Главная » Просмотр файлов » Лекции Дымарский 2 семестр

Лекции Дымарский 2 семестр (1187969), страница 8

Файл №1187969 Лекции Дымарский 2 семестр (Лекции Дымарский 2 семестр) 8 страницаЛекции Дымарский 2 семестр (1187969) страница 82020-09-16СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Частной производной функции f (x) = f (x1 , ..., xn )по переменной xi в точке x0 = (x01 , ..., x0n ) называется производная функцииодной переменной φ(xi ) := f (x01 , ..., x0i−1 , xi , x0i+1 , ..., x0n ) в точке x0i , т.е.∂f 0(x ) = fx′ i (x0 ) := φ′ (x0i ) =∂xilim 0xi →xif (x01 , ..., x0i−1 , xi , x0i+1 , ..., x0n ) − f (x0 ). xi − x0i36Я. М. ДЫМАРСКИЙЛемма 4.4. (связь частных производных с производными по направлению)Обозначим через ei = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)T единичный вектор, указывающий направление i-й оси координат. Частная производная fx′ i (x0 ) существует тогдаи т.т., когда обе производные по направлениям ei и (−ei ) существуют и отличаются знаком.

При этом∂f 0∂f∂f 0(x ) =(x ) = −(x0 ).∂xi∂ei∂(−ei )Доказательство. Частная производная fx′ i (x0 ) существует тогда и т.т., когда функция φ(xi ) имеет в точке x0i равные односторонние производные. Ноφ′+ (x0i ) =f (x01 , ..., x0i−1 , xi , x0i+1 , ..., x0n ) − f (x0 )=xi − x0ixi →xi +0lim0limt→+0φ′− (x(i) ) =limt→+0f (x0 + tei ) − f (x0 )∂f 0=(x ),t∂eif (x01 , ..., x0i−1 , xi , x0i+1 , ..., x0n ) − f (x0 )=(i)xi − x0ix(i) →x0 −0limf (x0 + t(−ei )) − f (x0 )∂ff (x0 − tei ) − f (x0 )= − lim=−(x0 ). t→+0−tt∂(−ei )Следующее утверждение связывает понятие частной производной с дифференцируемостью и дает удобную аналитическую процедуру нахождения градиента.Лемма 4.5. (третье необходимое условие дифференцируемости) Если функция f дифференцируема в точке x0 , то у нее в этой точке существуют всечастные производные, которые совпадают с соответствующими координатами градиента:()T∂f 0∂f 00gradf (x ) =(x ), ...,(x ).∂x1∂xnДоказательство.

Дифференцируемость равносильна существованию градиента. Поскольку базис {ei } ортонормированный, координаты градиента – сутьего проекции на базисные векторы:gradf (x0 )i = (gradf (x0 ), ei ) = −(gradf (x0 ), −ei ) = . . .Теперь из лемм 4.3 и 4.4 получаем:... =∂f 0∂f∂f 0(x ) = −(x0 ) =(x ). ∂ei∂(−ei )∂xiЗамечание 4.4. Еще раз подчеркнем, что в лемме 4.5 даны только необходимые условия дифференцируемости. Наличие всех частных производныхвовсе не гарантирует дифференцируемость. В замечании 4.2 дана функция,у которой частные производные в точке O(0, 0) существуют (равны нулю), нофункция не является даже непрерывной в O.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР37Из определения 4.1 дифференциала и леммы 4.5 получаемСледствие 4.2.

Выражение дифференциала через частные производные:df (x0 ) =nn∑∑∂f 0∂f 0(x )(xi − x0i ) =(x ) dxi .∂x∂xiii=1i=1(4.4)4.3. Геометрический смысл градиента и частной производной. Теперь мы можем исследовать геометрический смысл градиента (существованиекоторого автоматически предполагаем).

Нам понадобятся понятия из аналитической геометрии. Мы знаем, что в трехмерном пространстве уравнениеA(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 (A2 + B 2 + C 2 > 0) задает плоскость,проходящую через точку (x0 , y0 , z0 ), с вектором нормали N = (A, B, C)T . Поаналогии дадимОпределение 4.4. Гиперплоскостью в пространстве Rm , проходящей че0), с вектором нормали N = (N1 , ..., Nm )T называетсярез точку z 0 = (z10 , ..., zmподмножество, определяемое уравнением(N, z − z 0 ) = 0, где z = (z1 , ..., zm ) ⇔02N1 (z1 − z10 ) + ... + Nn (zm − zm) = 0, N12 + ... + Nm> 0.Размерность гиперплоскости равна m−1, т.е.

