ) = ε}.Замечание 1.2. .

Наряду с шаровыми применяют и другие типы окрестностей. Например, открытые прямоугольные параллелепипедыΠn := (a1 , b1 ) × (a2 , b2 ) × . . . × (an , bn ) ⊂ Rn .Пусть X ⊂ Rn . Обозначим через X C (от “complement”) дополнение к X вR : X C = {x ∈ Rn : x ∈/ X}. Очевидно, что (X C )C = X.nОпределение 1.5. (некоторых типов точек относительно подмножества)Точка x0 ∈ Rn называется по отношению к подмножеству XЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР51.

внутренней, если x0 принадлежит X вместе с некоторой окрестностью:∃ε > 0 : Uε (x0 ) ⊂ X;2. изолированной, если она принадлежит X, и существует ее проколотаяокрестность, не пересекающаяся с X:◦◦x0 ∈ X ∧ ∃U ε (x0 ) : U ε (x0 ) ∩ X = ∅;3. предельной, если в любой ее окрестности находятся точки из X, отличные от x0 ⇔ в любой ее проколотой окрестности находятся точкииз X:◦∀ε > 0 : U ε (x0 ) ∩ X ̸= ∅;4. граничной, если в любой ее окрестности находятся как точки из X, таки точки из дополнения X C :∀ε > 0 : Uε (x0 ) ∩ X ̸= ∅ ∧ Uε (x0 ) ∩ X C ̸= ∅.

Задача 1.3. На плоскости изобразите (по возможности) множество, задаваемое уравнениями, неравенствами и координатами его точек:}∪√{}∪{X = 0 < x2 + y 2 < 1y = 1 − x2 , x ∈ [−1, 1){} {∞}∞∪ ∪ 1∪1( , 3) .( , 2) ∪ {(0, 2)}kkk=1k=1Какие точки по отношению ко множествам X и X C являются: 1) внутренними,2) изолированными, 3) предельными, 4) граничными?Обсуждение 1.1. Одна и та же точка может одновременно принадлежатьк разным типам. Так, внутренняя точка всегда предельная, изолированная– всегда граничная (докажите). Внутренние и изолированные точки принадлежат множеству X (по определению); предельные и граничные точки могутпринадлежать как X, так и дополнению X C . В результате между введенными понятиями возникают многочисленные логические связи, из которых мыобсудим только важнейшие.Лемма 1.3.

(о принадлежности предельных и граничных точек) Если точка x0 ∈ X, то:1. она является предельной только в том случае, когда она не являетсяизолированной;2. она является граничной только в том случае, когда она не являетсявнутренней.Задача 1.4. Докажите лемму 1.3.Различные типы точек порождают различные типы подмножеств пространства. Особо мы выделяем следующие:6Я.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,24 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6358
Авторов
на СтудИзбе
311
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее