Главная » Просмотр файлов » Лекции Дымарский 2 семестр

Лекции Дымарский 2 семестр (1187969), страница 3

Файл №1187969 Лекции Дымарский 2 семестр (Лекции Дымарский 2 семестр) 3 страницаЛекции Дымарский 2 семестр (1187969) страница 32020-09-16СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

, xk2m , . . . . Из этой последовательности, которая занумерована индексом m, выберем сходящуюся подпоследовательность исоставим из третьей координатной последовательности подпоследовательностьименно с этими номерами. И т.д. За конечное количество шагов мы получим нумерацию для n-й сходящейся координатной подпоследовательности.При этой нумерации будут сходиться все координатные подпоследовательности. Остается сослаться на координатный критерий сходимости (п.

2 леммы1.8).Итак, найдена сходящаяся подпоследовательность, которая целиком принадлежит X. Но, в силу определения 1.12, подмножество X замкнуто. Значит,предельная точка этой подпоследовательности также принадлежит подмножеству X.⇐ Ограниченность докажем от противного.

Пусть X не является ограниченным множеством. Пусть Uk (O) – шар радиуса k ∈ N с центром в началекоординат. Из принятого допущения следует, что существует такая последовательность точек {xk } ⊂ X, что xk ̸∈ Uk (O). Но у такой последовательностилюбая подпоследовательность неограничена (докажите). Значит, для любойподпоследовательности не выполняется необходимое условие сходимости (лемма 1.9) – противоречие с условием.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР11Докажем замкнутость X: пусть точка x0 , является предельной для подмножества X, покажем, что она принадлежит X.

Поскольку точка предельная,то существует последовательность точек из X. Поскольку последовательностьсходится к x0 , то и любая ее подпоследовательность к ней сходится. По условию найдется подпоследовательность, которая сходится в X. Значит, x0 ∈ X.1.5. Линейно связные и выпуклые подмножества. Порядок точек начисловой прямой существенно упрощает исследование числовых функций числового аргумента. Так мы уже знаем, что для вектор-функций числового аргумента не верна в полном объеме теорема Лагранжа о среднем.

У числовыхфункций нескольких аргументов, которые мы будем изучать, сложности возникают из-за нетривиальных свойств области определения. Чтобы избежатьпатологических ситуаций, рассмотрим специальные типы множеств, которыеважны в приложениях – связные и выпуклые множества.Определение 1.13. Рассмотрим отображение числового отрезка в пространство Rn :x : [a, b] → Rn , x(t) = (x1 (t), ..., xn (t)).Пусть координатные функции xi (t) (i = 1, ..., n) непрерывны. Тогда отображение x называется непрерывной кривой. Данное определение аналогично определению кривой в геометрическом пространстве.

Говорят, что непрерывная кривая соединяет точки x1 и x2 , еслиx(a) = x1 , x(b) = x2 .Определение 1.14. Подмножество X ⊂ Rn называется линейно связным, если любые две точки x1 , x2 ∈ X можно соединить непрерывной кривойв X, т.е. образ x([a, b]) ⊂ X. Примеры 1.2. 1) Линейно связными подмножествами на числовой прямойявляются только промежутки. 2) Кольцо является линейно связным (рис. 1.1).3) Объединение двух открытых кругов{(x, y) ∈ R2 : (x − 1)2 + y 2 < 1} ∪ {(x, y) ∈ R2 : (x + 1)2 + y 2 < 1}не является линейно связным подмножеством (рис.

1.2). Если добавить однуточку O(0, 0), получится линейно связное подмножество.Рис. 1.1Рис. 1.2Рис. 1.3Рис. 1.4Лемма 1.10. (некоторые свойства линейно связных множеств)12Я. М. ДЫМАРСКИЙРис. 1.5Рис. 1.6Рис. 1.7Рис. 1.81. Если пересечение двух линейно связных множеств не пусто, то ихобъединение линейно связно (рис. 1.3):X, Y − линейно связны, X ∩ Y ̸= ∅ ⇒ X ∪ Y − линейно связно.2. Прямое произведение двух линейно связных множеств линейно связно(рис. 1.4).Задача.