максимальная для многомерныхплоскостей в пространстве размерности m; отсюда приставка “гипер”. Ранее (пример 2.2) мы использовали линии уровня функции двух переменных. Дадим общееОпределение 4.5. Поверхностью уровня c функции f : Rn ⊃ X → Rназывается полный прообразf −1 (c) = {x ∈ X : f (x) = c} ⊂ Rn . Примеры 4.1. 1) Для функции u = x2 + y 2 + z 2 поверхность уровня c < 0√есть пустое множество, c = 0 – точка O(0, ..., 0), c > 0 – сфера радиуса c.2) Для линейной невырожденной функции u = Ax + By + Cz поверхностиуровней c есть параллельные плоскости.Задача 4.2. Что представляют собой поверхности уровней c ∈ R квадратичной функции u = x2 + y 2 − z 2 ?Теперь сформулируем основноеОпределение 4.6.

Касательной плоскостью в точке z 0 = (x0 , f (x0 )) кграфику Gr(f ) называется гиперплоскость в пространстве Rn+1 , проходящаячерез эту точку и имеющая вектор нормали N = (gradf (x0 ), −1):∂f 0∂f 0(x ) (x1 − x01 ) + . . . +(x ) (xn − x0n ) − (y − f (x0 )) = 0 ⇔∂x1∂xn−−−−→y = f (x0 ) + (gradf (x0 ), x − x0 ).Обозначение касательной плоскости Tz0 Gr(f ) (от англ.

tangent – касательный).38Я. М. ДЫМАРСКИЙТеорема 4.2. (геометрический смысл дифференциала и градиента)1. Касательная плоскость к графику Gr(f ) в точке касания (x0 , f (x0 ))существует тогда и т.т., когда функция f дифференцируема в точкеx0 .2. Касательная плоскость – единственная плоскость, которая в точкекасания (x0 , f (x0 )) приближает график Gr(f ) с точностью до o(|∆x|).3. Касательная плоскость получается в результате параллельного переноса графика дифференциала (4.2) в точку касания (x0 , f (x0 )).4. Если gradf (x0 ) ̸= 0, то градиент указывает направление наиболее быстрого роста f в точке x0 , а противоположный вектор −gradf (x0 ) указывает направление наиболее быстрого убывания f в точке x0 .

Другими словами,gradf (x0 )∂f( a) max(x0 ) достигается на векторе egr := |gradf(x0 )| ;n−1 ∂ee∈S( b)mine∈S n−1∂f0∂e (x )достигается на векторе (−egr )5. Если gradf (x ) ̸= 0, то поверхность уровня c = f (x0 ) имеет касательную плоскость в точке x0 , а вектор gradf (x0 ) является вектором нормали к этой касательной плоскости (рис. 4.1).0Рис.

4.1Рис. 4.2Доказательство пунктов 1-3 вытекают непосредственно из данных вышеопределений и формулы (4.3).Прежде, чем доказывать пп. 4 и 5, заметим, что утверждения пп. 4 и 5 относятся к пространству прообразов Rn , а не к пространству Rn+1 , где находитсяграфик функции. Из леммы 4.3 следует, что равномерно по всем единичнымвекторам e ∈ S n−1 справедлива двусторонняя оценка−|gradf (x0 )| 6 −|(gradf (x0 ), e)| 6∂f 0(x ) 6 |(gradf (x0 ), e)| 6 |gradf (x0 )|.∂eНо для вектора egr имеем(gradf (x0 ), egr ) = |gradf (x0 )|.Т.е. верхняя оценка производной по направлению достигается в направленииegr . Аналогично доказывается утверждение о противоположном направлении(−egr ).39ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТРМы сейчас не готовы дать доказательство пункта 5. Более того, мы дажене сформулировали определение касательной плоскости к поверхности уровняc = f (x0 ) в точке x0 .

Обозначим эту касательную плоскость через Tx0 f −1 (c)Ограничимся эвристическим рассуждением. Будем опираться на интуитивноепредставление о касательной плоскости как о “наиболее тесно” примыкающейк поверхности в исследуемой точке x0 . Запишем уравнение f (x) − f (x0 ) = 0поверхности уровня c = f (x0 ) с помощью определения градиента в точке x0 иприменим следствие 4.2:f (x) − f (x0 ) = 0 ⇔n∑−−−−→∂f 0(x )(xi − x0i ) + o(|x − x0 |) = 0.∂xii=1Отбрасывая в полученном уравнении бесконечно малую более высокого порядка, получаем линейное уравнение, которое в пространстве Rn задает гиперплоскость. Это и есть уравнение касательной плоскости к поверхности уровня:Tx0 f −1 (c), где c = f (x0 ) :n∑∂f 0(x )(xi − x0i ) = 0.∂xii=1Второй подход.

Пересечем график “горизонтальной” гиперплоскостью y =f (x0 ); проекция полученного пересечения на пространство аргументов Rn какраз есть поверхность уровня f (x) = f (x0 ). Эта же гиперплоскость y = f (x0 )пересекает касательную (гипер)-плоскость к графику. Их пересечение – плоскость размерности (n − 1), которая параллельна пространству аргументов Rn .Эта плоскость определяется системой уравнений (см. определение 4.6):{y = f (x0 ),−−−−→y = f (x0 ) + (gradf (x0 ), x − x0 )⇔{y = f (x0 ),−−−−→(gradf (x0 ), x − x0 ) = 0.Примем без доказательства, что пересечение гиперплоскости y = f (x0 ) с касательной плоскостью к графику есть касательная плоскость к пересечениюэтой же гиперплоскости с графиком. Остается спроектировать полученнуюплоскость на пространство аргументов. График Gr(φ) функции φ(xi ) = f (x01 , ..., x0i−1 , xi , x0i+1 , ..., x0n ) получается врезультате пересечения графика Gr(f ) с плоскостью Π, образованной прямой(x0 , z 0 ) и прямой, проходящей через точку x0 в направлении вектора ei .

Касательная прямая τ к графику Gr(φ) в точке z0 является пересечением тойже плоскости Π с касательной плоскостью Tz0 Gr(f ). Обозначим угол наклона касательной прямой τ к оси xi через α. Тогда частная производная равна∂fтангенсу угла наклона: ∂x(x0 ) = φ′ (x0i ) = tg α (рис. 4.2).iЗамечание 4.5. В литературе общепринятым является обозначение∂f (x0 )∂f 0:=(x ).∂xi∂xi40Я. М. ДЫМАРСКИЙ4.4.

Достаточные условия дифференцируемости. Дифференцируемостьвлечет существование частных производных – это лемма 4.5. Оказывается, дополнительные требования к частным производным обеспечивают дифференцируемость.Теорема 4.3. Если все частные производные функции f определены в окрестности точки x0 ∈ Rn и непрерывны в точке x0 , то функция дифференцируемав этой точке.Доказательство проведем для функции двух переменных f (x, y). Оно основано на применении теоремы Лагранжа и выделении приращений от точкиx0 . Представим приращение функции f как сумму приращений по каждойпеременной:f (x, y) − f (x0 , y0 ) = (f (x, y) − f (x0 , y)) + (f (x0 , y) − f (x0 , y0 )) =fx′ (χ, y)(x − x0 ) + fy′ (x0 , ν)(y − y0 ) =(fx′ (x0 , y0 ) + (fx′ (χ, y) − fx′ (x0 , y0 )))(x − x0 )+(fy′ (x0 , y0 ) + (fy′ (x0 , ν) − fy′ (x0 , y0 )))(y − y0 ) =fx′ (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy′ (x0 , y0 )(y − y0 )+(fx′ (χ, y) − fx′ (x0 , y0 ))(x − x0 ) + (fy′ (x0 , ν) − fy′ (x0 , y0 ))(y − y0 ),где функция χ = χ(x, y) принимает значения между x0 и x, а функция ν = ν(y)принимает значения между y0 и y.

Поэтому χ(x, y) → x0 , а ν(y) → y0 приусловии (x, y) → (x0 , y0 ). В силу непрерывности частных производных в точке(x0 , y0 ), справедливоε1 (x, y) := fx′ (χ(x, y), y) − fx′ (x0 , y0 ) → 0, при (x, y) → (x0 , y0 ),ε2 (y) := fy′ (x0 , ν(y)) − fy′ (x0 , y0 ) → 0 при y → y0 .Следовательно, приращение функции в исследуемой точке имеет вид:f (x, y)−f (x0 , y0 ) = fx′ (x0 , y0 )(x−x0 )+fy′ (x0 , y0 )(y−y0 )+ε1 (x, y)(x−x0 )+ε2 (y)(y−y0 ).Поскольку|ε1 (x, y)(x − x0 ) + ε2 (y)(y − y0 )|√6 |ε1 (x, y)| + |ε2 (y)| → 0 при (x, y) → (x0 , y0 ),(x − x0 )2 + (y − y0 )2тоf (x, y) − f (x0 , y0 ) =√fx′ (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy′ (x0 , y0 )(y − y0 ) + o( (x − x0 )2 + (y − y0 )2 ). ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР414.5.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
2,24 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6310
Авторов
на СтудИзбе
312
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее