Лекции Дымарский 2 семестр (1187969), страница 3
Текст из файла (страница 3)
, xk2m , . . . . Из этой последовательности, которая занумерована индексом m, выберем сходящуюся подпоследовательность исоставим из третьей координатной последовательности подпоследовательностьименно с этими номерами. И т.д. За конечное количество шагов мы получим нумерацию для n-й сходящейся координатной подпоследовательности.При этой нумерации будут сходиться все координатные подпоследовательности. Остается сослаться на координатный критерий сходимости (п.
2 леммы1.8).Итак, найдена сходящаяся подпоследовательность, которая целиком принадлежит X. Но, в силу определения 1.12, подмножество X замкнуто. Значит,предельная точка этой подпоследовательности также принадлежит подмножеству X.⇐ Ограниченность докажем от противного.
Пусть X не является ограниченным множеством. Пусть Uk (O) – шар радиуса k ∈ N с центром в началекоординат. Из принятого допущения следует, что существует такая последовательность точек {xk } ⊂ X, что xk ̸∈ Uk (O). Но у такой последовательностилюбая подпоследовательность неограничена (докажите). Значит, для любойподпоследовательности не выполняется необходимое условие сходимости (лемма 1.9) – противоречие с условием.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР11Докажем замкнутость X: пусть точка x0 , является предельной для подмножества X, покажем, что она принадлежит X.
Поскольку точка предельная,то существует последовательность точек из X. Поскольку последовательностьсходится к x0 , то и любая ее подпоследовательность к ней сходится. По условию найдется подпоследовательность, которая сходится в X. Значит, x0 ∈ X.1.5. Линейно связные и выпуклые подмножества. Порядок точек начисловой прямой существенно упрощает исследование числовых функций числового аргумента. Так мы уже знаем, что для вектор-функций числового аргумента не верна в полном объеме теорема Лагранжа о среднем.
У числовыхфункций нескольких аргументов, которые мы будем изучать, сложности возникают из-за нетривиальных свойств области определения. Чтобы избежатьпатологических ситуаций, рассмотрим специальные типы множеств, которыеважны в приложениях – связные и выпуклые множества.Определение 1.13. Рассмотрим отображение числового отрезка в пространство Rn :x : [a, b] → Rn , x(t) = (x1 (t), ..., xn (t)).Пусть координатные функции xi (t) (i = 1, ..., n) непрерывны. Тогда отображение x называется непрерывной кривой. Данное определение аналогично определению кривой в геометрическом пространстве.
Говорят, что непрерывная кривая соединяет точки x1 и x2 , еслиx(a) = x1 , x(b) = x2 .Определение 1.14. Подмножество X ⊂ Rn называется линейно связным, если любые две точки x1 , x2 ∈ X можно соединить непрерывной кривойв X, т.е. образ x([a, b]) ⊂ X. Примеры 1.2. 1) Линейно связными подмножествами на числовой прямойявляются только промежутки. 2) Кольцо является линейно связным (рис. 1.1).3) Объединение двух открытых кругов{(x, y) ∈ R2 : (x − 1)2 + y 2 < 1} ∪ {(x, y) ∈ R2 : (x + 1)2 + y 2 < 1}не является линейно связным подмножеством (рис.
1.2). Если добавить однуточку O(0, 0), получится линейно связное подмножество.Рис. 1.1Рис. 1.2Рис. 1.3Рис. 1.4Лемма 1.10. (некоторые свойства линейно связных множеств)12Я. М. ДЫМАРСКИЙРис. 1.5Рис. 1.6Рис. 1.7Рис. 1.81. Если пересечение двух линейно связных множеств не пусто, то ихобъединение линейно связно (рис. 1.3):X, Y − линейно связны, X ∩ Y ̸= ∅ ⇒ X ∪ Y − линейно связно.2. Прямое произведение двух линейно связных множеств линейно связно(рис. 1.4).Задача.
Докажите лемму 1.10.Определение 1.15. Открытое, линейно связное подмножество X ⊂ Rn называется областью. Изучая функции нескольких переменных, в качестве области определениямы как правило берем область.Среди всех непрерывных кривых, соединяющих две точки, самая простая –отрезок. Чтобы определить отрезок, нам понадобится понятие радиус-вектора,векторная структура и операция откладывания от точки.Определение 1.16. Отрезком, соединяющим точки x1 , x2 ∈ Rn , называется кривая x(t), которая задается формулойx(t) := x1 + t(x2 − x1 ), t ∈ [0, 1] ⇔ x(t) = (1 − t)x1 + tx2 , t ∈ [0, 1].
Определение 1.17. Подмножество X ⊂ Rn называется выпуклым, если любые две точки x1 , x2 ∈ X можно соединить отрезком в X, т.е. образx([a, b]) = {x = x1 + t(x2 − x1 ), t ∈ [0, 1]} ⊂ X. Примеры 1.3. 1) Круг, шар, n-мерный шар, прямоугольный параллелепипед – выпуклые подмножества. 2) Звезда не является выпуклым подмножеством.
3) Проколотая окрестность, кольцо не являются выпуклыми подмножествами (рис. 1.5-1.7)Доказательство примера 1). Пусть точки x1 , x2 принадлежат шару с центром в точке O и радиусом R. Тогда|x(t)| = |(1 − t)x1 + tx2 | 6 (1 − t)R + tR = R. Лемма 1.11. (некоторые свойства выпуклых множеств)1. Любое пересечение выпуклых множеств выпукло (рис. 1.8).2. Прямое произведение двух выпуклых множеств выпукло.Задача 1.11. Докажите лемму 1.11.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР13§ 2. Предел числовой функции нескольких переменныхВ этой лекции мы обсудим основные понятия и факты теории пределовфункции нескольких переменных.
В основных чертах она повторяет теориюпределов функции одного переменного.2.1. Понятие предела функции.Определение 2.1. Функцией нескольких переменных мы называемотображение, область определения которого принадлежит n-мерному точечному пространству, а образ – числовой прямой:f : Rn ⊃ Def (f ) → R1 . Примеры 2.1. 1) Функция T = f (x, y, t) температуры, зависящая от места(x, y) ∈ U ⊂ R2 и времени t ∈ R. 2) Колебание струны – функция отклонения от положения равновесия y = h(x, t), зависящая от точки x ∈ [0, l] ⊂ Rна струне и времени t ∈ R. 3) Распространение волны – функция вертикального отклонения поверхности жидкости H = g(x, y, t), зависящая от места ивремени.Определение 2.2.
Графиком функции f , зависящей от n переменных, называется подмножество точекΓ = {(x, y) = (x1 , ..., xn ; y) ∈ Def (f ) × R ⊂ Rn+1 : y = f (x)} ={(x, f (x)), x ∈ Def (f )}. Примеры 2.2. 1) Графиками квадратичных функций z = x2 ± y 2 являютсяпараболоиды (эллиптический и гиперболический соответственно). 2) Графикфункции z = exp(−(x − t)2 ) – экспоненциально убывающая “бегущая волна”(см. рис.
2.1-2.3).Рис. 2.3Рис. 2.2Рис. 2.1Аналогично одномерному случаю дадим два эквивалентных определенияпредела.Определение 2.3. (по Коши) Пусть функция f определена в некоторой◦проколотой окрестности U δ0 (x0 ) ⊂ Def (f ) точки x0 . Точка y 0 ∈ R (RP 1 )14Я. М. ДЫМАРСКИЙназывается пределом функции f при x → x0 , если ∀ε > 0 ∃δ = δ(ε): ∀x ∈◦U δ (x0 ) ,→ f (x) ∈ Uε (y 0 ). Обозначение:lim f (x) =x→x0lim(x1 ,...,xn )→(x01 ,...,x0n )f (x1 , ..., xn ) = y 0Терминология: предел функции нескольких переменных будем также называть n-арным, чтобы отличать его от различных одномерных модификаций(см. ниже).Определение 2.4.
Последовательностью Гейне в точке x0 мы называ◦ем последовательность точек {xk } ⊂ U δ (x0 ) ⊂ Def (f ), которая сходится кточке x0 . Определение 2.5. (предела функции по Гейне) Точка y 0 ∈ R (RP 1 ) называется пределом функции f при x → x0 , если для любой последовательностиГейне xk → x0 справедливо: lim f (xk ) = y 0 . k→∞Неизменными вместе с доказательствами остаются истинными следующиеутверждения из теории пределов функции одной переменной:1.
теорема 4.1: эквивалентность двух определений пределов;2. теорема 4.2: предельный переход в неравенствах, арифметические действия с пределами;3. теорема 4.3: критерий Коши существования конечного предела;4. теорема 4.5: замена переменной под знаком предела, точнее, пределсложной функции: пусть◦f : Rn ⊃ U ε (x0 ) → Def (g) ⊂ R, g : Def (g) → R;◦lim0 f (x) = y0 ∧ f (x) ̸= y0 при x ∈ U ε (x0 ),x→xlim g(y) = u0 ;y→y0тогдаlim (g · f )(x) = u0 .x→x0где внутренняя функция f зависит от нескольких переменных, а внешняя g – от одной переменной;5. лемма 8.1: свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций;6.
лемма 8.2: свойства понятий o и O.2.2. Предел по направлению. Принципиальное отличие случая однойпеременной от случая нескольких (даже двух) переменных состоит в следующем. На прямой есть только два способа приблизиться к точке x0 – слева исправа, поэтому существование предела равносильно существованию и совпадению односторонних пределов. В многомерном случае попытки исследоватьпредел с помощью специальных “одномерных стремлений” к точке x0 (по лучам, по дугам кривых и т.д.) в общем случае бесполезны.
Но можно использовать специальную криволинейную систему координат, у которой одной изЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР15координат является расстояние ρ(x, x0 ). Такая система координат позволяетпонять, в чем отличие основного определения предела от его одномерных “суррогатов”. Ограничимся двумерным случаем. Декартовы координаты точкиобозначим (x, y).
НапомнимОпределение 2.6. полярной системы координат (ПСК) в точке (x0 , y0 ).Полярным радиусом ρ > 0 точки (x, y) называется расстояние от точки(x, y) до точки (x0 , y0 ), полярным углом φ – угол от положительного направления оси Ox к радиус-вектору a = (x − x0 , y − y0 ) ̸= 0. Формулы переходатаковы:√{{ρ = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 ,x = x0 + ρ cos φ,⇔,y−y0φ = arctg x−x+ πk + 2πmy = y0 + ρ sin φ0где x ̸= x0 (иначе возьмем функцию arcctg), параметр k = 0, 1 зависит откоординатной четверти и определяется знаками пары чисел (x − x0 , y − y0 ),натуральный параметр m ∈ N – произвольный. Точке P = (x0 , y0 ), которуюназывают полюсом, отвечает одна (а не пара!) полярных координат: ρ = 0,угол φ для нее не определен.
Замечание 2.1. Специфика определения ПСК такова, такова, что в любойокрестности полюса Uε (P ) не соблюдается биективное соответствие между декартовыми и полярными координатами. Но существует биекция между любойпроколотой окрестностью, из которой удален произвольный луч φ = const = φ0и открытым прямоугольником:◦U ε (P ) \ {φ = φ0 } ↔ (0 < ρ < ε) × (φ0 < φ < φ0 + 2π)На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