Докажите лемму 1.10.Определение 1.15. Открытое, линейно связное подмножество X ⊂ Rn называется областью. Изучая функции нескольких переменных, в качестве области определениямы как правило берем область.Среди всех непрерывных кривых, соединяющих две точки, самая простая –отрезок. Чтобы определить отрезок, нам понадобится понятие радиус-вектора,векторная структура и операция откладывания от точки.Определение 1.16. Отрезком, соединяющим точки x1 , x2 ∈ Rn , называется кривая x(t), которая задается формулойx(t) := x1 + t(x2 − x1 ), t ∈ [0, 1] ⇔ x(t) = (1 − t)x1 + tx2 , t ∈ [0, 1].

Определение 1.17. Подмножество X ⊂ Rn называется выпуклым, если любые две точки x1 , x2 ∈ X можно соединить отрезком в X, т.е. образx([a, b]) = {x = x1 + t(x2 − x1 ), t ∈ [0, 1]} ⊂ X. Примеры 1.3. 1) Круг, шар, n-мерный шар, прямоугольный параллелепипед – выпуклые подмножества. 2) Звезда не является выпуклым подмножеством.

3) Проколотая окрестность, кольцо не являются выпуклыми подмножествами (рис. 1.5-1.7)Доказательство примера 1). Пусть точки x1 , x2 принадлежат шару с центром в точке O и радиусом R. Тогда|x(t)| = |(1 − t)x1 + tx2 | 6 (1 − t)R + tR = R. Лемма 1.11. (некоторые свойства выпуклых множеств)1. Любое пересечение выпуклых множеств выпукло (рис. 1.8).2. Прямое произведение двух выпуклых множеств выпукло.Задача 1.11. Докажите лемму 1.11.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР13§ 2. Предел числовой функции нескольких переменныхВ этой лекции мы обсудим основные понятия и факты теории пределовфункции нескольких переменных.

В основных чертах она повторяет теориюпределов функции одного переменного.2.1. Понятие предела функции.Определение 2.1. Функцией нескольких переменных мы называемотображение, область определения которого принадлежит n-мерному точечному пространству, а образ – числовой прямой:f : Rn ⊃ Def (f ) → R1 . Примеры 2.1. 1) Функция T = f (x, y, t) температуры, зависящая от места(x, y) ∈ U ⊂ R2 и времени t ∈ R. 2) Колебание струны – функция отклонения от положения равновесия y = h(x, t), зависящая от точки x ∈ [0, l] ⊂ Rна струне и времени t ∈ R. 3) Распространение волны – функция вертикального отклонения поверхности жидкости H = g(x, y, t), зависящая от места ивремени.Определение 2.2.

Графиком функции f , зависящей от n переменных, называется подмножество точекΓ = {(x, y) = (x1 , ..., xn ; y) ∈ Def (f ) × R ⊂ Rn+1 : y = f (x)} ={(x, f (x)), x ∈ Def (f )}. Примеры 2.2. 1) Графиками квадратичных функций z = x2 ± y 2 являютсяпараболоиды (эллиптический и гиперболический соответственно). 2) Графикфункции z = exp(−(x − t)2 ) – экспоненциально убывающая “бегущая волна”(см. рис.

2.1-2.3).Рис. 2.3Рис. 2.2Рис. 2.1Аналогично одномерному случаю дадим два эквивалентных определенияпредела.Определение 2.3. (по Коши) Пусть функция f определена в некоторой◦проколотой окрестности U δ0 (x0 ) ⊂ Def (f ) точки x0 . Точка y 0 ∈ R (RP 1 )14Я. М. ДЫМАРСКИЙназывается пределом функции f при x → x0 , если ∀ε > 0 ∃δ = δ(ε): ∀x ∈◦U δ (x0 ) ,→ f (x) ∈ Uε (y 0 ). Обозначение:lim f (x) =x→x0lim(x1 ,...,xn )→(x01 ,...,x0n )f (x1 , ..., xn ) = y 0Терминология: предел функции нескольких переменных будем также называть n-арным, чтобы отличать его от различных одномерных модификаций(см. ниже).Определение 2.4.

