Лекции Дымарский 2 семестр (1187969), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Частной производной функции f (x) = f (x1 , ..., xn )по переменной xi в точке x0 = (x01 , ..., x0n ) называется производная функцииодной переменной φ(xi ) := f (x01 , ..., x0i−1 , xi , x0i+1 , ..., x0n ) в точке x0i , т.е.∂f 0(x ) = fx′ i (x0 ) := φ′ (x0i ) =∂xilim 0xi →xif (x01 , ..., x0i−1 , xi , x0i+1 , ..., x0n ) − f (x0 ). xi − x0i36Я. М. ДЫМАРСКИЙЛемма 4.4. (связь частных производных с производными по направлению)Обозначим через ei = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)T единичный вектор, указывающий направление i-й оси координат. Частная производная fx′ i (x0 ) существует тогдаи т.т., когда обе производные по направлениям ei и (−ei ) существуют и отличаются знаком.
При этом∂f 0∂f∂f 0(x ) =(x ) = −(x0 ).∂xi∂ei∂(−ei )Доказательство. Частная производная fx′ i (x0 ) существует тогда и т.т., когда функция φ(xi ) имеет в точке x0i равные односторонние производные. Ноφ′+ (x0i ) =f (x01 , ..., x0i−1 , xi , x0i+1 , ..., x0n ) − f (x0 )=xi − x0ixi →xi +0lim0limt→+0φ′− (x(i) ) =limt→+0f (x0 + tei ) − f (x0 )∂f 0=(x ),t∂eif (x01 , ..., x0i−1 , xi , x0i+1 , ..., x0n ) − f (x0 )=(i)xi − x0ix(i) →x0 −0limf (x0 + t(−ei )) − f (x0 )∂ff (x0 − tei ) − f (x0 )= − lim=−(x0 ). t→+0−tt∂(−ei )Следующее утверждение связывает понятие частной производной с дифференцируемостью и дает удобную аналитическую процедуру нахождения градиента.Лемма 4.5. (третье необходимое условие дифференцируемости) Если функция f дифференцируема в точке x0 , то у нее в этой точке существуют всечастные производные, которые совпадают с соответствующими координатами градиента:()T∂f 0∂f 00gradf (x ) =(x ), ...,(x ).∂x1∂xnДоказательство.
Дифференцируемость равносильна существованию градиента. Поскольку базис {ei } ортонормированный, координаты градиента – сутьего проекции на базисные векторы:gradf (x0 )i = (gradf (x0 ), ei ) = −(gradf (x0 ), −ei ) = . . .Теперь из лемм 4.3 и 4.4 получаем:... =∂f 0∂f∂f 0(x ) = −(x0 ) =(x ). ∂ei∂(−ei )∂xiЗамечание 4.4. Еще раз подчеркнем, что в лемме 4.5 даны только необходимые условия дифференцируемости. Наличие всех частных производныхвовсе не гарантирует дифференцируемость. В замечании 4.2 дана функция,у которой частные производные в точке O(0, 0) существуют (равны нулю), нофункция не является даже непрерывной в O.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР37Из определения 4.1 дифференциала и леммы 4.5 получаемСледствие 4.2.
Выражение дифференциала через частные производные:df (x0 ) =nn∑∑∂f 0∂f 0(x )(xi − x0i ) =(x ) dxi .∂x∂xiii=1i=1(4.4)4.3. Геометрический смысл градиента и частной производной. Теперь мы можем исследовать геометрический смысл градиента (существованиекоторого автоматически предполагаем).
Нам понадобятся понятия из аналитической геометрии. Мы знаем, что в трехмерном пространстве уравнениеA(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 (A2 + B 2 + C 2 > 0) задает плоскость,проходящую через точку (x0 , y0 , z0 ), с вектором нормали N = (A, B, C)T . Поаналогии дадимОпределение 4.4. Гиперплоскостью в пространстве Rm , проходящей че0), с вектором нормали N = (N1 , ..., Nm )T называетсярез точку z 0 = (z10 , ..., zmподмножество, определяемое уравнением(N, z − z 0 ) = 0, где z = (z1 , ..., zm ) ⇔02N1 (z1 − z10 ) + ... + Nn (zm − zm) = 0, N12 + ... + Nm> 0.Размерность гиперплоскости равна m−1, т.е.
максимальная для многомерныхплоскостей в пространстве размерности m; отсюда приставка “гипер”. Ранее (пример 2.2) мы использовали линии уровня функции двух переменных. Дадим общееОпределение 4.5. Поверхностью уровня c функции f : Rn ⊃ X → Rназывается полный прообразf −1 (c) = {x ∈ X : f (x) = c} ⊂ Rn . Примеры 4.1. 1) Для функции u = x2 + y 2 + z 2 поверхность уровня c < 0√есть пустое множество, c = 0 – точка O(0, ..., 0), c > 0 – сфера радиуса c.2) Для линейной невырожденной функции u = Ax + By + Cz поверхностиуровней c есть параллельные плоскости.Задача 4.2. Что представляют собой поверхности уровней c ∈ R квадратичной функции u = x2 + y 2 − z 2 ?Теперь сформулируем основноеОпределение 4.6.
Касательной плоскостью в точке z 0 = (x0 , f (x0 )) кграфику Gr(f ) называется гиперплоскость в пространстве Rn+1 , проходящаячерез эту точку и имеющая вектор нормали N = (gradf (x0 ), −1):∂f 0∂f 0(x ) (x1 − x01 ) + . . . +(x ) (xn − x0n ) − (y − f (x0 )) = 0 ⇔∂x1∂xn−−−−→y = f (x0 ) + (gradf (x0 ), x − x0 ).Обозначение касательной плоскости Tz0 Gr(f ) (от англ.
tangent – касательный).38Я. М. ДЫМАРСКИЙТеорема 4.2. (геометрический смысл дифференциала и градиента)1. Касательная плоскость к графику Gr(f ) в точке касания (x0 , f (x0 ))существует тогда и т.т., когда функция f дифференцируема в точкеx0 .2. Касательная плоскость – единственная плоскость, которая в точкекасания (x0 , f (x0 )) приближает график Gr(f ) с точностью до o(|∆x|).3. Касательная плоскость получается в результате параллельного переноса графика дифференциала (4.2) в точку касания (x0 , f (x0 )).4. Если gradf (x0 ) ̸= 0, то градиент указывает направление наиболее быстрого роста f в точке x0 , а противоположный вектор −gradf (x0 ) указывает направление наиболее быстрого убывания f в точке x0 .
Другими словами,gradf (x0 )∂f( a) max(x0 ) достигается на векторе egr := |gradf(x0 )| ;n−1 ∂ee∈S( b)mine∈S n−1∂f0∂e (x )достигается на векторе (−egr )5. Если gradf (x ) ̸= 0, то поверхность уровня c = f (x0 ) имеет касательную плоскость в точке x0 , а вектор gradf (x0 ) является вектором нормали к этой касательной плоскости (рис. 4.1).0Рис.
4.1Рис. 4.2Доказательство пунктов 1-3 вытекают непосредственно из данных вышеопределений и формулы (4.3).Прежде, чем доказывать пп. 4 и 5, заметим, что утверждения пп. 4 и 5 относятся к пространству прообразов Rn , а не к пространству Rn+1 , где находитсяграфик функции. Из леммы 4.3 следует, что равномерно по всем единичнымвекторам e ∈ S n−1 справедлива двусторонняя оценка−|gradf (x0 )| 6 −|(gradf (x0 ), e)| 6∂f 0(x ) 6 |(gradf (x0 ), e)| 6 |gradf (x0 )|.∂eНо для вектора egr имеем(gradf (x0 ), egr ) = |gradf (x0 )|.Т.е. верхняя оценка производной по направлению достигается в направленииegr . Аналогично доказывается утверждение о противоположном направлении(−egr ).39ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТРМы сейчас не готовы дать доказательство пункта 5. Более того, мы дажене сформулировали определение касательной плоскости к поверхности уровняc = f (x0 ) в точке x0 .
Обозначим эту касательную плоскость через Tx0 f −1 (c)Ограничимся эвристическим рассуждением. Будем опираться на интуитивноепредставление о касательной плоскости как о “наиболее тесно” примыкающейк поверхности в исследуемой точке x0 . Запишем уравнение f (x) − f (x0 ) = 0поверхности уровня c = f (x0 ) с помощью определения градиента в точке x0 иприменим следствие 4.2:f (x) − f (x0 ) = 0 ⇔n∑−−−−→∂f 0(x )(xi − x0i ) + o(|x − x0 |) = 0.∂xii=1Отбрасывая в полученном уравнении бесконечно малую более высокого порядка, получаем линейное уравнение, которое в пространстве Rn задает гиперплоскость. Это и есть уравнение касательной плоскости к поверхности уровня:Tx0 f −1 (c), где c = f (x0 ) :n∑∂f 0(x )(xi − x0i ) = 0.∂xii=1Второй подход.
Пересечем график “горизонтальной” гиперплоскостью y =f (x0 ); проекция полученного пересечения на пространство аргументов Rn какраз есть поверхность уровня f (x) = f (x0 ). Эта же гиперплоскость y = f (x0 )пересекает касательную (гипер)-плоскость к графику. Их пересечение – плоскость размерности (n − 1), которая параллельна пространству аргументов Rn .Эта плоскость определяется системой уравнений (см. определение 4.6):{y = f (x0 ),−−−−→y = f (x0 ) + (gradf (x0 ), x − x0 )⇔{y = f (x0 ),−−−−→(gradf (x0 ), x − x0 ) = 0.Примем без доказательства, что пересечение гиперплоскости y = f (x0 ) с касательной плоскостью к графику есть касательная плоскость к пересечениюэтой же гиперплоскости с графиком. Остается спроектировать полученнуюплоскость на пространство аргументов. График Gr(φ) функции φ(xi ) = f (x01 , ..., x0i−1 , xi , x0i+1 , ..., x0n ) получается врезультате пересечения графика Gr(f ) с плоскостью Π, образованной прямой(x0 , z 0 ) и прямой, проходящей через точку x0 в направлении вектора ei .
Касательная прямая τ к графику Gr(φ) в точке z0 является пересечением тойже плоскости Π с касательной плоскостью Tz0 Gr(f ). Обозначим угол наклона касательной прямой τ к оси xi через α. Тогда частная производная равна∂fтангенсу угла наклона: ∂x(x0 ) = φ′ (x0i ) = tg α (рис. 4.2).iЗамечание 4.5. В литературе общепринятым является обозначение∂f (x0 )∂f 0:=(x ).∂xi∂xi40Я. М. ДЫМАРСКИЙ4.4.
Достаточные условия дифференцируемости. Дифференцируемостьвлечет существование частных производных – это лемма 4.5. Оказывается, дополнительные требования к частным производным обеспечивают дифференцируемость.Теорема 4.3. Если все частные производные функции f определены в окрестности точки x0 ∈ Rn и непрерывны в точке x0 , то функция дифференцируемав этой точке.Доказательство проведем для функции двух переменных f (x, y). Оно основано на применении теоремы Лагранжа и выделении приращений от точкиx0 . Представим приращение функции f как сумму приращений по каждойпеременной:f (x, y) − f (x0 , y0 ) = (f (x, y) − f (x0 , y)) + (f (x0 , y) − f (x0 , y0 )) =fx′ (χ, y)(x − x0 ) + fy′ (x0 , ν)(y − y0 ) =(fx′ (x0 , y0 ) + (fx′ (χ, y) − fx′ (x0 , y0 )))(x − x0 )+(fy′ (x0 , y0 ) + (fy′ (x0 , ν) − fy′ (x0 , y0 )))(y − y0 ) =fx′ (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy′ (x0 , y0 )(y − y0 )+(fx′ (χ, y) − fx′ (x0 , y0 ))(x − x0 ) + (fy′ (x0 , ν) − fy′ (x0 , y0 ))(y − y0 ),где функция χ = χ(x, y) принимает значения между x0 и x, а функция ν = ν(y)принимает значения между y0 и y.
Поэтому χ(x, y) → x0 , а ν(y) → y0 приусловии (x, y) → (x0 , y0 ). В силу непрерывности частных производных в точке(x0 , y0 ), справедливоε1 (x, y) := fx′ (χ(x, y), y) − fx′ (x0 , y0 ) → 0, при (x, y) → (x0 , y0 ),ε2 (y) := fy′ (x0 , ν(y)) − fy′ (x0 , y0 ) → 0 при y → y0 .Следовательно, приращение функции в исследуемой точке имеет вид:f (x, y)−f (x0 , y0 ) = fx′ (x0 , y0 )(x−x0 )+fy′ (x0 , y0 )(y−y0 )+ε1 (x, y)(x−x0 )+ε2 (y)(y−y0 ).Поскольку|ε1 (x, y)(x − x0 ) + ε2 (y)(y − y0 )|√6 |ε1 (x, y)| + |ε2 (y)| → 0 при (x, y) → (x0 , y0 ),(x − x0 )2 + (y − y0 )2тоf (x, y) − f (x0 , y0 ) =√fx′ (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy′ (x0 , y0 )(y − y0 ) + o( (x − x0 )2 + (y − y0 )2 ). ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ВТОРОЙ СЕМЕСТР414.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