Последовательностью Гейне в точке x0 мы называ◦ем последовательность точек {xk } ⊂ U δ (x0 ) ⊂ Def (f ), которая сходится кточке x0 . Определение 2.5. (предела функции по Гейне) Точка y 0 ∈ R (RP 1 ) называется пределом функции f при x → x0 , если для любой последовательностиГейне xk → x0 справедливо: lim f (xk ) = y 0 . k→∞Неизменными вместе с доказательствами остаются истинными следующиеутверждения из теории пределов функции одной переменной:1.

теорема 4.1: эквивалентность двух определений пределов;2. теорема 4.2: предельный переход в неравенствах, арифметические действия с пределами;3. теорема 4.3: критерий Коши существования конечного предела;4. теорема 4.5: замена переменной под знаком предела, точнее, пределсложной функции: пусть◦f : Rn ⊃ U ε (x0 ) → Def (g) ⊂ R, g : Def (g) → R;◦lim0 f (x) = y0 ∧ f (x) ̸= y0 при x ∈ U ε (x0 ),x→xlim g(y) = u0 ;y→y0тогдаlim (g · f )(x) = u0 .x→x0где внутренняя функция f зависит от нескольких переменных, а внешняя g – от одной переменной;5. лемма 8.1: свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций;6.

лемма 8.2: свойства понятий o и O.2.2. Предел по направлению. Принципиальное отличие случая однойпеременной от случая нескольких (даже двух) переменных состоит в следующем. На прямой есть только два способа приблизиться к точке x0 – слева исправа, поэтому существование предела равносильно существованию и совпадению односторонних пределов. В многомерном случае попытки исследоватьпредел с помощью специальных “одномерных стремлений” к точке x0 (по лучам, по дугам кривых и т.д.) в общем случае бесполезны.

Но можно использовать специальную криволинейную систему координат, у которой одной изЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР15координат является расстояние ρ(x, x0 ). Такая система координат позволяетпонять, в чем отличие основного определения предела от его одномерных “суррогатов”. Ограничимся двумерным случаем. Декартовы координаты точкиобозначим (x, y).

НапомнимОпределение 2.6. полярной системы координат (ПСК) в точке (x0 , y0 ).Полярным радиусом ρ > 0 точки (x, y) называется расстояние от точки(x, y) до точки (x0 , y0 ), полярным углом φ – угол от положительного направления оси Ox к радиус-вектору a = (x − x0 , y − y0 ) ̸= 0. Формулы переходатаковы:√{{ρ = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 ,x = x0 + ρ cos φ,⇔,y−y0φ = arctg x−x+ πk + 2πmy = y0 + ρ sin φ0где x ̸= x0 (иначе возьмем функцию arcctg), параметр k = 0, 1 зависит откоординатной четверти и определяется знаками пары чисел (x − x0 , y − y0 ),натуральный параметр m ∈ N – произвольный. Точке P = (x0 , y0 ), которуюназывают полюсом, отвечает одна (а не пара!) полярных координат: ρ = 0,угол φ для нее не определен.

Замечание 2.1. Специфика определения ПСК такова, такова, что в любойокрестности полюса Uε (P ) не соблюдается биективное соответствие между декартовыми и полярными координатами. Но существует биекция между любойпроколотой окрестностью, из которой удален произвольный луч φ = const = φ0и открытым прямоугольником:◦U ε (P ) \ {φ = φ0 } ↔ (0 < ρ < ε) × (φ0 < φ < φ0 + 2π)На рис.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,24 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее